Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes familles

Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Structures Hopf-algébriques et opéradiques
sur différentes familles d’arbres
Anthony Mansuy
31 mai 2013
Anthony Mansuy
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Algèbres de contraction
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Algèbres bigreffes
Algèbres de Hopf de battage et d’arbres
D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Soit D un ensemble.
L’algèbre de Hopf de battage ShD a pour base l’ensemble des
mots en l’alphabet D.
Son produit ×Sh est donné par les battages des mots. Par
exemple :
(abc) ×Sh (d) = (abcd) + (abdc) + (adbc) + (dabc),
(ab) ×Sh (cd) = (abcd) + (acbd) + (cabd)
+(acdb) + (cadb) + (cdab).
Son coproduit est donné par la déconcaténation. Par
exemple :
∆(abcd) = (abcd) ⊗ 1 + (abc) ⊗ (d) + (ab) ⊗ (cd)
+(a) ⊗ (bcd) + 1 ⊗ (abcd).
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Supposons de plus que D est muni d’un produit associatif et
commutatif [·, ·] : D × D → D.
L’algèbre de Hopf de battage contractant CshD a aussi pour
base l’ensemble des mots en l’alphabet D.
Son produit ×Csh est donné par les battages des mots
avec contractions éventuelles des lettres. Par exemple :
(ab) ×Csh (c) = (abc) + (acb) + (cab) + (a[b, c])
+([a, c]b)
(ab) ×Csh (cd) = (ab) ×Sh (cd) + (a[b, c]d)
+(c[a, d]b) + ([a, c]bd) + ([a, c]db)
+(ac[b, d]) + (ca[b, d]) + ([a, c][b, d])
Son coproduit est la déconcaténation, comme pour ShD .
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
L’algèbre des arbres enracinés HCK est introduite par Connes
et Kreimer pour la Renormalisation en Théorie des Champs
Quantiques.
Une base de cette algèbre est donnée par les forêts
enracinées :
q q qq
q
q
1, q , q q , q , q q q , q q , ∨q , q ,
q
qq
qqq q q ∨
q q qq
q
q
q
q q q q , q q q , q q , ∨q q , q q , ∨q , ∨q , qq ,
qq
qq
...
Le produit est donné par l’union disjointe des forêts.
qq
qq
qq
qq
∨q . qq = ∨q qq = qq ∨q = qq . ∨q .
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D
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CK dans Sh
Algèbres de contraction
Le coproduit est donné par les coupes admissibles :
X
Leac (F ) ⊗ Rooc (F ).
∆HCK (F ) =
c coupe admissible
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
qq
∨q
qq
∨q
qq
qq
q
×
q
qq
×
1
1
qq
q
q
×
qq q
qq
×
∨q
coupe c
totale
Admissible ? oui oui oui oui non oui oui non oui
Rooc (F )
Leac (F )
q
qq
q
q
q
qq q
qq
qq
qq q q
qq
q
∆HCK ( ∨q ) = ∨q ⊗1+1⊗ ∨q + q ⊗ q + q ⊗ ∨q + q ⊗ q + q q ⊗ q + q q ⊗ q .
Il existe une version décorée HD
CK :
∆H D
CK
q
q qd
( ∨qa ) =
c
b
q
cq
qc
q qd
qq
qq
∨qa ⊗ 1 + 1 ⊗ b ∨qa d + q c ⊗ b ∨qa d + qq cb ⊗ qq da + q d ⊗ qq ba
q
q
+ q c q d ⊗ q ba + q cb q d ⊗ q a
c
b
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
HNCK l’algèbre de Hopf des arbres enracinés plans :
q
qq
∆HNCK ( ∨q ) =
q
qq
∆HNCK ( ∨q ) =
q
q
q
qq
qq
qq
∨q ⊗ 1 + 1 ⊗ ∨q + q ⊗ ∨q + qq ⊗ qq + q ⊗ qq
q
q
+ q q ⊗ q + q q ⊗ q,
q
q
q
qq
qq
qq
∨q ⊗ 1 + 1 ⊗ ∨q + q ⊗ ∨q + qq ⊗ qq + q ⊗ qq
q
q
+ q q ⊗ q + q q ⊗ q.
Ho l’algèbre de Hopf des forêts ordonnées :
1
qq
∨q2 3 . qq 31 q 2
=
q
q q3
∆Ho ( ∨q2 ) =
1
4
1
qq
∨q2 3 qq 64 q 5
q
1q
q q3
qq
qq
∨q2 ⊗ 1 + 1 ⊗ 4 ∨q2 3 + q 1 ⊗ 2 ∨q1 3 + qq 12 ⊗ qq 21
qq 1
q
q
+ q 1 ⊗ q 32 + q 1 q 2 ⊗ q 21 + q 13 q 2 ⊗ q 1 .
1
4
Hho la sous-algèbre de Hopf de Ho des forêts ordonnées
en tas.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Soient D un ensemble et (fa )a∈D des fonctions de [0, 1] dans R
intégrables. Posons :
Z 1
Z xk
Z x2
I(a1 . . . ak ) =
fak (xk )dxk
fak −1 (xk −1 )dxk −1 ...
fa1 (x1 )dx1
0
0
0
D
Alors I est un caractère de Sh , c’est-à-dire :
I(a1 . . . ap )I(b1 . . . bq ) = I ((a1 . . . ap ) ×Sh (b1 . . . bq )) .
Exemples
Z
1
I(a)I(b) =
Z
1
fa (x)dx
0
Z
fb (y )dy
0
1
Z
fa (x)dx
=
0
x
Z
fb (y )dy +
0
1
Z
fb (y )dy
0
y
fa (x)dx
0
= I(ba) + I(ab).
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Définition
Un ordre linéaire sur une forêt F ∈ HCK à n sommets est une
application bijective σ : V (F ) → {1, . . . , n} telle que si,
a, b ∈ V (F ),
(a b dans F ) =⇒ (σ(a) ≥ σ(b)).
On note O(F ) l’ensemble des ordres linéaires sur F .
Exemples
q
qq
Si F = ∨q , les ordres linéaires possibles sur F sont :
3
2
q
4q
4q
q q4 2 q q3 3 q q2
∨q1 , ∨q1 , ∨q1
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Exemples
qq q
Si F = ∨q q , les ordres linéaires possibles sur F sont :
2
qq
qq
qq
qq
qq
qq
∨q1 3 qq 54 , 2 ∨q1 4 qq 53 , 2 ∨q1 5 qq 43 , 3 ∨q1 4 qq 52 , 3 ∨q1 5 qq 42 , 4 ∨q1 5 qq 32 ,
3
qq
qq
qq
qq
∨q2 4 qq 51 , 3 ∨q2 5 qq 41 , 4 ∨q2 5 qq 31 , 4 ∨q3 5 qq 21
Théorème
L’application Φ suivante définit un morphisme surjectif de
D
l’algèbre de Hopf HD
CK vers Sh :
Φ
F forêt de degré n −→
X
σ −1 (n) . . . σ −1 (1),
σ∈O(F )
où σ −1 (i) est la décoration associée au sommet d’image par σ
égale à i.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Exemples
Φ( q a ) = (a),
q
Φ( q ba ) = (ba),
Φ( q a q b ) = (ab) + (ba),
qq c
Φ( q ba ) = (cba),
qq
b
c
Φ( ∨qa ) = (bca) + (cba),
q
Φ( q a q cb ) = (cba) + (cab) + (acb),
Φ( q a q b q c ) = (abc) + (acb) + (bac) + (bca) + (cab) + (cba).
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
On a donc :
un morphisme d’algèbres I : ShD → R,
D
un morphisme d’algèbres surjectif Φ : HD
CK → Sh .
On définit alors un morphisme d’algèbres J = I ◦ Φ : HD
CK → R.
Exemple
q qc
J( ∨qa ) =
b
Z
1
Z
fa (x)dx
0
x
Z
fb (y )dy
0
x
fc (z)dz.
0
Applications : calcul moulien, chemins rugueux.
Question : description de tous les morphismes d’algèbres de
D
Hopf de HD
CK dans Sh ?
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
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Notons TD
des arbres enracinés décorés par D.
CK l’ensemble
D
Soit ϕ : K TCK → K (D) une application linéaire.
Théorème
Il existe un unique morphisme d’algèbres de Hopf
D
Φ : HD
CK → Sh tel que le diagramme suivant soit commutatif :
K TD
CK
_
HD
CK
ϕ
/ K (D)
OO
Φ
/ ShD
On cherche à donner une description combinatoire de Φ.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Exemples
En degré 1, Φ( q a ) = ϕ( q a ).
En degré 2,
q
q
Φ( q ba ) = ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q ba )
Φ( q a q b ) = ϕ( q a )ϕ( q b ) + ϕ( q b )ϕ( q a ).
En degré 3,
qq
b
c
Φ( ∨qa ) = ϕ( q b )ϕ( q c )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a )
qq
qc
q
q
q
b
c
+ϕ( q b )ϕ( q ca ) + ϕ( q c )ϕ( q ba ) + ϕ( ∨qa )
q
q
Φ( q ba ) = ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q ba ) + ϕ( q cb )ϕ( q a )
qc
q
+ϕ( q ba )
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Exemples
c
q
qq
b
d
Φ( ∨qa ) = ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q d )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q d )ϕ( q b )ϕ( q a )
q
+ϕ( q d )ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q da )
q
q
+ϕ( q c )ϕ( q d )ϕ( q ba ) + ϕ( q d )ϕ( q c )ϕ( q ba )
q
q
+ϕ( q cb )ϕ( q d )ϕ( q a ) + ϕ( q d )ϕ( q cb )ϕ( q a )
qq
qc
q
q
b
d
q
+ϕ( q cb )ϕ( q da ) + ϕ( q c )ϕ( ∨qa ) + ϕ( q d )ϕ( q ba )
c
q
qq
b
d
+ϕ( ∨qa ).
Deux objets combinatoires apparaissent :
Les partitions d’un arbre.
Les ordres linéaires sur un arbre.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Définitions
Soit F ∈ HCK une forêt non vide et e une contraction de F ,
c’est-à-dire un sous-ensemble de E(F ).
La partition de F par e est la sous-forêt de F obtenue en
conservant tous les sommets de F et les arêtes de e. On
la note Parte (F ).
Le contracté de F par e est la forêt obtenue en contractant
dans F chaque arête de e et en identifiant leurs
extrémités. On le note Conte (F ).
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Exemples
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
q
qq
Considérons T = ∨q . Alors
e
Parte (T )
Conte (T )
q
qq
∨q
q
qq
∨q
q
q
qq
q
qq
∨q
∨q
q q
q q
qq
q ∨q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
qq
∨q
∨q
∨q
∨q
q
qq q
q
qq q
q
q
q
qq q
qq
q
qq
∨q
qq
∨q
qq
qq
q
qq
∨q
qqqq
q
qq
∨q
où, à la première ligne, les arêtes n’appartenant pas à e sont
barrées.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Soit ICK l’idéal de HCK engendré par l’élément q − 1. On note
CCK l’algèbre quotient HCK /ICK : on identifie dans CCK les
éléments 1 et q .
On définit sur CCK le coproduit de contraction :
X
∆CCK (F ) =
Parte (F ) ⊗ Conte (F )
e⊆E(F )
Exemple
q
qq
∆CCK ( ∨q ) =
q
q
q
q
qq
qq
qq
q ⊗ ∨q + ∨q ⊗ q + 2 qq ⊗ ∨q + qq ⊗ qq + qq ⊗ qq
qq
q
q q
q
+ ∨q ⊗ q + q q ⊗ q .
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
On retrouve le coproduit introduit par D. Calaque, K.
Ebrahimi-Fard et D. Manchon dans [CEFM].
Considérons la counité :
CCK
ε:
F forêt
→ K
7
→
δF , q .
Théorème
(CCK , ∆CCK , ε) est une algèbre de Hopf commutative, non
cocommutative, graduée par le nombre d’arêtes.
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D
Morphisme de HD
CK dans Sh
Algèbres de contraction
Proposition (Description de Φ)
Soit T un arbre non vide ∈ HD
CK . Alors


X
X

ϕ(σ −1 (k )) . . . ϕ(σ −1 (1)) ,
Φ(T ) =
e⊆E(T )
σ∈O(Conte (F ))
où k est le nombre de sommets de Conte (F ) et où σ −1 (i) est la
composante connexe de Parte (F ) d’image par σ égale à i.
Remarque
Supposons que ϕ( q a ) = a et que ϕ(T ) = 0 lorsque T est de
degré au moins deux.
Alors on retrouve le morphisme d’algèbres surjectif
D
Φ : HD
CK → Sh défini plus haut.
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Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Soient s1 , . . . , sk ∈ N∗ , s1 ≥ 2. On pose :
X
1
ζ(s1 . . . sk ) =
.
s1
n . . . nksk
n >...>n >0 1
1
k
Alors ζ est un caractère de CshD , c’est-à-dire :
ζ(s1 . . . sp )ζ(t1 . . . tq ) = ζ((s1 . . . sp ) ×Csh (t1 . . . tq )).
Exemple
1
X
ζ(s)ζ(t) =
n>0,m>0
X
=
n>m>0
ns mt
X
X 1
1
1
+
+
ns mt
ns mt
ns+t
m>n>0
n>0
= ζ(st) + ζ(ts) + ζ(s + t),
avec ici [s, t] = s + t.
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Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Soit ϕ : K TD
CK → K (D). On suppose que D est muni d’un
produit associatif et commutatif [·, ·] : (a, b) ∈ D2 7→ [a, b] ∈ D.
Théorème
Il existe un unique morphisme d’algèbres de Hopf
D
Φ : HD
CK → Csh tel que le diagramme suivant soit commutatif :
K TD
CK
_
HD
CK
ϕ
/ K (D)
OO
Φ
/ CshD
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Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Exemples
En degré 1, Φ( q a ) = ϕ( q a ).
En degré 2,
Φ( q a q b ) = ϕ( q a )ϕ( q b ) + ϕ( q b )ϕ( q a ) + [ϕ( q a ), ϕ( q b )]
q
q
Φ( q ba ) = ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q ba ).
En degré 3,
qq
b
c
Φ( ∨qa ) = ϕ( q b )ϕ( q c )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a )
q
+ [ϕ( q c ), ϕ( q b )] ϕ( q a ) + ϕ( q b )ϕ( q ca )
qq
qc
q
q
b
c
+ϕ( q c )ϕ( q ba ) + ϕ( ∨qa )
q
q
Φ( q ba ) = ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q ba ) + ϕ( q cb )ϕ( q a )
qc
q
+ϕ( q ba )
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Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Exemples
c
q
qq
b
d
Φ( ∨qa ) = ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q d )ϕ( q a ) + ϕ( q c ) [ϕ( q b ), ϕ( q d )] ϕ( q a )
+ϕ( q c )ϕ( q d )ϕ( q b )ϕ( q a ) + [ϕ( q c ), ϕ( q d )] ϕ( q b )ϕ( q a )
q
+ϕ( q d )ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q a ) + ϕ( q c )ϕ( q b )ϕ( q da )
q
q
+ϕ( q c )ϕ( q d )ϕ( q ba ) + ϕ( q d )ϕ( q c )ϕ( q ba )
q
q
+ϕ( q cb )ϕ( q d )ϕ( q a ) + [ϕ( q cb ), ϕ( q d )] ϕ( q a )
qq
q
q
q
b
d
+ϕ( q d )ϕ( q cb )ϕ( q a ) + ϕ( q cb )ϕ( q da ) + ϕ( q c )ϕ( ∨qa )
qc
c
q
qq
q
b
d
+ϕ( q d )ϕ( q ba ) + ϕ( ∨qa ).
La notion de partitions d’un arbre apparaît encore. Par contre,
ce n’est plus des odres linéaires qui apparaissent, mais des
préordres linéaires.
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Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Définition
Un préordre linéaire sur une forêt F ∈ HCK à n sommets est
une application surjective σ : V (F ) → {1, . . . , k }, 1 ≤ k ≤ n,
telle que si, a, b ∈ V (F ), a 6= b,
(a b dans F ) =⇒ (σ(a) > σ(b)).
On note Op (F ) l’ensemble des préordres linéaires sur F .
Exemple
q
qq
Si F = ∨q , les préordres linéaires possibles sur F sont :
3
2
q
3q
3q
4q
4q
q q2 2 q q3 2 q q4 3 q q2 2 q q3
∨q1 , ∨q1 , ∨q1 , ∨q1 , ∨q1
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Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Exemple
q q
Si F = q q , les préordres linéaires possibles sur F sont :
qq 2 qq 2 qq 2 qq 3 qq 2 qq 3 qq 2 qq 4 qq 3 qq 3 qq 3 qq 4 qq 4 qq 3
1 1 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 2 , 1 2 , 1 2
Proposition (Description de Φ)
Soit T un arbre non vide ∈ HD
CK . Alors
!
Φ(T ) =
X
X
e⊆E(T )
σ∈Op (Conte (T ))
Im(σ)={1,...,q}
ϕ(σ −1 (q)) . . . ϕ(σ −1 (1)) .
où, pour tout i ∈ {1, . . . , q},
σ −1 (i) est la forêt T1 . . . Tn de toutes les composantes
connexes Tk de Parte (F ) telles que σ(Tk ) = i.
ϕ(σ −1 (i)) = [ϕ(T1 ), . . . , ϕ(Tn )](n) .
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Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Rappelons qu’un préordre sur un ensemble est une relation
binaire, réflexive et transitive.
Définition
Une forêt préordonnée est une forêt enracinée F ∈ HCK telle
qu’on ait de façon équivalente :
Un préordre total sur l’ensemble V (F ).
Une surjection σ : V (F ) → {1, . . . , k }, avec k un entier
inférieur au nombre de sommets de F .
Anthony Mansuy
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Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes famille
Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Exemples
En degré ≤ 3,
q 1 , q 1 q 1 , q 1 q 2 , qq 11 , qq 21 , qq 12 , q 1 q 1 q 1 , q 1 q 1 q 2 , q 1 q 2 q 2 , q 1 q 2 q 3 , q 1 qq 11 ,
q 1 qq 21 , q 1 qq 12 , q 1 qq 22 , q 1 qq 32 , q 1 qq 23 , q 2 qq 11 , q 2 qq 21 , q 2 qq 12 , q 2 qq 31 , q 2 qq 13 , q 3 qq 21 ,
qq
qq
qq
qq
qq
qq
qq
q q q1 q2
q 3 qq 12 , 1 ∨q1 1 , 1 ∨q1 2 , 1 ∨q2 1 , 2 ∨q1 2 , 1 ∨q2 2 , 2 ∨q1 3 , 1 ∨q2 3 , 1 ∨q3 2 , qq 11 , qq 11 ,
q1 q1 q2 q2 q1 q3 q2 q3 q2 q1 q1
qq 21 , qq 12 , qq 21 , qq 12 , qq 22 , qq 21 , qq 31 , qq 12 , qq 13 , qq 32 , qq 23 .
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Définition
Une forêt préordonnée en tas est une forêt préordonnée (F , σ)
où σ : V (F ) → {1, . . . , k } est un préordre linéaire.
Exemples
En degré ≤ 3,
q 1 , q 1 q 1 , q 1 q 2 , qq 21 , q 1 q 1 q 1 , q 1 q 1 q 2 , q 1 q 2 q 2 , q 1 q 2 q 3 , q 1 qq 21 , q 1 qq 32 ,
q q q3
qq
q 2 qq 21 , q 2 qq 31 , q 3 qq 21 , 2 ∨q1 2 , 2 ∨q1 3 , qq 21 .
Voici quelques valeurs numériques :
n
fnpo
fnhpo
0 1 2 3
4
5
1 1 5 38 424 6284
1 1 3 12 64 428
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
L’espace vectoriel Hpo engendré par les forêts préordonnées
est une algèbre de Hopf :
Le produit de F par G est obtenu en concaténant F et G et
en décalant les indices des sommets de G :
qq
qq 13 q 2 × 1 ∨q1 2
1 q q2
∨q1 × qq 13 q 2
=
=
q q5
qq 1 q 4 ∨
q4
3 2
1 q q2 q3
∨q1 q 5 q 4
Le coproduit de F est le coproduit de coupe avec le
préordre induit par celui de F sur les branches et le tronc :
q
q q3
∆Hpo ( ∨q1 ) =
1
2
q
1q
q q3
qq
qq
∨q1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 2 ∨q1 3 + q 1 ⊗ 2 ∨q1 3 + qq 12 ⊗ qq 21
qq 1
q
q
+ q 1 ⊗ q 21 + q 1 q 2 ⊗ q 21 + q 12 q 3 ⊗ q 1 .
1
2
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
L’espace vectoriel Hhpo engendré par les forêts préordonnées
en tas est une sous-algèbre de Hopf de Hpo .
Nous avons alors le diagramme suivant
HNCK 
/ Hho 
_
Hhpo 
/ Ho
_
/ Hpo
où les flèches ,→ sont des morphismes d’algèbres de Hopf
injectifs pour le coproduit de coupe.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Si F est une forêt préordonnée, alors Parte (F ) et Conte (F ) sont
aussi des forêts préordonnées.
Exemples
1
3
q
qq
3
Considérons T = ∨q2 . Alors
Parte (T )
q
q q3
∨q2
1q
3 q q3
∨q2
qq 3 qq 1
2 3
qq
q 1 3 ∨q2 3
q1
qq 3 q
2 3
Conte (T )
q1
qq 2
1
qq 1
2
qq 2
1
e
1
3
1
3
q
q q3
∨q2
1
3
q
qq
∨q2 3
1
3
q
qq
∨q2 3
1
3
q
q q3
∨q2
q 1 qq 32 q 3
qq 1
q 32
...
...
...
1
3
q
q q3
∨q2
q1 q2 q3 q3
1q
3 q q3
∨q2
où, à la première ligne, les arêtes n’appartenant pas à e sont
barrées.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
On construit l’algèbre quotient Cpo de Hpo . Elle est engendrée
par l’ensemble des forêts sans sommet isolé.
De la même façon, on définit Chpo , Co , Cho et CNCK .
Théorème
Cpo est une algèbre de Hopf, graduée par le nombre d’arêtes,
et nous avons alors le diagramme suivant :
Cho
_
Chpo 
/ Co
_

/ Cpo
où les flèches ,→ sont des morphismes d’algèbres de Hopf
injectifs pour le coproduit de contraction.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Proposition
CNCK est un comodule à gauche sur Cho .
Remarque : CNCK n’est pas une algèbre de Hopf. Par exemple,
3
q
qq
2
4
∆Cho ( ∨q1 ) =
3
2
q
q
q3
qq
qq
qq
∨q1 4 ⊗ q 1 + q 1 ⊗ 2 ∨q1 4 + qq 21 ⊗ qq 21 + 2 ∨q1 3 ⊗ qq 21
3
qq 3
q
2 q q3
q
q q
q
+2 q 21 ⊗ ∨q1 + q 21 ⊗ q 21 + q 41 q 32 ⊗ q 21 .
q q
q
Alors q 41 q 32 ⊗ q 21 ∈
/ CNCK ⊗ CNCK .
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Dans [FU], L. Foissy et J. Unterberger prouve le théorème
suivant :
Théorème
1
Soit n ≥ 0. Pour tout (F , σ) ∈ FHo , soit SF l’ensemble des
permutations θ ∈ Σn telles que pour tout a, b ∈ V (F ),
(a b) ⇒ (θ−1 (σ(a)) ≤ θ−1 (σ(b))). Posons :

Ho → FQSym

X
Θ:
→
7
θ.
F
∈
F
H
o

θ∈SF
Alors Θ : Ho → FQSym est un morphisme d’algèbres de
Hopf homogène de degré 0.
2
La restriction de Θ à Hho est un isomorphisme d’algèbres
de Hopf graduées.
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Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Soit n ∈ N∗ . On note Surjn l’ensemble des applications
τ : {1, . . . , n} → N∗ , telles que τ ({1, . . . , n}) = {1, . . . , k } pour
un certain k . On représente τ ∈ Surjn par le mot tassé
(τ (1) . . . τ (n)).
On note WQSym∗ l’espace vectoriel dont une base est donnée
par l’union disjointe des ensembles Surjn . WQSym∗ est une
algèbre de Hopf (introduite dans [NT]) :
Le produit de τ et ω est donné en décalant les lettres de ω
et en réalisant le battage de ces lettres avec celles de τ :
(112)(21) = (11243) + (11423) + (14123) + (41123)
+(11432) + (14132) + (41132) + (14312)
+(41312) + (43112).
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Le coproduit de τ est obtenu en réalisant toutes les coupes
du mot représentant τ en deux mots et en tassant ceux-ci :
∆WQSym∗ ((21132))
= 1 ⊗ (21132) + pk ((2)) ⊗ pk ((1132))
+pk ((21)) ⊗ pk ((132)) + pk ((211)) ⊗ pk ((32))
+pk ((2113)) ⊗ pk ((2)) + (21132) ⊗ 1
= 1 ⊗ (21132) + (1) ⊗ (1132) + (21) ⊗ (132)
+(211) ⊗ (21) + (2113) ⊗ (1) + (21132) ⊗ 1.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Définition
Soit (F , σ) une forêt préordonnée de degré n et τ ∈ Surjn . Alors
on note Sτ(F ,σ) l’ensemble des bijections ϕ : V (F ) → {1, . . . , n}
telles que :
1
si v ∈ V (F ), alors σ(v ) = τ (ϕ(v )),
2
si v , v 0 ∈ V (F ), v 0 v , alors ϕ(v ) ≥ ϕ(v 0 ).
Exemples
qq
2
2
Soit F = ∨q1 et τ = (221). En notant les sommets de F par
q
q
b
∨qa c , on a deux éléments ϕ1 , ϕ2 ∈ Sτ(F ,σ) :

 a → 3
b → 2
ϕ1 :

c → 1
et
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
 a → 3
b → 1
ϕ2 :

c → 2
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Théorème
Considérons

∗
Hpo → WQSym

X
Φ:
(F , σ) forêt de degré n 7→
card(Sτ(F ,σ) ) τ.

τ ∈Surjn
Alors :
Φ : Hpo → WQSym∗ est un morphisme d’algèbres de Hopf
homogène de degré 0.
La restriction de Φ à Hhpo est une injection d’algèbres de
Hopf.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
L’algèbre de Hopf des forêts préordonnées
Algèbres de contraction non-commutatives
Morphisme dans l’algèbre des mots tassés
Exemples
En degré 1 : Φ( q 1 ) = (1).
En degré 2 :
Φ( q 1 q 1 ) = 2(11),
Φ( q 1 q 2 ) = (12) + (21),
q
Φ( q ab ) = (ab).
En degré 3 :
qq
2
1
Φ( q 1 q 1 q 1 ) = 6(111) Φ( ∨q2 ) = (122) + (212)
qq 2
Φ( q 31 ) = (231)
qq
2
2
Φ( ∨q1 ) = 2(221)
q
Φ( q 21 q 2 ) = (212) + 2(221)
q
Φ( q 2 q 13 ) = (213) + (123) + (132)
q
Φ( q 1 q 23 ) = (123) + (213) + (231)
Φ( q 1 q 1 q 2 ) = 2 [(112) + (121) + (211)]
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Dans son article Random walks on R and ordered trees : First
applications, F. Menous introduit les deux opérateurs de greffe
suivants : T1 . . . Tk forêt ordonnée de degré n.
B − (T1 . . . Tk ) =
B + (T1 . . . Tk ) =
Exemples
q
B − ( q 21 q 3 ) =
2
1
q
qq
∨q4 3
Anthony Mansuy
q
B + ( q 21 q 3 ) =
2
q
q q3
∨q1 4
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Définition
Soit TB = ∪n≥1 TB (n) l’ensemble des arbres défini
récursivement par :
si n = 1, TB (1) = { q 1 },
si n ≥ 2, soient T1 , . . . , Tk ∈ ∪1≤i≤n−1 TB (i) dont la somme
des degrés est n − 1, et considérons les nouveaux arbres
B − (T1 . . . Tk ) et B + (T1 . . . Tk ).
Exemples
qq
qq
q 1 , qq 21 , qq 12 , 2 ∨q1 3 , 1 ∨q2 3 ,
q 3 qq 32
q3
2q
3 q q4 2 q q4
q4 1 q q4
∨q1 , ∨q1 , q 1 , ∨q2 ,
qq 2 qq 1 1 q q 2 2 q3q q 4 21 qq q 4 1 q3q q 4 12 qq q 4 1 q2q q 4
, q 13 , q 23 , ∨q3 , ∨q1 , ∨q3 , ∨q2 , ∨q3 , ∨q3 ,
q2 1 q q3 q1 1 q q2 q2 2 q
2 q q3 2 q q3
q q3
∨qq 4 ∨qq 1 qqq 13 ∨qq 2 qqq 23 ∨qq 3 qqq 31 1 ∨
, 1 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , q4 ,
q3 1 q
q2 2
1 q q 2 2 q q 3 1 q q 3 1 q q q3
∨q4 , ∨q4 , ∨q4 , ∨q4 .
qq 2
q 31
qq 2
q 34
q1
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Notons B l’algèbre engendrée par TB , graduée par le nombre
de sommets.
Proposition
La série formelle FB (x) associée à B est donnée par :
√
1 + x − 1 − 6x + x 2
FB (x) =
.
4x
Voici quelques valeurs numériques :
n 1 2 3 4
5
6
7
8
tnB 1 2 6 22 90 394 1806 8558
fnB 1 3 11 45 197 903 4279 20793
Théorème
B est une algèbre de Hopf (pour le coproduit de coupe).
B est libre (librement engendrée par TB ), colibre et
auto-duale.
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
On définit deux opérations sur B :
une greffe à gauche sur la racine : B ⊗ B → B,
une greffe à droite sur la racine ≺: B ⊗ B → B.
Exemples
q1 q2
q2
qq 31
q 1 qq 23
q1
qq 12
qq 21 q 3
q
q2q q 45
= ∨q3
q2
1 q q3
= ∨q4
1q
2 q q4
= ∨q3 q 5
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1
qq 2
1
≺
qq 2
1
≺
q1 q2
≺
1
qq
∨q2 3
q 1 qq 32
2
qq
∨q1 3
q q
q ∨q 54
= ∨q1
q
3 4
2 qqq5
= ∨q1
3 q q4
∨q
= q 1 q 52
3
2
Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Définition-Proposition
B est une algèbre bigreffe, c’est-à-dire un espace vectoriel A
muni de trois opérations ∗, , ≺: A ⊗ A → A telles que pour tout
x, y , z ∈ A :
(x ∗ y ) z = x (y z),
(x y ) ∗ z = x (y ∗ z),
(x ≺ y ) ≺ z = x ≺ (y ∗ z),
(x ∗ y ) ≺ z = x ∗ (y ≺ z),
(x y ) ≺ z = x (y ≺ z),
(x ∗ y ) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
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Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Théorème
B est engendrée comme algèbre bigreffe par l’élément q 1 .
Remarque : B n’est pas librement engendrée comme algèbre
bigreffe par l’élément q 1 : par exemple,
qq 2
q 1 ≺ ( q 1 ≺ q 1 ) = q 31 = q 1 ≺ ( q 1 q 1 ).
Nous allons chercher à décrire :
l’algèbre bigreffe libre à un générateur.
l’opérade bigreffe associée à la notion d’algèbre bigreffe.
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Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Définition-Proposition
L’opérade bigreffe BG est l’opérade binaire, quadratique et
régulière engendrée par trois opérations binaires m, , ≺
satisfaisant les relations suivantes :

◦(m, I)− ◦(I, ),




m ◦ (, I)− ◦(I, m),



≺ ◦(≺, I)− ≺ ◦(I, m),
≺ ◦(m, I) − m ◦ (I, ≺),





≺ ◦(, I)− ◦(I, ≺),


m ◦ (m, I) − m ◦ (I, m).
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Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Notons HlrNCK la K -algèbre des arbres plans dont les arêtes
sont décorées par l ou r . C’est une algèbre de Hopf pour le
coproduit de coupe.
Définition
Introduisons l’opérateur de greffe BBG : HlrNCK ⊗ HlrNCK → HlrNCK
défini par :
BBG (F1 . . . Fp ⊗ G1 . . . Gq ) =
où F1 , . . . , Fp et G1 , . . . , Gq sont des arbres appartenant à
HlrNCK .
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Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Exemples
q
BBG (1 ⊗ 1) =
BBG ( q ⊗ q ) =
q
BBG ( ql q ⊗ 1) =
BBG ( q q ⊗ 1) =
l
l
qq
∨q r
q
qq
∨q l
qq
l∨
ql
l
Anthony Mansuy
BBG ( q ⊗ 1) =
BBG (1 ⊗ q q ) =
q
BBG ( q ⊗ ql ) =
BBG ( q ⊗ q q ) =
qql
qq
r∨
qr
q
q ql
l∨
qr
q q q
r
l@q r
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Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Définition
Soit TBG = ∪n≥1 TBG (n) l’ensemble des arbres ∈ HlrNCK défini
récursivement par :
si n = 1, TBG (1) = { q },
si n ≥ 2, soient T1 , . . . , Tp+q ∈ ∪1≤i≤n−1 TBG (n) dont la
somme des degrés est n − 1, et considérons le nouvelle
arbre BBG (T1 . . . Tp ⊗ Tp+1 . . . Tp+q ).
Exemples
qq
qq
q q ql qr
q , qql , qqr , l ∨q l , l ∨q r , r ∨q r , qql , qql ,
q
q
q
q
q
q
l q q
r q q
l q q
r q q
l q q
r q q
l∨
q l , l ∨q l , l ∨q r , l ∨q r , r ∨q r , r ∨q r ,
q q
qq
qq
qq
qq
qq
l∨
l∨
l∨
qqll
ql
qr l ∨qr r ∨qr r ∨qr
, qr , ql , qr , ql , qr
Anthony Mansuy
ql
qqr
,
q
q ql
l∨
ql
ql
qql
, ql
qr q q q q q q q q q q q q
qqr @
l
r
r
l q r ,@
l q r ,@
r q r ,
,l l q l ,@
q
q
q
q
q
q qr
q ql
q qr
q ql
q qr
l
l
l
r
l
r
r
r
r
∨
q
∨
q
∨
q
∨
q
∨
q
,
,
,
,
, r ,
qr ql qr ql qr ql qr
qql qqr qqr qql qql qqr qqr
, ql , ql , ql , qr , qr , qr , qr .
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L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Notons HBG l’algèbre engendrée par TBG , graduée par le
nombre de sommets.
Proposition
Les séries formelles associées à HBG sont données par :
FHBG (x) =
THBG (x) =
n
H
tn BG
H
fn BG
3
!! ,
r
1
27x
−1 + 4 cos2
arcsin
3
4
!!
r
1
27x
4
sin2
arcsin
.
3
3
4
1 2 3 4
5
6
7
8
9
1 2 7 30 143 728 3876 21318 120175
1 3 12 55 273 1428 7752 43263 246675
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Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
On peut démontrer que (HBG , BBG ) est un objet initial dans la
catégorie des couples (A, L) où A est une algèbre et
L : A ⊗ A → A une application linéaire.
Théorème
Il existe une structure d’algèbre de Hopf "universelle" sur HBG
muni de l’opérateur BBG , le coproduit étant donné par les
coupes admissibles.
Exemples
q
qq
∆HBG ( ∨q r ) =
l
l
q
q
l q q
qq
qq
r
l
∨q ⊗ 1 + 1 ⊗ ∨q r + q ⊗ l ∨q r
qql
q
q
q
q
+ ql ⊗ qr + q ⊗ ql + q q ⊗ ql + ql q ⊗ q
l
l
En particulier, HBG est une sous-algèbre de Hopf de HlrNCK .
Anthony Mansuy
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Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes famille
Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Définition
Soient F = F1 . . . Fn , G = G1 . . . Gm deux forêts ∈ HBG avec
1 ⊗ G2 ). On pose
F1 = BBG (F11 ⊗ F12 ) et Gm = BBG (Gm
m
GF
= BBG (GF11 ⊗ F12 )F2 . . . Fn ,
G≺F
1
2
= G1 . . . Gm−1 BBG (Gm
⊗ Gm
F ).
On définit ainsi deux opérations , ≺ sur l’idéal d’augmentation
MBG de HBG .
Exemples
qqr
l
qq
∨q r
qqr
=
qq
=
r
q
qq
∨q r
qq
l∨
qqlr q
l
Anthony Mansuy
qqr qql
qqr qqqlr
≺
qqr
=
≺
q
=
q
q qr
∨q r
q
qq
qqr l r ∨
qr
qqr
l
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Théorème
(MBG , m, , ≺) est librement engendrée comme algèbre
bigreffe par q .
La composition ◦ de BG peut se définir récursivement en
terme de forêts appartenant à MBG .
Exemples
Soient F1 , F2 , F3 trois forêts appartenant à MBG .
q q ◦ (F1 , F2 ) =
qql
◦ (F1 , F2 ) =
qqr
F1 F2
F1 F2
◦ (F1 , F2 ) = F1 ≺ F2
◦ (F1 , F2 , F3 ) = F1 (F2 F3 )
◦ (F1 , F2 , F3 ) = (F1 F2 ) ≺ F3
q qql
qq
l∨
qr
qql
ql ◦ (F1 , F2 , F3 ) = (F1 F2 ) F3
Anthony Mansuy
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Théorème
L’opérade bigreffe duale BG ! de BG est l’opérade
quadratique engendré par trois opérations binaires m, , ≺
satisfaisant les relations suivantes :


◦(m, I)− ◦(I, ),
◦(, I),




 m ◦ (, I)− ◦(I, m),
 ◦(≺, I),








≺ ◦(≺, I)− ≺ ◦(I, m),
m ◦ (≺, I),
et
≺ ◦(m, I) − m ◦ (I, ≺),
≺ ◦(I, ≺),










≺
◦(,
I)−
◦(I,
≺),
≺
◦(I, ),




m ◦ (m, I) − m ◦ (I, m),
m ◦ (I, ).
L’opérade bigreffe BG est Koszul.
Anthony Mansuy
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Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
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L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Considérons le coproduit de déconcaténation sur HBG : si
F ∈ HBG ,
X
∆Ass (F ) =
F1 ⊗ F2 .
F1 F2 =F
Proposition-Définition
˜ Ass ) est une bialgèbre bigreffe infinitésimale,
(MBG , m, , ≺, ∆
˜ Ass ) où
c’est-à-dire une famille (A, m, , ≺, ∆
˜
m, , ≺: A ⊗ A → A, ∆Ass : A → A ⊗ A, avec les relations
suivantes :
(A, m, , ≺) est une algèbre bigreffe.
Pour tout x, y ∈ A :
˜ Ass (xy ) = (x ⊗ 1)∆
˜ Ass (y ) + ∆
˜ Ass (x)(1 ⊗ y ) + x ⊗ y ,
∆
˜ Ass (x y ) = (x ⊗ 1) ∆
˜ Ass (y ),
∆
˜ Ass (x ≺ y ) = ∆
˜ Ass (x) ≺ (1 ⊗ y ).
∆
Anthony Mansuy
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Forêts préordonnées
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L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
Proposition-Définition
Pour toute bialgèbre bigreffe infinitésimale, sa partie primitive
est une L-algèbre, c’est-à-dire une famille (A, , ≺) où
, ≺: A ⊗ A → A vérifient la relation suivante : pour tout
x, y , z ∈ A,
(x y ) ≺ z = x (y ≺ z)
En particulier, la partie primitive PBG de MBG est une L-algèbre.
Plus précisément,
Théorème
(PBG , , ≺) est la L-algèbre librement engendrée par q .
Anthony Mansuy
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Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes famille
Algèbres de contraction
Forêts préordonnées
Algèbres bigreffes
Algèbres de greffe
L’opérade bigreffe
Théorème de rigidité
On a un foncteur naturel (−)L : {BG − alg} → {L − alg}
associant à une BG-algèbre (A, m, , ≺) la L-algèbre (A, , ≺).
On définit le foncteur adjoint algèbre bigreffe enveloppante
universelle UBG (A) d’une L-algèbre (A, , ≺).
Théorème
Étant donné une bialgèbre bigreffe infinitésimale A, les
assertions suivantes sont équivalentes :
A est une bialgèbre bigreffe infinitésimale connexe,
A est colibre parmi les coalgèbres connexes,
A est isomorphe à UBG (Prim(A)) comme bialgèbre bigreffe
infinitésimale.
En particulier, (voir [Lo])
Théorème
(Ass, BG, L) est un bon triplet d’opérades.
Anthony Mansuy
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Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes famille
D. Calaque, K. Ebrahimi-Fard, and D. Manchon, Two
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J. Ecalle and B. Vallet, The arborification-coarborification
transform : analytic, combinatorial, and algebraic aspects,
Ann. Fac. Sc. Toulouse 13 (2004), 4, 575-657.
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