Anneaux Propriétés des anneaux Sous

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•Anneau : un anneau A est un groupe abélien, noté
additivement, sur lequel est défini une deuxième loi interne,
notée multiplicativement, telle que :
– . est associative et possède un élément neutre (1)
– . est distributive par rapport à l’addition c’est-à-dire pour tout x,y,z de A,
(x+y).z=x.z+y.z (distributivité à droite) et z.(x+y)=z.x+z.y (distributivité à
gauche)
•Note : - un anneau est dit commutatif si . est commutative
•Exemples : - (Z,+,.) est un anneau commutatif
- (Q,+,.) est un anneau commutatif
•Quelques propriétés des anneaux :
– Pour tout x d’un anneau A, 0.x=x.0=0
•Preuve : 0.x=(0+0).x=0.x+0.x d’où 0.x=0. De même
x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 d’où x.0=0
– Pour tout x,y de A, x.(-y)=(-x).y=-(x.y) et (-x).(-y)=xy
•Preuve : x.y+(-x).y=(x+(-x)).y=0.y=0 d’où (-x).y=-(x.y). De
même, x.y+x.(-y)=x.(y+(-y))=x.0=0 d’où x.(-y)=-(x.y)
•Anneau intègre : un anneau A est dit intègre si pour tout x,y de
A, x.y=0 x=0 ou y=0
•Sous-anneau : soit un anneau A. B ⊆A est un sous-anneau de
A si B est un sous-groupe additif de A et si pour tout x,y de B,
x.y ∈B et 1∈B.
•Idéal : soit un anneau commutatif A. I ⊆A est un idéal de A si I
est un sous-groupe additif et pour tout x de A et tout i de I,
x.i ∈I
•Notes : - dans le cas d’un anneau non commutatif, on peut définir un idéal à
droite et un idéal à gauche
- si un idéal I est un sous-anneau, 1∈I, mais alors1.x ∈I pour tout x
de A et I=A
•Exemple : - dans l’anneau (Z,+,.), les nZ sont des idéaux
•Relation d’équivalence induite par un idéal : dans un anneau A,
si I est un idéal la relation pour tout x,y de A, xRy ⇔x-y∈I est
une relation d’équivalence
•Preuve : x-x ∈I pour tout x de A car I est un sous-groupe pour +
donc contient 0. R est donc réflexive. Si x-y∈I, y-x aussi
puisque I est un sous-groupe pour +, donc R est symétrique. Si
x-y ∈I et y-z ∈I, (x-y)-(y-z)=x-(y-y)-z=x-z ∈I par associativité de
+, donc R est transitive.
•Anneau quotient : si I est un idéal d’un anneau A, on peut
définir l’anneau quotient A/I comme l’ensemble des classes
d’équivalence de la relation induite par I sur A
•Théorème des restes chinois : soit A un anneau commutatif et
soient I et J deux idéaux de A tels que I+J=A (avec I+J={x+y,
x∈I et y∈J}. Alors pour deux éléments a et b de A, il existe x
dans A tel que x ≡a mod I et x ≡b mod J (c’est-à-dire x est en
relation avec a modulo I et x est en relation avec b modulo J).
•Preuve : I+J=A donc il existe ∈I et ∈J tels que + =1.
Posons x = a. + b. . Alors x - a. ∈I donc x ≡a. mod I (car
∈I donc par définition d’un idéal, b. ∈I). Or =1 - ≡1 mod I
d’où x ≡a mod I. De même, x ≡b. mod J. D’où, puisque
=1- ≡1 mod J, x ≡b mod J.
•Note : - par induction, on montre ce théorème pour un nombre quelconque
d’idéaux.
•Proposition 5 (théorème de Bezout) : pour tous a et b de Z,
avec pgcd(a,b)=n, aZ+bZ=nZ
•Preuve : aZ+bZ est un sous-groupe de Z car ax+by a pour
inverse -ax-by et (ax+by)+(az+bt)=a(x+z)+b(y+t). Donc aZ+bZ
est de la forme nZ. a∈nZ et b∈nZ
, donc n divise a et b. De plus,
si m∈Z divise a et b, m divise n car n est de la forme au+bv.
Donc m est le plus grand diviseur commun à a et b (pgcd).
•Notes : - pour deux nombres a et b premiers entre eux, aZ+bZ=Z
- ce résultat se généralise pour une somme finies de sous-groupes
de Z : a1Z+a2Z+..+anZ = pgcd(a1,a2, .. , an)Z

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•Corollaire au théorème des restes chinois : tout système de n
équations de congruence sur des nombres premiers deux à
deux dans (Z,+,.) a une solution dans Z :
x ≡a1mod b1Z
x ≡a2mod b2Z
…..
x ≡anmod bnZ
•Preuve : (Z,+,.) est un anneau commutatif. Dans Z, les idéaux
sont les nZ. De plus si les bisont premiers entre eux,
b1Z+b2Z+..+bnZ = Z. On peut donc appliquer le théorème des
restes chinois et en déduire qu’il existe une solution au système
d’équation.
=> il existe un x solution dans Z
Pour résoudre sur Z le système On résout pour chaque i
x ≡a1mod b1Z xi≡0 mod b1Z
x ≡a2mod b2Z …..
xi ≡0 mod bi-1Z
….. (1) xi≡1 mod biZ (2)
xi≡0 mod bi+1Z
…..
x ≡anmod bnZ xi≡0 mod bnZ
On pose ki=b1.b2. .. bi-1.bi+1. .. . bnpour tout i. Les kiet bisont
donc premiers entre eux et kiZ+biZ=Z donc il existe u et v
entiers relatifs tels que u.ki+v.bi=1. On pose xi=u.kiet alors xi
vérifie bien le système (2). Une solution du système (1) est
alors x=a1.x1+a2.x2+..+an.xn
• Soit le système
• On a k1= 35, k2= 21 et k3= 15
• x1= 1 mod (3) et 0 mod (5) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et
v tels que 35.u + 3.v = 1. Par exemple, u = 2 et v = -23. Donc
x1= 70
• x2= 1 mod (5) et 0 mod (3) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et
v tels que 21.u + 5.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -4. Donc
x2= 21
x ≡1 mod (3)
x ≡2 mod (5)
x ≡3 mod (7)
• x3= 1 mod (7) et 0 mod (3) et 0 mod (5) donc il faut trouver u et
v tels que 15.u + 7.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -2. Donc
x3= 15
• Finalement, x = 1.70 + 2.21 + 3.15 = 157 est solution. En effet,
157/3 = 52 et reste 1, 157/5 = 31 et reste 2, et 157/7 = 22 et
reste 3
• a et b, entiers relatifs, étant donnés, on note c=pgcd(a,b). On veut
déterminer x et y tels que ax + by = c
yn+1 xn+1 0n+1 yn
xn qn rn n
... yi+1
xi+1 qi+1 ri+1 i+1 yi
xi qi ri iyi-1
xi-1 qi-1 ri-1 i-1
... 10q2b2 01a1 yk
xk qk rk kri-1 = qi*ri + ri+1
xi+1 = xi-1 - qi*xi
yi+1 = yi-1 - qi*yi
pgcd(a,b) = rn
x = xn
y = yn
• On veut trouver x et y tels que 96x + 81y = pgcd(96,81)
32-2706 -1311235 6-5264 -115153 101812 01961 yk
xk qk rk kri-1 = qi*ri + ri+1
xi+1 = xi-1 - qi*xi
yi+1 = yi-1 - qi*yi
pgcd(a,b) = rn
x = xn
y = yn
pgcd(96,81) = 3 et x = 11 et y = -13

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•Corps : (C,+,.) est un corps si (C,+,.) est un anneau commutatif
tel que 0≠1 et que tout élément de C différent de 0 a un inverse
pour . (0 est l’élément neutre pour +, 1 est l’élément neutre
pour .).
•Note : - un corps est commutatif si sa multiplication est commutative.
•Exemples : - (Q,+,.) est un corps, (R,+,.) est un corps
•Théorème de Wedderburn : tout corps fini est commutatif
•Treillis : Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute
paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne
inférieure, c’est-à-dire qu’étant donnés deux éléments xet y,
l’ensemble des majorants communs à xet yn’est pas vide et
admet un minimum noté x∨yet l’ensemble de leurs minorants
communs n’est pas vide et admet un maximum noté x ∧y.
•Treillis : un ensemble E muni de deux opérations ∧et ∨, est
un treillis (algébrique) si les propriétés suivantes sont
satisfaites :
1. x ∧x = x = x ∨x (idempotence)
2. x ∧y = y ∧x et x ∨y = y ∨x (commutativité)
3. x ∧(y ∧z) = (x ∧y) ∧z et x ∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z
(associativité)
4. x ∨(x ∧y) = x = x ∧(x ∨y) (absorption)
• Proposition 6 : Si E muni d’une relation d’ordre est un
treillis, alors tout couple (x,y) d’éléments de E vérifie les
propriétés 1,2,3 et 4.
•Preuve de la proposition 6 : soit (T, ) un treillis.
(1) pour {x}, on a bien x ∧x = x = x ∨x
(2) pour {x,y}={y,x}, on a bien x ∧y = y ∧x et x ∨y = y ∨x
(3) sup(x,sup(y,z)) = sup(sup(x,y),z) = sup({x,y,z}) donc
x ∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z et inf(x,inf(y,z)) = inf(inf(x,y),z) =
inf({x,y,z}) donc x ∧(y ∧z) = (x ∧y) ∧z
(4) inf(x,sup(x,y)) = x et sup(x,inf(x,y)) = x donc x ∨(x ∧y) =
x = x ∧(x ∨y)
• Proposition 7 : si E est un ensemble muni de deux opérations ∨
et ∧vérifiant les propriétés 1,2,3 et 4, alors E muni de la
relation d’ordre d finie par x y ⇔x ∨y = y est un treillis.
•Preuve : Montrons que ainsi définie est une relation d’ordre.
est réflexive par l’idempotence. Si x y et y x, x ∨y = y et y ∨
x = x mais alors x = y par commutativité, donc est anti-
sym trique. Si x y et y z, x ∨y = y et y ∨z = z donc x ∨z = x
∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z par associativité = y ∨z = z donc x z et
est transitive.
Remarquons que x ∨y = y x ∧y = x ∧(x ∨y ) = x par
absorption et que x ∧y = x x ∨y = (x ∧y ) ∨y = y ∨(y ∧x )
par commutativité et = y par absorption. Donc
x ∨y = y ⇔x ∧y =x et x y ⇔x ∧y = x

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•Suite de la preuve : montrons que tout couple d’éléments de E
admet une borne inf. Pour tout couple (x,y) de E², x ∧y est
borne inférieure de {x,y}. En effet, x ∧(x ∧y) =
(x ∧x) ∧y par associativité = x ∧y par idempotence donc
x ∧(x ∧y) = x ∧y soit x ∧y x. Et y ∧(x ∧y) = y ∧(y ∧x) par
commutativité = (y ∧y) ∧x par associativité = y ∧x par
idempotence = x ∧y par commutativité donc y ∧(x ∧y) = x ∧y
soit x ∧y y. Donc x ∧y est minorant de {x,y}. Montrons que
x ∧y est le plus grand des minorants. S’il existe z minorant de
{x,y}, x ∧z = z et y ∧z = z. Donc (x ∧y) ∧z = x ∧(y ∧z) =
x ∧z = z et donc z x ∧y.
En utilisant l’équivalence x ∨y = y ⇔x ∧y =x on montre que
x ∨y est la borne supérieure de {x,y}.
a ∧(b ∨c) = a ∧e = a et (a ∧b) ∨(a ∧c) =
a ∨d = a donc a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c)
(distributivité de ∧à droite).
Mais a ∨(b ∧c) = a ∨d = a et (a ∨b) ∧
(a ∨c) = b ∧e = b donc a ∨(b ∧c) ≠(a ∨b)
∧(a ∨c)
• Dans un treillis, ∧et ∨ne sont pas forcément distributives l’une
par rapport à l’autre
•Treillis distributif : un treillis T est distributif si ∧est distributive
par rapport à ∨et inversement :
(1) a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c) pour tout a,b,c de T
(2) a ∨(b ∧c) = (a ∨b) ∧(a ∨c) pour tout a,b,c de T
•Note : - dans un treillis, on a toujours (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∧ (b ∨ c) car b ∨ c
est un majorant de b et de c. De même, on a toujours a ∨ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
•Exemples : - N doté des opérations x ∧ y = pgcd(x,y) et x ∨ y =
ppcm(x,y) est un treillis distributif
- L’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble E est
un treillis distributifs pour l’intersection et l’union
•Proposition 8 : dans un treillis, la distributivité de ∧par rapport à
∨est équivalente à la distributivité de ∨par rapport à ∧
•Preuve : supposons a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c) pour tout
a,b,c de T. Alors (a ∨b) ∧(a ∨c) = ((a ∨b) ∧a) ∨((a ∨b) ∧c).
Or, (a ∨b) ∧a = a ∧(a ∨b) = a par absorption. Et (a ∨b) ∧c =
c ∧(a ∨b) = (c ∧a) ∨(c ∧b).
D o (a ∨b) ∧(a ∨c) = a ∨((c ∧a) ∨(c ∧b)) = (a ∨(c ∧a)) ∨(c
∧b) par associativit = a ∨(c ∧b) par absorption. On a donc
bien a ∨(c ∧b) = (a ∨b) ∧(a ∨c).
On montre de même par dualité que la distributivité de ∨par
rapport à ∧entraîne celle de ∧par rapport à ∨.
•Complément d’un élément : dans un treillis, doté d’un plus
grand élément noté T et d’un plus petit élément noté ⊥, le
complément d’un élément x est tout élément x’ tel que x ∨x’= T
et x ∧x’ = ⊥. On dit que x et x’ sont complémentaires. En
particulier, ⊥et T sont complémentaires.
•Exemple : dans ce treillis, b et c sont
sont complémentaires, tandis
que a et d n’ont pas de
complément
⊥
T
•Treillis complémenté : un treillis est complémenté s’il admet un
⊥et un T et si tout élément admet au moins un complément
•Théorème 5 : dans un treillis distributif admettant un ⊥et un T,
tout élément admet au plus un complément.
•Preuve : il suffit de montrer que x ∧z = y ∧z et x ∨z = y ∨z
implique que x = y. On a x = x ∨(x ∧z) = x ∨(y ∧z) = (x ∨y) ∧
(x ∨z). On a aussi y = y ∨(y ∧z) = y ∨(x ∧z) = (y ∨x) ∧(y ∨
z) = (x ∨y) ∧(x ∨z) = x.

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•Treillis de Boole : un treillis de Boole est un treillis distributif et
complémenté.
•Notes : - dans un treillis de Boole, tout élément admet exactement un
complément
- on peut donc ajouter aux opérations ∨ et ∧ du treillis l’opération
de complémentation qui a un élément x fait correspondre son
complément x (ou x’)
- dans un treillis de Boole, on appelle « vrai » ou 1 l’élément T,
« faux » ou 0 l’élément ⊥ , « et » l’opération ∧ et « ou » l’opération ∨ .
On a x ∨ 0 = x, x ∨ 1 = 1, x ∧ 0 = 0, x ∧ 1 = x, 0’=1 et 1’=0
•Exemple : - l’ensemble des parties d’un ensemble muni de l’inclusion est un
treillis de Boole
•Lois de Morgan : dans un treillis de Boole, pour tous x,y on a
(x ∧y)’ = x’ ∨y’ et (x ∨y)’ = x’ ∧y’
•Preuve : (x ∧y) ∨(x’ ∨y’) = (x ∨(x’ ∨y’)) ∧(y ∨(x’ ∨y’)) =
((x ∨x’) ∨y’) ∧((y ∨y’) ∨x’) = (1 ∨y’) ∧(1 ∨x’) = 1. De plus,
(x ∧y) ∧(x’ ∨y’) = ((x ∧y) ∧x’) ∨((x ∧y) ∧y’) = (0 ∧y) ∨(x ∧
0) = 0. Par unicité du complément, x’ ∨y’ est bien le
complément de x ∧y. Par dualité, on déduit l’autre loi de
Morgan.
•Anneau booléen : un anneau booléen est un anneau dans
lequel la multiplication est idempotente, c’est-à-dire que ∀x,
x²=x
•Exemples : - (Z/2Z,+,.) est un anneau booléen
- (P(E), ∆ , ∩ ) est un anneau booléen
•Proposition 9 : tout anneau de Boole est commutatif
•Preuve : si x et y sont deux éléments d’un anneau de Boole,
supposons x.y ≠y.x. Alors y.x.y.x ≠y.y.x.x donc y.x ≠y.x ce qui
est faux.
•Proposition 10 : dans un anneau booléen, tout élément différent
de 0 est son propre opposé pour l’addition
•Preuve : pour tout a ≠0, a+(-a) = 0, donc a.(a+(-a)) = a.0 = 0 et
a.(a+(-a)) = a.a+a.(-a) = a + a.(-a) = 0 et donc (-a) = a.(-a). De
même, (-a).(a+(-a)) = (-a).0 = 0 et (-a).(a+(-a)) = (-a).a+(-a).(-a)
= (-a).a+(-a) = 0 donc (-(-a))=(-a).a=(-a) donc -a=a.
•Complément dans un anneau booléen : pour tout a d’un
anneau booléen A, on pose a’=a+1, a’ est le complément de a
•Proposition 11 : dans un anneau booléen a’’=a pour tout a, 0’=1
et 1’=0
•Preuve : (voir TD)
• Treillis booléen :
– une relation d’ordre ≤
– deux opérations ∧et ∨associatives, commutatives et distributives
–∧est idempotente et absorption d’une opération par l’autre
– une opération de complémentation ‘
• Anneau booléen :
– deux opérations + et . associatives, commutatives
– . distributive par rapport à + et . idempotente
– une opération de complémentation ‘
Théorème 6 : tout anneau booléen (A,+,.) est un treillis booléen
pour les opérations définies par x ∧y = x.y et x ∨y = x+y+x.y, la
relation d’ordre définie par x ≤y ⇔x.y=x et le complément a’=a+1
•Preuve du théorème 6 : Montrons d’abord que la relation
définie est bien une relation d’ordre. L’idempotence de . donne
la réflexivité (∀x, x.x=x donc x ≤x). La commutativité de .
donne l’antisymétrie (si x.y=x et y.x=y, alors x=y). La transitivité
découle de la définition (x.y=x et y.z=y x.y.yz=x.y.z=x.z.y et
donc x.z.y=x.y donc x.z=x).
Montrons ensuite que les opérations ∧et ∨correspondent bien
aux bornes inférieures et supérieures (ce qui donne un treillis),
et qu’elles sont distributives l’une par rapport à l’autre.
x ∧y existe pour tout couple (x,y). De plus x.y.x = x.y.y = x.y
donc x.y ≤x et x.y ≤y. Donc x.y = x ∧y est un minorant de
{x,y}. Montrons que c’est le plus grand. Si z ≤x et z ≤y, alors
x.z = z et y.z = z donc x.z.y.z=z soit x.y.z=z donc z ≤x.y.