Anneaux Propriétés des anneaux Sous

Anneaux
• Anneau : un anneau A est un groupe abélien, noté
additivement, sur lequel est défini une deuxième loi interne,
notée multiplicativement, telle que :
Propriétés des anneaux
• Quelques propriétés des anneaux :
– Pour tout x d’un anneau A, 0.x=x.0=0
• Preuve : 0.x=(0+0).x=0.x+0.x d’où 0.x=0. De même
x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 d’où x.0=0
– . est associative et possède un élément neutre (1)
– . est distributive par rapport à l’addition c’est-à-dire pour tout x,y,z de A,
(x+y).z=x.z+y.z (distributivité à droite) et z.(x+y)=z.x+z.y (distributivité à
gauche)
•
Note : - un anneau est dit commutatif si . est commutative
•
Exemples : - (Z,+,.) est un anneau commutatif
- (Q,+,.) est un anneau commutatif
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– Pour tout x,y de A, x.(-y)=(-x).y=-(x.y) et (-x).(-y)=xy
• Preuve : x.y+(-x).y=(x+(-x)).y=0.y=0 d’où (-x).y=-(x.y). De
même, x.y+x.(-y)=x.(y+(-y))=x.0=0 d’où x.(-y)=-(x.y)
• Anneau intègre : un anneau A est dit intègre si pour tout x,y de
A, x.y=0
x=0 ou y=0
⇒
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Sous-anneau et idéal
Anneau quotient
• Sous-anneau : soit un anneau A. B ⊆ A est un sous-anneau de
A si B est un sous-groupe additif de A et si pour tout x,y de B,
x.y ∈ B et 1∈B.
• Relation d’équivalence induite par un idéal : dans un anneau A,
si I est un idéal la relation pour tout x,y de A, xRy ⇔ x-y∈I est
une relation d’équivalence
• Idéal : soit un anneau commutatif A. I ⊆ A est un idéal de A si I
est un sous-groupe additif et pour tout x de A et tout i de I,
x.i ∈I
• Preuve : x-x ∈I pour tout x de A car I est un sous-groupe pour +
donc contient 0. R est donc réflexive. Si x-y∈I, y-x aussi
puisque I est un sous-groupe pour +, donc R est symétrique. Si
x-y ∈I et y-z ∈I, (x-y)-(y-z)=x-(y-y)-z=x-z ∈I par associativité de
+, donc R est transitive.
•
Notes : - dans le cas d’un anneau non commutatif, on peut définir un idéal à
droite et un idéal à gauche
- si un idéal I est un sous-anneau, 1∈I, mais alors1.x ∈I pour tout x
de A et I=A
•
Exemple : - dans l’anneau (Z,+,.), les nZ sont des idéaux
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Théorème des
restes chinois (1/3)
• Théorème des restes chinois : soit A un anneau commutatif et
soient I et J deux idéaux de A tels que I+J=A (avec I+J={x+y,
x∈I et y∈J}. Alors pour deux éléments a et b de A, il existe x
dans A tel que x ≡ a mod I et x ≡ b mod J (c’est-à-dire x est en
relation avec a modulo I et x est en relation avec b modulo J).
• Preuve : I+J=A donc il existe α ∈I et β∈J tels que α+β=1.
Posons x = a.β + b.α . Alors x - a.β ∈I donc x ≡ a.β mod I (car
α∈I donc par définition d’un idéal, b.α ∈I). Or β=1 - α ≡ 1 mod I
d’où x ≡ a mod I. De même, x ≡ b.α mod J. D’où, puisque
α=1-β ≡ 1 mod J, x ≡ b mod J.
•
• Anneau quotient : si I est un idéal d’un anneau A, on peut
définir l’anneau quotient A/I comme l’ensemble des classes
d’équivalence de la relation induite par I sur A
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Théorème des
restes chinois (2/3)
• Proposition 5 (théorème de Bezout) : pour tous a et b de Z,
avec pgcd(a,b)=n, aZ+bZ=nZ
• Preuve : aZ+bZ est un sous-groupe de Z car ax+by a pour
inverse -ax-by et (ax+by)+(az+bt)=a(x+z)+b(y+t). Donc aZ+bZ
est de la forme nZ. a∈nZ et b∈nZ, donc n divise a et b. De plus,
si m∈Z divise a et b, m divise n car n est de la forme au+bv.
Donc m est le plus grand diviseur commun à a et b (pgcd).
•
Notes : - pour deux nombres a et b premiers entre eux, aZ+bZ=Z
- ce résultat se généralise pour une somme finies de sous-groupes
de Z : a1Z+a2Z+..+anZ = pgcd(a1,a2, .. , an)Z
Note : - par induction, on montre ce théorème pour un nombre quelconque
d’idéaux.
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1
Théorème des
restes chinois (3/3)
Algorithme sur le problème
des restes chinois
Pour résoudre sur Z le système
• Corollaire au théorème des restes chinois : tout système de n
équations de congruence sur des nombres premiers deux à
deux dans (Z,+,.) a une solution dans Z :
x ≡ a1 mod b1Z
x ≡ a2 mod b2Z
=> il existe un x solution dans Z
…..
x ≡ an mod b nZ
x ≡ a1 mod b1Z
x ≡ a2 mod b2Z
…..
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(1)
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• On a k1 = 35, k2 = 21 et k 3 = 15
• x1 = 1 mod (3) et 0 mod (5) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et
v tels que 35.u + 3.v = 1. Par exemple, u = 2 et v = -23. Donc
x1 = 70
• x2 = 1 mod (5) et 0 mod (3) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et
v tels que 21.u + 5.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -4. Donc
x2 = 21
Exemple sur le
théorème chinois (2/2)
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• Finalement, x = 1.70 + 2.21 + 3.15 = 157 est solution. En effet,
157/3 = 52 et reste 1, 157/5 = 31 et reste 2, et 157/7 = 22 et
reste 3
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Algorithme de Bezout (1/2)
•
a et b, entiers relatifs, étant donnés, on note c=pgcd(a,b). On veut
déterminer x et y tels que ax + by = c
k
rk
1
a
2
b
qk
q2
xk
yk
1
0
0
1
...
rk
96
xi+1 = xi-1 - qi*xi
2
81
3
ri-1
qi-1
xi-1
yi-1
ri
qi
xi
yi
pgcd(a,b) = rn
i+1
ri+1
qi+1
xi+1
yi+1
x = xn
rn
n+1
0
qn
qk
ri-1 = qi*ri + ri+1
xk
yk
1
0
1
0
1
15
5
1
-1
4
6
2
-5
6
5
3
2
11
-13
6
0
-27
32
xi+1 = xi-1 - qi*xi
yi+1 = yi-1 - qi*yi
pgcd(a,b) = rn
x = xn
y = yn
y = yn
xn
yn
xn+1
yn+1
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On veut trouver x et y tels que 96x + 81y = pgcd(96,81)
1
i
n
•
k
i-1
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Algorithme de Bezout (2/2)
ri-1 = qi*ri + ri+1
yi+1 = yi-1 - qi*yi
...
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• x3 = 1 mod (7) et 0 mod (3) et 0 mod (5) donc il faut trouver u et
v tels que 15.u + 7.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -2. Donc
x3 = 15
x ≡ 1 mod (3)
x ≡ 2 mod (5)
x ≡ 3 mod (7)
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(2)
On pose ki=b1.b2. .. bi-1.b i+1. .. . b n pour tout i. Les k i et bi sont
donc premiers entre eux et kiZ+biZ=Z donc il existe u et v
entiers relatifs tels que u.k i+v.bi=1. On pose xi=u.ki et alors xi
vérifie bien le système (2). Une solution du système (1) est
alors x=a1.x1+a2.x2+..+an.xn
Exemple sur le
théorème chinois (1/2)
• Soit le système
xi ≡ 0 mod b1Z
…..
xi ≡ 0 mod bi-1Z
xi ≡ 1 mod biZ
xi ≡ 0 mod bi+1Z
…..
xi ≡ 0 mod bnZ
x ≡ a n mod b nZ
• Preuve : (Z,+,.) est un anneau commutatif. Dans Z, les idéaux
sont les nZ. De plus si les bi sont premiers entre eux,
b1Z+b2Z+..+b nZ = Z. On peut donc appliquer le théorème des
restes chinois et en déduire qu’il existe une solution au système
d’équation.
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On résout pour chaque i
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pgcd(96,81) = 3 et x = 11 et y = -13
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2
Structures algébriques
Corps
• Corps : (C,+,.) est un corps si (C,+,.) est un anneau commutatif
tel que 0≠1 et que tout élément de C différent de 0 a un inverse
pour . (0 est l’élément neutre pour +, 1 est l’élément neutre
pour .).
•
Note : - un corps est commutatif si sa multiplication est commutative.
•
Exemples : - (Q,+,.) est un corps, (R,+,.) est un corps
• Théorème de Wedderburn : tout corps fini est commutatif
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Rappel
•
• Treillis : Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute
paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne
inférieure, c’est-à-dire qu’étant donnés deux éléments x et y,
l’ensemble des majorants communs à x et y n’est pas vide et
admet un minimum noté x ∨ y et l’ensemble de leurs minorants
communs n’est pas vide et admet un maximum noté x ∧ y.
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Définition algébrique
des treillis (1/4)
Treillis : un ensemble E muni de deux opérations ∧ et ∨, est
un treillis (algébrique) si les propriétés suivantes sont
satisfaites :
1. x ∧ x = x = x ∨ x (idempotence)
2. x ∧ y = y ∧ x et x ∨ y = y ∨ x (commutativité)
3. x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z et x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z
(associativité)
4. x ∨ (x ∧ y) = x = x ∧ (x ∨ y) (absorption)
•
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Définition algébrique
des treillis (2/4)
• Preuve de la proposition 6 : soit (T, ≤) un treillis.
(1) pour {x}, on a bien x ∧ x = x = x ∨ x
(2) pour {x,y}={y,x}, on a bien x ∧ y = y ∧ x et x ∨ y = y ∨ x
(3) sup(x,sup(y,z)) = sup(sup(x,y),z) = sup({x,y,z}) donc
x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z et inf(x,inf(y,z)) = inf(inf(x,y),z) =
inf({x,y,z}) donc x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
(4) inf(x,sup(x,y)) = x et sup(x,inf(x,y)) = x donc x ∨ (x ∧ y) =
x = x ∧ (x ∨ y)
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Proposition 6 : Si E muni d’une relation d’ordre ≤ est un
treillis, alors tout couple (x,y) d’éléments de E vérifie les
propriétés 1,2,3 et 4.
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Définition algébrique
des treillis (3/4)
• Proposition 7 : si E est un ensemble muni de deux opérations ∨
et ∧ vérifiant les propriétés 1,2,3 et 4, alors E muni de la
relation d’ordre ≤ dé finie par x ≤ y ⇔ x ∨ y = y est un treillis.
• Preuve : Montrons que ≤ ainsi définie est une relation d’ordre. ≤
est réflexive par l’idempotence. Si x ≤ y et y ≤ x, x ∨ y = y et y ∨
x = x mais alors x = y par commutativité, donc ≤ est antisymétrique. Si x ≤ y et y ≤ z, x ∨ y = y et y ∨ z = z donc x ∨ z = x
∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z par associativité = y ∨ z = z donc x ≤ z et
≤ est transitive.
Remarquons que x ∨ y = y
x ∧ y = x ∧ (x ∨ y ) = x par
absorption et que x ∧ y = x
x ∨ y = (x ∧ y ) ∨ y = y ∨ (y ∧ x )
par commutativité et = y par absorption. Donc
x ∨ y = y ⇔ x ∧ y =x et x ≤ y ⇔ x ∧ y = x
⇒
⇒
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3
Définition algébrique
des treillis (4/4)
Treillis distributifs (1/3)
• Suite de la preuve : montrons que tout couple d’éléments de E
admet une borne inf. Pour tout couple (x,y) de E², x ∧ y est
borne inférieure de {x,y}. En effet, x ∧ (x ∧ y) =
(x ∧ x) ∧ y par associativité = x ∧ y par idempotence donc
x ∧ (x ∧ y) = x ∧ y soit x ∧ y ≤ x. Et y ∧ (x ∧ y) = y ∧ (y ∧ x) par
commutativité = (y ∧ y) ∧ x par associativité = y ∧ x par
idempotence = x ∧ y par commutativité donc y ∧ (x ∧ y) = x ∧ y
soit x ∧ y ≤ y. Donc x ∧ y est minorant de {x,y}. Montrons que
x ∧ y est le plus grand des minorants. S’il existe z minorant de
{x,y}, x ∧ z = z et y ∧ z = z. Donc (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) =
x ∧ z = z et donc z ≤ x ∧ y.
En utilisant l’équivalence x ∨ y = y ⇔ x ∧ y =x on montre que
x ∨ y est la borne supérieure de {x,y}.
• Dans un treillis, ∧ et ∨ ne sont pas forcément distributives l’une
par rapport à l’autre
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Treillis distributifs (2/3)
– (1) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) pour tout a,b,c de T
– (2) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) pour tout a,b,c de T
•
Note : - dans un treillis, on a toujours (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ a ∧ (b ∨ c) car b ∨ c
est un majorant de b et de c. De même, on a toujours a ∨ (b ∧ c) ≤
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
•
Exemples : - N doté des opérations x ∧ y = pgcd(x,y) et x ∨ y =
ppcm(x,y) est un treillis distributif
- L’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble E est
un treillis distributifs pour l’intersection et l’union
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• Complément d’un élément : dans un treillis, doté d’un plus
grand élément noté T et d’un plus petit élément noté ⊥, le
complément d’un élément x est tout élément x’ tel que x ∨ x’= T
et x ∧ x’ = ⊥. On dit que x et x’ sont complémentaires. En
particulier, ⊥ et T sont complémentaires.
Exemple : dans ce treillis, b et c sont
sont complémentaires, tandis
que a et d n’ont pas de
complément
a
d
Mais a ∨ (b ∧ c) = a ∨ d = a et (a ∨ b) ∧
(a ∨ c) = b ∧ e = b donc a ∨ (b ∧ c) ≠ (a ∨ b)
∧ (a ∨ c)
T
d
b
a
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• Proposition 8 : dans un treillis, la distributivité de ∧ par rapport à
∨ est équivalente à la distributivité de ∨ par rapport à ∧
• Preuve : supposons a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) pour tout
a,b,c de T. Alors (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = ((a ∨ b) ∧ a) ∨ ((a ∨ b) ∧ c).
Or, (a ∨ b) ∧ a = a ∧ (a ∨ b) = a par absorption. Et (a ∨ b) ∧ c =
c ∧ (a ∨ b) = (c ∧ a) ∨ (c ∧ b).
D ’où (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = a ∨ ((c ∧ a) ∨ (c ∧ b)) = (a ∨ (c ∧ a)) ∨ (c
∧ b) par associativité = a ∨ (c ∧ b) par absorption. On a donc
bien a ∨ (c ∧ b) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
On montre de même par dualité que la distributivité de ∨ par
rapport à ∧ entraîne celle de ∧ par rapport à ∨.
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Treillis complémentés (1/2)
•
b
c
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ e = a et (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) =
a ∨ d = a donc a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
(distributivité de ∧ à droite).
Treillis distributifs (3/3)
• Treillis distributif : un treillis T est distributif si ∧ est distributive
par rapport à ∨ et inversement :
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e
c
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Treillis complémentés (2/2)
• Treillis complémenté : un treillis est complémenté s’il admet un
⊥ et un T et si tout élément admet au moins un complément
• Théorème 5 : dans un treillis distributif admettant un ⊥ et un T,
tout élément admet au plus un complément.
• Preuve : il suffit de montrer que x ∧ z = y ∧ z et x ∨ z = y ∨ z
implique que x = y. On a x = x ∨ (x ∧ z) = x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧
(x ∨ z). On a aussi y = y ∨ (y ∧ z) = y ∨ (x ∧ z) = (y ∨ x) ∧ (y ∨
z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = x.
⊥
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4
Treillis de Boole
Lois de Morgan
• Treillis de Boole : un treillis de Boole est un treillis distributif et
complémenté.
• Lois de Morgan : dans un treillis de Boole, pour tous x,y on a
•
Notes : - dans un treillis de Boole, tout élément admet exactement un
complément
- on peut donc ajouter aux opérations ∨ et ∧ du treillis l’opération
de complémentation qui a un élément x fait correspondre son
complément x (ou x’)
- dans un treillis de Boole, on appelle « vrai » ou 1 l’élément T,
« faux » ou 0 l’élément ⊥, « et » l’opération ∧ et « ou » l’opération ∨.
On a x ∨ 0 = x, x ∨ 1 = 1, x ∧ 0 = 0, x ∧ 1 = x, 0’=1 et 1’=0
• Preuve : (x ∧ y) ∨ (x’ ∨ y’) = (x ∨ (x’ ∨ y’)) ∧ (y ∨ (x’ ∨ y’)) =
((x ∨ x’) ∨ y’) ∧ ((y ∨ y’) ∨ x’) = (1 ∨ y’) ∧ (1 ∨ x’) = 1. De plus,
(x ∧ y) ∧ (x’ ∨ y’) = ((x ∧ y) ∧ x’) ∨ ((x ∧ y) ∧ y’) = (0 ∧ y) ∨ (x ∧
0) = 0. Par unicité du complément, x’ ∨ y’ est bien le
complément de x ∧ y. Par dualité, on déduit l’autre loi de
Morgan.
•
Exemple : - l’ensemble des parties d’un ensemble muni de l’inclusion est un
treillis de Boole
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Anneau booléen
• Anneau booléen : un anneau booléen est un anneau dans
lequel la multiplication est idempotente, c’est-à-dire que ∀x,
x²=x
(x ∧ y)’ = x’ ∨ y’ et (x ∨ y)’ = x’ ∧ y’
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Complément dans
un anneau booléen
• Proposition 10 : dans un anneau booléen, tout élément différent
de 0 est son propre opposé pour l’addition
- (P(E),∆,∩) est un anneau booléen
• Preuve : pour tout a ≠ 0, a+(-a) = 0, donc a.(a+(-a)) = a.0 = 0 et
a.(a+(-a)) = a.a+a.(-a) = a + a.(-a) = 0 et donc (-a) = a.(-a). De
même, (-a).(a+(-a)) = (-a).0 = 0 et (-a).(a+(-a)) = (-a).a+(-a).(-a)
= (-a).a+(-a) = 0 donc (-(-a))=(-a).a=(-a) donc -a=a.
• Proposition 9 : tout anneau de Boole est commutatif
• Complément dans un anneau booléen : pour tout a d’un
anneau booléen A, on pose a’=a+1, a’ est le complément de a
• Preuve : si x et y sont deux éléments d’un anneau de Boole,
supposons x.y ≠ y.x. Alors y.x.y.x ≠ y.y.x.x donc y.x ≠ y.x ce qui
est faux.
• Proposition 11 : dans un anneau booléen a’’=a pour tout a, 0’=1
et 1’=0
•
Exemples : - (Z/2Z,+,.) est un anneau booléen
• Preuve : (voir TD)
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Anneau booléen et
treillis booléen (1/7)
• Treillis booléen :
–
–
–
–
une relation d’ordre ≤
deux opérations ∧ et ∨ associatives, commutatives et distributives
∧ est idempotente et absorption d’une opération par l’autre
une opération de complémentation ‘
• Anneau booléen :
– deux opérations + et . associatives, commutatives
– . distributive par rapport à + et . idempotente
– une opération de complémentation ‘
Théorème 6 : tout anneau booléen (A,+,.) est un treillis booléen
pour les opérations définies par x ∧ y = x.y et x ∨ y = x+y+x.y, la
relation d’ordre définie par x ≤ y ⇔ x.y=x et le complément a’=a+1
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Anneau booléen et
treillis booléen (2/7)
• Preuve du théorème 6 : Montrons d’abord que la relation
définie est bien une relation d’ordre. L’idempotence de . donne
la réflexivité (∀x, x.x=x donc x ≤ x). La commutativité de .
donne l’antisymétrie (si x.y=x et y.x=y, alors x=y). La transitivité
découle de la définition (x.y=x et y.z=y
x.y.yz=x.y.z=x.z.y et
donc x.z.y=x.y donc x.z=x).
Montrons ensuite que les opérations ∧ et ∨ correspondent bien
aux bornes inférieures et supérieures (ce qui donne un treillis),
et qu’elles sont distributives l’une par rapport à l’autre.
x ∧ y existe pour tout couple (x,y). De plus x.y.x = x.y.y = x.y
donc x.y ≤ x et x.y ≤ y. Donc x.y = x ∧ y est un minorant de
{x,y}. Montrons que c’est le plus grand. Si z ≤ x et z ≤ y, alors
x.z = z et y.z = z donc x.z.y.z=z soit x.y.z=z donc z ≤ x.y.
⇒
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5
Anneau booléen et
treillis booléen (3/7)
Anneau booléen et
treillis booléen (4/7)
• Suite de la preuve :
x ∨ y existe pour tout couple (x,y). De plus (x+y+x.y).x =
x+y.x+y.x=x donc x ≤ x+y+x.y = x ∨ y. De même pour y donc
x ∨ y est bien majorant de x et y. Montrons que c’est le plus
petit. Si x ≤ z et y ≤ z, alors x.z = x et y.z = y donc (x ∨ y).z =
(x+y+x.y).z = x.z+y.z+(x.y).z = x+y+x.y = x ∨ y donc x ∨ y ≤ z.
Montrons maintenant que le treillis obtenu est distributif.
x ∧ (y ∨ z) = x.(y+z+y.z) = x.y+x.z+x.y.z = x.y+x.z+(x.y).(x.z) =
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Et (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = (x+y+x.y).(x+z+x.z) =
x²+x.z+x.x.z+y.x+y.z+y.x.z+x.y.x+x.y.z+x.y.x.z = x + y.z + x.y.z
= x ∨ (y ∧ z)
• Fin de la preuve :
Montrons que le treillis est complémenté. Le 0 et le 1 de
l’anneau sont les plus petit et plus grand éléments du treillis. En
effet, x ∧ 0 = x+0+x.0 = x et x ∨ 1 = x.1= x pour tout x. De plus,
pour tout x, x+1= x’ est tel que x ∨ x’ = x+x+1+x.(x+1) = 1 + x +
x = 1 et x ∧ x’ = x.(x+1) = x²+x = 0
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2005/2006
Anneau booléen et
treillis booléen (5/7)
• Théorème 7 : tout treillis booléen est un anneau booléen pour
les opérations + et . définies par x.y = x ∧ y et x+y = (x ∧ y’) ∨
(y ∧ x’)
• Preuve : Soit (T,≤,∧,∨,’) un treillis distributif et complémenté. On
pose x+y = (x ∧ y’) ∨ (y ∧ x’) et x.y = x ∧ y. Il faut montrer que
(T,+,.) est un anneau booléen, et donc d’abord que (T,+) est un
groupe abélien.
2005/2006
Anneau booléen et
treillis booléen (6/7)
• Suite de la preuve : montrons que la loi d’addition a un élément
neutre. Si on note 0 le plus petit élément du treillis, x+0 =
(x ∧ 0’) ∨ (0 ∧ x’) = (x ∧ 1) ∨ (0 ∧ x’) = x ∨ 0 = x et 0+x = x par
symétrie de l’expression. Tout élément est son propre
symétrique pour + car x+x = (x ∧ x’) ∨ (x ∧ x’) = x ∧ x’ = 0.
Montrons que + est associative. x+(y+z) = (x ∧ (y+z)’) ∨ (x’
∧ (y+z)).
Or x ∧ (y+z)’ = x ∧ ((y’ ∧ z) ∨ (y ∧ z’))’ = x ∧ (y’ ∧ z)’ ∧ (y ∧ z’)’ =
x ∧ (y ∨ z’) ∧ (y’ ∨ z) (par Morgan) = x ∧ (((y ∨ z’) ∧ y’) ∨ ((y ∨ z’)
∧ z)) (par distributivité) = x ∧ (((y ∧ y’) ∨ (z’ ∧ y’)) ∨ ((y ∧ z) ∨
(z’ ∧ z))) (par distributivité) = x ∧ ((0 ∨ (z’ ∧ y’)) ∨ ((y ∧ z) ∨ 0)) =
x ∧ ((z’ ∧ y’) ∨ (y ∧ z)) = (x ∧ y’ ∧ z’) ∨ (x ∧ y ∧ z)
• De plus x’ ∧ (y+z) = x’ ∧ ((y ∧ z’) ∨ (z ∧ y’)) = (x’ ∧ y ∧ z’) ∨ (x’ ∧
z ∧ y’)
Donc x+(y+z) = (x ∧ y’ ∧ z’) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x’ ∧ y ∧ z’) ∨ (x’ ∧ z ∧
y’)
Par symétrie de l’expression trouvée, x+(y+z) = z+(x+y) et par
la commutativité de l’addition (due à sa définition), on a z+(x+y)
= (x+y)+z
(T,+) est donc un groupe abélien.
La multiplication x.y = x ∧ y est associative et commutative
comme ∧.
Montrons qu’elle est distributive par rapport à l’addition. x.y+x.z
= ((x.y) ∧ (x.z)’) ∨ ((x.z) ∧ (x.y)’) = ((x ∧ y) ∧ (x ∧ z)’) ∨ ((x ∧ z) ∧
(x ∧ y)’) = ((x ∧ y) ∧ (x’ ∨ z’)) ∨ ((x ∧ z) ∧ (x’ ∨ y’)) = ((x ∧ y ∧ x’)
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Anneau booléen et
treillis booléen (7/7)
((x ∧ y ∧ x’) ∨ (x ∧ y ∧ z’)) ∨ ((x ∧ z ∧ x’) ∨ (x ∧ z ∧ y’)) =
(0 ∨ (x ∧ y ∧ z’)) ∨ (0 ∨ (x ∧ z ∧ y’)) = (x ∧ y ∧ z’) ∨ (x ∧ z ∧ y’) =
x ∧ ((y ∧ z’) ∨ (z ∧ y’)) = x.(y+z)
La commutativité de . entraîne la distributivité à droite. De plus,
1 est bien élément neutre pour . de par la définition de .
Pour finir, x.x = x ∧ x = x, donc l’anneau ainsi défini est bien
idempotente et c’est donc un anneau de Boole
Conclusion : tout anneau de Boole peut être muni d’une
structure de treillis de Boole (théorème 6) et tout treillis de
Boole peut être muni d’une structure d’anneau de Boole
(théorème 7).
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2005/2006
Algèbre de Boole
• Algèbre de Boole : on appelle algèbre de Boole une structure
algébrique dotée de deux éléments remarquables, notés 0 et 1,
et munie de deux opérations . et + vérifiant les propriétés
suivantes :
–
–
–
–
–
–
–
0.x = 0, 1.x = x, 0+x = x, 1+x = 1
commutativité de + et .
associativité de + et .
distributivité de . par rapport à + et de + par rapport à .
idempotence pour + et .
absorption (x.(x+y) = x et x+x.y = x)
complémentation (x.x’ = 0 et x+x’ = 1)
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6
Théorème de Stone
• Théorème de Stone : toute algèbre de Boole est isomorphe à
l’algèbre des sous-ensembles d’un ensemble munie de
l’inclusion (cet ensemble est en fait l’ensemble des atomes de
l’algèbre, c’est-à-dire les éléments a tels que ∀x, x ∧ a = a ou
0).
•
Note : - étudier une algèbre de Boole revient à étudier un treillis
de sous-ensemble
• Corollaire : le nombre d’éléments d’un algèbre de Boole finie
est une puissance de 2
• Les algèbres de Boole sont un outil puissant en logique, pour
algébriser le calcul des propositions
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2005/2006
Treillis booléen à 2 éléments
• Treillis booléen à 2 éléments : l’ensemble B={0,1} est un treillis
de Boole pour l’ordre 0 ≤ 1
• Proposition 12 : le produit de deux treillis distributifs est un
treillis distributif et le produit de deux treillis complémentés est
un treillis complémenté pour les opérations (x,y) ∧ (z,t) = ((x ∧
z), (y ∧ t)) et (x,y) ∨ (z,t) = ((x ∨ z),(y ∨ t))
• Produit de treillis booléens : pour tout n∈N, l’ensemble B n est
un treillis de Boole à 2 n éléments. B n est isomorphe à
l’ensemble des parties d’un ensemble à n éléments
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Hypercube
• Hypercube : l’hypercube de dimension n est le diagramme de
Hasse du treillis B n
(1,1,1)
1
(1,1)
(0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)
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Fonctions booléennes (1/2)
• Fonction booléenne : une fonction f à n variables f:B n → B est
appelée fonction booléenne
• Fonction complète : une fonction booléenne f de n variables est
complète si elle dépend effectivement de ses n variables, c’està-dire si il n’existe pas de fonction g de m variables,
m < n, telle que f(x1, .., xn) = g(y1, .. ,y m) avec yi∈{x1, .., xn} ∀i
0
(0,1)
(1,0)
(0,0,1) (0,1,0) (1,0,0)
0
(0,0)
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(0,0,0)
2005/2006
•
Exemples : - les fonctions complètes à une variable sont l’identité et la
complétion
- les fonctions complètes à 2 variables sont +,×, ,⇐, ,⇐,⇔,⇔
⇒ ⇒
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Fonctions booléennes (2/2)
•
Représentation d’une fonction
booléenne : en noir sont les
sommets de Bn ayant pour image
1, en blanc les autres
•
Proposition 13 : l’ensemble des
fonctions booléennes à n variables
forme un treillis de Boole
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7