Complexe des Ecoles Privées EL

Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L  45250203 22445539 36354558
Cours et exercices sur les transformations 7° C Prof : Dah O. Bahini Page 1 sur 11
Réflexions et rotations dans le plan
A) Réflexion
I-Définition :
Soit une droite donnée. On appelle réflexion d’axe la transformation qui à tout point
M
du plan
associe le
M'
tel que : si
M
alors
M' M
; si
M
alors
med MM'
.
Notation : la réflexion d’axe est notée
s
.
II-Propriétés
II-1) est l’ensemble des points invariants par
s
.
II-1)
s
est involutive :
1
p
s s id s s
.
II-1) Une droite perpendiculaire à est globalement invariante par
s
.
II-1) Un cercle dont le centre appartient à est globalement invariant par
s
.
III- Expression complexe
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
O;u , v
. Soit
s
la réflexion d’axe . Pour
tout point
M
d’affixe
z
, d’image
M'
d’affixe
z'
par
s
on a :
z' az b
où
a1
ab b 0
.
IV- Conservation :
La réflexion conserve le parallélisme, l’orthogonalité, l’alignement, le contact, l’intersection, le
barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires.
Transforme un angle orienté en son opposé.
Une droite perpendiculaire à l’axe d’une réflexion est globalement invariante par celle-ci.
Un cercle dont le centre appartient à l’axe d’une réflexion est globalement invariant par celle-ci.
B) Rotation
I- Définition
Soient un point du plan et un nombre réel donnés. On appelle rotation
de centre et de d’angle et on note
,
r
la transformation qui à pour tout
point
M
du plan associe le point
M'
tel que : si
M
alors
M'
et si
M
alors :
M' M
M, M' 2
.
II- Cas particuliers
La rotation d’angle
02
est l’application identique du plan.
La rotation d’angle
02  
n’a qu’un seul point invariant qui est son centre.
La rotation d’angle
2   
est une symétrie centrale ou un demi-tour.
La rotation d’angle
2
2
est un quart de tour direct et celle d’angle
2
2
est un quart de tour
indirect.
III- Propriétés
Toute rotation est une bijection. La bijection réciproque de la rotation
,
r
est la rotation
,
r 
.
L’image d’une droite est une droite qui forme avec elle l’angle de la rotation.
Tout cercle dont le centre coïncide avec celui d’une rotation est globalement invariant par celle-ci.
IV-Détermination d’une rotation
IV-1) Une rotation est déterminée par la donnée de deux points distincts et leurs images ou par la donnée
de l’angle et d’un point et son image.

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Si
,A A'
r:
B B'
alors
AB,A'B' 2  
et
A'B' AB
.
IV-2) Le centre est l’intersection des médiatrices des segments
AA'
et
BB'
, si elles ne sont pas confondues sinon il est l’intersection des
droites
AB
et
A'B'
. Il appartient aussi aux arcs définis par :
MA,MA' 2  
et
MB,MB' 2  
.
V-Expression complexe
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
O;u , v
. Soit
,
r
la rotation de centre d’affixe .Pour tout point
M
d’affixe
z
,
d’image
M'
d’affixe
z'
par
,
r
on a :
i
z' e z
.
Réciproquement : toute application d’expression complexe
z' az b
où
a1
a1
est une
rotation d’angle
arga
et de centre d’affixe
b
1a
.
VI-Conservation :
La rotation conserve le parallélisme, l’orthogonalité, les angles orientés, l’alignement, le contact,
l’intersection, le barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires.
VII- Rotation vectorielle
VII-1) Définition
On appelle rotation vectorielle d’angle
notée
l’application qui à pour tout vecteur
u
du plan
vectoriel
P
associe le vecteur
u'
tel que : si
u0
alors
u' 0
et si
u0
alors :
u' u
u,u' 2
.
VII-2) Propriétés
La rotation vectorielle est une application linéaire : c’est-à-dire qu’elle vérifie les deux propriétés :
2
u,v P , u v u v       
et
u,k P , ku k u     
Soit
,
r
la rotation de centre et d’angle . La rotation vectorielle d’angle est dite associée à
,
r
. Dans ce cas nous avons : Si
,A A'
r:
B B'
alors
AB A'B'
.
Attention : Si
AB CD
alors on n’a pas nécessairement
,
,
r A C
r B D
.
Mais si
,
AB A'B'
r A A'
alors
,
r B B'
.
Exemple :
Soit
ABC
un triangle. On construit, à l’extérieur de
ABC
, trois carrés sur les côtés
BC
,
AC
et
AB
de
centres respectifs
P,QetR
. Montrer en utilisant une rotation vectorielle que :
AP QR
AP QR

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C) Composée de deux réflexions
I- D’axes parallèles
La composée de deux réflexions d’axes parallèles est une translation.
En effet
'
ss
est une translation de vecteur
u 2IJ
où
I
est un point de
et
J
son projeté orthogonal sur
'
.
La composée n’est pas commutative :
''
s s s s
II- D’axes sécants
La composée de deux réflexions d’axes sécants est une rotation.
En effet
'
ss
est une rotation de centre
O
où
O
est le point
d’intersection de et
'
et d’angle
2 , ' 2    
.
Lorsque et
'
sont perpendiculaires en
O
alors
' ' O
s s s s s
c’est le seul cas où la composée est commutative.
III- Décomposition d’une translation
Toute translation de vecteur
u
peut se décomposer en le produit de deux
réflexions d’axes parallèles ; l’un des axes est arbitraire admettant
u
comme vecteur normal.
Soit une droite de vecteur normal
u
. Ils existent deux droites uniques
''
et
'
telles que :
' ''
u
t s s s s
où
1u
2
't  
et
1u
2
'' t
.
IV- Décomposition d’une rotation
Toute rotation d’angle et de centre
O
peut se décomposer en le produit de deux réflexions d’axes
sécants en
O
; l’un des axes est arbitraire passant par
O
.
Soit une droite passant par
O
. Ils existent deux droites uniques
''
et
'
telles que :
' ''
O,
r s s s s
où
1
O,2
'r
et
1
O, 2
'' r
.
D- Composée de deux rotations
I- De même centre
La composée de deux rotations
O,
r
et
O, '
r
de même centre
O
et d’angles
et '
est une rotation de centre
O
et d’angle
'  
.
La composition est commutative :
O, ' O, O, O, '
r r r r
.
Soit
o
R
l’ensemble des rotations de centre
O
. L’ensemble
o
R
muni de la loi de composition des
applications.noté
o,R
.est un groupe commutatif.
II- De centres différents
Soient
O,
r
et
O', '
r
deux rotations de centres différents
O
et
O'
et d’angles
et '
. Soit la droite passant
par
O
et
O'
. On peut décomposer
O,
r
et
O', '
r
:
12
O,
r s s s s
et
''
12
O', '
r s s s s
On trouve
alors :
''
22
11
O', ' O,
r r s s s s s s
. On ramène
ainsi la composée de deux rotations de centres différents à
celle de deux réflexions.
Deux cas sont possibles :
'
21 ' 0 2      
alors
O', ' O,
rr
est une translation.

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'
21 ' 0 2       
alors
O', ' O,
rr
est une rotation d’angle
'  
.
La composition n’est pas commutative :
O', ' O, O, O', '
r r r r
.
La composée de deux rotations de centres
différents est une translation ou une rotation.
Il n’y a pas de relation générale permettant de déterminer le centre de cette composée ou son vecteur.
La composée de deux symétries centrales est une translation :
BA 2AB
s s t
.
III-Composée d’une rotation et d’une translation
La composée d’une rotation
O,
r
et d’une translation
u
t
de vecteur
u
est une rotation d’angle .
La composition n’est pas commutative :
O, O,
uu
t r r t
.
Isométries du plan
I- Définition
On appelle isométrie du plan toute application qui conserve les distances.
Soit
f
une transformation qui à tout bipoint
A,B
associe le bipoint
A',B'
.
f
est une isométrie si et
seulement si
A'B' AB
.
Exemples ;
Les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries du plan.
Une homothétie de rapport k
k1
n’est pas une isométrie.
II- Propriétés
 Toute isométrie est une bijection et sa bijection réciproque est une isométrie.
 La composée de deux isométries est une isométrie.
 L’isométrie conserve le produit scalaire.
 L’isométrie conserve les angles géométriques.
Lemme 1 : Si
A
est un point invariant par une isométrie
f
alors pour tout point
M
d’image
M'
M' M
la
médiatrice de
MM'
contient
A
.
Lemme 2 : Si
A
et
B
sont deux points distincts invariants par une isométrie
f
alors tout point
M
de la droite
AB
est invariant par
f
.
III- Détermination des isométries du plan.
Une isométrie qui a trois points, non alignés, invariants est l’identité du plan.
Une isométrie qui a deux points invariants
A
et
B
, qui n’est pas l’identité du plan, est la réflexion
d’axe
AB
.
Une isométrie qui a un seul point invariant
A
est une rotation de centre
A
.
Une isométrie qui n’a pas de point invariant est une translation ou une symétrie glissante.
Conclusion : Une isométrie du plan est une réflexion ou la composée de deux ou de trois réflexions
au plus.
Les isométries du plan sont : les translations, les rotations, les réflexions et les symétries glissantes.
IV- Classification des isométries
Une isométrie conserve les angles orientés ou les transforme en leurs opposés.
IV- 1) Déplacement
Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée un déplacement.
Les déplacements du plan sont les translations et les rotations.
IV- 2) Antidéplacement

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Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est appelée un antidéplacement.
Les antidéplacements du plan sont les réflexions et les symétries glissantes.
V-Détermination d’une isométrie
Une isométrie est déterminée par la donnée de trois points non alignés et leurs images ou par sa nature et
deux points distincts et leurs images.
Soient
A,B
et
A',B'
deux bipoints tels que
A'B' AB 0
. Il existe un déplacement unique
transformant
A,B
en
A',B'
et il existe aussi un antidéplacement unique transformant
A,B
en
A',B'
V- Composée de deux isométries
 La composée de deux déplacements est un déplacement.
 La composée de deux antidéplacements est un déplacement.
 La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.
 La réciproque d'un déplacement est un déplacement et la réciproque d'un antidéplacement est
un antidéplacement.
VI- Symétrie glissante
VI-1) Description
Une symétrie glissante peut se présenter comme composée:
- De trois réflexions d’axes non parallèles et non concourants
- D’une rotation et d’une réflexion dont l’axe ne contient pas le centre de la rotation.
- D’une réflexion et d’une translation dont le vecteur n’est pas normal à l’axe de la réflexion.
VI-2) Forme réduite d’une symétrie glissante
Toute symétrie glissante
f
peut se mettre sous la forme :
uu
f s t t s
où
u
est un vecteur directeur de . C’est la
forme réduite de
f
.
On remarque que l’ordre de composition, dans ce cas, est
indifférent.
est appelé l’axe de la symétrie glissante et
u
son vecteur.
Le milieu d’un point et son image par
f
appartient à l’axe la
symétrie glissante :
M M' 
.
La composée
ff
est une translation de vecteur
2u
:
u u u u 2u
f f t s s t t t t
.
Exercice 1 :
ABCD
est un carré direct de centre
O
. On désigne par
I,J,K et L
les milieux respectifs des segments
AB , BC , CD et DA
.
1° a) Montrer qu’il existe un antidéplacement unique f tel que :
f B A
et
f A D
b) Montrer que f est symétrie glissante puis donner sa forme réduite.
2° On pose :
AC JL DA
g s s s
.
a) Donner la nature de g et déterminer
g D et g A
. Que remarquez-vous ?
b) En déduire la forme réduite de g et une décomposition f en produit de trois réflexions.
Exercice 2 :
Soit
ABC
un triangle rectangle en
A
et direct et
BC AC AB
f s s s
.
1° Montrer que
f
est un antidéplacement.
2° Montrer que
f
est symétrie glissante.
3° Donner la forme réduite de
f
.
Exercice 3 :