Complexe des Ecoles Privées EL

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Réflexions et rotations dans le plan
A) Réflexion
I-Définition :
Soit  une droite donnée. On appelle réflexion d’axe  la transformation qui à tout point M du plan
associe le M' tel que : si M  alors M'  M ; si M   alors   med  MM' .
Notation : la réflexion d’axe  est notée s  .
II-Propriétés
II-1)  est l’ensemble des points invariants par s  .
II-1) s  est involutive : s s  idp  s1  s .
II-1) Une droite perpendiculaire à  est globalement invariante par s  .
II-1) Un cercle dont le centre appartient à  est globalement invariant par s  .
III- Expression complexe
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O ; u , v . Soit s  la réflexion d’axe  . Pour


 a  1
tout point M d’affixe z , d’image M' d’affixe z' par s  on a : z'  az  b où 
ab  b  0
.
IV- Conservation :
La réflexion conserve le parallélisme, l’orthogonalité, l’alignement, le contact, l’intersection, le
barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires.
Transforme un angle orienté en son opposé.
Une droite perpendiculaire à l’axe d’une réflexion est globalement invariante par celle-ci.
Un cercle dont le centre appartient à l’axe d’une réflexion est globalement invariant par celle-ci.
B) Rotation
I- Définition
Soient  un point du plan et  un nombre réel donnés. On appelle rotation
de centre  et de d’angle  et on note r  ,  la transformation qui à pour tout
point M du plan associe le point M' tel que : si M   alors M'   et si

 M'  M
.
M   alors : 
M, M'    2 




II- Cas particuliers
La rotation d’angle   0  2  est l’application identique du plan.
La rotation d’angle   0  2  n’a qu’un seul point invariant qui est son centre.
La rotation d’angle     2  est une symétrie centrale ou un demi-tour.
La rotation d’angle  


2  est un quart de tour direct et celle d’angle     2  est un quart de tour

2
2
indirect.
III- Propriétés
Toute rotation est une bijection. La bijection réciproque de la rotation r  ,  est la rotation r  ,  .
L’image d’une droite est une droite qui forme avec elle l’angle de la rotation.
Tout cercle dont le centre coïncide avec celui d’une rotation est globalement invariant par celle-ci.
IV-Détermination d’une rotation
IV-1) Une rotation est déterminée par la donnée de deux points distincts et leurs images ou par la donnée
de l’angle et d’un point et son image.
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Si r  ,  :
A  A'
alors AB, A'B'    2  et A'B'  AB .
B  B'


IV-2) Le centre  est l’intersection des médiatrices des segments  AA'
et  BB' , si elles ne sont pas confondues sinon il est l’intersection des
droites  AB  et  A'B' . Il appartient aussi aux arcs définis par :
 MA,MA'    2 et  MB,MB'   2 .
V-Expression complexe
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O ; u , v . Soit


r  ,  la rotation de centre  d’affixe  .Pour tout point M d’affixe z ,
d’image M' d’affixe z' par r  ,  on a : z'   ei  z   .
a    1
est une
 a  1
Réciproquement : toute application d’expression complexe z'  az  b où 
rotation d’angle arga et de centre  d’affixe  
b
.
1 a
VI-Conservation :
La rotation conserve le parallélisme, l’orthogonalité, les angles orientés, l’alignement, le contact,
l’intersection, le barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires.
VII- Rotation vectorielle
VII-1) Définition
On appelle rotation vectorielle d’angle  notée  l’application qui à pour tout vecteur u du plan
 u'  u

vectoriel P associe le vecteur u' tel que : si u  0 alors u'  0 et si u  0 alors : 


 u,u'    2 

.
VII-2) Propriétés
La rotation vectorielle est une application linéaire : c’est-à-dire qu’elle vérifie les deux propriétés :
 
2

  
 
 

 u, v  P ,  u  v   u   v et  u,k  P  ,  ku  k u
Soit r  ,  la rotation de centre  et d’angle  . La rotation vectorielle  d’angle  est dite associée à
r  ,  . Dans ce cas nous avons : Si r  ,  :
A  A'
alors  AB  A'B' .
B  B'
 
 
r  ,   A   C
.
r  ,   B   D
Attention : Si  AB  CD alors on n’a pas nécessairement 
 
  AB  A'B'

Mais si 
alors r  ,  B   B' .
r  ,   A   A'
Exemple :
Soit ABC un triangle. On construit, à l’extérieur de ABC , trois carrés sur les côtés  BC ,  AC et  AB de
 AP  QR
 AP    QR 
centres respectifs P,Qet R . Montrer en utilisant une rotation vectorielle que : 
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C) Composée de deux réflexions
I- D’axes parallèles
La composée de deux réflexions d’axes parallèles est une translation.
En effet s ' s est une translation de vecteur u  2IJ où I est un point de 
et J son projeté orthogonal sur  ' .
La composée n’est pas commutative : s ' s  s s '
II- D’axes sécants
La composée de deux réflexions d’axes sécants est une rotation.
En effet s ' s est une rotation de centre O où O est le point
d’intersection de  et  ' et d’angle   2  ,  '  2  .
Lorsque  et  ' sont perpendiculaires en O alors s ' s  s s '  sO
c’est le seul cas où la composée est commutative.
III- Décomposition d’une translation
Toute translation de vecteur u peut se décomposer en le produit de deux
réflexions d’axes parallèles ; l’un des axes est arbitraire admettant u
comme vecteur normal.
Soit  une droite de vecteur normal u . Ils existent deux droites uniques  '' et  ' telles que :
t u  s ' s  s s '' où  '  t 1    et  ''  t 1    .
2
 u
2
u
IV- Décomposition d’une rotation
Toute rotation d’angle  et de centre O peut se décomposer en le produit de deux réflexions d’axes
sécants en O ; l’un des axes est arbitraire passant par O .
Soit  une droite passant par O . Ils existent deux droites uniques  '' et  ' telles que :
r O,  s ' s  s s '' où  '  r 1     et  ''  r 1     .
 O,  
 2 
 O,   
2 

D- Composée de deux rotations
I- De même centre
La composée de deux rotations r O,  et r O, ' de même centre O et d’angles  et  ' est une rotation de centre
O et d’angle    ' .
La composition est commutative : r O, ' r O,  r O, r O, ' .
Soit Ro l’ensemble des rotations de centre O . L’ensemble Ro muni de la loi de composition des
applications.noté  Ro ,  est un groupe commutatif.
.
II- De centres différents
Soient r O,  et r O', ' deux rotations de centres différents O et O' et d’angles  et  ' . Soit  la droite passant
par O et O' . On peut décomposer r O,  et r O', ' : r O,  s
alors : r O', ' r O,  s
'
1
1
s  s s 2 et r O', '  s' s  s s' On trouve
1
2
s s s2  s' s 2 . On ramène
1
ainsi la composée de deux rotations de centres différents à
celle de deux réflexions.
Deux cas sont possibles :
 2 1'     '  0  2  alors r O', ' r O, est une translation.
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2
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1'     '  0  2  alors
r O', ' r O, est une rotation d’angle
  ' .
La composition n’est pas commutative :
r O', ' r O,  r O, r O', ' .
La composée de deux rotations de centres
différents est une translation ou une rotation.
Il n’y a pas de relation générale permettant de déterminer le centre de cette composée ou son vecteur.
La composée de deux symétries centrales est une translation : sB s A  t 2AB .
III-Composée d’une rotation et d’une translation
La composée d’une rotation r O,  et d’une translation t u de vecteur u est une rotation d’angle  .
La composition n’est pas commutative : tu r O,  r O, t u .
Isométries du plan
I- Définition
On appelle isométrie du plan toute application qui conserve les distances.
Soit f une transformation qui à tout bipoint  A,B  associe le bipoint  A',B' . f est une isométrie si et
seulement si A'B'  AB .
Exemples ;
Les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries du plan.
Une homothétie de rapport k  k  1 n’est pas une isométrie.
II- Propriétés
 Toute isométrie est une bijection et sa bijection réciproque est une isométrie.
 La composée de deux isométries est une isométrie.
 L’isométrie conserve le produit scalaire.
 L’isométrie conserve les angles géométriques.
Lemme 1 : Si A est un point invariant par une isométrie f alors pour tout point M d’image M'  M'  M  la
médiatrice de  MM' contient A .
Lemme 2 : Si A et B sont deux points distincts invariants par une isométrie f alors tout point M de la droite
 AB  est invariant par f .
III- Détermination des isométries du plan.
Une isométrie qui a trois points, non alignés, invariants est l’identité du plan.
Une isométrie qui a deux points invariants A et B , qui n’est pas l’identité du plan, est la réflexion
d’axe  AB  .
Une isométrie qui a un seul point invariant A est une rotation de centre A .
Une isométrie qui n’a pas de point invariant est une translation ou une symétrie glissante.
Conclusion : Une isométrie du plan est une réflexion ou la composée de deux ou de trois réflexions
au plus.
Les isométries du plan sont : les translations, les rotations, les réflexions et les symétries glissantes.
IV- Classification des isométries
Une isométrie conserve les angles orientés ou les transforme en leurs opposés.
IV- 1) Déplacement
Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée un déplacement.
Les déplacements du plan sont les translations et les rotations.
IV- 2) Antidéplacement
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Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est appelée un antidéplacement.
Les antidéplacements du plan sont les réflexions et les symétries glissantes.
V-Détermination d’une isométrie
Une isométrie est déterminée par la donnée de trois points non alignés et leurs images ou par sa nature et
deux points distincts et leurs images.
Soient  A,B  et  A',B'  deux bipoints tels que A'B'  AB  0 . Il existe un déplacement unique
transformant  A,B  en  A',B'  et il existe aussi un antidéplacement unique transformant  A,B  en  A',B' 
V- Composée de deux isométries
 La composée de deux déplacements est un déplacement.
 La composée de deux antidéplacements est un déplacement.
 La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.
 La réciproque d'un déplacement est un déplacement et la réciproque d'un antidéplacement est
un antidéplacement.
VI- Symétrie glissante
VI-1) Description
Une symétrie glissante peut se présenter comme composée:
- De trois réflexions d’axes non parallèles et non concourants
- D’une rotation et d’une réflexion dont l’axe ne contient pas le centre de la rotation.
- D’une réflexion et d’une translation dont le vecteur n’est pas normal à l’axe de la réflexion.
VI-2) Forme réduite d’une symétrie glissante
Toute symétrie glissante f peut se mettre sous la forme :
f  s t u  t u s où u est un vecteur directeur de  . C’est la
forme réduite de f .
On remarque que l’ordre de composition, dans ce cas, est
indifférent.
 est appelé l’axe de la symétrie glissante et u son vecteur.
Le milieu d’un point et son image par f appartient à l’axe la
symétrie glissante : M  M'   .
La composée f f est une translation de vecteur 2u :
f f  t u s s tu  tu tu  t 2u .
Exercice 1 :
ABCD est un carré direct de centre O . On désigne par I,J,K et L les milieux respectifs des segments
 AB ,  BC , CD et  DA .
1° a) Montrer qu’il existe un antidéplacement unique f tel que : f  B   A et f  A   D
b) Montrer que f est symétrie glissante puis donner sa forme réduite.
2° On pose : g  sAC sJL sDA .
a) Donner la nature de g et déterminer g  D et g  A  . Que remarquez-vous ?
b) En déduire la forme réduite de g et une décomposition f en produit de trois réflexions.
Exercice 2 :
Soit ABC un triangle rectangle en A et direct et f  sBC sAC s AB .
1° Montrer que f est un antidéplacement.
2° Montrer que f est symétrie glissante.
3° Donner la forme réduite de f .
Exercice 3 :
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A et B sont deux points du plan orienté  P  . rA est la rotation de centre A et d’angle 
M'  rA  M  . rB est la rotation de centre B et d’angle
2
et M''  rB  M  .
3

et
3
1° Montrer que le point J milieu de  M'M'' est fixe et appartient au cercle de diamètre  AB .
2° a) Montrer que pour tout point M de  P  distinct de A et B on a :
 MM',MM''   MA,MB  2
 2 .
b) En déduire l’ensemble  des points M du plan  P  tels que M,M' et M'' soient alignés
Exercice 4 :




2  . On désigne par r la rotation de centre O et d’angle

2
2
 
et r ' la rotation de centre B et d’angle    et s la symétrie centrale de B .
 2
1° Déterminer la nature et les éléments caractéristique de f  r' s r .
2° Soit s' la symétrie orthogonale d’axe  AC  . Caractériser l’application g  s' f . A-t-on s' f  f s'
OABC est un carré tel que OA,OC 
3° On note par  le centre du carré. Soit h  t OA S' ( (t OA ) la translation de vecteur OA ).
Caractériser l’application h .
Exercice 5 :
Soit  C  un cercle de centre O et de rayon r. A et B sont deux points de  C  diamétralement
opposés.
1° A tout point M de  C  on associe le point M’ tel que ABMM' soit un parallélogramme.
a) Déterminer le lieu géométrique  1 du point M1 milieu de  MM' lorsque M décrit  C  privé de A et B
b) Déterminer le lieu géométrique  2 du point M 2 centre de gravité du triangle BM'M lorsque M
décrit  C  privé de A et B .
2° Soit M'' le symétrique de A par rapport à M et soit M 3 le point d’intersection des droites  OM'' et
 BM  . Déterminer le lieu géométrique  3 du point M 3 lorsque M décrit  C  privé de A et B .
3° On considère les points I et J milieux respectifs de  MA et  MB et le point K milieu du segment
 IJ  .
a) Déterminer le lieu géométrique  4 du point K lorsque M décrit  C  privé de A .
b) Soit L le point d’intersection des droites  BK  et  AM  .
 A,1 ,  B,1 ,  M,2 .
-Reconnaître le barycentre du système :  A,1 ,  M,2 .
- Déterminer le barycentre du système :
- Déterminer le lieu géométrique  5 du point L lorsque M décrit  C  privé de A et B .
Exercice 6 : ( SN 2004)
Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O et de coté a .
Soient I , J , K et L les milieux respectifs des segments  AB ,  BC ,  CD et  DA  et soit H
l’intersection des droites (AJ) et (DI) .
L’objectif de cet exercice est l’étude de quelques propriétés de la configuration précédente.
1° Faire une figure illustrant les données précédentes que l’on complétera au fur et à mesure. (On
pourra prendre AB  a  8cm et la droite (AB) horizontale)
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2° Etude d’une rotation r1 .
a) Montrer qu’il existe une unique rotation r1 qui transforme A en I et J en D .
b) Soit R le quart de tour vectoriel direct, montrer que R(AJ)  ID , en déduire l’angle de la rotation r1
.
c) On se propose, dans cette question de déterminer le centre  de la rotation r1 par trois
méthodes :
Méthode 1 : Montrer que les points  , A , H et I d’une part et  , J , H et D d’autre part sont
cocycliques en déduire une construction de  .
Méthode 2 : Déterminer r1 (L) puis r1or1 (L) et montrer que  appartient à (IL) en précisant sa position
sur (IL)
Méthode 3 : Déterminer une droite (  ) telle que r1  S(AC)oS(  ) , (où S est la réflexion par rapport à
l’axe associé) puis déterminer deux réels  et  tels que :   bar (A, );(C, ) .
3° Caractérisation de quelques transformations et étude de leurs actions sur le rectangle ABJL .
a) Déterminer r1 (B) . Déduire des questions précédentes l’image du rectangle ABJL par r1 .
b) Soit g l’antidéplacement qui transforme K en J et laisse C invariant. Reconnaître g et préciser
l’image du rectangle ABJL par g .
c) Soit r2 la transformation définie par : r2  S(JL)oS(AC) . Déterminer la nature de r2 , donner ses
éléments caractéristiques et préciser l’image du rectangle ABJL par r2 .
Exercice 7 :
On considère deux carrés directs ABCD et AEFG . On complète la figure par les parallélogrammes
BAGK et EADL . Soient P,Q,R,S les centres respectifs de ABCD, ADLE, AEFG, AGKB . On
considère la rotation vectorielle  d’angle

.
2
1° Etablir que (BE)  DG , DG  CK puis que (CL)  CK . En déduire que CLFK est un carré.
2° A l'aide d'une homothétie bien choisie, prouver que PQRS est un carré.
3° Etablir que (PA)  PB et que (AE)  AG . En déduire que (PE)  PK . Conclure.
4° Etablir que KE  FE  BE et que DF  DG  AE . En déduire que (BE)  DG et que (FE)  AE .
En déduire que (KE)  DF .Que peut-on en déduire pour les segments [KE] et [FD]?
Exercice 8 :
I) On considère, dans le plan orienté, un triangle ABC non isocèle. On cherche à construire trois
points P,Q et R tels que les triangles CQP,BPR et ARQ soient équilatéraux directs. On désigne par
r1 ,r2 et r3 les rotations d’angle

et de centres respectifs ABet C .
3
1° Question préliminaire.
Montrer que r1 r2 est une rotation dont le centre est différent de C . Que peut-on dire des centres des
rotations : r2 r3 et r3 r1 ?
2° Analyse de la configuration cherchée.
a) Faire un figure approximative.
b) Montrer que r1 r2 r3 est une symétrie centrale de centre Q .
c) Montrer que le triplet solution est unique.
3° Construction de la solution.
a) Construire le point C'  r1 r2 r3  C .
b) Construire les points P  r3  Q  et R  r2  P  .
c) Montrer que les triangles CQP,BPR et ARQ répondent à la question.
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II) On désigne par I,K et M les centres des triangles ARQ , BPRetCQP et cherche à étudier le triangle
IKM .
1° On désigne par r,r'et r'' les rotations d’angle
2
et de centres respectifs I K et M .
3
a) Montrer que r r' r'' est l’application identique.
b) En déduire que r r' est une rotation de centre M dont on précisera l’angle.
c) On pose r  s1 s2 et r'  s2 s3 où s1 ,s1et s3 sont des réflexions à déterminer.
d) Montrer alors que le triangle IKM est équilatéral.
2°Soit G le centre de gravité PQR .
a) Montrer que AP  3IG . Trouver deux autres relations similaires.
b) En utilisant des isométries adéquates, montrer que AP  BQ  CR .
c) En déduire que G est aussi le centre de gravité de IKM et de ABC .
3° On désigne par J le centre de gravité du triangle RAB , par L celui de PBC et par N celui de QCA .
Quelle est la nature du polygone IJKLMN ?
Exercice 9 :
Soit ABC un triangle rectangle en A, isocèle et direct. On note D le milieu de  AC .
1° Déterminer l’ensemble des isométries laissant le triangle ABC globalement invariant.
2° Soit  la droite parallèle à  AB  passant par C et D'  r    D  et f  sDD' sAD sBC . Montrer que
 A,  
2

sDA sBC  sBC s .En déduire que f est une symétrie glissante dont on précisera le vecteur et l’axe.
Exercice 10 :
ABC est un triangle de sens direct dans le plan orienté P . A l’extérieur de ce triangle, on construit
les carrés BAHI , BDEC , CFGA et les parallélogrammes BIJD et CEKF .


, r ' la rotation de centre C et d’angle
; t la
2
2
translation de vecteur BD ; t ' la translation de vecteur KF , f  t r et g  r' t' .

1° Montrer que f est la rotation d’angle
et de centre O centre du carré BDEC .
2
2° Quelle est l’image de A par f ?
3° Montrer que g  f .
4° Quelle est l’image de K par g ?
5° Déduire de tout ce qui précède que le triangle AJK est rectangle et isocèle en A et que O est le
On note r la rotation de centre B et d’angle
milieu de son hypoténuse.
Exercice 11 :
Dans un plan orienté, on considère deux points fixes distincts A et B .
On pose R A et R B les rotations de centre A et B respectivement et dont une mesure de l’angle est

.
2
Pour tout point M du plan, on note M1 et M 2 les images respectives de M par R A et R B .
1) On considère la transformation : T  RB R A1 .
a) Construire le point C image du point A par T .
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristique de T .
c) En déduire la nature du quadrilatère M1M2CA .
2) On suppose que le point M décrit le cercle ( ) de diamètre  AB .
a) Déterminer et construire l’ensemble   2  décrit par le point M 2 quand M décrit    .
b) Soit  le milieu du segment  AB et  ' le milieu du segment  BC . Comparer les vecteurs  '
et AC .
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c) Déterminer l’ensemble décrit par le point I milieu de M1M 2  quand M décrit    .
Exercice 12 :


Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC , tel que : AB  AC et AB, AC 
J , K les milieux respectifs de  BC ,  CA  et  AB .
On appelle R la rotation de centre I et l’angle dont une mesure est

 2 Soient I ,
2

et T la translation de vecteur
2
1
BC . On pose f  R T et g  T R .
2
1° a) Déterminer l’image de K par f et l’image de J par g .
b) Préciser la nature et les éléments caractéristique de f et g .
2° a) Déterminer la nature de la transformation g f 1 ( f 1 étant l’application réciproque de f )
b) Chercher l’image de A par g f 1 et caractériser alors cette application.
c) Soit M un point quelconque du plan ; M1 l’image de M par f et M 2 l’image de M par g .
Quelle est la nature de quadrilatère ACM2M1 ?
Exercice 13 :
On considère le plan orienté P ; soient A et B deux points distincts de P ; pour tout point M de P
 
on appelle M' l’image de M par la rotation rA de centre A et d’angle    et M'' l’image de M
 3
 2 
par la rotation rB de centre B et d’angle   .
 3 
1
1) De l’étude de  B  A , déduire que pour tout point M de  P  le milieu de  M'M'' est un point
fixe J dont on déterminera qu’il appartient au cercle de diamètre  AB .
2) Le but de cette question est de déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M , M' , M''
sont alignés.

 

a) Pour tout point M de  P  distinct de A et B , démontrer que MM',MM''  MA,MB 

 2 
2
b) En déduire l’ensemble des points M du plan tels que M , M' , M'' soient alignés.
Exercice 14 :
Dans un plan orienté, on considère un carré ABCD de sens direct, de centre O .
On pose : I  D  C ; K  S AB (C) ; J  B  K et I'  I  J .
1° a) Montrer qu’il existe une seule rotation r telle que : r(D)  B et r(I)  J . Caractériser r .
b) Quelle est la nature du triangle AIJ ?
2° a) Vérifier que le quadrilatère IOJB est un parallélogramme, en déduire que I'  (BD) .
b) Soit  l’antidéplacement défini par  D)  B et (I)  J . Montrer que  est une symétrie glissante,
préciser son axe, puis déterminer son vecteur.
3° On désigne par r ' la rotation de centre A et d’angle

. On pose g  r' t DB SDB . Déterminer g(D)
2
et g(I) . Caractériser alors g .
4° a) Montrer que S AB S AC  r , en déduire que r(C)  K .
b) Déterminer et construire la droite  image de la droite  BC  par r.
5° a) Montrer que t CK  S S AB .
b) Caractériser l’application h  S t 2CA .
Exercice 15 :
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Soit ABCD un carré direct, de centre O .
1
3
On désigne par  la médiatrice du segment  AD ;  le point définie par A  AD et
f  S h A;2 avec S  la symétrie orthogonale d’axe  et h A;2  l’homothétie de centre A et de rapport 2
1° Quelle est la nature de f ? Déterminer le rapport de f
2° Déterminer f    . Que peut-on déduire ?
3° a) Déterminer f  O  .
b) Soit B' le milieu du segment  B  .
Montrer que l’axe  ' de f est la médiatrice du segment  OB' .
4) On pose t  h A;2 h 1  .
 ; 
 2
a) Montrer que t est une translation.
b) Déterminer t    . En déduire le vecteur u de t .
c) Soit  ' l’axe de f ; montrer que S '  S t
d) En décomposant convenablement t , montrer que  ' est la droite passant par  et
perpendiculaire à  AD  .
Exercice 16 :



 2  .
2
Soit M un point de la droite  BD  , on note P le projeté orthogonal de M sur la droite  AB  et Q le
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que AB, AD 
projeté orthogonal de M sur la droite  AD 
A/ On note P' et Q' les projeté orthogonaux de M respectivement sur  DC  et  BD  .
1) On suppose M  B .
a) Soit h l’homothétie de centre B telle que h(D)  M . Quelle sont les images par h des points A


et C ? Montrer que PM,MQ'  

 2  .
2
b) Démontrer qu’il existe une rotation r telle que : r(P)  M et r(M)  Q' .
Donner les éléments caractéristiques de r . Quelle est l’image de Q par r ?
2° En déduire que, pour tout M de la droite ; la droite  MC est orthogonale à la droite  PQ  .
B/ Pour un point M de la droite  BD  on note  M la médiatrice de  PQ  .
1)a) Démontrer qu’il existe une rotation r1 telle que r1 (B)  A et r1 (A)  D .
Donner les éléments caractéristiques de r1 .
b) Quelle est l’image de P par r1 ?
2) En déduire que lorsque M décrit la droite  BD  la droite  M passe par un point fixe.
3) Soit m le milieu du segment  PQ ; Déterminer l’ensemble des points m lorsque le point M
décrit le segment  BD .
Exercice 17 :
On considère trois triangles OAB , OCD et OEF équilatéraux et directs. On désigne par P,Qet R les
milieux respectifs des segments  BC ,  DE et  FA . Cet exercice propose trois méthodes pour montrer
que le triangle PQR est équilatéral direct.
I) Rotation vectorielle :
1° Etablir les deux égalités suivantes : 2PQ  CD  BO  OE et 2PR  CO  OF  BA .
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2° Soit  la rotation vectorielle d’angle

. Montrer que  PQ  PR . Conclure.
3
 
II) Transformations :
1° Faire une figure sur laquelle vous faites apparaitre les points P',Q'et R' tels que les quadrilatères
BOCP',DOEQ'et FOAR' soient des parallélogrammes. Soit r la rotation de centre O et d’angle

.
3
2° On considère la transformation f  r t BO .
a) Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angle.
b) Déterminer f  B  et préciser le centre de f .
c) Déterminer f  P' .
d) En déduire que le triangle P'DA est équilatéral direct.
3° On considère la transformation g  tOA r t DO .
a) Montrer que g est une rotation dont on précisera l’angle.
b) Déterminer g  D  et préciser le centre de g .
c) Déterminer g  Q' et la nature du triangle P'Q'R' .
d) En utilisant une homothétie adéquate, montrer que le triangle PQR et équilatéral direct.
III) Nombres complexes :
On munit le plan d’un repère orthonormé direct d’origine O .
1° Exprimer les affixes z B ,z D et z F respectivement en fonction de z A ,zC et z E .
2° a) Exprimer alors z P ,zQ et z R .
b) Vérifier que z R  z P  e
i

3
z
Q

 z P . Conclure.
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