Cours de physique

Physique appliquée
à l'Ergothérapie
HAUTE ECOLE
DE LA PROVINCE DE LIEGE
ANNEE SCOLAIRE 2009-2010
X.RENARD
TABLES DES MATIERES
Tables des matières ............................................................................................. 2
Statique des fluides .............................................................................................. 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Introduction ............................................................................................................................................... 4
Masse volumique ...................................................................................................................................... 4
Densité d'une substance ............................................................................................................................ 5
Le poids volumique ................................................................................................................................... 6
La pression dans les fluides ...................................................................................................................... 6
La pression atmosphérique ........................................................................................................................ 9
Le principe de Pascal ................................................................................................................................ 9
La poussée d'Archimède ......................................................................................................................... 11
Le poids apparent, la flottabilité.............................................................................................................. 12
QCM sur la statique des fluides .............................................................................................................. 13
Dynamique ......................................................................................................... 14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
La dynamique et les lois de Newton ....................................................................................................... 14
La notion de force ................................................................................................................................... 14
Classification des forces.......................................................................................................................... 14
Caractéristiques d'une force .................................................................................................................... 15
Mesure de l'intensité d'une force et unité. ............................................................................................... 15
La première loi de Newton : le principe d'inertie .................................................................................... 16
La deuxième loi de Newton : la loi fondamentale de la dynamique. ...................................................... 18
La troisième loi de Newton : principe de l'action et de la réaction. ........................................................ 20
La loi de la gravitation universelle .......................................................................................................... 21
La force de réaction normale................................................................................................................... 22
La force de tension .................................................................................................................................. 22
Les forces de frottement .......................................................................................................................... 22
Résolution des exercices et problèmes de dynamique ............................................................................ 27
Exercices ................................................................................................................................................. 27
Statique ............................................................................................................... 29
1.
2.
3.
4.
Introduction ............................................................................................................................................. 29
Le moment d'une force ............................................................................................................................ 29
Conditions d'équilibre ............................................................................................................................. 31
Le centre de gravité ................................................................................................................................. 32
Travail-Energie-Puissance en mécanique ....................................................... 35
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Le travail ................................................................................................................................................. 35
La puissance ............................................................................................................................................ 39
L'énergie Mécanique ............................................................................................................................... 40
Notion d'énergie mécanique .................................................................................................................... 42
Principe de conservation de l'énergie mécanique .................................................................................... 42
Théorème de l'énergie mécanique ........................................................................................................... 43
Exercices ................................................................................................................................................. 43
Les machines simples ........................................................................................ 44
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Introduction ............................................................................................................................................. 44
L'avantage mécanique ............................................................................................................................. 44
Le plan incliné......................................................................................................................................... 44
Les leviers ............................................................................................................................................... 45
Le treuil ................................................................................................................................................... 47
La poulie ................................................................................................................................................. 48
Le rendement d'une machine simple ....................................................................................................... 51
Appendice 1 : Les vecteurs ............................................................................... 52
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rappel de la notion de vecteur. ............................................................................................................... 52
Addition de deux vecteurs de même ligne d'action, même intensité et des sens opposé........................ 52
Addition de vecteurs de même origine .................................................................................................... 52
Addition de vecteurs consécutifs ............................................................................................................ 53
Soustraction de vecteurs.......................................................................................................................... 53
Multiplication d'un vecteur par un scalaire ............................................................................................. 53
2
7.
8.
9.
10.
Composantes d'un vecteur ....................................................................................................................... 53
Exercices ................................................................................................................................................. 54
Le produit scalaire ................................................................................................................................... 55
Le produit vectoriel ................................................................................................................................. 56
Bibliographie...................................................................................................... 57
3
STATIQUE DES FLUIDES
1.
INTRODUCTION
Les liquides et les gaz s'écoulent. C'est pourquoi on les appelle des fluides. La statique des fluides étudie les
fluides en équilibre, c'est-à-dire au repos.
De nombreux fluides sont présents au sein du corps humain : l'eau (60 à 80 % de la masse corporelle), le sang, la
salive, …, mais aussi l'air que nous respirons !
Dans un liquide, les molécules sont agitées et libres de se déplacer. Les forces intermoléculaires sont beaucoup
moins importantes que dans un solide.

Les liquides ne sont pas expansibles, ils ont un volume propre et ils épousent toujours la forme de leur
contenant.

Les liquides sont incompressibles, leur densité est indépendante de la pression.
Dans un gaz, les molécules sont très éloignées les unes des autres et très agitées dans tous les sens. Les forces
intermoléculaires sont quasi nulles.
2.

Les gaz possèdent la capacité d'occuper systématiquement la totalité du volume disponible: ils sont
expansibles, ils se dilatent pour remplir leur contenant.

Les gaz sont compressibles, leur densité varie avec la pression.
MASSE VOLUMIQUE
La masse volumique d'un corps est la grandeur qui mesure le rapport entre la masse d'un corps et le volume
qu'il occupe. On pourrait dire que la masse volumique caractérise la concentration de la matière dans un volume
donné.
m

V
L'unité SI1 de la masse volumique est le kilogramme par mètre cube (kg/m3).
Pour un fluide incompressible, la masse volumique est constante.
Le tableau suivant présente les différentes valeurs de masse volumique pour différentes substances à 0°C et à la
pression atmosphérique moyenne.
Substances-états
Hydrogène (G)
Hélium (G)
Air (G)
Oxygène (G)
Bois de pin (S)
Alcool éthylique (L)
Sang (L)
Eau de mer (L)
(G) : Gaz
masses volumiques
(kg/m3)
0,09
0,18
1,29
1,43
0,43.103
0,8.103
1,05.103
1,025.103
(L) : Liquide
Substances-états
Aluminium (S)
Fer (S)
Cuivre (S)
Argent (S)
Plomb (S)
Mercure (L)
Or (S)
Platine (S)
masses volumiques
(kg/m3)
2,7.103
7,86.103
8,9.103
10,5.103
11,3.103
13,6.103
19,3.103
21,4.103
(S) : Solide
Question : Interpréter les valeurs observées dans le tableau.
1
SI : système international d'unités
4
2.1.
Mesure simple de la masse volumique d'un liquide : méthode du flacon jaugé (au labo)
On utilise un flacon gradué en ml par exemple.

peser le flacon vide : m1

remplir le flacon d'un certain volume V du liquide dont on veut calculer la masse volumique

peser le flacon rempli : m2

masse du liquide : m = m2 –m1
On en déduit la masse volumique :  
3.
m
V
DENSITE D'UNE SUBSTANCE
La densité d'une substance est le rapport entre la masse volumique de cette substance et la masse du même
volume d'eau (prise comme référence).
Remarque : eau = 1000 kg/m3, 1 kg/dm3 ou 1g/cm3 à 4°C et 1 atm.
d
ρ
ρ eau
d est un nombre sans dimension ("sans unité")
D'après la formule, il est évident que la densité de l'eau pure à 4°C et à 1 atm est égale à 1.

Si un objet a une densité supérieure à 1, il coule dans l'eau.

Si sa densité est inférieure à 1, il flotte à la surface de l'eau.
Comme la masse volumique de l'eau est égale 1 g/cm3 ou 1000 kg/m3, la densité de n'importe quelle substance
équivaut exactement à l'expression numérique de sa masse volumique en g/cm3 ou à 10-3 fois cette valeur
exprimée en kg/m3.
Par exemple, le mercure (Hg) a une masse volumique de 13600 kg/m³, soit 13,6.10³ kg/m³ et une densité de 13,6.
Le corps humain est légèrement moins dense que l'eau, surtout quand les poumons sont remplis d'air et donc il
flotte. La densité moyenne varie d'une personne à l'autre. La graisse du corps, qui représente environ 18 % pour
l'homme et 28 % pour la femme, a une densité de 0,8. Les muscles et les os ont une densité respective de l'ordre
de 1 et 1,5-2. Un corps maigre et musclé a tendance à couler. En général, les jeunes gens et les femmes ont une
densité plus basse que la moyenne, mais 0,98 est une valeur courante (avec les poumons remplis d'air).
Une personne flotte avec au plus 2 % de son corps hors de l'eau. La densité de l'eau de mer étant plus élevée que
celle de l'eau pure, une plus grande partie du corps (de l'ordre de 4 %) flotte hors de l'eau.
Le problème des humains, en nageant, est de garder la tête, qui est dense, au-dessus de l'eau pour pouvoir
respirer.
Exercices :
1) Le sang a une densité égale à environ 1,059. Que vaut sa masse volumique en kg/m³, g/m³, kg/dm³ et g/dm³ ?
2) On ajoute 22,5 cm3 d'étain à 30 cm3 de plomb dont la densité est de 11,4. La soudure de plombier ainsi
obtenue a comme densité 9,6. Que vaut la densité de l'étain ? (Rép. : 7,2)
5
4.
LE POIDS VOLUMIQUE
Le poids volumique  d'un corps est la grandeur qui mesure le rapport entre le poids FP d'un corps et le
volume V qu'il occupe.

FP mg

 .g
V
V
L'unité SI du poids volumique  est le newton par mètre cube (N/m3)
5.
5.1.
LA PRESSION DANS LES FLUIDES
La pression : définition
Soit un volume de gaz dans un récipient et imaginons qu'à l'extrémité de ce récipient il y a un piston qui peut être
déplacé sans frottement. (on supposera que l'on a réalisé le vide à l'extérieur)
Lorsque les molécules de gaz se déplacent à l'intérieur du récipient avec des vitesses différentes, elles cognent le
piston. Si celui-ci peut se mouvoir sans frottement, à chaque fois qu'il reçoit un choc, il est progressivement
poussé hors du récipient. Si on veut l'empêcher de sortir, il faut exercer une force F pour le maintenir en place.
On peut définir la pression P comme une force par unité de surface, où la force F agit perpendiculairement à la
surface S.
S
vide
P
F
S
F
V
La pression est un scalaire; en chaque point, elle a une valeur mais pas de direction.
L'unité SI de la pression est le pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m².
Il existe de nombreuses autres unités de pression : l'atmosphère (atm), le bar, le mm de mercure, ...
Le concept de pression est particulièrement utile dans l'étude des fluides. On sait par expérience qu'un fluide
exerce une pression dans toutes les directions. Ainsi les nageurs et les plongeurs ressentent la pression de l'eau
sur toute la surface de leur corps.
De plus, la force due à la pression que les fluides au repos exercent agit toujours perpendiculairement à toute
surface avec laquelle ils sont en contact. En effet, si cette force présentait une composante parallèle à la surface,
alors, d'après la troisième loi de Newton (action-réaction), cette surface exercerait sur le fluide une force de
réaction de sens opposé qui comporterait également une composante parallèle à la surface du fluide. Une telle
composante obligerait le fluide à se déplacer (puisqu'il n'a aucune rigidité) alors qu'on a fait l'hypothèse de départ
que le fluide était immobile.
On peut aussi le constater si on remplit une bouteille en plastique percée de trous : tous les jets seront
perpendiculaires à la surface et ils seront d'autant plus "puissants" qu'ils sont près du fond.
6
Exercices
1) Un fakir pèse 70 kg. II se couche sur une planche hors de laquelle ressortent 5000 clous. Si l'assise de
chacun de ceux-ci est de 1 mm², quelle est la pression qui s'exerce sur le dos du fakir ?
Comparez cette pression à celle obtenue lorsque ce fakir se tient en équilibre sur un pied; la surface
plantaire du pied étant de 75 cm².
2) Quelle force faut-il exercer pour décoller une ventouse de 10 cm² ?
Est-il possible pour une personne de décoller une ventouse de 5 dm 2 de surface ?
5.2.
P0
Principe fondamental de la statique des fluides
La pesanteur est la cause de la pression due aux fluides.
Soit un récipient rempli d'un liquide de masse volumique .
h
La pression atmosphérique P0 agit sur la surface libre de ce liquide.
Considérons un point situé à une profondeur h sous la surface (voir figure). A cette
profondeur, la pression due au liquide provient du poids de la colonne qu'il forme audessus du point en question.
On peut montrer que la pression en ce point est égale à :
P  P0  ρgh
P0 : la pression atmosphérique en pascals (Pa)
P : la pression en pascals (Pa)
 : la masse volumique du liquide (kg/m³)
h : la profondeur (m)
On constate que la pression augmente avec la profondeur et avec la masse volumique (et donc la densité) du
liquide.
Le terme "gh" est appelé parfois pression manométrique car c'est celle que l'on mesure quand on utilise un
manomètre (le zéro d'un manomètre correspond à la pression atmosphérique).
Si la surface libre est soumise à une pression PS différente de la pression atmosphérique (due à d'autres fluides ou
à un système mécanique), la formule devient évidemment :
P  PS  gh
Il en résulte que : la différence de pression entre deux points A et B d'un liquide en équilibre est égale au poids
de la colonne de ce liquide (surface unitaire) qui sépare ces deux points.
P  PB  PA  gh
A

h
B
7
L'équation P  P0  ρgh implique que la pression est la même en tous les points situés à un même niveau
horizontal d'un même fluide au repos. Par conséquent, la pression en tout point du fond horizontal et plat d'un
récipient contenant un fluide est la même indépendamment de la forme du récipient, car la pression dépend
seulement de la profondeur au-dessous de la surface libre du liquide.
D'autres constatations qui en découlent :

La surface libre d'un liquide en équilibre et au repos est plane et horizontale.

La surface de séparation de deux liquides non-miscibles est plane et horizontale.

Principe des vases communicants : Soit un récipient rempli d'un liquide et constitué de plusieurs
colonnes communicantes de différentes formes. La pression à la surface du liquide, dans toutes les
colonnes communicantes, est égale à la pression atmosphérique. Le niveau de la surface du liquide
dans toutes les colonnes doit donc être le même, indépendamment de la forme de la colonne.
Application en médecine
Pour que le fluide d'une perfusion coule dans la veine d'un patient, il faut que la pression manométrique de la
poche plastique (égale à gh) excède celle du sang dans la veine (environ 2kPa). La poche doit donc être placée
à une hauteur d'au moins 20 cm au-dessus de l'aiguille. (à vérifier par calcul !)
Exercices
1) Calculez la différence de pression sanguine entre la tête et les pieds d'une personne de 2 m. La densité du
sang est de 1,06. (Rép. : 20797 Pa)
2) Le record du monde de plongée "no limits" est de l'ordre de 170 m. Quelle est la valeur de la pression totale
agissant sur le plongeur à cette profondeur sachant que la masse volumique de l'eau de mer est de 1,030
kg/m³ ? (Rép. : 1819056 Pa)
5.3.
La pression (tension) artérielle
Dans le corps humain, la circulation sanguine est assurée par le cœur qui fait office de
pompe. Le sang circule dans des vaisseaux sanguins. La pression artérielle désigne la
pression sanguine dans les grosses artères situées près du cœur. La pression élevée dans
ces artères pousse continuellement le sang vers des régions où la pression est plus faible
(vers les artérioles, les capillaires, les veinules puis les veines).
Le sang circule grâce aux différences de pression : une pression maximale (pression
systolique) développée pendant le pompage (12 cm Hg) et une pression minimale
(pression diastolique) lorsque le cœur se recharge en sang (7 cm Hg). Ces deux valeurs
sont les valeurs "classiques" de tension artérielle mesurée par un médecin ("tension de
12/7").
A titre d'exercice, observez le tensiomètre ci-dessous et les différentes indications.
Sphygmomanomètre (ou
tensiomètre) pour mesurer la
tension artérielle.
8
5.4.
Mesure de la pression artérielle par cathétérisation
Afin de mesurer la pression artérielle produite par le cœur, on introduit une
canule (ou un cathéter) dans une artère du bras. La canule est un petit tube
stérilisé remplie d'une solution saline. Elle est reliée à un manomètre à
mercure. Du fait de la pression générée par le cœur, la solution saline pousse
le mercure et une lecture de pression relative est possible (qui vaut environ
100 mm Hg).
La pression artérielle absolue est égale la pression relative augmentée de la
pression atmosphérique.
6.
LA PRESSION ATMOSPHERIQUE
Au niveau de la mer, la pression atmosphérique atteint en moyenne 1,013.10 5 Pa. Cette valeur sert à définir une
unité de pression couramment utilisée, l'atmosphère (atm) :
1 atm = 1,013.105 Pa
Une autre unité de pression, le bar, s'emploie parfois en météorologie. Par définition, 1 bar = 1,00.10 5 Pa. La
pression atmosphérique équivaut donc à un peu plus que 1 bar.
La pression atmosphérique est due au poids de l'atmosphère (de l'air) qui agit sur tous les corps baignant dans
celle-ci. Le corps humain résiste à cette pression considérable car les cellules vivantes maintiennent une pression
intérieure équivalente à la pression atmosphérique.
 Rechercher à combien de mm Hg, de m H2O, de kgf/cm², d'atm et de bar correspond la pression
atmosphérique.
7.
LE PRINCIPE DE PASCAL
Une pression externe appliquée à un fluide confiné à l'intérieur d'un
récipient fermé est transmise dans toutes les directions et avec la même
intensité à travers tout le liquide.
Un bon nombre d'appareils sont basés sur ce principe, entre autres les freins et les presses hydrauliques. Dans ce
dernier cas, on produit une force considérable à partir d'une force relativement peu importante, en construisant la
surface d'un piston (à la sortie) plus large que l'autre (à l'entrée).
Nous appliquons également cette loi tous les jours en pressant sur notre tube de dentifrice. En effet, la pression
exercée se propage de proche en proche et fait sortir la pâte du tube.
F
S'
S
F'
9
F
qui se transmet en tout point du liquide, en particulier au grand piston qui
S
F F'
est alors soumis à une force verticale vers le haut F' telle que P = =
et donc :
S S'
La force F produit une pression P =
F' S'

F S
Bien que les pressions sur les deux cylindres soient égales, les forces ne le sont évidemment pas. Si S' = 100S, la
force utile F' est 100 fois plus grande que la force appliquée F. On peut alors soulever une voiture de 20000 N en
exerçant une force de 200 N.
En l'absence de pertes d'énergie (due au frottement), il y a conservation de l'énergie mécanique de sorte que le
F' d S'
 =
travail de F est égal au travail de F' :
W = W' 
F.d = F'.d'

F d' S
si d et d' sont les déplacement des deux pistons.
Par conséquent, si S' = 100S quand le petit piston descend de 100 cm, le grand piston monte de 1cm pour le
même travail.
Autres applications : les ponts élévateurs de voiture, les chaises de coiffeur, les vérins des bulldozers, …
Exercice
Une seringue contenant de l'insuline est munie d'un piston dont la surface est 1 cm². L'aiguille a une ouverture
de 1 mm². Si on fait une injection d'insuline en appuyant avec une force de 10 N,
(a) Que vaut la pression à la sortie de l'aiguille ?
(b) Avec quelle force l'insuline est-elle injectée dans le muscle ?
10
8.
LA POUSSEE D'ARCHIMEDE
L'expérience montre qu'un objet immergé semble plus léger : l'eau le pousse vers le haut. Par exemple, un
bouchon de liège ou un bois plongé dans l'eau remonte à la surface et on éprouvera de grandes difficultés à
enfoncer un seau vide dans l'eau.
Archimède (3ème siècle avt J-C) a précisé le phénomène en énonçant ce qui sera appelé le principe d'Archimède :
Tout corps plongé dans un fluide, subit de la part de celui-ci une poussée
verticale, dirigée de bas en haut et dont l'intensité est égale au poids du
fluide déplacé par ce corps.
L'expression "fluide déplacé" signifie un volume de fluide égal à celui de l'objet immergé, ou de la partie de
l'objet qui est submergée quand celui-ci flotte. En d'autres termes, il s'agit du fluide qui se trouvait à l'endroit
qu'occupe maintenant l'objet.
Cette poussée vers le haut s'explique par le fait que, dans un fluide, la pression augmente avec la profondeur. Par
conséquent, la pression agissant sur la surface inférieure d'un objet immergé est plus grande que celle qui
s'exerce sur sa surface supérieure.
Considérons un cylindre de hauteur h dont les surfaces inférieures et supérieures ont une aire S et qui est
entièrement immergé dans un fluide de masse volumique .
Le fluide exerce contre la surface supérieure de ce solide
une pression PA= .g.hA dont la force FA = PA.S est
orientée vers le bas. Il exerce également sur le fond du
cylindre une force vers le haut égale à FB = PB.S = .g.hB.S.
Les forces exercées par le fluide sur la surface latérale
s'équilibrent parfaitement.
FA = PA x S
A
L'intensité de la force résultante, appelée poussée
d'Archimède A, est donc égale à :
h
B
A = FB – FA = PBS – PAS = g(hB – hA)S = ghS

= gVimmergé
Or gVimmergé est le poids du fluide déplacé par le solide.
FB = PB x S
En résumé, la poussée d'Archimède A agissant sur un corps plongé dans un fluide en équilibre est une force
verticale vers le haut dont l'intensité est égale au poids du fluide déplacé.
A = fluide.g.Vimmergé
Unité SI de la poussée d'Archimède : le newton (N)
Si l'objet est totalement immergé, la poussée d'Archimède s'applique au centre de gravité de celui-ci.
Par contre, si l'objet flotte à la surface, le point d'application de la poussée d'Archimède sera le centre de gravité
du volume immergé de l'objet, appelé centre de poussée.
11
9.
LE POIDS APPARENT, LA FLOTTABILITE
Le poids apparent FPapp est la résultante entre le poids FP d'un corps et la poussée d'Archimède A .
Par conséquent : FPapp = FP + A
Si on choisit un sens positif vers le bas, cette relation devient :
FPapp = FP – A.
Supposons que l'on immerge complètement un objet dans un fluide puis qu'on le lâche (à partir du repos).
Trois cas peuvent se présenter :

Si l'objet pèse plus lourd que le volume total du fluide qu'il peut déplacer, il coule. Dans ce cas, la
masse volumique du corps est supérieure à la masse volumique du fluide : corps > fluide et donc FP > A

Si l'objet est moins lourd que le fluide de même volume, il s'y enfonce jusqu'à ce que le poids du fluide
déplacé par sa partie immergée équilibre son poids total : corps < fluide et donc FP < A
Quand l'objet flotte et est à l'équilibre : FP = A = fluide.g.Vimmergé

Si le poids de l'objet est exactement égal au poids du fluide qu'il peut déplacer, le corps ne peut ni
couler, ni flotter partiellement : il est totalement immergé en équilibre statique, n'importe où audessous de la surface du liquide. Son poids apparent FPapp est nul puisque FP = A.
Remarque
L'air étant un fluide, il exerce aussi une poussée vers le haut. Par conséquent, les objets ordinaires y ont un poids
moindre que dans le vide. Cependant, sa masse volumique étant extrêmement faible, son effet sur les solides
s'avère généralement peu important. Certains objets flottent néanmoins dans l'air, comme par exemple les ballons
gonflés à l'hélium.
Exercice :
Un objet pèse 100 N dans l’air et 75 N quand il est plongé dans de l’eau.
a)
Quelle est la densité de cet objet ?
b)
Quel est son volume ?
12
10. QCM SUR LA STATIQUE DES FLUIDES
1) Un gaz sous une pression P est enfermé dans une seringue.
Quelle force F exerce le gaz sur le piston de surface F ?
𝑃
a) F =
𝑆
b) F = P. S
c) F = P
𝑆
d)
F=
𝑃
2) Quelle est l’unité de pression dans le système international ?
a)
b)
c)
d)
le joule par mètre carré
le pascal
le newton par mètre cube
le bar
3) Au sein d’un réservoir contenant un liquide uniforme et au repos, la pression est plus élevée à la surface
qu’au fond.
a) Vrai
b) Faux
4) Comment s’écrit la loi de l’hydrostatique entre deux points 1 et 2 d’un fluide de masse volumique 
homogène et au repos ?
a) P1−.g.h1 = P2−.g.h2
b) P1+ .g.h1 = P2+ .g.h2
c) P1+ .h1 = P2+ .h2
5) Quelle est l’intensité de la poussée d’Archimède sur un flotteur ?
a) elle est égale au poids d’un volume de liquide égal au volume immergé de flotteur
b) elle est égale au poids du flotteur
c) elle est égale au poids d’un volume de liquide égal au volume du flotteur
6) A quelle condition un flotteur flotte-t-il ?
a) si sa masse volumique est plus élevée que celle du liquide
b) si sa masse volumique est plus faible que celle du liquide
c) si sa masse volumique est égale à celle du liquide
13
DYNAMIQUE
1.
LA DYNAMIQUE ET LES LOIS DE NEWTON
La dynamique est le domaine de la physique qui étudie la relation entre le mouvement d'un corps et la ou les
forces qui le produisent. Si on connaît les caractéristiques des forces appliquées à un corps, la dynamique
consiste à en déduire les caractéristiques du mouvement de ce corps.
Les effets des forces sont complètement décrits par trois lois générales énoncées par Isaac Newton (1642-1727) :
 1ère loi : principe d'inertie
 2ème loi : loi fondamentale de la dynamique
 3ème loi : principe d'action-réaction
Nous les étudierons dans la suite.
Remarquons que les progrès réalisé en physique lors du 20 ème siècle ont montré les limites de la mécanique
newtonienne pour décrire les phénomènes à l'échelle atomique ou lorsque les vitesses deviennent proche de la
vitesse de la lumière (300 000 km/s ou 3.108 m/s).
Dans le cadre de ce cours, on se limitera à l'étude d'objets macroscopiques se déplaçant à des vitesses
"humaines" courantes et pour lesquels les lois de Newton sont parfaitement adaptées.
2.
LA NOTION DE FORCE
La force est une grandeur physique dont la définition n'est pas si simple.
Aristote2 croyait qu'une force était ce qui crée le mouvement. Un objet est au repos, il ne subit aucune force. Si
on lui applique une force, par exemple de poussée, il sera mis en mouvement. Cela paraît évident.
Galilée3 puis Newton vont montrer que cette "évidence" est fausse. Par exemple, aussi surprenant que cela
paraisse, un objet en déplacement rectiligne uniforme (c'est-à-dire se déplaçant à vitesse constante sur une droite)
ne subit aucune force. S'il ne lui arrive aucun accident, s'il n'y a ni frottement, ni résistance du milieu, il poursuit
sa droite éternellement, avec toujours la même vitesse ...
En fait, la force est la grandeur qui modifie le mouvement; soit en intensité (vitesse), soit en direction. Elle ne
crée pas le mouvement, elle crée la modification du mouvement.
Ainsi si un corps est en mouvement rectiligne uniforme, et qu'on lui applique une force dans la direction de son
mouvement, il accélère. Si, en revanche, on applique une force perpendiculairement à son mouvement, le corps
change de direction.
3.
CLASSIFICATION DES FORCES
Il y a des forces de différents types : force mécanique, force électrique, force magnétique, ... Pourtant, les
physiciens modernes ont établi que dans la nature il n'existe que quatre types de forces fondamentales :
2
3

La force de gravitation, découverte par Newton, qui provoque une attraction entre deux corps de
masses m1 et m2 et qui est proportionnelle au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la
distance entre les centres de gravité de ces masses. (voir plus loin)

La force électromagnétique, qui régit les interactions entre les corps chargés électriquement, au repos
ou en mouvement.
Aristote : philosophe grec (384-322 avt J-C)
Galilée: physicien, astronome et écrivain italien (1564-1642)
14

La force nucléaire forte qui maintient ensemble les particules du noyau malgré le fait que les protons
étant chargés positivement, devraient se repousser et donc faire éclater le noyau.

La force nucléaire faible, qui intervient lors de désintégrations ou réactions nucléaires.
Ces quatre forces ont des caractéristiques très différentes tant pour leurs portées (distances où elles
interagissent), que pour leurs intensités relatives.
Actuellement, on cherche à unifier4 ces quatre forces en une force unique qui se manifesterait de diverses
manières suivant les circonstances.
On peut également classer les forces d'après leurs effets (translation, rotation, déformation) mais aussi sur base
de leurs modes de transmission. Dans ce cas, deux catégories se distinguent :
4.

Les forces de contact qui s'exercent entre deux corps ayant un ou plusieurs points communs: forces
exercées par les fluides, forces de frottement, force élastique, force musculaire, ...

Les forces à distance qui s'exercent entre des corps n'ayant aucun point commun : la force poids, les
forces d'interaction électrique, magnétique, ...
CARACTERISTIQUES D'UNE FORCE
La force est un vecteur caractérisé par sa direction, par son sens, par son intensité et par son point
d'application.
Un rappel de la notion de vecteur est donné dans l'appendice 1.
5.
MESURE DE L'INTENSITE D'UNE FORCE ET UNITE.
Une force se mesure à l'aide d'un dynamomètre.
L'unité SI5 de la force est le newton (N). En unités SI, 1 N = 1
kg .m
.
s²
Exemples d'intensité de force.
1) Au tennis:
masse de la balle: 58 g
vitesse au service: 201 km/h
force moyenne exercée par la raquette sur la balle: 1100 N
2) Au football:
masse ballon: 430 g
vitesse ( tir au but): 93,6 km/h
force moyenne exercée par le pied: 1500 N
3) En haltérophilie:
masse soulevée: 212,5 kg
force moyenne exercée par chaque main: 1100 N
F et on ajoutera un indice caractéristique de
chacune d'entre elles. Par exemple, la force de frottement sera notée F f , le poids F P , la force de tension F T et
Remarque : dans la suite du cours, toutes les forces seront notées
ainsi de suite. (une seule exception : la poussée d'Archimède, notée
4
5
A)
lire par exemple à ce sujet : Greene Brian, La Magie du Cosmos, Robert Laffont, 2004.
SI : système international d'unités
15
6.
LA PREMIERE LOI DE NEWTON : LE PRINCIPE D'INERTIE
La première loi de Newton a en réalité été formulée beaucoup plus tôt par Galilée.
Bien avant Galilée, Aristote et ses adeptes considéraient que tout mouvement d'un objet lourd, autre que la chute
libre, nécessitait l'action d'une force. Ils soutenaient à tort que, sans force motrice, il ne peut y avoir de
mouvement durable. Si l'on supprime cette force, le mouvement cesse spontanément.
Cette conception d'Aristote a l'air d'être en accord avec l'expérience; mais c'est faux. En effet, sur notre planète,
la gravitation et le frottement masquent la réalité. Si bien qu'il a fallu 18 siècles pour que Galilée découvre la
vérité.
6.1.
Enoncé du principe d'inertie : première loi de Newton
Tout corps non soumis à l'action d'une force extérieure (force nulle ou
résultante des forces nulle) conserve indéfiniment son état de repos ou son état
de mouvement rectiligne uniforme (MRU).
Les forces considérées dans ce principe sont uniquement les forces dites extérieures, c'est-à-dire toutes les forces
appliquées qui modifient le mouvement du système ou le déforment.
Exemples de forces extérieures : les forces de pression, de traction, les forces de frottement, le poids.
Elles se distinguent des forces intérieures au système qui sont des forces dont les origines se trouvent dans le
système lui-même et qui sont dues aux interactions mutuelles de points matériels. Ces forces sont deux à deux
opposées et leur ensemble forme un système équivalent à zéro. (principe d'action-réaction, voir plus loin)
D'un point de vue mathématique, on peut exprimer ce principe comme suit :
REPOS et  FEXT  0

REPOS ( v  0 et a  0 )
MRU et  FEXT  0

MRU ( v  0 et a  0 )
La première relation sera utilisée dans le chapitre concernant la statique.
Le principe d'inertie est une loi idéale. Nulle part dans l'univers, un objet ne peut être libéré complètement des
influences externes. L'idée d'un mouvement sur une ligne droite infinie n'est pas réaliste surtout dans un cosmos
encombré de galaxies. Il n'est donc pas possible de confirmer directement toutes les conséquences de cette loi,
notamment le fait qu'un objet, ne subissant aucune influence externe, se déplace indéfiniment à une vitesse
constante. Malgré cela, cette loi nous permet de comprendre beaucoup de phénomènes et c'est là tout son intérêt.
Remarque
Le mouvement étant relatif, quand on énonce le principe d'inertie, il faut indiquer à qui ou à quoi est rapporté le
mouvement de l'objet. On suppose que le mouvement de l'objet se fait par rapport à un observateur qui n'est
exposé lui non plus à aucune interaction avec l'extérieur. Un tel observateur est appelé observateur d'inertie et
le référentiel ("le système d'axes") qu'il utilise s'appelle référentiel d'inertie. On suppose que les référentiels
d'inertie ne tournent pas, car l'existence de rotation impliquerait qu'il y ait des accélérations (ou des
changements de vitesse dus à des changements de direction), et donc des forces extérieures, ce qui serait
contraire à la définition de l'observateur d'inertie.
On peut résumer en disant que le principe d'inertie est valable dans des référentiels d'inertie (ou galiléens),
c'est-à-dire des référentiels qui se déplacent à vitesse constante en direction et en intensité. En raison de sa
rotation journalière et de son interaction avec le Soleil, la Terre n'est pas un référentiel d'inertie. Cependant,
dans beaucoup de cas, les effets de la rotation de la Terre et des interactions sont négligeables et les référentiels
liés aux laboratoires terrestres peuvent être considérés comme des référentiels d'inertie. Dans tous les exercices
de ce cours, on considérera que les référentiels sont inertiels.
16
En résumé, dans un référentiel d'inertie, tout point matériel qui n'est soumis à aucune action extérieure (et
donc isolé) est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.
6.2.
Applications du principe d'inertie
Tous les phénomènes suivants sont des applications du principe d'inertie.
 On place un crayon sur une feuille de papier. Si on tire rapidement la feuille, le crayon reste en place.
 Le rôle de la ceinture de sécurité.
Quand la voiture s'arrête brusquement, notre corps a tendance à conserver sa vitesse ou son mouvement
et peut être projeté dans le pare-brise.
La ceinture modifie la vitesse de notre corps en nous bloquant (la ceinture exerce une force sur le corps)
 Le principe de la catapulte.
On coupe la corde, la pierre sur la catapulte suit la catapulte et prend une certaine vitesse. Quand le
bois est bloqué, la pierre a tendance à garder son mouvement et est éjectée.
 Remettre un manche à une brosse.
On tape sur le sol avec le manche. La brosse est donc en mouvement et tend à rester en mouvement alors
que le manche est bloqué au sol. Par conséquent, la brosse s'enfonce dans le manche.
D'autres effets de l'inertie : (à savoir expliquer !)






Etre collé à l'arrière du siège de sa voiture lors d'un démarrage un peu vif.
Le déséquilibre vers l'avant si le bus bloque ses freins devant un obstacle imprévu.
La compression latérale sur de nombreuses attractions de la foire, le huit aérien notamment.
L'essorage du linge dans la machine à laver.
Le fait de se déplacer vers la paroi du rotor qui tourne sur la foire.
Le" coup du lapin"
On peut aussi citer les astronautes d'Apollo en 1969 qui ont arrêté leurs moteurs et continué leur voyage vers la
Lune sans aucune force motrice.
17
7.
7.1.
LA DEUXIEME LOI DE NEWTON : LA LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE.
Expérience et observation
Considérons un chariot sur un rail horizontal. Si le chariot est immobile, il conserve cet état tant que la résultante
des forces extérieures est nulle (principe d'inertie).
Accrochons à la voiture de masse mchariot une masse mp accrochée à un fil et laissons pendre cette masse.
mchariot
mp
FP
La force de pesanteur exerce son effet sur la masse mp qui a tendance à descendre et qui entraîne la voiture. Le
mouvement de la voiture est un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).
Au moment où la masse mp touche le sol, la force de pesanteur cesse d'agir et la voiture poursuit son chemin à
vitesse constante (MRU). (si on néglige les frottements).
En modifiant l'intensité de la force (à masse totale constante) et la masse du chariot (à force constante), on peut
montrer que :
La force et l'accélération sont des grandeurs proportionnelles.
L'accélération est proportionnelle à l'inverse de la masse totale m.
On peut en déduire que : a =
7.2.
F
et finalement :
m
F = m.a
F: force en newtons (N)
m: masse (kg)
a: accélération (m/s2)
Généralisation
La force et l'accélération étant des vecteurs, on peut généraliser la relation ci-dessus et on obtient:
F  m. a
Remarque : si plusieurs forces agissent sur une particule, on doit calculer leur somme vectorielle.
Cette relation est appelée " relation fondamentale de la dynamique".
Remarque : cette relation n'est valable que dans un référentiel d'inertie.
18
7.3.
La force "poids"
La force "poids" FP est égale à la force de pesanteur. On sait que sur la Terre, l'accélération de la pesanteur g
est égale à 9,81 m/s2. Dans le cas de la chute libre, la formule F = m.a devient : FP = m.g = poids.
Le poids est donc la force verticale dirigée vers le centre de la Terre et d’intensité égale à mg.
Remarque : sur la Lune: glune = 1,6 m/s² et donc le poids sur la Lune est égal à : FP = m .glune = m.1,6
Exercice : calculer le poids d'un astronaute de 75 kg sur la Terre et sur la Lune. Calculer le rapport de ces
poids.
7.4.
Différence entre masse et poids
La confusion entre masse et poids dans la vie de tous les jours est très courante. On peut définir la masse comme
la "quantité de matière" d'un corps, sans vraiment savoir définir elle-même la quantité de matière.
Une autre définition de la masse est la suivante :
La masse d'un corps est la mesure de son inertie, c'est-à-dire de sa résistance aux variations de vitesse.
La masse est une grandeur scalaire indépendante du lieu où l'on se trouve contrairement au poids qui est un
vecteur et qui varie selon l'endroit ou l'altitude. En effet, le poids FP = m.g, dépend de la valeur de l'accélération
de la pesanteur qui dépend de l'endroit où l'on se trouve.
g varie avec l'altitude:
à 0 m: g = 9,81 m/s2 (variable selon l'endroit)
à 1000 m: g = 9,807 m/s2
à 10000 m: g = 9,779 m/s2
7.5.
g varie avec la latitude:
à l'équateur: g = 9,780 m/s2
à Bruxelles: g = 9,811 m/s2
au pôle Nord: g = 9,832 m/s2
Comparaison entre masse et poids
Masse
Poids
dépend de la "quantité de matière"
égal à la force qui attire un corps vers le
centre de la planète
grandeur scalaire
grandeur vectorielle
grandeur invariable
grandeur variable (Terre, Lune,...)
unité SI : le kilogramme (kg)
unité SI : le newton (N)
instrument de mesure: la balance à plateau
instrument de mesure: le dynamomètre
Un corps dont la masse est de 1 kg pèserait 274 N sur le Soleil, 9,8 N sur la Terre, 1,6 N sur la Lune et 3,7 N sur
Mars.
L'origine de la masse est toujours une énigme. Le poids est du à l'interaction gravitationnelle de cet objet avec la
Terre.
19
8.
LA TROISIEME LOI DE NEWTON : PRINCIPE DE L'ACTION ET DE LA REACTION.
8.1.
Expérience
Deux étudiants se font face, munis chacun d’un dynamomètre. Ils se tiennent par les extrémités des crochets des
dynamomètres et tirent leur dynamomètre vers eux. Ils s’immobilisent alors dans cette position où les
dynamomètres sont étirés. Quand on lit les valeurs indiquées, on constate qu’elles sont rigoureusement
identiques.
Par conséquent, on peut affirmer que l’intensité de l’action F1, 2 exercée par l’élève 1 sur l’élève 2 est égale à
l’intensité de la réaction F2,1 exercée par l’élève 2 sur l’élève 1.
8.2.
Enoncé du principe de l'action et de la réaction
Toute force d'action F1,2 exercée par un corps 1 sur un corps 2 provoque
simultanément et dans la même direction, une force de réaction F2,1 , exercée
par le corps 2 sur le corps 1, de même intensité que la force d'action et de
sens opposé.
8.3.
Applications
1) Soit un lustre suspendu au plafond d'un living.
Corps exerçant l'action F1, 2 : le lustre sur son point d'attache (crochet)
Corps exerçant la réaction F2,1 : le crochet de suspension qui empêche le lustre de tomber
2) Une bille posée sur une table de billard.
Corps exerçant l'action F1, 2 : la bille qui pousse sur la table
Corps exerçant la réaction F2,1 : la table qui empêche la bille de s'enfoncer
3) Au cours d'un tir de canon.
Les forces d'action et de
réaction ne s'exercent pas
sur le même objet !
Corps exerçant l'action F1, 2 : le canon (les gaz brûlés) propulse l'obus
Corps exerçant la réaction F2,1 : l'obus qui pousse les gaz et le fond du canon (recul)
4) Un gymnaste sur un tremplin.
Corps exerçant l'action F1, 2 : les pieds qui poussent sur la toile
Corps exerçant la réaction F2,1 : la toile qui restitue l'impulsion vers le haut sur les pieds du gymnaste
5) Une fusée qui décolle.
Corps exerçant l'action F1, 2 : la fusée qui expulse les gaz vers le bas
Corps exerçant la réaction F2,1 : les gaz qui permettent à la fusée de s'élever
Remarque intéressante : la Terre nous attire vers le bas avec une force gravitationnelle appelée "poids" FP .
Par réaction, nous attirons la Terre avec une force égale et opposée. De même, la matière attire la matière et
nous attirons, par exemple, la Terre, les pommes, les objets, les autres personnes qui en retour font de même en
nous attirant.
20
9.
LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE
9.1.
Introduction
Selon la légende, Newton aurait découvert la loi de la gravitation universelle en voyant tomber une pomme sur le
sol. Il se demanda alors qu’elle était la force qui attire les corps vers la Terre et s’il existait également une force
d’attraction lunaire.
Le mythe de la pomme. Un jour de l'an 1666, Newton se rendit à la campagne et, ayant observé la
chute d'une pomme, comme me le raconta sa nièce, il se plongea dans une profonde méditation sur
la cause qui attire ainsi tout objet suivant une ligne dont le prolongement passe presque au centre
de la Terre.
Voltaire (1738)
9.2.
Loi de la gravitation universelle de Newton
Nous savons que la Terre nous attire vers le bas avec une force gravitationnelle appelée "poids", exactement
comme elle attire les pommes par exemple. Mais, en retour, ces objets attirent gravitationnellement la Terre avec
une force opposée ("action- réaction").
Considérons deux sphères homogènes de masse m1 et m2, et d la distance séparant leur centre. Ces deux corps
exercent l’un sur l’autre une force attractive dont les caractéristiques sont :
-
la direction, celle de la ligne reliant les centres des deux
sphères,
m1
m2
-
le sens, il s’agit d’une attraction mutuelle, on est en
présence de deux forces de sens opposés ;
-
le point d’application, pour chacune des forces, le centre de
la sphère ;
-
l’intensité, donnée par la relation :




F : l'intensité de la force d'attraction en newtons (N)
m1 et m2 : les masses des deux sphères en kilogrammes (kg)
d : la distance séparant les centres des deux sphères (m)
G : la constante de gravitation ou constante de Newton qui est égale à 6,67.10-11 N.m²/kg².
F  G.
d
m .m
d²
1
2
Deux corps exercent l’un sur l’autre une force d’attraction dont l’intensité est directement proportionnelle au
produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance séparant leur centre de gravité.
La valeur numérique de G (6,67.10-11 N.m²/kg²) montre que l'intensité de la force d'attraction entre deux objets
n'est importante que si au moins l'un des deux objets en interaction a une grande masse (comme dans le cas d'une
planète ou d'une étoile).
Cette loi est qualifiée d'universelle car elle s'applique à n'importe quel endroit de l'univers et à tous les objets
matériels que les masses soient infimes ou gigantesques.
Exercices :
1) Quelle est l'intensité de la force d'attraction mutuelle entre la Terre et une masse de 1 kg reposant à la
surface de celle-ci ? Que peut-on en conclure ?
(masse de la Terre : 6.1024kg rayon terrestre : 6400 km)
Refaire le même calcul pour la même masse située à 500 km d'altitude.
21
2) Que deviendrait le poids d'un objet, si sa masse était doublée et sa distance au centre de la Terre était aussi
doublée ?
3) La force de gravitation entre deux masses sphériques vaut 8.10 -11 newtons quand leurs centres sont distants
de 3 mètres. Que devient cette force si la distance entre les centres est portée à 6 mètres ?
(a) 8.10-11 N
(b) 16.10-11N
(c) 4.10-11N
(d) 2.10-11N
(e) 1.10-11N
10. LA FORCE DE REACTION NORMALE
Le poids est une force extérieure qui attire un corps vers le bas. En fait, la Terre attire l'objet vers le bas et l'objet
attire la Terre vers le haut (principe d'action-réaction). En règle générale, on ne s'enfonce pas dans le sol vers le
centre de la Terre; il doit donc y avoir une autre force pour nous arrêter.
Considérons une personne debout sur le sol. A cause de son poids, ses pieds pressent sur le sol et le sol repousse
ses pieds (action-réaction). C'est cette réaction du sol sur les pieds, appelée réaction normale F N , qui nous
empêche de nous enfoncer.
La force de réaction normale F N est, comme son nom l'indique, perpendiculaire à la surface et n'est pas
nécessairement verticale. Elle ne prend cette direction particulière que si la surface considérée est horizontale.
La personne étant immobile, la somme des forces extérieures agissant sur celle-ci doit être nulle :
 FEXT  0 et donc : FP + F N = 0  FP - FN = 0  FP = FN
L'intensité de la force normale FN est égale à l'intensité du poids FP de la personne.
Exercice : représenter les forces (et en particulier la force de réaction normale) agissant sur un objet glissant sur
un plan incliné et sur un enfant collé à la paroi du rotor.
11. LA FORCE DE TENSION
Une force peut être appliquée à un objet par l'intermédiaire d'une corde, une chaîne ou un câble. Dans ce cas,
la force agit le long d'une ligne d'action qui est la ligne de la corde. La force tend à étirer la corde, c'est une force
de tension. Si on coupe la corde en un point et qu'on insère un dynamomètre de masse négligeable, celui-ci
indiquera l'intensité de la force de tension en ce point.
En général, la tension n'est pas la même en tous les points de la corde. La tension au point d'attache d'un lustre au
plafond n'est pas tout à fait identique à celle mesurée au point d'attache du lustre avec la corde. Ceci résulte
simplement du poids de la corde. Au point de contact avec le plafond, la corde doit supporter son propre poids en
plus de celui du lustre. Toutefois, lorsque la masse de la corde est suffisamment faible par rapport aux objets
étudiés, elle peut être négligée, et la tension de la corde garde la même valeur en tout point. C'est ce qu'on
supposera dans la suite du cours.
12. LES FORCES DE FROTTEMENT
12.1. Introduction
L'expérience montre qu'un objet qui n'est pas soumis à une force motrice ne reste pas indéfiniment en
mouvement, contrairement à la prédiction de la première loi de Newton. Habituellement, quand on se déplace sur
une surface ou qu'un objet se déplace contre un autre, certaines interactions s'opposent au mouvement.
Une force qui s'oppose à un mouvement établi ou prêt à s'établir, est dite force de frottement. Lorsqu'un
frottement s'oppose à un mouvement déjà établi, on parle de frottement cinétique, et lorsqu'il empêche un
mouvement de démarrer, il s'agit de frottement statique.
22
Les frottements ont leur origine dans les interactions électromagnétiques des atomes qui forment la matière
solide, liquide ou gazeuse.

Dans les fluides, les forces de frottement s'appellent viscosité. Elles sont souvent très faibles comparées
aux forces de frottement entre surfaces solides. C'est pourquoi on utilise des lubrifiants liquides, tels que
l'huile, qui réduisent considérablement le frottement. De façon analogue, la présence d'un coussin d'air
fournit un support pratiquement sans frottement ("banc à coussin d'air pour les expériences de
cinématique").

Dans le corps humain, le frottement intervient dans toutes les articulations. Ainsi, lorsqu'on court ou qu'on
marche, des forces de frottement s'exercent sur nos genoux et les autres articulations de nos jambes. Afin
de réduire les effets des frottements dans les articulations (gène au mouvement, usure des cartilages, ...),
celles-ci sont lubrifiées par le liquide synovial. Lors du mouvement, ce liquide s'écoule à travers des
cartilages qui tapissent les articulations. Il est réabsorbé lorsque l'articulation est au repos de façon à
augmenter les frottements et donc de faciliter le maintien de la position.
12.2. Frottement statique
Considérons un bloc de poids FP posé sur une table; celle-ci lui oppose une force de réaction normale FN (cette
force a été décalée vers le bas pour la clarté du schéma; elle agit en fait au niveau de la surface de la table).
Si on applique vers la droite une force horizontale F faible, le bloc ne bougera pas. D'après le principe d'inertie,
la somme des forces extérieures agissant sur le bloc doit être nulle puisqu'il est immobile. Il doit donc y avoir
une force vers la gauche de même intensité que la force F et qui s'oppose au mouvement: c'est la force de
frottement statique Ff .
v=0
F
FP
Ff
FN
Si on augmente F et si l'objet reste immobile, Ff doit avoir augmenté aussi. Si F augmente encore, le bloc finit
par se mettre en mouvement lorsque F dépasse une certaine valeur maximum du frottement statique Ff max.
Voici trois propriétés fondamentales de Ff max :
 Ff max est proportionnelle à la force de réaction normale FN.
Imaginons qu'on pousse une chaise vide, d'abord légèrement, puis de plus en plus fort jusqu'à ce qu'elle
bouge puis on demande à un ami de s'asseoir sur la chaise. Avec la nouvelle charge, on trouvera que Ff max a
considérablement augmenté.
 Si on pose le bloc sur une autre surface, Ffmax reste proportionnelle à FN mais elle sera très probablement
différente. Certaines surfaces sont plus lisses que d'autres. On en tient compte en utilisant une constante de
proportionnalité S , appelée coefficient de frottement statique. Ce coefficient dépend de la nature et de l'état
des deux matériaux en contact.
Ff max = μ S . FN
23
Par exemple, un dictionnaire de poids 40 N posé sur une surface de coefficient de frottement statique
S = 0,3 nécessite 12 N pour vaincre le frottement statique.
Cette équation n'est valable que dans la situation où les deux surfaces sont sur le point de glisser l'une sur
l'autre !
Remarque : S est un nombre sans dimension.
Question : la formule Ff max = S . FN serait-elle toujours valable avec des vecteurs ?
 Ff max est indépendante de la dimension de la surface de contact entre les deux corps solides. Ainsi la force
de frottement maximum d'un parallélépipède rectangle posé sur une table est la même pour toutes les faces.
Les deux propriétés : "Ff proportionnelle à FN" et "Ff indépendante de l'aire de contact", sont des relations
empiriques approchées plutôt que des relations fondamentales. Elles sont en général vraies; si ce n'est pas le cas,
l'écart ne dépasse pas 10 %. (il y a cependant des exceptions).
Par ailleurs, l'idée que S est toujours constant n'est pas très exacte; il peut changer si le temps de contact est très
long. Cela peut être le cas notamment si on essaie de dévisser un écrou en place depuis quelques années ou de
déplacer un objet posé sur une surface peinte depuis plusieurs mois.
Application du frottement statique: la marche à pied
Lorsqu'on marche, on se sert d'une force extérieure pour nous pousser. On pousse sur le sol vers l'arrière et le sol
réagit avec une force qui nous pousse vers l'avant (action-réaction). Mais on ne peut pousser vers l'arrière que s'il
y a une force de frottement avec le sol et cette poussée ne peut pas dépasser Ff max sinon le pied glisserait sur le
sol. En s'opposant au mouvement de notre pied vers l'arrière, le frottement nous pousse vers l'avant. En d'autres
termes, c'est le frottement qui est la force motrice du mouvement.
12.3. Frottement cinétique
Repartons du bloc posé sur la table. Si la force motrice F augmente, Ff va augmenter jusqu'à la valeur maximum
Ff max. Si on augmente encore la force de traction, le corps commence à se déplacer dans la direction de la force
appliquée.
La force de frottement cinétique, c'est-à-dire la force qui tend à freiner un corps glissant sur une
surface, est égale en intensité et de sens opposé à la force motrice nécessaire pour maintenir le bloc en
mouvement uniforme.
Les trois propriétés vues pour le frottement statique sont valables pour le frottement cinétique, mais avec un
coefficient de frottement cinétique C, tel que :
Ff = C.FN
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs expérimentales de S et de C. On constate que le frottement
statique est habituellement supérieur au frottement cinétique, ce qui peut facilement se sentir lorsqu'on pousse un
corps lourd.
24
Matériaux
acier sur glace
acier sur acier - sec
acier sur acier – graissé
corde sur bois
téflon sur acier
chaussure sur glace
semelle de cuir sur tapis
semelle de cuir sur bois
semelle de caoutchouc sur bois
pneus de voiture sur béton sec
pneus de voiture sur béton mouillé
pneus de voiture sur béton verglacé
caoutchouc sur asphalte
téflon sur téflon
bois sur bois
glace sur glace
verre sur verre
coefficient de frottement
statique : S
0,1
0,6
0,1
0,5
0,04
0,1
0,6
0,3
0,9
1,0
0,7
0,3
0,6
0,04
0,5
0,05-0,15
0,9
coefficient de frottement
cinétique : C
0,05
0,4
0,05
0,3
0,04
0,05
0,5
0,2
0,7
0,7-0,8
0,5
0,02
0,4
0,04
0,3
0,02
0,4
Ces valeurs sont indicatives et varient notamment suivant la propreté des surfaces (poussières, oxydes, ...),
l'humidité, la température, …
En pratique, le frottement cinétique diminue lorsque la vitesse de glissement augmente.
Applications
1) Les conducteurs savent d'expérience qu'ils doivent relâcher les freins, s'ils veulent arrêter doucement la
voiture, le frottement cinétique sur les patins de freins augmente quand les roues tournent moins vite.
Après quelques arrêts cahoteux, le nouveau conducteur apprend vite à alléger la pression convenablement.
Ainsi, lorsque C est de l'ordre de 0,8 pour un pneu à 8 km/h, il ne dépasse pas 0,5 à 130 km/h, ce qui peut
être crucial si la voiture dérape.
2) La meilleure façon d'arrêter une voiture est d'actionner les freins, de façon à ce que les roues soient sur le
point de se bloquer mais tournent encore.
Cette technique assure une réduction optimale de la vitesse par frottement statique qui est plus grand que le
frottement cinétique des pneus qui dérapent. Cela peut être effectué manuellement, on sent alors les roues se
bloquer, mais il faut de la pratique, surtout si on le fait dans l'urgence. L'idéal est un système de freins antiblocage assisté par ordinateur (ABS).
12.4. Frottement avec roulement
Il est évidemment plus facile de faire rouler une charge que de la faire glisser. Si on lance une roue sur une
surface plate, elle va ralentir petit à petit jusqu'à s'arrêter. La cause du ralentissement est le frottement avec
roulement. Son effet peut être décrit de manière analogue au frottement statique et au frottement cinétique.
On a :
Ff = r.FN
où r est le coefficient de frottement avec roulement. La force de frottement est égale, en intensité, à la force
motrice nécessaire pour que l'objet conserve une vitesse uniforme.
L'effet est du à la déformation à la fois de la roue et de la surface qui s'oppose au roulement libre et qui doit être
dominée par l'action d'une force.
Si les surfaces sont dures, la déformation est faible, comme dans le cas de roues d'acier roulant sur des rails
d'acier, r ne dépasse pas 0,001.
25
Par contre, un pneu en caoutchouc sur du béton a un coefficient proche de 0,01 à 0,02.
En fait, le coefficient pour les pneus varie avec la vitesse et augmente de près de 15 % entre 0 et 120 km/h. Bien
que r soit très faible, une voiture moyenne roulant à 80 km/h utilise près de 30 % de sa puissance pour vaincre
le frottement avec roulement. Aux faibles vitesses, cet effet est plus important que la résistance de l'air. La
situation change autour de 55 km/h, selon la forme de la voiture. L'entretien d'une pression correcte des pneus se
traduit par une baisse du frottement avec roulement, une moindre usure des pneus et une économie de carburant.
12.5. Exercice
Quelles sont les forces exercées sur le sauteur à la perche (vue de profil) :

Quand la perche est en l'air ?

Quand la perche est au sol ?
Idem pour un joueur de basket-ball qui change de direction en s'appuyant sur son pied droit (vue de face).
26
13. RESOLUTION DES EXERCICES ET PROBLEMES DE DYNAMIQUE
La procédure pour résoudre un problème de dynamique est la suivante :
1) Lire le problème attentivement (et plusieurs fois si nécessaire !)
2) Construire un schéma précis et suffisamment grand qui représente la situation physique (les corps dont on
étudie la dynamique y sont clairement précisés).
3) Enumérer et représenter toutes les forces extérieures qui agissent sur le système.
4) Choisir et préciser un système de référence (système d'axes).
5) Ecrire la deuxième loi de Newton (vectorielle) puis projeter dans le système d'axes choisi pour obtenir des
expressions algébriques.
6) Résoudre les équations obtenues de façon littérale d'abord :

Afin d'éviter les erreurs grossières de dimensions (vérifier la dimension des réponses n'est plus possible
dès que des valeurs numériques sont introduites).

Afin d'éviter certaines erreurs d'arrondis.
7) Introduire les données numériques.
8) Ne pas oublier d'indiquer les unités (unités du système international SI).
9) Vérifier que les résultats obtenus sont plausibles. Interpréter les résultats obtenus.
14. EXERCICES
1) Une masse de 10 kg est déposée sur un sol horizontal. Les coefficients de frottements statique et cinétique
valent respectivement 0,3 et 0,2.
a)
Quelle force minimale est nécessaire pour mettre cette masse en mouvement ? (29,4 N)
b)
L'objet étant mis en mouvement, calculer l'accélération qu'il subit si on conserve la même
force motrice qu'en (a) ? (on suppose que le coefficient de frottement cinétique reste constant)
(0,98 m/s²)
2) Un cadre de 2 kg est suspendu par deux cordes. Déterminer les tensions dans les cordes de soutien.
On donne  = 45° et  = 30°
FT2
F T1
30°
45°
(FT1= 17,6 N et FT2= 14,4 N)
27
3) Les roues arrières d’une chaise roulante font 70 cm de diamètre. La
masse de ce fauteuil et celle de la personne qu’il porte font ensemble
110 kg. Le fauteuil (et la personne !) se déplacent initialement à vitesse
constante.
a)
Quelle force doit-on appliquer pour communiquer à ce
fauteuil une accélération constante de 1 m/s² ? Le
coefficient de frottement de roulement est égal à 0,06.
(suggestion : chacune des roues arrières supporte la
moitié du poids)
(Fm = 174,7 N)
b)
Que devient cette force si ce fauteuil a quatre roues de
même diamètre, égal à 15 cm et pour un coefficient de
frottement de 0,27 ?
(suggestion : chacune des quatre roues supportent le
quart du poids) (Fm = 401,2 N)
c)
Quelles conclusions pouvez-vous déduire en comparant
ces deux résultats ?
4) En relation avec le schéma ci-contre,
a)
Quelle force doit-on appliquer pour hisser à vitesse
constante la masse en haut du plan incliné ?
(110,3 N)
b) Que devient cette force si l’angle du plan incliné
est de 30° ? (216,3 N)
c) Quelle est la force nécessaire pour maintenir le
bloc immobile (angle = 10°) ?
5) Un vélo a été adapté pour tracter un fauteuil roulant (voir le schéma). Il roule sur une surface horizontale et
plane. Si le fauteuil et son occupant font ensemble 110 kg, le vélo et le cycliste 90 kg, et si les frottements
sont négligés,
a)
Quelle force doit fournir le cycliste
pour accélérer de 3 m/s² ? (600 N)
b) Quelle est la tension dans la barre qui
relie le vélo au fauteuil ? (330 N)
28
STATIQUE
1.
INTRODUCTION
La statique traite de l'absence de mouvement pour un corps soumis à un système de forces.
On dit qu'un corps est en équilibre statique lorsqu'il est au repos dans un système de référence donné
(généralement la Terre).
En pratique, la statique est l'étude des structures, c'est-à-dire l'analyse des forces qui agissent sur et à l'intérieur
des immeubles, des ponts et même du corps humain. Du point de vue structure, le corps humain a de
remarquables similitudes avec un pont et un bâtiment. Il y a cinq siècles, Léonard de Vinci a découvert que les
os et les muscles des vertébrés forment un système de leviers. Nous déplaçons la plupart de nos membres
(doigts, bras, dos, jambes, pieds, ...) en pivotant un os contre un autre au moyen de nos muscles. Par exemple,
quand les muscles du mollet se contractent, le tendon d'Achille tire l'os du talon vers le haut. Le pied pivote alors
autour de la cheville, poussant les orteils vers le bas, ce qui permet de soulever le corps. Ce mécanisme est
identique à celui de plusieurs systèmes mécaniques simples comme la pince, le levier et la balançoire.
En comprenant la statique du corps humain, on peut notamment concevoir des équipements de sports plus
efficaces, améliorer les techniques de traumatologie, mieux réparer des os cassés et des dents endommagées et
améliorer les prothèses.
Si la dynamique, vue précédemment, s'intéresse à des corps qui peuvent s'assimiler à des points matériels, dans
le contexte de la statique, leur forme et leur volume jouent un rôle prépondérant. Pour simplifier, on considérera
des corps qui ne se déforment pas lorsqu'ils sont soumis à des forces et on se limitera à des espaces à deux
dimensions.
2.
2.1.
LE MOMENT D'UNE FORCE
Introduction
Si on ferme une porte en la poussant avec la main, on constatera que plus la main est située près de l'axe de
rotation de la porte, plus l'intensité de la force à appliquer pour la faire pivoter est importante. (faites le test !)
La capacité de produire une rotation, appelée moment de force, dépend à la fois de l'orientation de la force et
de la position de son point d'application (et par conséquent de la distance par rapport à l'axe de rotation).
2.2.
Définition
Considérons une force F qui agit en un point A sur une clé anglaise (voir figure). La clé anglaise peut tourner
autour d'un axe perpendiculaire au plan de la figure et passant par le centre O de l'écrou.
F
O

r
A
Le moment de la force F par rapport à un point O, est la grandeur vectorielle M F qui caractérise l'efficacité de
cette force pour réaliser une rotation autour du point O.
29
Ce vecteur présente les caractéristiques suivantes :

Une origine O située à l'intersection de l'axe de rotation et du vecteur OA où A est le point
d'application de F .

Une direction perpendiculaire au plan formé par les vecteurs F et OA .

Un sens choisi arbitrairement positif quand la rotation autour de l'axe est contraire au mouvement
des aiguilles d'une montre, et négatif dans l'autre cas.

Une intensité égale à MF = OA .F.sin  = r .F.sin 
si r est égale à la distance OA .
L'angle  est l'angle entre la direction de la force et la ligne qui relie son point d'application A au pivot O .
Le produit r.sin  est appelé le bras de levier.

Si la ligne d'action de la force passe par le pivot O, elle ne peut produire aucune rotation. En effet,  = 0
et donc sin  = 0, le moment est nul. ("On ne peut pas ouvrir une porte en la poussant vers les gonds").

Pour que la force produise le plus grand effet, il faut l'appliquer à l'extrémité de la clé et dans la direction
perpendiculaire à celle-ci. (r est maximum et sin 90° = 1)
Remarque : sous forme vectorielle, le moment d'une force s'exprime par M F  r  F qu'on appelle produit
vectoriel des vecteurs r et F . Son intensité est évidemment r.F.sin .
2.3.
Unité SI du moment
La force s'exprimant en newtons (N) et la distance en mètres (m), l'unité SI du moment est le newton-mètre
(Nm).
Remarquons que le newton-mètre a la même dimension que le joule qui est une unité d'énergie. Cependant, le
moment de force et l'énergie sont deux grandeurs n'ayant aucun rapport. On n'exprimera donc jamais le moment
de force en joules.
2.4.
Exercice
Rechercher les moments de toutes les forces.
F1
F2
F5
|OP 1| = 15cm
60° P
2
P1
|OP 2| = 5cm
F1=F2=F3=F4=F5=20N
30°
F3
60°
O
F4
30
3.
CONDITIONS D'EQUILIBRE
Pour qu'un corps soit en équilibre statique, deux conditions sont nécessaires.
Considérons le cas d'un volant d'une voiture. Il est soumis à l'action de deux forces F et F' de même intensité,
de même direction, et de sens opposés (couple de forces). Leur résultante est nulle. Cette condition est nécessaire
mais pas suffisante pour que le volant soit en équilibre : en effet, il est évident dans ce cas que le volant va
effectuer une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan formé par le couple de forces.
F
F'
3.1.
Première condition d'équilibre : équilibre des corps en translation
Un corps est en équilibre de translation si :
F  0
La résultante de toutes forces extérieures appliquées doit être nulle.
3.2.
Deuxième condition d'équilibre : équilibre des corps en rotation
La somme des moments de toutes les forces appliquées (ils sont tous évalués par rapport à un même point O
quelconque du corps) doit être nulle :
 MF  0
Cette condition empêche tout mouvement de rotation.
Dans le cas de l'équilibre d'un corps rigide, le point O par rapport auquel ces moments sont calculés est
arbitraire. Il convient donc d'analyser soigneusement le problème avant de choisir ce point, ce qui peut souvent
simplifier les calculs.
3.3.
Exercice
Deux enfants de 20 et 30 kg respectivement jouent sur une
balançoire. Si l’enfant de 20 kg est assis à 1,2 m du centre
de la balançoire.
a)
A quelle distance doit s'asseoir l’autre afin qu’ils
tiennent en équilibre ?
b)
Que vaut la réaction sur le point d’appui ?
FN
d1 = 1,2 m
d2 = ?
FP1
FP2
31
4.
LE CENTRE DE GRAVITE
Tout objet fini peut être considéré comme composé d'un très grand nombre de masses ponctuelles. Chaque
atome de cet objet subit une force gravitationnelle descendante (son poids). Toutes ces forces sont parallèles et
se combinent pour former une seule force résultante, qui est le poids du corps FP . La deuxième condition
d'équilibre statique demande de connaître l'intensité du poids du corps FP mais aussi son point d'application.
On définit le centre de gravité (c.g.) d'un objet comme le point où l'on peut concevoir que le poids FP s'exerce.
Autrement dit, la seule force FP agissant au centre de gravité produit exactement le même effet mécanique que
les forces de gravité agissant sur toutes les masses ponctuelles qui constituent le corps.
Il en résulte que le moment résultant de toutes les forces de gravité d'une distribution de masse par rapport à
un point quelconque est exactement égal au moment du poids total FP agissant au centre de gravité.
Supposons qu'un corps solide soit subdivisé en plusieurs parties ayant chacune un poids F P1 , F P2 , ...,F Pn .
P
F P1
F P3
F P2
FP
La résultante de ces forces est égale au poids total du corps : FP  FP1  FP2  ...  FPn
On pourrait déterminer le point P où doit s'appliquer le poids total du corps pour qu'il exerce le même effet
mécanique que les poids F P1 , F P2 , ...,F Pn agissant ensemble. Ce point P est le centre de gravité du corps.
Pour ce faire, il faut que le moment de tous les poids F P1 , F P2 , ...,F Pn par rapport à un point quelconque O soit
égal exactement au moment du poids total agissant au point P et donc que :
MFPtotal  MFP1  MFP2  MFP3  ...  MFPn
(par rapport à un point quelconque O)
Remarques :

Un objet en suspension a son centre de gravité situé sur la verticale passant par le point de suspension. En
effet, dans ces conditions, le moment du poids par rapport au point de suspension sera nul (deuxième
condition d'équilibre).

Le centre de gravité des objets symétriques et homogènes se situe à leur centre géométrique (cube, sphère,
parallélépipède rectangle, ...). On peut remarquer que le centre de gravité d'un anneau (ou d'un fer à
cheval) n'est pas situé dans l'anneau lui-même.

Le centre de gravité chez l'homme, en position debout les bras le long du corps, est situé en général (selon
la morphologie) près du nombril.
Pour les autres objets, le centre de gravité peut être localisé expérimentalement ou par calcul.
32
Pour déterminer la formule permettant de déterminer les coordonnées du centre de gravité, considérons
l'exemple suivant :
Soit une barre de masse négligeable à laquelle
sont attachés trois corps de poids respectifs 10
N, 8 N et 12 N. Ces corps sont suffisamment
petits pour être considérés comme ponctuels.
La répartition des poids sur la barre est
donnée par le schéma ci-dessous.
Où se trouve le centre de gravité de ce
système ?
Afin de situer le centre de gravité, il faut rechercher le point d'application de la résultante des poids des trois
corps et donc résoudre l'équation :
M(FP1 )  M(FP 2 )  M(FP3 )  M(FPtotal ) (moments par rapport à un point quelconque)
où F P1 , F P2 et F P 3 représentent les poids respectifs des trois corps, FP total est le poids résultant. Le point à partir
duquel les moments sont évalués sera par exemple le point P. On désigne par d1 = 10 cm, d2 = 15 cm et d3 = 25
cm, les distances qui séparent le point P des endroits respectifs où sont attachés les trois corps; d est la distance
(inconnue !) entre ce point et le centre de gravité. La relation devient dès lors :
FP1 . d1 + FP2 . d2 + FP3 . d3 = (FP1 + FP2 + FP3).d
d

FP1 . d 1  FP2 . d 2  FP3 . d 3 m 1 .g. d 1  m 2 .g . d 2  m 3 .g . d 3 m1 . d 1  m 2 . d 2  m 3 . d 3


FP1  FP2  FP3
m1 .g  m 2 .g  m 3 .g
m1  m 2  m 3
10.0,1  8.0,15  12.0,25 5,2

 0,173 m  17,3 cm
10  8  12
30
D'une manière générale, la formule générale permettant de déterminer la position du centre de gravité d'un corps
pour une distribution de n corps (à une dimension) est donnée par :
n
d=
 m i .d i
i 1
n
 mi
i 1
Pour un corps à deux dimensions, pour déterminer les coordonnées xCG et yCG du centre de gravité, on multiplie
le poids FPi de chaque masse ponctuelle i par sa coordonnée xi (ou yi), on les ajoute et on divise par le poids total.
n
On aura :
x CG 
 FPi . x i
 FPi
n
 mi .x i
 i1n
 mi
i 1
et
yCG 
 FPi . yi
 FPi
 mi .yi
 i1n
 mi
i 1
33
Exercice : On a représenté ci-dessous la jambe d'un homme de masse m et de hauteur h ainsi que les centres de
gravité et les poids de la cuisse et de la partie inférieure de la jambe :
0,42.h
0,19.h
c.g.
c.g.
0,059.mg
0,097.mg
Trouver la position du centre de gravité de la jambe entière allongée, mesuré à partir de la semelle du pied. (Ce
genre d'information est importante en thérapie physique).
Application numérique : h = 1,75 m et m = 64 kg.
34
TRAVAIL-ENERGIE-PUISSANCE
EN MECANIQUE
1.
LE TRAVAIL
1.1.
Introduction
On dit d'une personne qui a beaucoup d'énergie qu'elle est capable de fournir beaucoup de travail, c'est à dire
qu'elle est capable de fournir un effort important. La notion de travail est donc intimement liée à celle de
l'énergie.
Ceci est valable aussi bien pour les personnes que pour des objets:
-
un ressort sous tension,
un gaz comprimé,
de l'eau retenue par un barrage,
sont capables d'effectuer un travail mécanique car ils possèdent une certaine énergie.
1.2.
Définition
Il est évident que le travail fourni sera plus important si l'on pousse sur une même distance une masse de 20 kg,
plutôt qu'une masse de 2 kg. De même, plus la distance sera grande, plus le travail effectué sera important.
On en déduit que le travail W6 dépend de la force et du déplacement effectué.
Le travail d'une force appliquée à un corps est le produit de la composante de la force dans la direction du
mouvement par le déplacement sur lequel la force agit.
Une autre définition prenant en compte la notion d'énergie est la suivante :
Le travail est la variation d'énergie d'un système, due à l'application d'une force, agissant sur une distance.
Dans le corps humain, un travail s'effectue lorsque les nerfs transmettent l'influx nerveux qui déclenche les
contractions musculaires. La valeur du travail est alors égale à la force du muscle multipliée par la distance
parcourue par son point d'application.
1.3.
Formule du travail W
1er cas : cas général
Considérons un homme sur un traîneau tiré par son chien. Que vaut le travail effectué par la force de traction
du chien ?
F
Fx
d
Fy
6
F
la lettre "W" provient de l'anglais "WORK", le travail.
35
Décomposons la force de traction
F du chien en ses composantes horizontale et verticale Fx et Fy .

Fx est la force utile au déplacement. Elle agit dans la direction du mouvement.

Fy est dirigée perpendiculairement au déplacement. Elle maintient l'homme et son traîneau sur le sol en
s'ajoutant au poids Fp de l'ensemble. Ces deux forces sont compensées par la réaction F N du sol qui
empêche l'enfoncement du traîneau dans le sol.
D'après la définition du travail, il n'y a que la composante horizontale Fx de la force
F qui produit du travail.
( Fx a la même direction que le vecteur déplacement d )
d

Calculons le travail produit par la force Fx .
F
Par les formules des triangles rectangles, on obtient:
Fx = F.cos  où  est l'angle formé par la direction du déplacement et la direction de la force
et donc :
W ( Fx ) = Fx . d = F. d.cos 
Finalement, on a7:
avec :
F.
W ( F ) = W ( F x ) = Fx . d = F.d.cos

W: le travail en joules (J)
F : intensité de la force
F en newtons (N)
Fx : intensité de la composante horizontale Fx en newtons (N)
d : le déplacement effectué en mètres (m)
Le travail est une grandeur scalaire.
2ème cas : la force et le déplacement sont parallèles et de même sens
F
d
Dans ce cas, l'angle  vaut 0. Comme cos 0° = 1, on obtient: W = F.d
La force effectue un travail moteur. (en faveur du déplacement)
3ème cas : la force et le déplacement sont parallèles et de sens contraires
d
F
Dans ce cas, l'angle  vaut 180°. Comme cos 180° = -1, on obtient: W = F.d .(-1) = - F.d
Dans ce cas, la force effectue un travail résistant, en défaveur du déplacement. C'est le cas, par exemple, des
forces de frottement.
7
La formule W = F.d..cos

est l'expression du produit scalaire des deux vecteurs
F et d , c'est-à-dire : W = F . d
36
4ème cas: la force et le déplacement ont des directions perpendiculaires
F
d
Dans ce cas, l'angle  vaut 90°. Comme cos 90° = 0, on obtient:
W = F. d . 0 = 0
Par conséquent, aucun travail n'est effectué du point de vue de la physique.
Remarque: il ne faut pas confondre effort ou fatigue avec le travail comme défini en physique.

En tenant une mallette à bout de bras, on fournit un effort et pourtant le travail "physique" est nul puisque
le déplacement est perpendiculaire à la force.

De même, en soulevant un haltère de 100 kg en luttant contre son poids, on effectue un travail, mais si on
tient à bout de bras cet haltère immobile pendant un certain temps, on n'effectue aucun travail (puisque le
déplacement est nul).
1.4.
Unité SI du travail.
L'unité de travail dans le système international d'unités est le joule, noté J.
D'après la formule W = F.d.cos  , on a :
1.5.
1 J = 1 N.m = 1
kg.m
kg.m ²
.m = 1
s²
s²
Exercices
1) Un homme exerce une force de 600 N sur une armoire. Celle-ci se déplace horizontalement sur une distance
de 2 m. Que vaut le travail si la force et le déplacement sont :
a)
b)
c)
parallèles et de même sens ?
parallèles et de sens contraires ?
perpendiculaires ?
2) Un cheval tire une barque le long d’un chemin de halage. Il exerce une tension de 1000 N sur la corde qui le
relie à la barque. La corde fait un angle de 10° avec la rive. Quel travail effectue-t-il s'il remonte la barque
sur 100 m ? (la barque se déplace parallèlement à la rive)
3) Une voiture de 1,4 tonne aborde une côte d'une longueur de 400 m, inclinée à 6°. Les frottements
correspondent à 4 % du poids du véhicule.
a)
Faire un croquis en indiquant, la force motrice Fm , la force de frottement Ff , le poids FP et la
réaction normale au sol
FN . On considérera que l'axe des x est orienté dans le sens de la montée.
b) Calculer la force exercée par le moteur de la voiture dans la côte pour maintenir la vitesse acquise au
pied de celle-ci, soit 72 km/h. (Rép.: 1985 N)
c)
Calculer le travail de cette force motrice et celui de la force de frottement en précisant la nature de ces
travaux. (Rép.: W(Fm) = 794000 J et W(Ff) = -219744 J)
d) Calculer la durée de la montée (Rép.: 20 sec)
37
4) Un corps de masse m se déplace horizontalement d'une distance d, sous l'action d'une force F. Indique pour
quel schéma le travail est maximum.
5) Supposons qu'il s'agisse de pousser en haut d'une pente un chariot chargé. On doit pour cela effectuer un
travail.
a)
b)
c)
Le travail effectué serait-il deux fois plus grand si la pente était deux fois plus longue ?
Pourquoi ?
Le travail effectué serait-il deux fois plus grand si le poids du chariot était deux fois plus
grand ? Pourquoi ?
Le travail effectué serait-il deux fois plus grand si on prenait deux fois moins de temps à
pousser le chariot jusque en haut ? Pourquoi ?
38
2.
2.1.
LA PUISSANCE
Observation
Pour élever deux charges de même masse à une même hauteur, un adulte et un enfant doivent effectuer des
travaux égaux. Comme on l'a déjà vu, le travail ne dépend pas de la durée de l'action.
Cependant, l'enfant prendra plus de temps pour effectuer ce travail car il est moins fort, il a moins de puissance.
Exemple
Charge à soulever sur une table: 9 kg
hauteur de la table: 80 cm
L'adulte effectuera l'opération en 0,7 sec.
L'enfant effectuera l'opération en 1,5 sec.
Les travaux effectués par l'adulte et par l'enfant sont égaux et valent : W = 9.9,81.0,8 = 70,6 J
L'adulte réalise un travail de 70,6 J en 0,7 sec soit 100,9 J fournis par seconde.
L'enfant réalise un travail de 70,6 J en 1,5 sec soit 47,1 J fournis par seconde.
2.2.
Définition et formule de la puissance
On peut dire que la puissance développée par l'adulte est supérieure à celle de l'enfant; l'adulte peut effectuer
soit le même travail que l'enfant en moins de temps, soit un plus grand travail que l'enfant dans le même temps.
La puissance mécanique d'un système est la grandeur qui mesure sa performance à effectuer un travail.
Formule :
P=
W
t
P est la puissance mécanique en watts (W)
W est le travail en joules (J)
t: l'intervalle de temps considéré en secondes (s)
Sachant que W = F.d.cos  , on obtient : P =
et
2.3.
P = F.v.cos 
W F.d. cos 
=
t
t
donc v étant la vitesse (m/s)
Exercices
1) Quel est le travail fourni par une personne par l'intermédiaire d'une poulie qui élève une charge de 60 kg à
une hauteur de 1,2m ? Quelle est la durée de ce travail, sachant que la personne a une puissance de 100 W ?
(7,1 s)
2) Le ventricule gauche envoie à chaque battement une masse de 75 g de sang dans l'aorte avec une force
capable de l'élever à 1,5 m.
Calculer la puissance développée par le ventricule sachant que le cœur produit 72 battements par minute.
(P = 1,3 W)
39
3.
L'ENERGIE MECANIQUE
3.1.
La notion d'énergie



Quand un étudiant n'a pas d'énergie, il n'est pas capable de travailler.
Une voiture qui n'a pas de carburant (énergie) ne roulera pas.
S'il n'y a pas de lumière, pas d'énergie, votre calculatrice "solaire" ne fonctionnera pas, elle ne
fournira aucun travail.
L'énergie d'un corps est la capacité que possède un corps de pouvoir produire du travail.
L'énergie est donc définie à partir de la notion de travail sans qu'on sache très bien quelle est l'essence même de
l'énergie. C'est une des notions les plus utilisée en physique alors qu'on ne sait pas exactement ce que c'est.
Citons par exemple le célèbre physicien R.P. Feynman, prix Nobel de physique en 1965 :
"Il est important de réaliser que, dans la physique aujourd'hui, nous n'avons aucune connaissance de ce que
l'énergie est."
Il existe évidemment de nombreuses formes d'énergie (électrique, chimique, nucléaire, ...) mais on étudiera bien
sûr dans ce cours l'énergie mécanique.
L'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur (ou gravifique) constituent les deux aspects de l'énergie
mécanique.
3.2.
Energie cinétique
Soit un cycliste qui pédale et atteint la vitesse de 50 km/h. S'il arrête de pédaler, il continue malgré tout son
mouvement pendant un certain temps car il possède une certaine énergie due à sa vitesse, c'est l'énergie
"cinétique" ou l'énergie de "mouvement".
Formule de l'énergie cinétique
Considérons un marteau de masse 1 kg et qui est propulsé sur un clou. Le marteau va effectuer un travail
(enfoncer le clou) puisqu'il possédait une certaine énergie (cinétique).

Plus le marteau ira vite, plus le clou s'enfoncera profondément. L'énergie cinétique du marteau dépend
donc de la vitesse.

Si le marteau a une masse de 10 kg, le clou s'enfoncera encore plus profondément. L'énergie cinétique
dépend donc de la masse.
Ec = ½ . m . v 2
avec
3.3.
Ec l'énergie cinétique en joules (J)
m la masse en kilogrammes (kg)
v la vitesse en m/s
Energie potentielle de pesanteur
Soit une masse de 10 kg qu'on soulève à une hauteur h de 1 m et qu'on maintient immobile. Si on lâche la masse,
elle tombe au sol et peut par exemple enfoncer un clou. Cette masse donc une certaine énergie "potentielle"
(énergie disponible) puisqu'elle peut produire du travail si on la lâche.
On peut dire que la masse a un certain "pouvoir", un certain "potentiel" (pour produire un travail mécanique).
Le travail que pourrait produire la masse est facilement évaluable:
W = FP.h = m.g.h (travail du poids)
40
Formule de l'énergie potentielle de pesanteur
L'énergie potentielle d'un corps soulevé vaut donc:
avec
Ep = m . g . h
Ep : l'énergie potentielle de pesanteur en joules. (J)
m : la masse en kilogramme (kg)
g : l'accélération de la pesanteur en m/s2
h : la hauteur en mètres (évaluée par rapport à une hauteur de référence).
Remarque : dans l'expression de l'énergie potentielle, la valeur de celle-ci dépend de l'altitude, de la hauteur
"zéro" qui est prise comme référence; par exemple, l'énergie potentielle d'un corps prend des valeurs différentes
selon que l'on évalue avec le niveau de la mer ou avec l'altitude du laboratoire comme hauteur de référence.
L'énergie potentielle est donc toujours définie à une constante près. Cependant, cela n'est pas gênant puisque ce
sont toujours des différences de niveaux (hauteurs) qu'il y lieu de considérer dans les applications physiques.
3.4.
Autres formes d'énergie potentielle
L'énergie potentielle élastique
Prenons l'exemple d'une bille de flipper mise en mouvement sous l'action d'un ressort. Au départ, le ressort est
comprimé et la bille est immobile. Le ressort se détend, la bille est mise en mouvement. Elle reçoit une énergie
de mouvement qui équivaut à l'énergie contenue dans le ressort comprimé. Cette énergie mise en réserve dans le
ressort est de l'énergie potentielle élastique.
Autres exemples : le trampoline, les amortisseurs de voiture, l'arc à flèche, …
L'énergie potentielle électrique
Considérons deux particules chargées de signes contraires qui sont maintenues à une certaine distance l'une de
l'autre. Dès l'instant où une des deux particules est libre de se mouvoir, elle se déplace vers l'autre sous l'action
de la force d'attraction de Coulomb. La particule possédait donc une réserve d'énergie appelée énergie
potentielle électrique.
L'énergie potentielle chimique
A l'échelle microscopique, les atomes et molécules possèdent de l'énergie de mouvement et de l'énergie
potentielle. Cette dernière est utilisable sous forme d'énergie chimique au point de vue macroscopique.
L'énergie potentielle magnétique
Deux aimants éloignés l'un de l'autre s'attirent; ils ont de l'énergie potentielle magnétique.
41
4.
NOTION D'ENERGIE MECANIQUE
Souvent, un objet possède une énergie potentielle de pesanteur et une énergie cinétique (exemple : un avion, un
objet en chute libre, un pendule en mouvement, …).
On appelle énergie mécanique Em , la somme des énergies cinétique et potentielle de pesanteur d'un objet.
Em = Ec + Ep
5.
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE
Lors du mouvement d'une bille en chute libre, on peut dire que :

Au départ (t = 0), Emécanique = Ep = mgh ( h est max)
L'énergie mécanique est uniquement de l'énergie potentielle, la vitesse
initiale étant nulle.

En cours de chute, l'énergie cinétique augmente (puisque la vitesse
augmente) tandis que l'énergie potentielle diminue (puisque h diminue).
On a:

Emécanique = Ep + Ec
A l'arrivée au sol, Emécanique = Ec = ½ . mv2 (l'énergie cinétique est
maximale puisque la vitesse est maximale)
On peut montrer que tout au long de la chute, l'énergie mécanique totale ne
varie pas.
Sol = niveau de
référence pour
l'énergie potentielle
Il y a transformation progressive de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique, l'énergie mécanique
totale restant constante.
Principe de Conservation de l'énergie mécanique:
L'énergie mécanique totale reste constante, quels que soient les déplacements du corps à
condition qu'il n'y ait aucun échange de travail entre le corps et le milieu extérieur, c'est-àdire à condition que le système soit isolé.
Eméca totale = Ecinétique + Epotentielle = constante
Par conséquent, si le système est isolé, l'énergie mécanique ne varie pas à l'intérieur du
système et on a :
ΔEméca  ΔEcinétique  ΔE potentielle  0
On peut appliquer ce principe à de nombreux phénomènes tels que le sauteur en hauteur, à la perche, la
balançoire, le pendule, …
Question: Que se passe-t-il dans le cas d'un parachutiste ?
Peu après l'ouverture du parachute, la chute se poursuit à une vitesse stabilisée, donc l'énergie cinétique ne varie
plus. Pourtant, la chute continue et l'énergie potentielle du parachutiste diminue sans cesse. Ainsi, l'énergie
mécanique totale du système n'est pas constante. En réalité, les frottements ne sont pas négligeables, ils sont
même prépondérants dans ce cas. L'énergie mécanique est progressivement convertie en énergie thermique qui
se manifeste par un échauffement local de l'air autour du parachutiste
Le système n'est plus isolé puisqu'il y a échange de chaleur avec le milieu extérieur.
42
Dans ce cas, il y a lieu de revoir le principe de conservation de l'énergie et de le généraliser au cas plus réel où
par exemple de l'énergie thermique est échangée avec le milieu extérieur au corps considéré.
6.
THEOREME DE L'ENERGIE MECANIQUE
La variation d'énergie mécanique d'un corps est égale au travail total effectué par les forces appliquées (excepté
le poids).
ΔEméca  ΔEcinétique  ΔE potentielle  W(toutes les forces appliquées)
Dans ce cas, on tient compte du travail des forces de pesanteur (gravitationnelles) à travers la variation d'énergie
potentielle EP.
S'il y a échange d'énergie thermique avec le milieu extérieur au corps considéré (comme dans le cas où il y a
frottement), le théorème de l'énergie mécanique devient :
ΔEméca  ΔEcinétique  ΔE potentielle  W(F f )
où W(Ff ) représente le travail des forces de frottement.
Puisque le travail des forces gravitationnelles (du poids) est égal (au signe près) à la variation d'énergie
potentielle, on peut réécrire le théorème en considérant le poids comme une force pouvant effectuer un travail :
ΔEcinétique  W(total)
Cette dernière relation est appelée théorème de l'énergie cinétique.
7.
EXERCICES
1) Une voiture de 950 kg roule sur une route horizontale à une vitesse de 108 km/h. Le conducteur freine à
fond et la voiture s’arrête sur une distance de 80m.
a) Quelle est l’énergie cinétique initiale de la voiture ? (427500 J)
b) Quelle force (supposée constante) est exercée par les freins ? (5343,8 N)
2) Un monte-charge soulève une charge de 10 kg du sol jusqu'à une hauteur de 5m. La tension dans le câble
est de 120 N.
Quelles sont les augmentations :
a) de l’énergie totale de la charge ? (600 J)
b) de l’énergie potentielle de la charge ? (490,5 J)
c) de l’énergie cinétique de la charge ? (109,5 J)
d) Que vaut la vitesse finale ? (4,7 m/s)
3) Un cycliste de 80 kg grimpe en 17 minutes et à une vitesse constante de 18 km/h une côte de dénivelé 500
mètres.
a) Si les frottements sont négligés, quelle puissance développe-t-il ? (384,7 W)
Une fois au sommet de la côte, il ne s'arrête pas et il se laisse descendre sur l'autre versant en roue libre jusqu'à la
vallée située 300 mètres plus bas. Il y arrive à la vitesse de 72 km/h.
b) Quelle est l'énergie dissipée par les frottements (travail des forces de frottement) ? (-220440 J)
c) Quelle est l'intensité des forces de frottement si la descente est longue de 4 km ? (55,11 N)
43
LES MACHINES SIMPLES
1.
INTRODUCTION
Une machine simple est un dispositif qui diminue l'effort nécessaire pour effectuer un
travail, en augmentant la distance sur laquelle la force s'exerce.
On étudiera les quatre machines simples suivantes :




2.
Le plan incliné
Le treuil
Les leviers
La poulie
L'AVANTAGE MECANIQUE
Dans chaque cas de machines simples, une force motrice Fm est appliquée et une force résistante F rés fait
contrepoids. L'avantage mécanique (AM) ou l'efficacité d'une machine est le rapport entre la force résistante
et la force motrice (c'est le nombre de fois que cette machine multiplie la force motrice appliquée).
AM = force résistante / force motrice =
Frés
Fm
Si l'avantage mécanique est supérieur à 1, on devra produire un effort moins important pour soulever une charge
puisque Fm sera inférieure à Frés.
3.
LE PLAN INCLINE
Le plan incliné est une machine simple utilisée pour hisser un corps à une certaine hauteur tout en limitant la
force que l'on doit lui appliquer. (exemple : rampe d'accès pour un fauteuil roulant)
FN
Fm
d
h

FP
Fm : intensité de la force motrice (N)
FP : intensité du poids (N)
h : hauteur du plan incliné (m)
d : longueur du plan incliné (m)
Dans ce cas, le poids FP peut être décomposé en une composante verticale FPy perpendiculaire au plan incliné
qui est équilibrée par la force de réaction normale
F N et en une composante FPx parallèle au plan incliné et
orientée vers le bas, d'intensité FPx.sin , qui doit être compensée par la force motrice Fm .
44
Si les frottements sont négligés, d'après le théorème de l'énergie mécanique, le travail de la force motrice est égal
à la variation d'énergie potentielle du bas au sommet du plan incliné.
W(Fm) = EP


Fm.d = Epf - Epi = mgh – 0 = mgh
Fm =
mgh
d
La force résistante est le poids : Fp = mg
L'avantage mécanique est donc égal à : AM =
mg
Fm

mg
mgh

d

h
1
sin 
d
On constate que l'AM augmente (et la force motrice diminue) quand  diminue.

Si l'angle  est trop petit, la longueur d du plan incliné sera trop grande (d =

Si l'angle  est trop grand, la force musculaire nécessaire sera trop élevée.
h
).
sin 
Application
Selon une étude de la société canadienne d'hypothèques et de logement ("Evaluation de l'exigence physique à
monter des rampes d'accès en fauteuil roulant manuel", avril 2005), il est préférable d'utiliser des rampes d'accès
dont le rapport est 1:20.
A défaut de pouvoir les mettre en œuvre dans des bâtiments existants (pour quelles raisons ?), la rampe dont le
rapport est de 1:10 serait préférable à la rampe de 1:12 parce qu'elle requiert moins d'espace et ne semble pas
plus exigeante physiquement.
1) Que signifie une pente de 1:20 ? 1:10 ? 1: 12 ?
2) Quel est l'avantage mécanique pour ces plans inclinés ?
3) Excepté la pente de la rampe et la longueur de celle-ci, quels autres facteurs pourraient être considérés
lors de la conception de rampes d'accès ?
4.
LES LEVIERS
Un levier est un dispositif se composant en général d'une barre ou d'une tige rigide
conçue pour tourner autour d'un point fixe, l'axe ou le pivot du levier.
charge
dm
dRés
Fm : intensité de la force motrice (N)
FRés : intensité de la force résistante (N)
dm : bras de levier moteur (m)
dr : bras de levier résistant (m)
Fm
FRés
La deuxième condition d'équilibre (de rotation) implique que :
Fm.dm.sin 90° = FRés.dRés.sin 90°
 Fm.dm = FRés.dRés
(les moments de force sont calculés par rapport au pivot)
45
L'avantage mécanique vaut donc : AM =
Frés
d
= m
Fm
d Rés
Plus dm augmente, plus l'avantage mécanique augmente mais on est limité par la solidité du matériau.
II existe trois types de leviers :

Les leviers inter-appui (pied de biche, pince, paire de ciseaux, balançoire à bascule, ...)
Le pivot est situé entre Fm et FRés . (AM < 1 ou > 1 selon que dm < dr ou dm > dr)

Les leviers inter-moteur (pince à épiler, articulation du coude, ...)
La force est appliquée entre le pivot et la charge.
C'est un levier réducteur de forces : AM < 1 car dm< dr.

Les leviers inter-résistant (brouette, casse-noix, le corps humain
soutenu par la pointe du pied, ...)
La charge est située entre le pivot et la force. C'est un levier
démultiplicateur de forces : AM > 1 car dm > dr.
Exercice
A quel type de levier peut-on assimiler la tenaille représentée ci-dessous ?
Quel est son avantage mécanique ?
Si une force de 5 N est appliquée, quelle est celle exercée sur l'objet ?
46
5.
LE TREUIL
Le treuil est un appareil utilisé pour soulever des charges; il se compose d'un tambour
autour duquel s'enroule un câble, mû par une manivelle.
Fm : intensité de la force motrice (N)
FRés = FP : intensité de la force résistante (poids) (N)
rm : rayon de la manivelle (m)
rT : rayon du tambour (m)
Le travail de la force motrice est égal à la variation d'énergie potentielle du bas au sommet du trajet vertical
effectué par la charge à soulever. En prenant le niveau de référence pour l'énergie potentielle en bas, on a : (pour
un tour de manivelle)
EP = W(Fm)
 AM =

Epf - Epi = mghf – mghi = mghf = FP. 2 rT = Fm. 2 rm
F
Frés
r
= P = m
Fm
Fm rT
Plus le rayon de la manivelle est grand par rapport au rayon du tambour, plus l'AM est grand. Le treuil permet
de démultiplier considérablement la force motrice.
L'accroissement du rayon de la manivelle doit cependant être limité pour éviter :

la rupture de celle-ci du fait de sa longueur,

un trop grand encombrement,

un trop grand déplacement de la main qui tourne la manivelle pour un tout petit déplacement du
tambour.
47
6.
LA POULIE
La poulie est un dispositif mécanique de levage ou de traction comprenant un disque
monté sur un axe et équipé d'un câble passant autour du disque.
La poulie permet :

Soit de modifier la direction de l'effort
(ce qui change la direction la force appliquée et peut
rendre le travail moins pénible).

Soit de diminuer cet effort.
ou les deux en même temps.
6.1.
La poulie fixe
Les poulies fixes ne procurent pas un gain de force, de distance
ou de vitesse, elles permettent seulement d’orienter la corde et
de rendre le travail moins pénible.
Dans ce cas, AM = 1 puisque Fm = Frés.
La poulie fixe peut être assimilée à un levier inter-appui.
6.2.
La poulie mobile
La poulie mobile, qui peut se déplacer le long d'une corde, permet de diminuer la force à appliquer.
Condition d’équilibre de la poulie:
2FT  FP  0
 2.FT – FP = 0
comme Fm = FT  Fm =
 Fm =
FP
2
mg Frésist

2
2
 AM = 2
La poulie mobile s'assimile à un levier inter-résistant (gain de force mais déplacement divisé par 2).
48
6.3.
La poulie double
La poulie double conjugue les avantages d'une poulie fixe
(modification de la direction de la force appliquée) et d'une
poulie (avantage mécanique).
6.4.
Résumé
poulie fixe : Fm = mg = FRés 
poulie mobile : Fm =
AM = 1
FP
et AM = 2
2
poulie double : AM = 2 et modification de la direction de la force appliquée.
49
6.5.
Palans8
Un palan est un mécanisme constitué de deux groupes (ou
moufles), l'un fixe, l'autre mobile, contenant chacun un
nombre arbitraire de poulies, et d'une corde qui les relie. Il
sert à démultiplier l'effort nécessaire pour rapprocher les
deux groupes de poulies.
En théorie, plus le nombre de poulies mobiles est
important, plus l'effort à exercer est faible. Cependant, en
pratique, le nombre de poulies est limité en raison des
forces de frottement.
L'avantage mécanique est égal au nombre de brins, c'està-dire le nombre de passages que fait la corde entre les
deux groupes de poulies. L'effort nécessaire au final est
divisé par le nombre de brins, tandis que la longueur de
corde à tirer pour rapprocher les groupes de poulies est
multipliée d'autant.
Pour le palan ci-contre : AM = 10.
Exercices
1) Avec le palan illustré ci-contre, quelle force motrice doit-on
fournir pour monter une machine à laver de 48 kg ?
2) Quels sont les avantages mécaniques des palans suivants ?
8
Animation : www.xrenard.sup.fr, page physique, 1ère ergo, système de poulies
50
7.
LE RENDEMENT D'UNE MACHINE SIMPLE
Le rendement d'une machine simple, noté R, est le rapport entre le travail produit (travail
résistant) et le travail fourni (moteur).
R
W(FRés )
ce qui est utile

W(Fm ) ce qui est fourni réellement
Le rendement est toujours inférieur à 100 %, car il y a toujours une perte d'énergie due aux frottements.
Par exemple, le rendement d'une poulie simple est de l'ordre de 95 %.
51
APPENDICE 1 : LES VECTEURS
1.
RAPPEL DE LA NOTION DE VECTEUR.
Rappelons qu'un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Par exemple, la masse,
la température, la durée, ... sont des grandeurs scalaires.
Par contre, un vecteur (force par exemple) est caractérisé par sa direction, par son sens, par son intensité et par
son point d'application. L'intensité d'un vecteur est aussi appelée "norme" ou "module" du vecteur.
Dans la suite, les vecteurs considérés seront généralement des vecteurs forces et on les distinguera des scalaires
en les représentant par une lettre surmontée d'une flèche. On peut adapter les conclusions à d'autres types de
vecteurs comme les vecteurs déplacement, accélération, ...
Dans les problèmes que l'on rencontre en physique, plusieurs forces peuvent agir simultanément sur un même
corps indéformable.
Il peut être utile d'additionner toutes ces forces, c'est-à-dire de les remplacer sur un schéma par une force unique
appelée la résultante des forces considérées. La résultante obtenue doit avoir le même effet que l'ensemble des
forces considérées.
2.
ADDITION DE DEUX VECTEURS DE MEME LIGNE D'ACTION, MEME INTENSITE ET DES
SENS OPPOSE
Dans ce cas, la résultante des deux vecteurs est nulle et si le corps était au repos, il conserve cet état.
3.
ADDITION DE VECTEURS DE MEME ORIGINE
Dans le cas de vecteurs de même origine, on appliquera la règle du parallélogramme.
F1
FR
F2
Exercice : additionner les quatre vecteurs suivants.
52
4.
ADDITION DE VECTEURS CONSECUTIFS
La résultante de deux vecteurs consécutifs est le vecteur qui va de l'origine du premier à l'extrémité du second.
B
A
AB
5.
SOUSTRACTION DE VECTEURS
La soustraction de deux vecteurs
vecteur
AB et CD est équivalente à l'addition du vecteur AB et de l'opposé du
CD , soit DC .
AB - CD = AB + DC
6.
MULTIPLICATION D'UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE
Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie l'intensité du vecteur par ce scalaire en conservant la
direction du vecteur initial.
7.
COMPOSANTES D'UN VECTEUR
Un vecteur peut être caractérisé par ses deux composantes suivant deux axes perpendiculaires. Ces composantes
sont fréquemment utilisées dans le calcul vectoriel. Par exemple, le vecteur F
peut être décomposé en deux
composantes Fx et Fy , obtenues en abaissant les perpendiculaires sur les axes à partir de l'extrémité du vecteur.
y
On obtient les relations :
Intensité du vecteur F
F
Fy
sin  =

Fy
F
:
cos  =
F=
Fx
F
Fx2  Fy2
tg  =
(par Pythagore)
Fy
Fx
x
Fx
(SOH)
(CAH)
(TOA)
En utilisant la notion de vecteurs unitaires e1 et e 2 (ce sont des vecteurs dont le module vaut 1 et qui sont
dirigés suivant les axes de coordonnées), on peut écrire :
F = FX . e1 + Fy . e 2
53
Grâce à cette formulation, on peut calculer la somme de deux ou plusieurs vecteurs.
Par exemple, si on veut additionner les deux vecteurs : A = Ax . e1 + Ay . e 2 et B = Bx . e1 + By . e 2 , on
obtiendra un vecteur C tel que : C = A + B = (Ax + Bx). e1 + (Ay + By). e 2
8.
y
EXERCICES
1) Calculer l'intensité de Fx et Fy si F = 4 N et  = 26°.
F
Fy

x
(Rép. : 3,6 N et 1,8 N)
2) Plan incliné : tracer les composantes Fx et Fy du vecteur F
Fx
parallèlement et perpendiculairement à la
pente et déterminer leur intensité sachant que F = 35 N.
F
40°
3) Tracer, calculer leurs intensités puis additionner les composantes des deux vecteurs F1 et F2 . On donne : F1
= F2 = 10 N.
y
F2
F1
45°
45°
x
4) Soit les deux vecteurs : A = 2. e1 + e 2 et B = 4. e1 + 7. e 2
a) Trouver les composantes du vecteur C = A + B .
b) Déterminer l'intensité de C et l'angle que fait ce vecteur avec l'axe des x. (Rép. : 10 et 53,1°)
5) A partir des composantes des vecteurs A , B , C et D , et sachant que A = 10, B = 15, C = 8 et D = 12,
trouver la direction (angle avec l'horizontale) et l'intensité du vecteur E = A + B + C + D .
(Rép. : E =16,7 N et angle = 48,9°)
y
B
C
A
45°
x
30°
D
54
6) En eau calme, la vitesse d'un bateau est de 20 km/h. Ce bateau doit traverser la rivière dont le courant a une
vitesse égale à 12 km/h pour se rendre en face de son point de départ. Avec quel angle doit-il remonter le
courant ?
Déterminer la valeur de la vitesse résultante en utilisant les composantes. (Rép. : vrésult. = 16 km/h)
7) Un avion dont la vitesse vaut 200 km/h se dirige en ligne droite vers le nord. Cependant, un vent du nord-est
commence à souffler à 100 km/h. Quelle est désormais la vitesse de l'avion par rapport au sol ? Quel est
l'angle qu'elle fait avec le nord ?
Utiliser les composantes des vecteurs vitesses pour résoudre ce problème. Représenter le problème et la
solution graphiquement. (Rép. : vrésult. = 147,4 km/h et angle = 28,7°)
9.
LE PRODUIT SCALAIRE
Le produit scalaire de deux vecteurs A et B est le réel défini par la relation :
A.B  A.B.cos 
où A et B désigne les intensités respectives des deux vecteurs, tandis que  est le plus petit angle qui les sépare.
B

A
B.cos 
Il est évident que si A et B sont perpendiculaires : A.B  0 puisque  = 90°.
9.1.
Produit scalaire et composantes de vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs A (Ax, Ay) et B (Bx, By) exprimés selon leurs composantes s'écrit :
A . B = Ax.Bx + Ay.By
On peut en déduire que le produit scalaire est commutatif puisque : B . A = Bx .Ax + By .Ay = A . B
9.2.
Application du produit scalaire en physique
Le travail W d'une force F agissant sur un objet est égal au produit scalaire de la force F et du vecteur
déplacement d .
W = F.d
D'après la définition du produit scalaire, on a : W = F.d.cos 
Le travail d'une force appliquée à un corps est le produit de la composante de la force dans la direction du
mouvement par le déplacement sur lequel la force agit.
55
Exercices :
1) Prenons un enfant sur un traîneau tiré par son chien sur une distance de 150 m. Le chien exerce par
l'intermédiaire de la corde une force de 150 N. L'angle entre la force et le déplacement est égal à 15°.
d
F
Que vaut le travail de la force
F?
2) Dans quel cas le travail d'une force est- il nul ? maximal ?
10. LE PRODUIT VECTORIEL
On appelle produit vectoriel de deux vecteurs A et B , le vecteur A  B tel que :

Son intensité est égale à A.B.sin  où  est le plus petit angle qui sépare les vecteurs A et B ,

Sa direction est la perpendiculaire au plan défini par ces deux vecteurs,

Son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite.
Avec l'index, le majeur et le pouce, former un trièdre (trois axes perpendiculaires)
Index : 1er vecteur
On a :
majeur : 2ème vecteur
le pouce donne la direction et le sens du vecteur A  B
A  B = A.B.sin .n
où n est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs A et B et dont le sens est
donnée par la règle ci-dessus.
La notation A  B est équivalente à A  B .
Contrairement au produit scalaire, le produit vectoriel n'est pas commutatif : A  B = - B  A
Exemple de produit vectoriel : le moment d'une force (voir partie mécanique de ce cours)
56
BIBLIOGRAPHIE
1) Adam A., Lousberg F. : Espace Math 4, De Boeck, 1998.
2) Allègre Claude, Dictionnaire amoureux de la science, Plon Fayard, 2005
3) ASBL Science et Culture, L'odyssée du corps humain en physique et chimie, Ulg, 2009.
4) Benoît M., Girard P-E, Laberge J., Le Mouvement, La physique en classe de laboratoire 1, Beauchemin,
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