Des outils pour les suites

Des outils pour les suites
Suites arithmético-géométriques
Définition : On appelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme :
où a et b sont des nombres réels.
Quelques cas particuliers :
• Si 0, la suite est constante à partir de .
• Si 1, il s’agit d’une suite arithmétique de raison b.
• Si 0, il s’agit d’une suite géométrique de raison a.
Dans la suite nous ne nous intéresserons qu’aux cas où a est différent de 0 et de 1 et b est
différent de 0.
On se propose de trouver la forme explicite d’une telle suite.
La méthode est standardisée :
a) Recherche du point fixe
On résout l’équation
1– Solution acceptable puisque a n’est pas égal à 1.
Posons
1
On trouve
b) Construction d’une suite auxiliaire :
On considère la suite définie pour tout entier n par
Proposition : La suite est une suite géométrique de raison a.
Démonstration :
On a pour tout entier n
Or par construction donc
La suite est bien une suite géométrique de raison a.
c) Expression explicite de , puis de On a
On a donc
, On a de plus
Et donc
, Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Définition : On appelle suite récurrente linéaire d’ordre 2 (ou double) toute suite récurrente
de la forme suivante : , Cas particuliers :
Si 0, on a pour tout n, et donc 1, .
La suite est donc géométrique à partir du rang 1.
On aura donc
1, !
Si de plus 1, on aura
1, La suite est donc constante à partir du rang 1 :
1, Equation caractéristique
On se place dans le cas général, c’est-à-dire on considère dans la suite que " 0.
On appelle équation caractéristique de la suite l’équation d’inconnue x suivante :
On écrit cette équation sous la forme :
0
On résout cette équation en calculant :
Δ 4
4
Suivant la valeur de Δ, il y a une, deux ou pas de solutions à cette équation.
Dans la suite nous ne nous intéresserons qu’aux cas
Δ 0
a) Cas où : ; 0
L’équation caractéristique a deux solutions distinctes que l’on note souvent < et < .
On a
√
4
√
4
< ou < 2
2
Cherchons deux nombres A et B tels que l’on ait :
@ A S @< A< Ce système peut être résolu par substitution. On a :
@ A
S B A < A< On en tire
< < et @ A
< <
< <
Ces deux quantités existent puisque < " < .
Montrons par récurrence que
, @< A<
Pour 0, on a @ A par définition de A et de B.
On a de plus
@< A< @ A
Donc
@< A<
Pour 1, on a @< A< .
On a de plus
@< A< @< A<
Donc
@< A<
La formule est donc vérifiée pour 0 et 1.
On a
0, montrons que si @< A< et @< A< , alors
@< A<
@< A< @< A< @< < A< < Or par définition < et < sont solutions de l’équation
Donc
< <
< <
Donc
Il y a bien hérédité et donc
@< < A< < @< < A< <
@< A<
, @< A<
Théorème :
Soit une suite définie par la donnée de , celle de et telle que :
0, Soit l’équation caractéristique de cette suite.
Si C 4 est strictement positif, cette équation a deux solutions distinctes < et < .
@ A .
Soit A et B les solutions du système @< A< Alors on a :
, @< A<
b) Cas où ∆ E
Dans ce cas puisque " 0, on a nécessairement " 0.
En effet ∆ 4. Si ∆ 0 et 0, alors on a 0 0 4 et donc 0.
L’équation caractéristique a alors qu’une seule solution.
<
2
D’après ce que nous avons dit plus haut,
<"0
Posons
@
L’équation d’inconnue B
<@ A a pour solution :
<
A <
Montrons par récurrence que :
, < @ A
Pour 0, on a par définition : @
On a aussi
< @ A F 0 @
Donc
< @ A F 0
Pour 1, on a par définition : <@ A On a aussi
< @ A F 1 <@ A
Donc
< @ A F 1
La formule est vérifiée pour 0 et 1.
On a
0, montrons que si < @ A et < @ A 1, alors
< @ A 2
< G@ A 1H < @ A
< @
< A < A<
On sait que r est solution de l’équation , donc < < et donc :
< @< A< A<
On sait également que < donc 2< et donc :
< @< A< 2A< < @ A 2A < @ A 2
Il y a donc hérédité et l’on a :
, < @ A
I
On a donc le théorème suivant :
Théorème :
Soit une suite définie par la donnée de , celle de et telle que :
0, avec " 0
Soit l’équation caractéristique de cette suite.
Si C 4 0, cette équation a une solution non nulle r
@ .
Soit A et B les nombres réels tels que <@ A Alors on a :
, < @ A
L’inégalité des accroissements finis
C’est une inégalité très importante dont nous verrons des applications nombreuses. Il a deux
formes.
On considère une fonction K dérivable sur un intervalle I.
On suppose qu’il existe deux nombres réels m et M tels que
L, M N K O N P
Soit Q la fonction définie sur I par
Q K M
La fonction Q est dérivable comme différence de fonction dérivable. On a
L, QO K O M
D’après l’hypothèse on a
L, QO 0
La fonction Q est donc croissante sur I.
Soit et deux nombres réels de l’intervalle I tels que N .
L’inégalité simple
On a donc
Donc
Donc
Et donc
Q
N Q
K
M
N K M
M M
N K K
M N K K
On montrerait de la même façon que la fonction R définie sur I par :
R P K
est une fonction croissante.
On en déduit donc que pour le même couple , tel que N , on a :
K K
N P En rassemblant les deux inégalités, on en tire que
M N K K
N P On a donc le théorème suivant :
Théorème :
Soit K une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle qu’il existe deux nombres
réels M et P et que
L, M N K O N P
Alors L, L avec N , on a :
M N K K
N P Remarque :
Dans le cas où l’intervalle I est un intervalle fermé S, TU, on démontre et nous admettrons
que l’hypothèse de dérivabilité peut se limiter à l’intervalle ouvert U, TS, la continuité étant
simplement requise en en en T.
On remplacera la phrase : K définie et dérivable sur I par :
K continue sur S, TU, et dérivable sur U, TS.
On a un résultat identique sur un intervalle semi-ouvert.
En pratique, dans la plupart des problèmes la fonction est dérivable sur tout l’intervalle et la
distinction ne se pose plus.
Une application de ce théorème :
Ce théorème permet de construire des inégalités.
Prenons un exemple simple et classique :
La fonction ln est dérivable sur ]0, ∞S. Elle est donc dérivable sur tout intervalle S1, WU où W
est un nombre réel supérieur à 1.
On a
1
ln X La dérivée est une fonction décroissante. Sa restriction à l’intervalle S1, WU est donc telle que :
1 1
S1, WU, N N 1
W Donc d’après l’inégalité des accroissements finis, on a :
On en déduit que
1
W 1 N lnW ln1 N 1W 1
W
W
L’inégalité en valeur absolue
1,
W1
N lnW N W 1
W
On considère une fonction dérivable sur un intervalle I (on a bien entendu les mêmes
remarques que dans le cas précédent si I est un intervalle fermé ou semi-ouvert).
On suppose qu’il existe un nombre réel positif Y tel que :
L, |K O | N Y
On peut donc écrire
L, Y N K O N Y
On peut donc appliquer l’inégalité des accroissements finis.
Soit et deux nombres réels de l’intervalle I.
Si N , on aura
Y N K K N Y Et donc en repassant aux valeurs absolues :
|K K
| N Y Si N , on aura
Y
N K K N Y Et donc en repassant aux valeurs absolues :
|K
K| N Y Dans le premier cas, puisque N , on a 0 et donc | |
Dans le second cas, on a | | Donc dans les deux cas le second membre peut s’écrire
Y| |
De plus on sait que deux nombres opposés ont la même valeur absolue, or les quantités
K K
et K K sont opposées, donc
|K
K| |K K |
Les deux inégalités se ramènent à une seule et ceci quelles que soient les places de et .
|K K | N Y| |
On a donc le théorème suivant :
Théorème :
Soit K une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle qu’il existe un nombre réel
positif Y et que
L, |K O N Y
Alors L, L, on a :
|K K
| N Y| |
Ce théorème est très souvent utilisé pour montrer la convergence de suites récurrentes surtout
si la fonction génératrice est décroissante.
Un exemple :
On considère la fonction K définie par : K √2 ln 1) Montrer que le domaine de définition de K est l'intervalle U0, [²U.
2) Déterminer les limites de K aux bornes de ce domaine.
3) Étudier les variations de K.
4) Montrer que l'image par K de l'intervalle S1, [U est contenue dans l'intervalle S1, [U.
5) Montrer que l'équation K admet une solution unique sur l'intervalle S1, [U.
6) On considère la suite définie par récurrence pour tout entier naturel par :
1 et K a. Montrer à l'aide de l'inégalités des accroissements finis que :
1
| | N ] ^ | |
2
b. En déduire que
1 , | | N 1 ] ^
2
c. Quelle est la limite de la suite quand tend vers +∞ ?
.