Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs

Intégration TD2
Intégrale de Lebesgue : outils de calculs
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan.
e-mail : [email protected]
On désigne par (X, A, µ)un espace mesuré.
L1(µ)désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes fdéfinies sur Xvérifiant :
ZX|f|dµ < ∞
1 Théorème fondamental du calcul :
Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement
les hypothèses pour l’instant) :
«F(x) := Zx
a
f(t)dt définit une primitive de f»
«f(b)−f(a) = Zb
a
f0(t)dt »
Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour frégulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité
de ffournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second.
La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses
de régularité effectuées sur f?
La réponse est affirmative :
Définition : (Absolue continuité) [1], p.178
On dit qu’une fonction fdéfinie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument conti-
nue sur [a, b]si, pour tout ε > 0il existe δ > 0tel que pour toute famille disjointe d’intervalles
]α1, β1[,]α2, β2[,...,]αn, βn[inclus dans Iet vérifiant :
n
X
i=1
(βi−αi)< δ , on ait
n
X
i=1 |f(βi)−f(αi)|< ε
Théorème : [1], p.174 et suivantes
1. Si f∈L1
loc(R)alors Fest presque partout dérivable, et, presque partout : F0(x) = f(x).
2. Si f:R→Rest absolument continue, alors elle est dérivable presque partout, f0∈L1
loc et :
f(b)−f(a) = Zb
a
f0(t)dt.
Remarque :
La preuve de ce théorème est trop longue pour être abordée en TD ou présentée en développement. Cepen-
dant le résultat est important et peut être mentionné dans les leçons portant sur l’intégration, à condition
de préciser qu’il est ADMIS si on ne sait pas le démontrer. Le théorème de Rademacher, non énoncé ici,
traite le cas des fonctions lipschitziennes (c’est donc un cas particulier du théorème précédent) et peut
éventuellement servir de développement (difficile).
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2 Intégrales à paramètre :
2.1 Énoncés :
Dans les théorèmes de régularité qui suivent, (E, d)est un espace métrique. On considère f:E×X→C,
et on note :
F(t) := Zf(t, x)dµ(x).
Théorème : (continuité sous le signe intégral) [2], p.138
Soit a∈E. Si :
(i) Pour tout t∈E,x7→ f(t, x)est mesurable.
(ii) Presque partout (en x), t7→ f(t, x)est continue en a.
(iii) Il existe g∈L1(µ)telle que, pour tout t∈E:
|f(t, x)| ≤ g(x)
presque partout en x.
Alors Fest définie en tout point de Eet continue en a.
Théorème : (dérivation sous le signe intégral) [2], p.139
On suppose ici que E=Iest un intervvalle ouvert non vide de R. Si :
(i) Pour tout t∈I,f(t, ·)∈L1(µ).
(ii) Presque partout (en x), t7→ f(t, x)est dérivable sur tout I.
(iii) Il existe g∈L1(µ)telle que, pour tout t∈E:
∂f
∂t (t, x)
≤g(x)
presque partout en x.
Alors Fest définie et dérivable en tout point de I, de dérivée :
F0(t) = ZX
∂f
∂t (t, x)dµ(x)
Remarque : Le théorème précédent est en fait un corollaire d’un résultat plus général dans lequel la
dérivabilité supposée et obtenue se limite à un seul point. L’hypothèse de domination se fait sur le taux
d’accroissement dans ce cas là ; on la retrouve d’ailleurs ici grâce au théorème des accroissements finis.
Théorème :(Intégration à paramètre complexe) [3], p.94
Soit Aun borélien de Rd,Ωun ouvert de C. Soit F: Ω ×A→Cvérifiant :
(i) Pour tout z∈Ω, l’application x7→ F(z, x)est mesurable.
(ii) Pour presque tout x∈A, l’application z7→ F(z, x)est holomorphe dans Ω.
(iii) Pour tout compact K⊂Ωil existe une fonction uK∈L1(A)telle que
|F(z, x)| ≤ uK(x)
pour tout z∈Ωet presque tout x∈A.
Alors la fonction :
f(z) = ZA F(z, x)dx
est holomorphe sur Ωet toutes ses dérivées s’obtiennent par dérivation sous le signe intégral.
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2.2 Exercices :
Exercice 1 : Taupin’s style [7], p.200
Calculer l’intégrale :
Z∞
0
arctan(πx)−arctan(x)
xdx
Indication : On utilisera l’expression arctan(z) = zZ1
0
arctan0(sz)ds et l’égalité, valable pour tout z > 0:
arctan(z) + arctan(1
z) = π 2.
Exercice 2 : Transformée de Fourier de la Gaussienne [4], p.227-228
Prouver que la fonction
z7−→ ZR eitze−t2/2dt
est entière.
En déduire la transformée de Fourier de la Gaussienne t7→ e−t2/2en admettant la valeur de l’intégrale
de Gauss :
ZR
e−t2/2dt =√2π
Indication :On pensera au théorème des zéros isolés.
Exercice 3 :Une intégrale semi-convergente
Le but de cet exercice est de démontrer que les intégrales ZA
0
sin(x)
xdx convergent, lorsque A→+∞,
bien que l’intégrande ne soit pas intégrable sur R+. On parle d’intégrale semi-convergente, ou d’intégrale
impropre.
1. Vérifier que la fonction x7→ sin(x)
xn’est pas intégrable sur R+.
2. On considère :
F(t) := Z+∞
0
sin(x)
xe−txdx et G(t) := Zt
0
sin(x)
xdx
(a) Vérifier que Fest bien définie et même de classe C1sur R∗
+et en donner une expression sur
ce domaine.
(b) Montrer que Gadmet une limite finie en +∞, i.e. qu’il s’agit bien d’une intégrale impropre.
(c) En considérant les intégrales tronquées ZA
0
sin(x)
xe−txdx, établir pour t > 0:
Z+∞
0
sin(x)
xe−txdx =Z+∞
0
G(u/t)e−udu
(d) En déduire la valeur de l’intégrale impropre Z+∞
0
sin(x)
xdx.
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3 Fubiniseries :
3.1 Énoncés : [2], p.221-222
Théorème :(Fubini-Tonelli)
Soient f: (X×Y, A⊗B)→R+une fonction mesurable, µet νdeux mesures σ-finies respectivement
sur (X, A)et (Y, B). Alors :
(a) Les fonctions partout définies x7→ RYf(x, y)ν(dy)et y7→ RXf(x, y)µ(dx)sont respectivement A
et B-mesurables.
(b)
ZX×Y
f dµ ⊗ν=ZXZY f(x, y)ν(dy)µ(dx) = ZYZX f(x, y)µ(dx)ν(dy).
(Ces égalités ont lieu dans R+.)
Théorème :(Fubini-Lebesgue)
Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent, en supposant cette fois-ci f∈L1(µ⊗ν), à
valeurs dans C, on a :
(a) µ(dx)presque partout, y7→ f(x, y)∈L1(ν),
ν(dy)presque partout, x7→ f(x, y)∈L1(µ)
(b) x7→ ZY f(x, y)ν(dy)∈L1(µ)et y7→ ZX f(x, y)µ(dx)∈L1(ν), ces fonctions étant définies respec-
tivement µ-p.p. et ν-p.p.
(c)
ZX×Y
f dµ ⊗ν=ZXZY f(x, y)ν(dy)µ(dx) = ZYZX f(x, y)µ(dx)ν(dy).
3.2 Exercices :
Exercice 1 : Exemple
Soit f: (X, A)→R+mesurable.
Montrer que :
ZX
f dµ =Z∞
0
µ(f > t)dt.
Exercice 2 : Contre-exemple [2], p.223
Soit f(x, y) := 2e−2xy −e−xy.
Montrer que :
Z1
0ZR+
f(x, y)dxdy 6=ZR+Z1
0
f(x, y)dydx
Exercice 3 : [2], p.230, Attention à la faute !
On rappelle que pour tout f∈L1(R), la transformée de Fourier de fest définie sur Rpar ˆ f(t) := ZR f(x)e−itxdx.
(a) Calculer, pour a > 0, la transformée de Fourier de x7→ e−a|x|.
(b) Soient a > 0et fala fonction définie sur Rpar : fa(t) := ZR
e−itx
1 + x2e−a|x|dx.
Montrer que fa(t) = ZR
a
a2+ (y+t)2e−|y|dy
(c) En déduire la transformée de Fourier de x7→ 1
1+x2.
Indication :On pourra utiliser le changement de variable : s=y+t
a.
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4 Changements de variables :
4.1 Le cas élémentaire :
Théorème : [2], p.25
Soit ϕ∈C1([α, β],R)et f∈C0(ϕ([α, β])), alors :
Zβ
α
f(ϕ(u))ϕ0(u)du =Zϕ(β)
ϕ(α)
f(x)dx
4.2 Le cas général :
Théorème :(Changement de variables) [2], p.239-240
Soit ϕun C1-difféomorphisme entre deux ouverts ∆et Dde Rd. Alors pour tout f∈L1(D), on a
l’égalité :
ZD
f(x)dx =Z∆ f(ϕ(u))|Jϕ|(u)du
Rappel : Le Jacobien Jϕest le déterminant la différentielle de ϕ. On peut se souvenir de la formule de
changement de variable en pensant au cas de la dimension 1:
x=ϕ(u) =⇒dx =ϕ0(u)du en dimension 1
x=ϕ(u) =⇒dx =|Jϕ|(u)du en dimension n
4.3 Coordonnées polaires sur R2: [2], p.245
On considère le difféomorphisme :
ϕ:R∗
+×]−π, π[→R2−(R−× {0})
(r, θ)7→ ϕ(r, θ) := (rcos(θ), r sin(θ))
Comme R+× {0}est de mesure de Lebesgue nulle, on a, pour f∈L1(R2):
ZR2
f(x)dx =ZR2−(R−×{0}) f(x)dx =Z+∞
r=0 Zπ θ=−π
f(rcos(θ), r sin(θ))rdθdr
4.4 Exercices :
Exercice 1 : Un calcul original de ζ(2) [5] et aussi [6], chpt. 6
(a) Montrer que Z[0,1]2
dxdy
1−xy =X
n≥1
1
n2.
(b) (i) Appliquer le changement de variable u= (x+y)/2,v= (y−x)/2à l’intégrale précédente pour
obtenir :
ζ(2)
4=Z1/2
u=0 Zu v=0
dudv
1−u2+v2+Z1
u=1/2Z1−u v=0
dudv
1−u2+v2
(ii) Retrouver la valeur de ζ(2).
Exercice 2 : Volume de la boule euclidienne unité de Rd:[2], p.246
Soit f≥2. Notons vd:= λd({x∈Rd;x2
1+··· +x2
d≤1}.
1. Avec la convention v0= 1, obtenir la relation :
vd=vd−2Z{x2+y2≤1} (1 −(x2+y2)d
2−1)dxdy
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