Les espaces de formes complexes, c`est-à

Titre du projet:
Ecole Doctorale:
LAMAV_VRANCKEN
SCIENCES POUR L'INGENIEUR (ED SPI 072)
[1] Département Mathématiques et leurs interactions
Domaine scientifique
principal du thème concerné
Unité de recherche
LAMAV (Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications
de Valenciennes, EA 4015, Valenciennes)
Nom, prénom et email du
directeur de thèse
VRANCKEN LUC, [email protected]
Titre du sujet de thèse en français
Etude des sous-variétés Lagrangiennes dans les espaces de
formes complexes
Titre du sujet de thèse en anglais
Study of Lagrangian submanifolds in complex space forms
Description du projet en français incluant un argumentaire présentant les enjeux de la thèse
Les espaces de formes complexes, c’est-à-dire l’espace euclidien complexe et les espaces
projectifs et hyperboliques complexes, sont les exemples les plus simples de variétés de
Kähler-Einstein, le cadre naturel pour étudier les sous-variétés lagrangiennes et leurs
propriétés métriques.
On dit qu’une sous-variété de dimension n d’une variété Kähler-Einstein de
dimension (réelle) 2n est lagrangienne si elle annule la forme symplectique canonique.
Les sous-variétés lagrangiennes ont été introduites à l’origine dans le cadre de la
mécanique symplectique comme auxiliaire à la description des trajectoires de
particules soumises à une force. Elles aparaissement également dans certains
développements récents de la physique théorique (symétrie mirroir, …).
En ce qui concerne les variétés lagrangiennes un résultat important est une inégalité
entre la courbure moyenne de l'immersion (qui est une invariante extrinsèque) et la
courbure scalaire de l'immersion (qui est une invariante intrinsèque). Cette inégalité a
été obtenue par Borelli, Chen et Morvan et aussi par Ros et Urbano. Ils ont aussi
montrés que la sphère de Whitney est le seul exemple (en dehors des sous-variétés
totalement géodésiques) qui réalise l'égalité dans cette inégalité en ce qui concerne les
sous-variétés lagrangiennes de l'espace complexe de dimension n. L'idée de la preuve
est que pour avoir l'égalité il est nécessaire et suffisant que un tenseur K, construit a
partir de la seconde forme fondamentale et la courbure moyenne s'annule
identiquement. Ce tenseur est caractérisé par les propriétés que il est totalement
symétrique et que sa trace s'annule.
Le but de la thèse est de investiger ce tenseur K systématiquement en utilisant entre
autre la similarité entre la géométrie différentielle affine et la géométrie lagrangienne.
Bien sûr, pour les variétés minimales le tenseur K =J h où h est la seconde forme
fondamentale.
Un des résultats attendus est la classification des variétés pour lesquelles le tenseur K
est un tenseur isotropique, ce qui veut dire que g(K(v,v),K(v,v)) est indépendant du
vecteur tangent v. Pour les sous-variétés lagrangiennes minimales une telle
classification a été obtenue par Montiel et Urbano, Isotropic totally real submanifolds,
Math.Z. 199, 1988.
Un autre but de la thèse est d'obtenir le même type de résultats si l'espace ambiente
n'est plus Riemannienne mais semi-Riemannienne.
En plus, un autre thème de recherche sera d'exploiter plus explicitement la similarité
entre la géométrie différentielle affine et la géométrie lagrangienne. Une similarité qui
pour le moment existe seulement entre les sphères affines et les sous-variétés
lagrangiennes minimales. Le but sera de voir si et comment on peut éteindre cette
relation pour des sous-variétés arbitraires. En particulier il sera intéressant de trouver
une relation entre par exemple la courbure moyenne affine (et les résultats obtenus par
Trudinger et Wang) et les sous-variétés H-minimales lagrangiennes.