Laboratoire d`Automatique et d`Informatique Industrielle de Lille

Titre : Etude des sous-variétés lagrangiennes dans les espaces de formes complexes (Study of
Lagrangian submanifolds in complex space forms)
Financement(s) demandé(s) : Etablissement
Directeur de thèse :Luc Vrancken
E-mail : [email protected]
Co-directeur de thèse :
E-mail :
Laboratoire : LAMAV (Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes, EA 4015,
Valenciennes)
Equipe ou Groupe de recherche : Géométrie et analyse globale
Descriptif :
Les espaces de formes complexes, c’est-à-dire l’espace euclidien complexe et les espaces
projectifs et hyperboliques complexes, sont les exemples les plus simples de variétés de Kähler-
Einstein, le cadre naturel pour étudier les sous-variétés lagrangiennes et leurs propriétés
métriques.
On dit qu’une sous-variété de dimension n d’une variété Kähler-Einstein de dimension
(réelle) 2n est lagrangienne si elle annule la forme symplectique canonique. Les sous-variétés
lagrangiennes ont été introduites à l’origine dans le cadre de la mécanique symplectique
comme auxiliaire à la description des trajectoires de particules soumises à une force. Elles
apparaissent également dans certains développements récents de la physique théorique
(symétrie miroir…).
En ce qui concerne les variétés lagrangiennes, un résultat important est une inégalité entre
la courbure moyenne de l'immersion (qui est un invariant extrinsèque) et la courbure scalaire
de l'immersion (qui est un invariant intrinsèque). Cette inégalité a été obtenue par Borelli,
Chen et Morvan et indépendamment par Ros et Urbano. Ils ont aussi montré que la sphère de
Whitney est le seul exemple (en dehors des sous-variétés totalement géodésiques) qui réalise
l'égalité dans cette inégalité en ce qui concerne les sous-variétés lagrangiennes de l'espace
complexe de dimension n. L'idée de la preuve est que, pour avoir l'égalité, il est nécessaire et
suffisant qu’un tenseur K, construit à partir de la seconde forme fondamentale et la courbure
moyenne s'annule identiquement. Ce tenseur est caractérisé par les propriétés qui suivent : il
est totalement symétrique et sa trace est nulle.

Le but de la thèse est d’étudier ce tenseur K systématiquement en utilisant entre autres la
similarité entre la géométrie différentielle affine et la géométrie lagrangienne. Bien sûr, pour
les variétés minimales, le tenseur s'écrit K =J h où h est la seconde forme fondamentale.
Un des résultats attendus est la classification des variétés pour lesquelles le tenseur K est un
tenseur isotrope, ce qui veut dire que g(K(v,v),K(v,v)) est indépendant du vecteur tangent v.
Pour les sous-variétés lagrangiennes minimales, une telle classification a été obtenue par
Montiel et Urbano, Isotropic totally real submanifolds, Math.Z. 199, 1988.
Un autre but de la thèse est d'obtenir le même type de résultats si l'espace ambiant n'est
plus riemannien mais seulement semi-riemannien.
En plus, un autre thème de recherche sera d'exploiter plus explicitement la similarité entre
la géométrie différentielle affine et la géométrie lagrangienne. Une similarité qui, pour le
moment, existe seulement entre les sphères affines et les sous-variétés lagrangiennes
minimales. Le but sera de voir si (et comment) on peut étendre cette relation à des sous-
variétés arbitraires. En particulier, il sera intéressant de trouver une relation entre par
exemple la courbure moyenne affine (et les résultats obtenus par Trudinger et Wang) et les
sous-variétés H-minimales lagrangiennes.