Déterminer les matrices élargies des systèmes S1, S2, S5 et S6 du

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CHAPITRE 2 – MATRICES ET RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
EXERCICE 1 (CHAPITRE 2-I)
1
Déterminer les matrices élargies des systèmes S1, S2, S5 et S6 du chapitre précédent.
CORRECTION
La matrice élargie du système S1 :
        ,
est :
.
Chaque ligne Li de cette matrice contient les coefficients de la ième équation du système.
La première colonne contient les coefficients de l’inconnue x, la deuxième, ceux de
l’inconnue y et la troisième, ceux de l’inconnue z. La barre verticale prend la place des
signes « = », elle sépare donc les coefficients du système de ses seconds membres, qui
forment la colonne de droite de la matrice élargie.
De même, la matrice élargie du système S2 :
est :
.
La matrice élargie du système S5 :
1
Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).

2
est :
.
Enfin, la matrice élargie du système S6 :
est :
.
EXERCICE 2 (CHAPITRE 2 – III)
Soit les matrices A, B, C, D, M, N, P, Q, L suivantes :
A =   
  , B =      , C =
, D =  
M =   
  , N =      , P =  , Q =   et L =   .
1. Effectuer, lorsque cela est possible, les sommes A+B, A+C, A+D et M+N.
2. Lorsque cela est possible, effectuer les produits AB, AC, CA, AL, AM, MN, AP, CP, D²,
BQ, LB, QL et LQ.
3. Commenter les produits AC, MN et D².
4. Comparer les produits AP et CP à la matrice P.

3
5. Déduire du produit BQ un lien entre les colonnes de B.
6. Déduire du produit LB un lien entre les lignes de B.
CORRECTION
1.
□ A+B =   
   =   
   =   
  .
□ A+C =  = .
□ La somme A+D est impossible car les matrices A et D ne sont pas de même format.
□ M+N =   
   =    .
2.
□ AB =   
   =   
=   
  ,
□ AC =    =   
   = I3.
□ CA =
 =       = I3.
□ Le produit AL est impossible car le nombre de colonnes de A n’est pas égal au nombre
de lignes de L.

4
□ AM = 
   =      .
□ MN =   
   =      .
□ AP =   
 =   =  .
□ CP =
 =
= .
□ D² =  
  =    .
□ BQ =   
 =   =  .
□ LB    
  =   
  .
□ QL = 
   =   
  .
□ LQ =   
 = (8)
3.
□ Comme AC = CA = I3, la matrice C est l’inverse de la matrice A.
□ Le produit de M par N illustre la propriété suivante : le produit de deux matrices
triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire
inférieure (respectivement supérieure).
□ On peut remarquer que : D² = D (on dit d’une telle matrice qu’elle est idempotente).
4. En comparant AP et CP à P, on remarque que l’on a :

5
AP = 2P.et CP = 
P.
Remarque : on verra au chapitre 6 que, des égalités AP = 2P et CP = 
P, on déduit que P
est un vecteur propre des matrices A et C.
5. Si l’on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de B respectivement, on a :
BQ = 
 = C1 – 2C2 – C3 = 0.
Il s’ensuit que :
C1 – 2C2 = C3.
La troisième colonne de la matrice B est une combinaison linéaire des deux autres. On
verra, dans le chapitre 3, que, dans ce cas, on dit que les colonnes de la matrice sont
linéairement dépendantes.
6. Si l’on note L1, L2 et L3 les trois lignes de B, on a :
LB =   
.
Il s’ensuit que :
L1 = 5L2 – 3L3.
La première ligne de la matrice B est une combinaison linéaire des deux autres. On
verra, dans le chapitre 3, que, dans ce cas, on dit que les lignes de la matrice sont
linéairement dépendantes.
EXERCICE 3 (CHAPITRE 2 – III)
Soit le système S7 :
S7 .
1. Ecrire ce système sous la forme AX = B où A, X et B sont des matrices que l’on
nommera.