Calcul matriciel

Calcul matriciel
D´efinitions
Une matrice nxmest un tableau de nombres `a nlignes et mcolonnes.
Exemple de matrice avec n= 2 et m= 3 :
M=1 2 0
4 3 −1
net msont les dimensions de la matrice M.
Un matrice est symbolis´ee par une lettre en caract`ere gras. On note Mij l’´el´ement situ´e `a
l’intersection de la ligne iet de la colonne j:
M=
M11 M12 ... M1m
M21 M22 ... M2m
... ... ... ...
Mn1Mn2... Mnm
Si m= 1, la matrice est appel´ee vecteur (ou, plus pr´ecis´ement vecteur-colonne) :
x=
x1
x2
...
xn
Si n=mla matrice est dite matrice carr´ee.
Quelques matrices carr´ees particuli`eres
Matrice unit´e (ou matrice identit´e) :
I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matrice diagonale :
D=
D11 0 0 0
0D22 0 0
0 0 D33 0
000D44
1

Matrice triangulaire :
T=
T11 T12 T13 T14
0T22 T23 T24
0 0 T33 T34
000T44
Une matrice carr´ee Sest dite sym´etrique si Sij =Sji :
S=
S11 S12 S13 S14
S12 S22 S23 S24
S13 S23 S33 S34
S14 S24 S34 S44
Op´erations sur les matrices
Egalit´e de deux matrices
Deux matrices Aet Bsont ´egales si elles ont les mˆemes dimensions et si Aij =Bij ∀i, j.
Addition et soustraction
L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent
avoir les mˆemes dimensions.
Exemples :
1 2 0
4 3 −1+523 134=6 4 3 5 6 3 
1 2 0
4 3 −1−5 2 3
1 3 4 =−4 0 −3
3 0 −5
Multiplication par un nombre
Lorsqu’une matrice est multipli´ee par un nombre, chaque terme de la matrice est mutlipli´e
par ce nombre :
Exemple :
21 2 0
4 3 −1=2 4 0 8 6 −2
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Transposition
La transpos´ee ATd’une matrice A (aussi not´ee A0) est la matrice obtenue en ´echangeant
lignes et colonnes de A.
A=1 2 0
4 3 −1⇔AT=
1 4
2 3
0−1
La transpos´ee d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.
x=
x1
x2
...
xn
⇔xT=x1x2... xn
Multiplication matricielle
Produit scalaire
Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xTpar un vecteur-colonne yest d´efini par :
xTy=x1x2... xn
y1
y2
...
yn
=x1y1+x2y2+... +xnyn=
n
X
i=1
xiyi
Ce produit, appel´e produit scalaire, est not´e x·y. Les vecteurs doivent avoir la mˆeme
dimension. Le r´esultat de cette op´eration est un scalaire. On peut noter que le produit
scalaire est commutatif : x·y=y·x.
Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux. A
deux dimensions, cela correspond `a deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vec-
teurs x= ( 1 3 ) et y= ( 6−2) ont un produit scalaire nul et on v´erifiera facilement
qu’ils sont perpendiculaires.
Produit matriciel
Le produit matriciel se d´eduit du produit scalaire : le produit de la matrice A(nxm) par
la matrice B(pxm) est la matrice C(nxp) telle que l’´el´ement Cij est ´egal au produit
scalaire de la ligne ide la matrice Apar la colonne jde la matrice B:
Cij =
m
X
k=1
AikBkj avec i= 1, ...n et j= 1, ...p
Ce produit matriciel est not´e AB =C
Exemple
1 2 0
4 3 −1.
5 1
2 3
3 4
=9 7
23 9 
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Propri´et´es
Le produit matriciel est
•associatif : ABC = (AB)C=A(BC)
•distributif par rapport `a l’addition : A(B+C) = AB +AC
•non-commutatif : (en g´en´eral) AB 6=BA
La matrice unit´e Iest l’´el´ement neutre pour la multiplication : AI =IA =A
Transpos´ee d’une somme : (A+B)T=AT+BT
Transpos´ee d’un produit : (AB)T=BTAT
Quelques produits particuliers
Carr´e scalaire :
xTx=
n
X
i=1
x2
i
Sa racine carr´ee (xTx)1/2est appel´ee norme du vecteur xet est not´ee ||x||. Lorsque la
norme d’un vecteur est ´egale `a 1, le vecteur est dit norm´e. Tout vecteur peut ˆetre norm´e
en le divisant par la racine carr´ee de sa norme.
Deux vecteurs qui sont simultan´ement norm´es et orthogonaux sont dit orthonorm´es :
a0a=b0b= 1 et a0b=b0a= 0 ⇔aet bsont orthonorm´es
Une matrice dont toutes les colonnes prises deux `a deux sont des vecteurs orthogonaux
est dite matrice matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont norm´es, la matrice est
dite matrice orthonorm´ee.
Forme quadratique :
xTAx =
n
X
i=1
n
X
j=1
Aijxixj
Forme bilin´eaire :
xTAy =
n
X
i=1
n
X
j=1
Aij xiyj
Inversion
Une matrice carr´ee Aest dite inversible s’il existe une matrice carr´ee A−1(appel´ee matrice
inverse) telle que
AA−1=A−1A=I
Propri´et´es
(A−1)−1=A
(A−1)T= (AT)−1
(AB)−1=B−1A−1
Si la matrice Aest orthogonale, alors A−1=AT.
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D´eterminant d’une matrice carr´ee
Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donn´ee par
A=a b
c d ⇒A−1=1
ab −bc d−b
−c a 
Le nombre ad −bc est appel´e d´eterminant de la matice A. On le note
|A|= det(A) = 
a b
c d 
La matrice inverse A−1n’existe donc que si det(A) est diff´erent de 0.
Le d´eterminant peut se calculer de mani`ere r´ecursive. Par exemple pour n= 3, on a, en
d´eveloppant la premi`ere ligne :
A=
a b c
d e f
g h i
=a
e f
h i 
−b
d f
g i 
+c
d e
g h 
=a(ei −fh)−b(di −fg) + c(dh −eg)
=aei −afh −bdi +bfg +cdh −ceg
Dans ce d´eveloppement, chaque d´eterminant d’ordre 2 est appel´e mineur du terme qui le
pr´ec`ede. Le mineur de l’´el´ement xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i
et la colonne j. Par exemple, le mineur de aest :
mineur(a) = 
e f
h i 
=ei −fh
Le cofacteur de l’´el´ement xij est donn´e par l’expression :
cofacteur(xij ) = (−1)i+jmineur(xij )
Le cofacteur est donc le mineur pr´ec´ed´e d’un signe donn´e par le tableau suivant :
+−+...
−+−...
+−+...
... ... ...
On peut d´evelopper le d´etermiant par rapport `a n’importe quelle ligne ou colonne. En
pratique, quand faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plus
de 0. Pour chaque ´el´ement aij de la ligne ou colonne choisie,
Cette m´ethode est valable pour un d´eterminant de taille quelconque. En pratique pour
n > 3, il vaut mieux recourir `a un algorithme sp´ecifique.
Propri´et´es
det(AT) = det(A)
det(AB) = det(A) det(B)
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