Calcul matriciel

Calcul matriciel
Définitions
Une matrice n x m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes.
Exemple de matrice avec n = 2 et m = 3 :
M=
1 2 0
4 3 −1
n et m sont les dimensions de la matrice M.
Un matrice est symbolisée par une lettre en caractère gras. On note Mij l’élément situé à
l’intersection de la ligne i et de la colonne j :


... M1m
... M2m 

... ... 
... Mnm
M11 M12
 M21 M22
M=
 ...
...
Mn1 Mn2
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (ou, plus précisément vecteur-colonne) :


x1
 x2 

x=
 ... 
xn
Si n = m la matrice est dite matrice carrée.
Quelques matrices carrées particulières
Matrice unité (ou matrice identité) :

1
 0
I=
 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
Matrice diagonale :


D11 0
0
0
 0 D22 0
0 

D=
 0
0 D33 0 
0
0
0 D44
1
Matrice triangulaire :

T11 T12 T13
 0 T22 T23
T=
 0
0 T33
0
0
0

T14
T24 

T34 
T44
Une matrice carrée S est dite symétrique si Sij = Sji :

S11
 S12
S=
 S13
S14
S12
S22
S23
S24
S13
S23
S33
S34

S14
S24 

S34 
S44
Opérations sur les matrices
Egalité de deux matrices
Deux matrices A et B sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si Aij = Bij ∀ i, j.
Addition et soustraction
L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent
avoir les mêmes dimensions.
Exemples :
1 2 0
4 3 −1
1 2 0
4 3 −1
+
−
5 2 3
1 3 4
5 2 3
1 3 4
=
=
6 4 3
5 6 3
−4 0 −3
3 0 −5
Multiplication par un nombre
Lorsqu’une matrice est multipliée par un nombre, chaque terme de la matrice est mutliplié
par ce nombre :
Exemple :
2
1 2 0
4 3 −1
=
2
2 4 0
8 6 −2
Transposition
La transposée AT d’une matrice A (aussi notée A0 ) est la matrice obtenue en échangeant
lignes et colonnes de A.
A=
1 2 0
4 3 −1


1 4
⇔ AT =  2 3 
0 −1
La transposée d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.


x1
 x2 
T

x=
 ...  ⇔ x =
xn
x1 x2 ... xn
Multiplication matricielle
Produit scalaire
Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y est défini par :


y1
n
X
 y2 
T


x y = x1 x2 ... xn 
= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn =
xi yi
... 
i=1
yn
Ce produit, appelé produit scalaire, est noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même
dimension. Le résultat de cette opération est un scalaire. On peut noter que le produit
scalaire est commutatif : x · y = y · x.
Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux. A
deux dimensions, cela correspond à deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vecteurs x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalaire nul et on vérifiera facilement
qu’ils sont perpendiculaires.
Produit matriciel
Le produit matriciel se déduit du produit scalaire : le produit de la matrice A (n x m) par
la matrice B (p x m) est la matrice C (n x p) telle que l’élément Cij est égal au produit
scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B :
Cij =
m
X
Aik Bkj avec i = 1, ...n et j = 1, ...p
k=1
Ce produit matriciel est noté AB = C
Exemple
1 2 0
4 3 −1


5 1
9
7
. 2 3  =
23 9
3 4
3
Propriétés
Le produit matriciel est
• associatif : ABC = (AB)C = A(BC)
• distributif par rapport à l’addition : A(B + C) = AB + AC
• non-commutatif : (en général) AB 6= BA
La matrice unité I est l’élément neutre pour la multiplication : AI = IA = A
Transposée d’une somme : (A + B)T = AT + BT
Transposée d’un produit : (AB)T = BT AT
Quelques produits particuliers
Carré scalaire :
xT x =
n
X
x2i
i=1
Sa racine carrée (xT x)1/2 est appelée norme du vecteur x et est notée ||x||. Lorsque la
norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit normé. Tout vecteur peut être normé
en le divisant par la racine carrée de sa norme.
Deux vecteurs qui sont simultanément normés et orthogonaux sont dit orthonormés :
a0 a = b0 b = 1 et a0 b = b0 a = 0 ⇔ a et b sont orthonormés
Une matrice dont toutes les colonnes prises deux à deux sont des vecteurs orthogonaux
est dite matrice matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont normés, la matrice est
dite matrice orthonormée.
Forme quadratique :
T
x Ax =
n X
n
X
Aij xi xj
n X
n
X
Aij xi yj
i=1 j=1
Forme bilinéaire :
xT Ay =
i=1 j=1
Inversion
Une matrice carrée A est dite inversible s’il existe une matrice carrée A−1 (appelée matrice
inverse) telle que
AA−1 = A−1 A = I
Propriétés
(A−1 )−1 = A
(A−1 )T = (AT )−1
(AB)−1 = B−1 A−1
Si la matrice A est orthogonale, alors A−1 = AT .
4
Déterminant d’une matrice carrée
Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donnée par
1
a b
d −b
−1
⇒A =
A=
c d
ab − bc −c a
Le nombre ad − bc est appelé déterminant de la matice A. On le note
a b
|A| = det(A) = c d
La matrice inverse A−1 n’existe donc que si det(A) est différent de 0.
Le déterminant peut se calculer de manière récursive. Par exemple pour n = 3, on a, en
développant la première ligne :
a b c e f d f d e A = d e f = a
− b g i + c g h h
i
g h i = a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)
= aei − af h − bdi + bf g + cdh − ceg
Dans ce développement, chaque déterminant d’ordre 2 est appelé mineur du terme qui le
précède. Le mineur de l’élément xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i
et la colonne j. Par exemple, le mineur de a est :
e f = ei − f h
mineur(a) = h i Le cofacteur de l’élément xij est donné par l’expression :
cofacteur(xij ) = (−1)i+j mineur(xij )
Le cofacteur est donc le mineur précédé d’un signe donné par le tableau suivant :
+
−
+
...
−
+
−
...
+ ...
− ...
+ ...
...
On peut développer le détermiant par rapport à n’importe quelle ligne ou colonne. En
pratique, quand faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plus
de 0. Pour chaque élément aij de la ligne ou colonne choisie,
Cette méthode est valable pour un déterminant de taille quelconque. En pratique pour
n > 3, il vaut mieux recourir à un algorithme spécifique.
Propriétés
det(AT ) = det(A)
det(AB) = det(A) det(B)
5
Le déterminant d’une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments
diagonaux. En particulier, det(I) = 1.
1
Si A est inversible, alors det(A−1 ) =
det(A)
Si A est orthogonale, alors det(A) = ±1
Quelques opérations élémentaires sur les matrices
Multiplication d’une ligne d’une matrice pas un scalaire α
Pour multiplier tous les éléments d’une ligne i de A par une valeur α sans modifier les
autres lignes, on peut multiplier A par une matrice Iα identique à la matrice identité
excepté l’élément ii qui est remplacé par α.
Exemple :


 

1 0 0
a b c
a b
c
 0 α 0   d e f  =  αd αe αf 
0 0 1
g h i
g h
i
Lorsque α 6= 0, il existe toujours une matrice I−1
α qui effectue l’opération inverse. La
matrice I−1
est
simplement
la
matrice
I
dans
laquelle
α est remplacé par 1/α.
α
α
Echange de deux lignes d’une matrice
Une autre opération élémentaire est celle qui consiste à permuter deux lignes d’une matrice. Cela est effectué par la multiplication par une matrice IP qui est la matrice identité
I dans laquelle les lignes correspondantes ont été permutées. De façon générale, on peut
permuter les lignes k et l d’une matrice A (n × p) en la multipliant par une matrice Ip
dont les éléments sont Ipij = 0 pour tout i 6= j sauf Ipkl = Iplk = 1 et Ipii = 1 pour tout i
sauf Ipkk = Ipll = 0.
Exemple :


 

0 1 0
a b c
d e f
 1 0 0  d e f  =  a b c 
0 0 1
g h i
g h i
On s’aperçoit rapidement que multiplier deux fois A par Ip nous ramène à la situation
de départ.
Addition de deux lignes d’une matrice
Une troisième opération élémentaire sur les lignes d’une matrices A consiste à additionner
à une ligne de A une autre ligne, éventuellement multipliée par une scalaire α. Par exemple
ajouter α fois la ligne k à la ligne l peut se faire en multipliant A par une matrice Ia , qui
est un matrice identité I dans laquelle l’élément lk est remplacé par α.
6
Exemple :


 
a + αg b + αh c + αi
1 0 α
a b c

 0 1 0  d e f  = 
d
e
f
g
h
i
0 0 1
g h i

L’opération inverse est assurée par la soustraction de ces éléments, c’est-à-dire par la
multiplication de la matrice A par la matrice I−a , cette dernière étant Ia dans laquelle on
a remplacé l’élément lk par −α.
Application aux systèmes d’équations linéaires
Formulation matricielle
Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
...
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
où les xi sont les inconnues du système, les aij sont les coefficients et les bi sont les termes
constants
Un tel système peut s’écrire sous la forme matricielle :
Ax = b
avec

a11 a12
 a21 a22
A=
 ... ...
an1 an1


... a1n

... a2n 
 x=

... ... 
... ann


x1

x2 
 b=

... 
xn

b1
b2 

... 
bn
Résolution d’équations linéaires
Si la matrice est inversible (c’est-à-dire si son déterminant est non-nul), on a, en multipliant à gauche par A−1
A−1 Ax = A−1 b
soit
x = A−1 b
Un simple produit matriciel et le système est résolu !
7
Exemple :
Considérons le système de deux équations à deux inconnues suivant :
2x1 + 3x2 = 9
x1 − x2 = 2
On a
A=
2 3
1 −1
b=
9
2
det(A) = 2.(−1) − 3.1 = −5
A
Et donc
1
x=−
5
−1
−1 −3
−1 2
1
=−
5
−1 −3
−1 2
1
=−
5
9
2
−15
−5
=
3
1
On vérifira que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du système d’équations.
Lorsque la matrice n’est pas inversible, c’est-à-dire quand son déterminant est nul, deux
cas sont à envisager :
• soit le système est indéterminé : c’est le cas lorsqu’une des équations est une combinaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :
x1 + x2 = 3
2x1 + 2x2 = 6
• soit le système est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune équation est une combinaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :
x1 + x2 = 3
2x1 + 2x2 = 8
Enfin, on remarquera que le système d’équations homogènes
Ax = 0
ne possède des solutions non triviales (c’est-à-dire autres que x = 0) que si det(A) = 0.
8
Valeurs propres et vecteurs propres
Définitions
On dit qu’une matrice carrée A possède une valeur propre λ et un vecteur propre v si
Av = λv
En général une matrice de dimension n x n possède n valeurs propres réelles. A chaque
valeur propre est associé un vecteur propre (ou, plus précisément, une famille de vecteurs
propres).
Calcul des valeurs propres et vecteurs propres
L’équation ci-dessus peut se réécrire
Av − λv = (A − λI)v = 0
C’est-à-dire

a11 − λ
a12
 a21
a22 − λ


...
...
an1
an2

...
a1n
x1


...
a2n   x2
  ...
...
...
... ann − λ
xn
Ce système aura des solutions autres que la solution
a11 − λ
a12
a21
a
22 − λ
det(A − λI) = ...
...
an1
an2


=0

triviale si et seulement si
...
a1n ...
a2n =0
...
...
... ann − λ L’expression de ce déterminant est un polynôme de degré n en λ qui est appelé polynôme caractéristique de la matrice A et l’équation correspondante est dite équation
caractéristique.
En particulier, pour la matrice 2 x 2
a11 a12
a21 a22
l’équation caractéristique s’écrit
a11 − λ
a12 = λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 ) = 0
a21
a22 − λ Les valeurs propres sont donc
λ1,2 =
(a11 + a22 ) ±
p
(a11 + a22 )2 − 4(a11 a22 − a12 a21 )
2
9
Exemple :
Soit

2 2 1
A= 1 3 1 
1 2 2

L’équation caractéristique correspondante est
2−λ
2
1
3−λ
1
det(A − λI) = 1
1
2
2−λ
= λ3 − 7λ2 + 11λ − 5 = 0
Les solutions de cette équation sont λ1 = 5, λ2 = 1, et λ3 = 1.
Quand λ = λ1 = 5, on a



−3 2
1
x1
A − λI =  1 −2 1   x2  = 0
1
2 −3
x3
Une solution possible de cette équation est donnée par x1 = x2 = x3 = 1. Tout multiple
de ces valeurs est aussi solution. Ainsi les vecteurs propres associés à la valeur propre
T
λ1 = 5 sont tous les vecteurs de type k k k .
De même, les vecteurs propres associés aux valeurs propres λ2 = λ3 = 1 sont par exemple
T
T
2 −1 0
et 1 0 −1
et l’ensemble des vecteurs propres associés à λ2 = λ3 = 1
T
est donné par c1 v1 + c2 v2 = 2c1 + c2 −c1 −c2 .
Propriétés
• Si une valeur propre (au moins) est nulle, alors le déterminant est nul.
• Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Diagonalisation d’une matrice
Une matrice X est diagonalisable s’il existe une matrice A inversible telle que
D = AXA−1
est diagonale.
Toute matrice symétrique S est toujours diagonalisable et la matrice diagonale D ainsi
obtenue est composée des valeurs propres de S, et la matrice A est composée des vecteurs
propres de S.
Exemple :
Diagonalisons la matrice S suivante :


7 −2 1
S =  −2 10 −2 
1 −2 7
10
L’équation caractéristique est
7−λ
−2
1
−2 10 − λ −2
1
−2
7−λ
= λ3 − 24λ2 + 180λ − 432 = 0
Les solutions de cette équation sont 6, 6, et 12 :
Pour λ = 6, nous avons


x1
−1 2 −1
 2 −4 2   x2  = 0
x3
−1 2 −1

c’est-à-dire
x1 − 2x2 + x3 = 0
Comme vecteurs propres, nous choisirons deux vecteurs orthogonaux, par exemple :


 
1
1
 0  et  1 
−1
1
De même, pour λ = 12, on choisira par exemple le vecteur


1
 −2 
1
En normant ces trois vecteurs, nous obtenons la matrice
√
√ 
√

1/ 2 1/√3 1/ √6
A=
0√ 1/√3 −2/√ 6 
−1/ 2 1/ 3 1/ 6
Et on vérifiera que A diagonalise S, c’est-à-dire D = A−1 SA est diagonale, et que ses
éléments sont bien les valeurs propres de S. Notons que la matrice A ne doit pas forcément
être normée.
Une matrice carrée X (n x n) est diagonalisable si elle possède n valeurs propres distinctes
(condition suffisante mais pas nécéssaire).
Exemple :
Considérons la matrice


1 2 0
X= 0 3 0 
2 −4 2
Les valeurs propres de cette matrice sont 3, 2 et 1. Ces trois valeurs étant distinctes, la
matrice X est diagonalisable et la matrice A qui diagonalise X est composée des vecteurs
propres de X :


−1 0 −1
A =  −1 0 0 
2 1 2
On vérifiera que D = A−1 XA est une matrice diagonale dont les éléments sont les valeurs
propres de X.
11
Références
• Ayres F (1978) Matrices : Cours et problèmes, Serie Schaum.
• Depiereux E (2000) Note de cours, DEA en Bioinformatique.
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