Formes différentielles réelles et courants sur les espaces - IMJ-PRG

Formes différentielles réelles et courants sur les
espaces de Berkovich
Antoine Chambert-Loir
Irmar, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes Cedex, France
Courriel : [email protected]
Antoine Ducros
Institut de mathématiques de Jussieu, Université Pierre-et-Marie-Curie, Case 247, 4 place
Jussieu, 75231 Paris Cedex 05
Courriel : [email protected]
Table des matières
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1. Contexte et philosophie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2. Cet article.................................................. 4
0.3. Géométrie tropicale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.4. Remarques, perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.5. Remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 1. Formes différentielles en géométrie tropicale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1. Polytopes................................................... 12
1.2. Superformes, d’après A. Lagerberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Intégrale d’une (p, n)-forme sur un sous-espace de dimension p16
1.4. Formes différentielles sur un polytope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Calibrages et intégrales sur les polytopes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 2. Géométrie analytique et géométrie tropicale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Géométrie analytique : conventions et notations. . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Tores, squelettes, tropicalisations, moments. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Les tropicalisations sont des polytopes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Squelettes, degrés et tropicalisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 3. Formes différentielles réelles en géométrie ultramétrique. . . . . . . 35
3.1. Formes de type (p, q)sur un espace analytique. . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Support..................................................... 37
3.3. Partitions de l’unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Existence de tropicalisations (presque) globales. . . . . . . . . . . . . . 44
3.5. Calibrage canonique d’une tropicalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Condition d’harmonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7. Intégrales et intégrales de bord des formes tropicales. . . . . . . . 51
3.8. Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon
espace k-analytique........................................ 54

2ANTOINE CHAMBERT-LOIR & ANTOINE DUCROS
3.9. Premières propriétés de l’intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10. Propriétés spécifiques aux intégrales de (n, n)-formes. . . . . . . 58
3.11. Positivité, régularité et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.12. Formules de Stokes et de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§ 4. Courants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1. Topologie sur l’espace des formes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Courants.................................................... 63
4.3. Courants d’intégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4. Calcul différentiel sur les courants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5. Multiplicités et degré intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6. Le courant d’intégration δdiv(f)et la formule de Poincaré–
Lelong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§ 5. Courants positifs, théorie de Bedford-Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1. Formes positives en géométrie tropicale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2. Formes positives sur un sous-espace linéaire par morceaux. . . 80
5.3. Formes lisses positives sur un espace analytique. . . . . . . . . . . . . 81
5.4. Courants positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5. Fonctions plurisousharmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6. Produits de courants positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7. Un calcul d’opérateur de Monge-Ampère (cas réel). . . . . . . . . . 89
§ 6. Fibrés vectoriels métrisés...................................... 94
6.1. Compléments sur les espaces de Zariski-Riemann. . . . . . . . . . . . 94
6.2. Métriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3. Métriques approchables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4. Courant de courbure d’un fibré métrisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5. Préliminaires à propos de la réduction des germes. . . . . . . . . . . 105
6.6. Fibré résiduel d’un fibré PL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.7. Variation de la dimension de définition simultanée d’une
famille de fibrés métrisés PL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.8. Positivité résiduelle et « concavité » de la norme d’une section111
6.9. Calcul de l’opérateur de Monge-Ampère (métriques formelles)113
Références.........................................................121
Index..............................................................124

FORMES ET COURANTS SUR LES ESPACES DE BERKOVICH 3
INTRODUCTION
Cet article propose une théorie des formes différentielles et des courants à valeurs
réelles sur un espace analytique au sens de Berkovich. Avant d’en décrire la teneur,
expliquons un peu la philosophie qui nous a guidés.
0.1. Contexte et philosophie
(0.1.1) Pour des problèmes de géométrie arithmétique sur un corps de fonc-
tions k(C), où Cest une variété algébrique projective sur un corps k, il est courant
et fructueux de considérer un objet défini sur k(C)(variété, faisceau, morphisme...)
comme un germe d’objet sur Cpuis de le prolonger sur Ctout entier. La conjecture
de Mordell sur les corps de fonctions devient alors un énoncé sur les sections d’une
surface projective fibrée en courbes de genre au moins 2au-dessus d’une courbe
projective. On peut alors utiliser tout l’attirail de la géométrie algébrique sur cette
surface, notamment la théorie de l’intersection.
Sur les corps de nombres, la théorie des schémas de Grothendieck donne un corps à
ce principe. Cependant, le spectre Spec(Z)de Zest un schéma affine de dimension 1,
donc l’analogue d’une courbe algébrique affine, et n’a pas de compactification na-
turelle. Une telle compactification ne serait vraisemblablement pas définissable uni-
quement par l’algèbre. La nullité du degré du diviseur d’une fonction sur une courbe
projective a pour analogue la formule du produit. Dans cette analogie, c’est ainsi
aux points fermés d’une courbe affine que correspondent les idéaux maximaux de Z,
et le rôle des points à l’infini sera joué par la valeur absolue usuelle, archimédienne,
de Z, un objet de nature plus analytique, ou en tout cas topologique.
La théorie d’Arakelov ([2, 34, 38]) vise à pallier cette asymétrie en proposant
une théorie de l’intersection arithmétique sur les schémas réguliers, de type fini
sur Z. Dans cette théorie, les objets algébriques (cycles, fibrés vectoriels,...) sont
munis de structures supplémentaires définies par la géométrie analytique complexe
(courants de Green, métriques hermitiennes,...). Cette théorie a donné lieu à de très
beaux développements (par exemple, un théorème de Riemann-Roch arithmétique)
et à des applications importante en géométrie diophantienne classique (hauteur de
cycles [35, 18], théorèmes d’équidistribution de points de petite hauteur [51], preuve
de la conjecture de Bogomolov [55, 60]).
(0.1.2) Dans ce travail, nous avons souhaité remettre toutes les places sur le même
plan, non pas en inventant une structure algébrique aux places archimédiennes, mais
en tâchant de définir une structure analytique aux places ultramétriques. Ce n’est
certes pas une idée originale.
La théorie d’Arakelov non archimédienne [11] est une première élaboration. Étant
donnée une variété algébrique Xsur le corps des fractions Kd’un anneau de valua-
tion discrète R, ces auteurs travaillent non pas avec un modèle fixé X/R, mais avec
le système projectif de tous les modèles. Pour des raisons techniques, ils doivent se

4ANTOINE CHAMBERT-LOIR & ANTOINE DUCROS
restreindre aux modèles réguliers dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements
normaux stricts. Lorsque la caractéristique résiduelle de Rest strictement positive,
cela les oblige à admettre l’existence d’une résolution des singularités plongée. In-
dépendamment de cette restriction (le cas où R=C((t)) est déjà très intéressant),
leur théorie reste de nature très algébrique : formes, courants sont définis comme
des systèmes compatibles de cycles sur les différents modèles (pour des applications
convenables fournies par la théorie de l’intersection).
Dans le cas des courbes, la thèse [54] d’A. Thuillier fournit une théorie d’Arakelov
analytique à toutes les places fondée sur les espaces de Berkovich aux places ultra-
métriques et sur l’analyse complexe aux places archimédiennes. Dans le cas d’une
courbe sur un corps ultramétrique, il y développe aussi une théorie du potentiel
formellement analogue à celle qui vaut sur les surfaces de Riemann. Le cas de la
droite projective a été développé indépendamment par [4, 3]. Ces considérations
recoupent aussi les travaux de [50, 36, 37] en dynamique non archimédienne.
En dimension arbitraire, la théorie des mesures sur les espaces de Berkovich (due
au premier auteur [22] et raffinée par [39]) fournit une troisième incarnation de cette
idée. Si Xest propre, de dimension n, et si ¯ Lest un fibré en droites sur Xmuni d’une
métrique admissible au sens de [59], on construit une mesure sur l’espace analytique
Xan associé à X/K par Berkovich que nous notons c1(¯ L)n. En effet, cette mesure est
un analogue de la mesure de même nom lorsque ¯ Lest un fibré en droites hermitien sur
une variété analytique compacte de dimension n. Sa masse totale est égale au degré
deg(c1(L)n|X)de Xpour L. Elle donne aussi lieu à des théorèmes d’équidistribution
des points de petite hauteur tout à fait analogues à ceux évoqués plus haut dans le
cas archimédien ([22, 4, 36, 40, 58]). Voir aussi [23] pour un survol de la théorie
qui met en parallèle les cas archimédien et ultramétrique. Dans [40], Gubler montre
comment les idées de [55, 60] se transposent et permettent de prouver la conjecture
de Bogomolov sur les corps de fonctions lorsque la variété abélienne sous-jacente est
« totalement dégénérée ».
Divers mathématiciens se sont aussi intéressé à l’analogue du théorème de Yau
(conjecture de Calabi) dans ce contexte. Citons un travail non publié de Kontsevich
et Tschinkel (2000). Plus récemment, l’unicité d’une métrique conduisant à une
mesure prescrite (théorème de Calabi) est prouvée dans [57] en adaptant la preuve
de [12]. L’article [45] construit quelques solutions dans le cas de variétés abéliennes
totalement dégénérées. Les articles [19, 20] prouvent l’existence de solutions dans
de nombreux cas algébriques.
0.2. Cet article
(0.2.1) Dans le cas d’un fibré en droites hermitien ¯ Lsur une variété complexe X
c1(¯ L)est une forme différentielle de type (1,1) et sa puissance c1(¯ L)nest une forme
de type (n, n), laquelle donne lieu à une mesure si Xest de dimension n. La théorie
des mesures de [22] avait ceci d’insatisfaisant qu’elle définissait une mesure c1(¯ L)n

FORMES ET COURANTS SUR LES ESPACES DE BERKOVICH 5
tout en s’avérant incapable de donner un sens à l’objet c1(¯ L), lorsque ¯ Lest un fibré
métrisé sur une variété algébrique propre de dimension nsur un corps valué complet.
Combler cette frustration est la raison d’être du présent travail.
Au passage, nous étendons la théorie en traitant des variétés analytiques ni néces-
sairement algébriques, ni nécessairement compactes. Le caractère local des mesures
c1(¯ L)n(établi dans [23]) apparaîtra ainsi bien plus naturellement.
Soit donc kun corps valué complet, non archimédien. Soit Xun espace k-
analytique au sens de Berkovich [7, 8].
(0.2.2) Fonctions et formes lisses. — Nous appelons fonction lisse sur Xune
fonction sur Xà valeurs réelles qui s’écrit localement ϕ(log|f1|,...,log|fr|), où
f1, . . . , fr∈O×
Xsont des fonctions holomorphes inversibles sur Xet ϕest une fonc-
tion C∞sur Rrà valeurs réelles. Les fonctions lisses forment un sous-faisceau AX
du faisceau des fonctions continues sur Xà valeurs réelles. Si Xest bon et para-
compact, par exemple si Xest l’analytifié d’une variété algébrique, ce faisceau est
fin.
Plus généralement, si pet qsont deux entiers naturels, nous définissons une notion
de forme différentielle lisse de type (p, q)sur X, qui redonne la notion de fonction
lisse pour (p, q) = (0,0). Ce sont naturellement les sections de faisceaux Ap,q
Xqui
sont nuls si p > dim(X)ou q > dim(X). La somme directe de ces faisceaux est une
algèbre bigraduée commutative ; elle est munie d’opérateurs différentiels d0et d00 de
degrés (1,0) et (0,1) et de carrés nuls.
Si dim(X) = n, on peut intégrer les formes de type (n, n), pourvu bien entendu
qu’elles soient intégrables, ce qui est par exemple le cas si leur support est compact. Si
Xest l’analytifié d’une variété propre, l’intégrale d’une forme sur Xde la forme d0ω
est nulle.
Plus généralement, Berkovich a introduit la notion de bord ∂(X)de l’espace ana-
lytique Xet nous définissons aussi l’intégrale d’une forme de type (n−1, n)sur ce
bord. Ces définitions donnent lieu à l’analogue de la formule de Stokes :
ZX
d0ω=Z∂(X) ω,
si ωest une forme à support compact de type (n−1, n)sur X.
(0.2.3) Courants. — Nous introduisons alors la notion de courant. Comme chez
Schwartz et De Rham, ceux-ci sont définis comme les formes linéaires sur l’espace
des formes différentielles lisses à support compact (et, techniquement, qui évitent
le bord) qui vérifient une condition de continuité convenable. Par l’intégration des
formes différentielles de type (n, n)et le produit extérieur, les formes s’identifient à
des courants. L’intégration sur X, sur un sous-espace de X, une mesure sur Int(X),
donnent aussi lieu à des courants.
Si fest une fonction méromorphe régulière sur X(c’est-à-dire définie sur un
ouvert de Zariski dense), la fonction log|f|définit un courant. Notons div(f)le
diviseur de f(un cycle de codimension 1sur X) et δdiv(f)le courant sur Xqui se
déduit par linéarité des divers courants d’intégration sur les composantes de div(f).