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Introduction universitaire
aux mathématiques
Notes de cours
1re année du Bachelier en Sciences chimiques

Introduction
Ce cours se donne comme objectif principal de rappeler et fixer quelques
notions mathématiques essentielles pour aborder les cours d’une première
année universitaire en sciences chimiques.
Deux chapitres y sont abordés : les fonctions exponentielles et logarithmiques
d’une part et les nombres complexes d’autre part. Ces matières ont été étu-
diées dans l’enseignement secondaire. Votre cours de mathématiques pourra
donc être un bon support pour travailler ce cours.
Ce document reprend de manière très condensée l’essentiel de ce qu’il faut
maîtriser dans chaque chapitre. Il ne peut donc en aucun cas être considéré
comme un cours complet. Il s’agit d’un guide pour votre étude. En particulier,
aucune démonstration n’est proposée ici et les sujets abordés supposent que
vous maîtrisiez certains prérequis dont voici une liste non exhaustive :
notion de fonction ;
généralités sur les fonctions (domaine, image, racine, parité, croissance,
...) ;
manipulations de graphes ;
fonctions de référence (x2, x3,1/x, √x, |x|, fonctions affines, fonctions du
second degré...) ;
équations du second degré ;
trigonométrie (valeurs du cosinus, du sinus, de la tangente des angles re-
marquables, trigonométrie dans le triangle rectangle, formules classiques,...) ;
...
Le cours n’abordera pas les notions de limite et de dérivée. Aucun exercice
ne fait donc intervenir ces deux notions.
Dans ce cours, une attention particulière est également accordée au raison-
nement et aux justifications. Ainsi, vous devrez veiller, dans la résolution des
exercices, à expliquer clairement votre démarche avec des mots, à citer les
définitions et les propriétés que vous utilisez et à détailler vos calculs. Donner
la réponse finale sans aucune explication vous pénalisera lors de la correction
de vos copies.
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1. Fonctions exponentielles et lo-
garithmiques
1.1 Fonctions exponentielles
1.1.1 Rappel sur les exposants
Soit aun nombre réel strictement positif.
On a :
an=
a. a . . . a
| {z }
n fois
si n∈N0
a0= 1
Exemple : a5=a.a.a.a.a
On a aussi :
a−n=1
an
Exemple : a−4=1
a4.
Pour n∈Net d∈N0, on a :
an/d =d
√an
Exemple : a7/4=4
√a7.
Rappel : d
√x=rsi et seulement si rd=x.
1.1.2 Définition et propriétés
Soit a∈R+
0et a6= 1 (Voyez-vous pourquoi on travaille sous ces conditions ?).
On appelle fonction exponentielle de base ala fonction f(x) = ax.
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Les règles de calculs sur les exposants sont d’application pour les fonctions
exponentielles.
Propriétés :
ax.ay=ax+y(ax)y=axy
ax
ay=ax−yax bx=a bx
1.1.3 Représentation graphique
x
y
1
1
f(x) = ax
a > 1
x
y
1
1
f(x) = ax
0< a < 1
Caractéristiques :
Dom f=R,Im f=R+
0.
La droite y= 0 est une asymptote horizontale.
Si a > 1, la fonction f(x) = axest croissante.
Si 0< a < 1, la fonction f(x) = axest décroissante.
1.1.4 Le nombre e
Le nombre ea été introduit par Euler au 18esiècle (il est d’ailleurs aussi
appelé constante d’Euler ).
On retient en général que evaut approximativement 2,7mais le nombre e
est un nombre irrationnel : e=2,718281828459045....
On a : e = lim
n→+∞1 + 1
nn. Cette formule est donnée pour votre culture
générale, elle ne sera pas utilisée dans le cours.
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1.2 Fonctions logarithmiques
1.2.1 Définition et propriétés
Soit x∈R+
0et a∈R+ 0, a 6= 1.
Le logarithme en base ade xest la puissance à laquelle il faut élever a
pour trouver x.
Autrement dit :
logax=ysi et seulement si ay=x.
Conséquence : le logarithme en base ade xn’est défini que si xest stric-
tement positif. On peut alors considérer la fonction f(x) = logax, définie sur
R+
0.
Exemples : log24=2,log33 = 1,log51=0.
Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques sont des fonctions
réciproques.
On a donc :
logaax=xet alogax=x
Propriétés :
loga1 = 0 loga(u.v) = logau+ logav
logaa= 1 logau
v= logau−logav
logaun=nlogau
Vous devez être capables de démontrer ces propriétés.
Les propriétés précédentes sont souvent utilisées dans la résolution d’équa-
tions (ou d’inéquations) pour éliminer les logarithmes et utiliser la propriété
suivante :
logau= logavsi et seulement si u=v
Exemple : résoudre l’équation log3(2x−5) + log3(3x+ 7) = 4 log32.
Comme les fonctions logarithmiques sont définies sur R+
0, il y a deux condi-
tions d’existence :
2x−5>0et 3x+ 7 >0
c’est-à-dire x > 5/2et x > −7/3
c’est-à-dire x > 5/2
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