Le principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique
I Principe fondamental (PFD)
A) Enoncé
Il existe un référentiel d’espace, dit référentiel galiléen, et un référentiel de temps,
dit temps absolu, dans lequel le torseur de tout système matériel est égal au torseur des
actions extérieures appliquées à ce système :


[ma ]  [ Fext ] .
 


Ainsi, D  Fext et K ( A)  M ( A), A .
Remarques :
- Cet énoncé contient les trois lois de Newton
- Quand le système est un point matériel, on obtient deux équations vectorielles,
qui sont alors équivalentes.
B) Référentiel galiléen (ou référentiel d’inertie)
1) Relativité galiléenne
 On considère un référentiel R galiléen, absolu, et un référentiel R’, relatif,
en translation rectiligne uniforme par rapport à R :
 


ar  aa , donc [mar ]  [maa ]




Or, [ Fext ]  [maa ] , donc [mar ]  [ Fext ] , donc R’ est galiléen.
 Réciproquement, on peut montrer que si R est galiléen et R’ aussi, alors R
est en translation rectiligne uniforme par rapport à R’.
2) Recherche d’un référentiel galiléen
C’est une recherche empirique :
On fait des manipulations, observations. Si elles correspondent aux calculs
faits, on peut considérer que le référentiel est galiléen (dépend de la précision
possible des mesures).
 Référentiel de Copernic :
  
Repère (O, u x , u y , u z ) .
O : centre d’inertie du système solaire.
  
u x , u y , u z : vecteurs fixes par rapport à certaines étoiles.
 Référentiel géocentrique :
O : centre de la Terre
  
u x , u y , u z : fixes par rapport aux mêmes étoiles (Ainsi, le référentiel
géocentrique est en translation par rapport au référentiel de Copernic).
 Référentiel du laboratoire.
O : à la surface terrestre.
  
u x , u y , u z : liés à la Terre.
II Théorème de l’action et de la réaction
A) Enoncé et démonstration
S
S1
S2


S : [ma]  [ Fext ]



S1 : [m1a1 ]  [ Fext 1 ]  [ F21 ]



S2 : [m2a2 ]  [ Fext 2 ]  [ F12 ]
En sommant les deux dernières égalités, on obtient :




[ma]  [ Fext ]  [ F12 ]  [ F21 ]






Ainsi, [ F12 ]  [ F21 ] , c'est-à-dire F12  F21 et M12  M 21 .
(Le théorème est faux en relativité)
B) Application
M
G

g
↑ : Actions de la poutre sur le mur : compliqué à calculer.
On peut chercher à étudier les actions du mur sur la poutre ?
Torseur dynamique : nul car la poutre ne bouge pas.
Ce torseur est aussi égal à la somme du poids de la poutre (glisseur passant par G)
et de l’action du mur sur la poutre.
Ainsi, l’action du mur compense le poids, et c’est donc aussi un glisseur.
III Théorème de la résultante dynamique (TRD)
A) Enoncé
 


D  Fext 

 Donc Ma (G)  Fext .

D  Ma (G ) 
B) Interprétation
Le mouvement du centre d’inertie ne dépend que des actions extérieures
C) Exemples
 Plongeur :




Quand un plongeur quitte le plongeoir, on a Ma (G )  Mg , soit a (G )  g .
Ainsi, G a une trajectoire parabolique (quoi que fasse le plongeur, à partir du
moment où on peut négliger les frottements de l’air)
 Deux mobiles autoporteurs :
L’ensemble des deux autoporteurs est isolé.
On les envoie l’un sur l’autre :
G
Le mouvement de G ne sera pas perturbé par le choc.
 Obus :
On vise la cible avec l’obus, mais l’obus éclate arrivé en haut…
Si les éclats d’obus n’arrivent pas à terre, le centre d’inertie des éclats d’obus
touchera quand même la cible.
IV Théorème de la résultante cinétique (TRC)
A) Enoncé, démonstration
 
On a D  Fext

 dP
De plus, pour un système fermé, D 
.
dt

dP 
Ainsi, pour un système fermé,
 Fext .
dt
B) Intégrale première du mouvement




dP 
Dans le cas où Fext  0 , on a
 0 , donc P  cte : intégrale première du
dt
mouvement (c'est-à-dire qu’au lieu d’une équation différentielle du deuxième ordre du
mouvement, on a pu intégrer une première fois et obtenir une équation différentielle du
premier ordre)
C) Application
1) Recul d’un fusil
m2
m1
Système : balle + fusil
Le système est pseudo-isolé : le poids est compensé.




Ainsi, Fext  0 , donc P  cte  0 (initialement)


  
Donc m1v1  m2 v2  0 ( P1   P2 )
  m1 
Donc v2 
v1 .
m2
La quantité de mouvement est égale (en module) pour chacune des deux
masses.
1
1 P2
Or, EC  mv2 
.
2
2 m
EC1 m2
Donc
. L’énergie cinétique est donc plus importante dans la balle.

EC2 m1
2) Homme dans une barque
m
M
l
Lac
immobile
L’homme va chercher son sac de l’autre côté de la barque.
De quelle distance se déplace t’il par rapport à la rive ?
 Analyse :
L’homme exerce une action sur la barque (pour avancer) ; il pousse donc la
barque qui va se déplacer vers l’arrière (force de contact).
 Hypothèses :
- barque + homme : pseudo-isolé (la réaction du lac sur la barque
compense le poids)
Théorème de la résultante cinétique appliquée au système barque + homme :



P  cte , soit (m  M )v (G)  cte  0
Ainsi, G reste immobile pendant la traversée.
G
C
La distance parcourue par rapport à la rive est donc de 2Gm .
M
d
l d
Donc m   M    , soit d  l 
M m
2
2 2
Le résultat est satisfaisant : si l’homme se déplace sur un gros bateau, sa
distance parcourue par rapport à la rive sera quasiment celle qu’il parcourt par
rapport au bateau, et vice-versa.
 
- On suppose qu’il y a en plus une force de frottement fluide  fv ( v :
vitesse de la barque)
D’après le théorème de la résultante dynamique,


(m  M )a (G )   fv .
 
 
Donc (m  M ) a (G)dt   f  v dt
0
0



Soit (m  M )(vG (t  )  vG (t  0))   fr

(  r : déplacement de la barque)




Or, vG (t  0)  0 , et vG (t  )  0 car si G atteignait une vitesse non nulle

au bout d’un temps infini, le déplacement  r serait infini, ce qui n’est pas
possible avec la formule.
 
Ainsi, r  0 . C ne se déplace donc pas entre l’état initial et l’état final.
3) Mouvement d’une fusée

On note Dm le débit massique d’éjection des gaz, u la vitesse d’éjection
(par rapport à la fusée).

m, v dépendent de t, et m(t )  m0  Dmt .
- Système : matière contenue dans la fusée à l’instant t :
m
t
m+dm
t+dt
-dm
- Référentiel terrestre, galiléen

- Actions extérieures : poids, mg .
- Théorème de la résultante dynamique :


dP
 mg .
dt 



 


dP  P(t  dt )  P(t )  (m  dm)(v  dv )  (dm)(u  v  dv )  mv


 mdv  dm.u





dv dm 
dv
u  mg , soit m
 mg  Dmu .
Donc m 
dt dt
dt


F   Dmu : force de poussée.
4) Chocs

-
Aspect dynamique :
Définition : on dit qu’un point matériel/solide subit un choc lorsqu’il
subit une action très intense (par rapport aux autres forces) sur un
intervalle de temps très bref (devant les autres temps caractéristiques)
F
t

- Modélisation :
Par un Dirac :
t 0  

On pose   t Fdt : percussion du choc. ( t 0 : début du choc)
0

F
t
 Aspect cinématique :
Théorème de la résultante cinétique :

dv 
m
F
dt
t 0  
t 0  
Donc par intégration m  dv   Fdt
t0
t0



Ainsi, m(v (t0   )  v (t0 ))  
On a donc une discontinuité de la vitesse (avec la modélisation en Dirac) :
v
t

Variation de quantité de mouvement au cours d’un choc :
- S1 :


dP1 
 F21  Fext 1 .
dt
 
t 0  
t 0  
Donc P'1  P1   F21dt   Fext 1dt .
t0


 t0

 21
t 0  

On suppose qu’on peut négliger  Fext 1dt devant  21 .
t0
  
Ainsi, P'1 P1   21
  
- De même pour S 2 ¸ P'2 P2  12

 
t 0  
- Pour les deux ensemble, P' P   Fext dt  0
t0
 
 
Ainsi, P'1  P'2  P1  P2 .

Attention, il faut pouvoir négliger la percussion de Fext , ce qui n’est pas
toujours le cas :
On lance une boule de pétanque sur une autre
Il va y avoir un choc entre les deux boules, mais le sol va aussi réagir en
percutant la boule qui est à terre.

-
Conservation de l’énergie :
Cas général :
Pour le système {1+2} : E  
choc
Pext dt  Pext   0

finie
Or, E  EC ,macro  EP  U , et EP  0 (les boules ne se déplacent pas
pendant le choc)
Donc EC ,macro  U  0
Exemple : pâte à modeler :
 vitesse nulle après le choc.
1
2  (  mv02 )  U  0 ( v0 : vitesse juste avant le choc)

2

 EC1  EC2
- Choc élastique :
Définition : c’est un choc pour lequel EC ,macro  0 (pas de dissipation
d’énergie)
 Dans le référentiel barycentrique :
- Cas général (pour deux points matériels)

    
P1  P2  0 , P'1 P '2  0

P1

P '2

 P2
P '1
- Pour un choc élastique :




On a de plus P1  P2  P'1  P'2
On a ainsi une rotation des quantités de mouvement.
V Les théorèmes du moment cinétique
A) Enoncé
1) Théorème du moment cinétique par rapport à un point
 Expression générale :
Principe fondamental de la dynamique :


K ( A)  M ( A), A



d ( A) 
 K ( A)  Mv (G )  v ( A)
dt



d ( A) 
 M ( A)  Mv (G )  v ( A) (quel que soit le point A)
Donc
dt
 Cas particulier :
Si on choisit le point A fixe ou si on prend G :

d ( A) 
 M ( A) .
dt
2) Théorème du moment cinétique par rapport à un axe de direction fixe
A


 du  0
u
dt
Principe fondamental de la dynamique : K  M  , 




du  d 
0,
 K   ( Mv (G )  v ( A))  u
Si
dt
dt



d 
 M   ( Mv (G )  v ( A))  u
Donc
dt
Cas particulier :


Si  est fixe ( v ( A)  0 ) ou de direction fixe passant par G ( A  G ) :
d 
 M
dt
B) Intégrale première du mouvement
-




d ( A) 
Si M ( A)  0 , alors
 0 , soit  ( A)  cte
dt
Si M   0 , alors    cte
C) Cas particulier : solide en rotation autour d’un axe fixe ou de direction fixe passant
par G.
(fixe dans le référentiel galiléen ou fixe passant par G dans le référentiel
barycentrique). D’après le théorème du moment cinétique, on a :
d 

 M

 donc J   M 
dt
   J  
D) Application
1) Pendule pesant
O

u

 G ur

g
 Un seul degré de liberté
 Système : {pendule}
 Référentiel du laboratoire, galiléen
 Actions :

Torseur des forces de pesanteur uniforme, glisseur [P]

Torseur des forces de contact, [R] .
 Mouvement :
 

TRD : ma (G )  P  R ; inutile ici
Théorème du moment cinétique par rapport à  :
J   M P  M R . On suppose qu’il n’y a pas de frottements, ainsi M R  0
De plus, M P  mg l sin  . Donc M P  mgl sin  .

bras de levier
Ainsi, l’équation différentielle du mouvement est J   mgl sin   0
Si  reste petit : sin   
mgl
mgl
 
  0 , donc   0 cos(t   ) , où  
J
J
 Action de contact :



ma (G )  ml 2ur  ml.u .



P  mg cos .ur  mg sin  .u




R  Rr ur  R u  Rz uz
On peut ainsi calculer Rr , R , Rz ( Rz  0 )
2) Mouvement d’une boule sur un plan incliné
m, R
f  f0

On pose la boule sans vitesse initiale.
On cherche une condition sur f et  de roulement sans glissement.
 Analyse :
 doit être suffisamment petit, et f suffisamment grand. On aura ainsi une
condition de la forme f   ( ) où  est une fonction croissante de  .
Deux conditions de roulement sans glissement :
 
vG  0


T  f0 N .
 Paramétrage :
y
z x


x  x(G ) .
Roulement sans glissement : x   R .
 Référentiel galiléen


 Actions : [P] , [R] (pas de frottement de roulement/pivotement)
 Principe fondamental de la dynamique :
- Théorème de la résultante dynamique :
 mx  mg sin   T

0  mg cos   N
Donc N  mg cos  .
- Théorème du moment cinétique par rapport à Gz :
J   M P  M N  M T  T  R
 
0
0
2
 x
2
 T R , donc T   mx
Soit mR2 
5
R
5
7
5
- Ainsi, mx  mg sin  , soit x  g sin 
5
7
2
D’où T   mg sin 
7
2
2
La condition s’écrit donc sin   f cos  , soit f  tan  .
7
7
 On peut montrer que cette condition nécessaire est aussi suffisante.
(avec mes conditions initiales)
3) Machine d’Atwood

y
z x O
m2
y2
m1
y1
Poulie : masse M, rayon R, moment d’inertie J  .
Fil : masse négligeable, inextensible, ne glisse pas.
On a :
y1  R (inextensible, pas de glissement)
y1   y 2 (inextensible)
 Système : fil + poulie + les deux masses (le système n’est pas un solide !)
 Référentiel du laboratoire, galiléen.




 [ P1 ] , [ P2 ] , [ PP ] , [R] (réaction de l’axe de rotation de la poulie).
 Théorème du moment cinétique par rapport à   Oz :
d 
 M
dt
On a    J   m1 y1  R  m2 y 2  R  ( J   m1R 2  m2 R 2 )
Et M   M P1  M P2  m1 gR  m2 gR
Donc  
(m2  m1 ) gR 2
(m2  m1 ) gR


,
y

1
J   m1 R 2  m2 R 2
J   m1R 2  m2 R 2
4) Scarabée sur un plateau
m
J , R
Le plateau peut tourner sans frottements
Le scarabée (m) fait un tour du plateau.
- Analyse :
Le plateau se déplace par réaction au déplacement du scarabée.
- 2 degrés de liberté (cinématiquement) :

S  S0
    
- Référentiel terrestre
- Système scarabée + plateau.
- Actions extérieures :



[ Ps ] , [ Pp ] , [R] (réaction de l’axe)
- Théorème du moment cinétique par rapport à Oz :
d 
 M  0
dt
Donc    cte  0
Or,    J   mR  R
1
Donc ( J   mR2 )  mR2  0 , soit d  
d
J
1
mR2
Ainsi, lorsque le scarabée a fait le tour (   2 ) :
2
  
J
1 2
mR
- Discussion :
La relation est bien homogène, le signe est satisfaisant, et le rapport
aussi (plus le plateau est lourd, moins il se déplacera)
VI Compléments
A) Equilibrage des pièces tournantes

O
1) Position du problème
J
mR 2

  R
Le solide est soumis à [ R ] :  
M ( A)

  R
Donc par réaction l’axe est soumis à  [ R ] :  
.

M
(
A
)

A quelles conditions la tige ne casse t’elle pas ?

R :

R

 R

 R//

Il faut ainsi éviter  R (L’action longitudinale n’a pas autant d’effet, sauf
peut-être l’usure des bords)

 M ( A) :

 M ( A)

 M //

 M

 M // : torsion de l’axe ; ok : la tige est faite pour ça.

 M  : risque de casser l’axe.
Ainsi, dans les deux cas, on doit faire attention aux composantes
orthogonales.
2) Résultante


u

ur
G

TRD :
 
 



ma (G )  P  R , soit  R  P  m((rG 2 )ur  rGu ) .

Pour P : il suffit d’avoir une tige suffisante (le poids ne change pas)

 mrGu : il suffit de ne pas accélérer trop brutalement.

Plus gênant : mr  2u , qui peut très bien ne pas être majoré.
G
r
On peut ainsi faire en sorte d’avoir G sur l’axe (et on retire par la même la
composante précédente)
3) Moment
TMC :


d (O)
M (O) 
(O est fixe)
dt




 (O )

 (O)  J O () .

d (O)  
    (O) , ce qui peut
Si par exemple la rotation est uniforme,
dt
casser la tige. Il faut que l’axe de rotation soit un axe propre d’inertie.
B) Chaînette
On considère un fil homogène, inextensible, parfaitement flexible, et de masse
linéique  .
A
B
1) Equation fondamentale de la statique des fils
Cas général :
Pour un petit élément de fil :

T ( s  ds )

dF

 T (s )


On a [ R ]  [T ] : glisseur tangent au fil (le fil est parfaitement flexible, donc
il n’y a pas de moment de torsion ou d’action de cisaillement)

 


 
Ainsi, T ( s  ds)  T ( s)  dF  0 , soit dT  dF  0

 
dT  
 f  0 (ds : abscisse curviligne).
On a dF  fds , d’où
ds




dT
Ici, dF  dsg , donc
 g
ds
2) Projection
Sur un repère (O, x, y, z ) orthonormé où z est vertical :
dTx  0 , dTy  0 , dTz  gds .
- Le fil est dans un plan vertical. En effet :
z

Élément de fil
y

x
Ainsi,
Tx  T cos  cos   cte 
  cte
Ty  T cos  sin   cte 
Tz  T sin 
En choisissant l’axe Ox convenablement, on peut prendre   0 .
Ainsi, le fil est dans le plan xOz , et de là Tx  T cos   cte  T0 .
- Forme du fil :
z

x
Tz  T0 tan 
Tz  T0 tan   T0
dz
.
dx
d 2z
 dz 
Donc dTz  T0 2 dx  gds  gdx 1   
dx
 dx 
dz
u.
On pose alors
dx
Ainsi, l’équation devient :
du
T0
 g 1  u 2 .
dx
2
 g

 g

T
Donc u  sh 
x   , d’où z  0 ch
x    k
g  T0
 T0


- On a trois inconnues (à savoir T0 , , k ). Détermination :
A
B
O
On peut faire en sorte d’avoir O au milieu de A et B.
d
d
Ainsi, A   , B  .
2
2
On en tire que   0 .
De plus, 0 
T0  gd 
k
ch
g  2T0 
2
 dz 
Et enfin,  ds   1    dx  l (l : longueur totale de la tige)
 dx 
- Commentaire :
T
T  0 ; si la chaînette casse, ce sera donc à une extrémité.
cos 
C) Chute d’une règle sur un coin de table
1) Analyse
d
G
(Vocabulaire : d : porte-à-faux)
La règle va commencer par tourner, puis glisser.
On cherche l’angle  l à partir duquel elle commence à glisser.
l   (d , m, f , g , l ) .
Analyse dimensionnelle :
d et l : [L ] ; m : [M ] ; f sans dimension ; g : [ L][T ]2 .
Ainsi,  l est indépendant de g et m, et à priori d et l apparaîtront sous forme
d’un rapport.
2) Mouvement
 Système : règle
 Référentiel du laboratoire, galiléen.


 Actions : [P] , [R] .
 Paramétrage :

R

uz
G


P

u

ur
 TMC par rapport à Oz :
J  mg  d cos 
 L2

Soit m  d 2   mgd cos 
 12

2

1L
Et   d 2  2   gd sin   cte

2  12
0

 Projections :



ma  m  (d . 2 )ur  md.u



R  T .ur  N .u



P  mg sin  .ur  mg cos .u
(On a   0 )
gd sin 

1  l2
  d 2 
2  12

gd cos 
Et N  mg cos   md.  mg cos   md 2
l

  d 2 
 12

Ainsi, T  mg sin   md. 2  mg sin   md 
1
.
36d 2
1 2
l
On retrouve bien ce qui avait été prévu (indépendant de g, m)
On remarque que  l augmente très vite lorsque le porte-à-faux diminue.
 On tire après calculs que tan  l  f
D) Percussion sur une règle
1) Règle posée sur un plan horizontal sans frottements
Dessin vu de haut :
A
B
G

 uz


uy

ux
 
On suppose que  // u y
Quel est le mouvement de la règle ?
 Principe fondamental de la dynamique :




[
ma ]  [
P
]

[
P
]

[
F
]



torseur
horizontal
torseurs
verticaux
horizontal


Ainsi, [ma ]  [ F ] .

F : forte entre 0 et  , nulle après.
 Phase de percussion :
- TRC :

dv (G ) 
m
F
dt


Donc mdv (G )  Fdt
 



Soit m(v (G, )  v (G,0))   Fdt  

0
0



Donc v (G , ) 
m
- TMC par rapport à Gz :
ml 2 
l
  F
12
2
6
6
6
F . Donc ( )  (0) 
 , c'est-à-dire ( )  
Donc  
ml
ml
ml
 Phase ultérieure :

TRC : v (G )  cte
TMC :   cte
G
 Commentaires :
- La percussion impose les conditions initiales de la règle.
- S’il y avait des frottements :







[ma ]  [ R]  [ P]  [ F ] , soit [ma ]  [T ]  [ F ]



T  f N  f P (donc T reste fini pendant la percussion).
La phase de percussion reste donc la même.
2) Règle mobile autour d’un axe vertical










PFD : [ma ]  [ P]  [ R]  [ F ]
Phase de percussion :


 
dv (G )  
 F  R . Donc v (G, )     R
- TRC : m
dt
- TMC par rapport à l’axe de rotation : J   F  l .
l2
l2
l2 
3
Comme J   m  m , on a m  ( )   .l , soit ( ) 
.
ml
12
4
3



l
3 
 
Ainsi, v (G, )  ( )u y 
 l.u y  32 .u y
2
2 ml
m
 



(Et 32    R   , donc  R  12  ).
E) Pont suspendu

uy
Masse négligée

ux
Masse linéique 
1) Forme du câble porteur

On suppose que les câbles verticaux sont assez rapprochés pour
considérer que la forme est continue.

T ( s  ds )

 T (s )

dF

 


 
On a alors à l’équilibre T ( s  ds)  T ( s)  dF  0 , donc dT  dF  0
 Equilibre du tablier :


dF '   dF



dF ' ' '   dF ' '   dF


dF ' '  dF
(Le fil a une masse nulle)



 

 
Ainsi, à l’équilibre, dF ' ' ' dmg  0 , donc dF  dmg puis dT  dmg  0
 Equation différentielle :



On a dT  dxg  gdx.u y
Donc dTx  0 , soit Tx  cte  A . Donc T  cos  A , où  est l’angle que
fait le fil avec l’horizontale.
On a aussi dTy  g.dx , soit d (T sin  )  g.dx
Donc Ad (tan  )  g.dx
Comme tan  
d 2 y g
dy
, on a
.

dx
dx 2
A
1 g 2
x  Bx  C .
2 A
 Détermination des constantes :
Si le câble est attaché à la même hauteur en deux points de distance d, on a
1 g
x.( x  d )
y  0 pour x  0, d . Donc C  0 , y 
2 A
En connaissant la longueur du câble, on peut ensuite calculer A. (on doit
trouver A proportionnel à g et  , par homogénéité ; ainsi,la forme du câble ne
dépend pas de la masse du tablier)
Donc y 
F) Percussion horizontale sur une boule de billard
m, R


h


uy

uz
G

ux
f  f0
La boule est soumise à :

- Son poids P

- La réaction du support R

- La percussion F , qui dure pendant un temps  .
1) Phase de percussion
 D’après le théorème de la résultante dynamique,
  

ma (G )  F  P  R
Donc en intégrant :
 
 
 

mvG ( )   Fdt   Pdt   Rdt
0
0
0
   
 

   0   Rdt     T   N
0
On suppose que la boule ne décolle pas : en projetant, on obtient :
mx ( )     T

0 N

Donc il n’y a pas de percussion verticale.


Puis comme T  f . N , on a aussi  T  0 .



D’où ensuite vG ( )  .
m
 On applique le théorème du moment cinétique par rapport à Gz :
J   T R  F .( R  h)


Donc en intégrant : J ( )   T Rdt  ( R  h) Fdt  ( R  h)
0
0
5 Rh
Ainsi, ( ) 

2 mR 2
2) Mouvement ultérieur
 Principe fondamental de la dynamique
- Théorème de la résultante dynamique :
 

ma (G )  P  R , donc mx  T , N  mg
- Théorème du moment cinétique par rapport à Gz :
5T
J   T R , soit R 
2m
 Vitesse de glissement :





vg  v ( I  S )  v (G )  IG    ( x  R)u x

 7T 
donc vg  ( x  R)u x 
ux
2m
Mais T vg  0 , donc vg v g  0 , soit

Cas où v g ( )  0 :
dv g2
dt
0
- Condition sur  :
 5 h 
On doit avoir x ( )  R( )  0 , donc  1    0 , soit h  75 R .
m 2 Rm
- Mouvement :
5T
On a alors x   R , mx  T , R 
2m
5
Donc mx   T
2
Et donc T  0 , x  0 ,   0 , c'est-à-dire qu’on a un mouvement rectiligne
uniforme.
 Cas où v g ( )  0 :
- Condition : il faut que h  75 R
- Phase de glissement : T  0
On a alors T   fN   fmg
Donc x   fg , soit x  x ( )  fgt
5T
5
5
Et R 
  fg , soit R  R( )  fgt
2
2m
2
2
1
Fin de la phase : c’est lorsque x (t1 )  R(t1 )  0 , soit t1  vg ( ) 
7
fg
5 
h
On a alors x (t1 ) 
2    0
7 m
R
Donc la boule ne reviendra jamais en arrière, quel que soit la manière dont
on la frappe : si on veut faire un effet « rétro », on est obligé de percuter la boule
de façon oblique.