énoncé

Spé ψ 2015-2016
Devoir n°2
TRAITEMENT DU SIGNAL
ÉTUDE D’UN DÉTECTEUR DE MÉTAUX
On se propose d’étudier un système électronique permettant de détecter la présence d’un
objet métallique (ferreux ou non ferreux) proche de la surface du sol.
Le principe est basé sur la modification de la fréquence d’un oscillateur harmonique à circuit
LC dont l’inductance L varie à l’approche de l’objet métallique.
Pour compenser l’effet de sol, qui est une modification de la fréquence liée à la nature et à la
proximité du sol, on utilise en réalité deux oscillateurs harmoniques, donc deux bobines sans noyau
situées dans la tête de détection. (Voir le schéma synoptique sur la figure 1.)
Tous les A.L.I. sont idéaux et alimentés sous ± VCC = ± 15 V; les tensions de saturations sont
égales aux tensions d’alimentation.
I-OSCILLATEURS HARMONIQUES
On n’étudie que l’oscillateur 1 représenté sur la figure 2:
I-1) L’interrupteur K est ouvert. On applique une tension sinusoïdale v1 de pulsation ω.
a) Quelle est la nature du montage de la chaîne directe. Exprimer l’amplification
V
complexe en tension A = 2 .
V1
V
b) Exprimer la fonction de transfert complexe B = 3 de la chaîne de réaction, en
V2
fonction de R3, R4, C1, L1 et ω.
I-2) Après suppression du générateur fournissant v1, on ferme K.
a) Écrire la condition d’oscillation sinusoïdale du système bouclé à la pulsation ω1.
En déduire les deux relations entre R1, R2, R3 et R4 d’une part, entre L1, C1 et ω1 d’autre part.
b) Application numérique: C1 = 15 nF; R1 = 2 R2; R4 = 33 kΩ; amplitude de v2 :
V2 = 15 V.
calculer la valeur de L1 pour que la fréquence de l’oscillateur soit
f1 = 9 230 Hz;
calculer la valeur de R3;
calculer la valeur de l’amplitude de la tension v3.
c) Expliquer sans calcul comment on obtient les oscillations en pratique et comment
sont éventuellement modifiés les résultats précédents.
L’oscillateur (2) ayant la même structure que le précédent, il délivre une tension sinusoïdale
v’3 de même amplitude mais dont la fréquence f2 est égale à 9 100 Hz.
II-FILTRE
Le filtre est représenté sur la figure 3 ; on étudie la fonction de transfert de ce filtre T =
V5
V4
II-1) Établir l’expression de T et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme:
−1
T ( jω ) =
1
1 + j R5Cω −
R0Cω
FG
H
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IJ
K
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avec R0 = 2
R5 .R6
.
R5 + R6
−1
trouver l’expression de Q et ω0.
ω ω0
1 + jQ
−
ω0 ω
3) Application numérique: R5 = 159 kΩ; R6 = 470 Ω; C = 100 nF.
ω
Déterminer les valeurs numériques de Q, f 0 = 0 ainsi que celle de |T| en ω0.
2π
4) Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude. Quelle est la nature du filtre ? Est-il
sélectif ?
2) En utilisant la forme T ( jω ) =
FG
H
IJ
K
III-ÉLABORATION DU SIGNAL V5
Le multiplieur reçoit les tensions v3 et v’3 et donne en sortie la tension v4 = k.v3.v’3 avec
k = 0,10 V–1.
III-1) Quelle est la nature de la tension v5 à la sortie du filtre ? Préciser son amplitude et sa
fréquence f5.
III-2) Quand on approche la tête de détection du sol, les fréquences f1 et f2 des oscillateurs
varient de la même valeur ∆f : c’est l’effet de sol. Montrer que la fréquence de la tension v5 n’est pas
changée c’est-à-dire que l’effet de sol est bien compensé.
On ne tiendra pas compte de l’effet de sol dans la suite.
III-3) En présence d’un objet métallique plus proche de la bobine (1) que de la bobine (2), la
fréquence f1 de l’oscillateur (1) varie suivant la nature, la proximité et la dimension de l’objet. On
admet que la variation relative de fréquence de cet oscillateur est inférieure ou égale à 5,42×10–4 et
que la fréquence f2 de l’oscillateur (2) demeure égale à 9 100 Hz.
a) Calculer entre quelles limites varie la fréquence f1 pour un objet ferreux qui provoque une augmentation de la valeur de l’inductance L1.
b) Calculer entre quelles limites varie la fréquence f1 pour un objet métallique non
ferreux qui provoque une diminution de la valeur de l’inductance L1.
c) En déduire entre quelle limites varie la fréquence f5 de la tension v5.
IV-CONVERSION FREQUENCE-TENSION
Le montage est celui de la figure 4 dans lequel les courants d’entrée du circuit monostable et
du circuit moyenneur sont considérés comme nuls.
IV-1) La tension v5 = – 5 cos [2π(f1 – f2).t] est appliquée à l’entrée du montage.
a) Déterminer la tension v6(t).
b) La diode D est idéale (uD = 0 en mode passant, iD = 0 en mode bloqué); suivant les
valeurs de v6, indiquer les valeurs de la tension v7 pour R8 = 2 R7.
c) Représenter les tensions v6 et v7 en concordance des temps avec la tension v5 donnée sur la figure 5.
IV-2) Le monostable est déclenché par le front montant du signal d’entrée comme l’indique
la figure 6. Sa durée de bascule est négligeable
a) À quel intervalle de temps, pendant la période [0, T], correspond l’état instable du
monostable ? Quelle est alors la valeur de v’7.
b) Combien de temps l’état instable dure-t-il ?
IV-3) Le bloc moyenneur réalise la fonction valeur moyenne v8 = v '7 .
a) Exprimer v8 en fonction de V0, θ et f7 = 1/T.
b) Proposer, en le justifiant, un montage moyenneur.
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c) Le convertisseur fréquence-tension utilisé en réalité dans le montage réalise la relation v8= a⋅f7 + b, a et b étant des constantes. On indique que v8 = 15 V pour f7 = 140 Hz et que
v8 = 0 V pour f7 = 120 Hz. Quand un objet métallique est détecté, la fréquence f7 de la tension v7
peut prendre une valeur comprise entre 125 Hz et 135 Hz. Déterminer les valeurs correspondantes
de la tension v8. Que vaut la tension v8 en l’absence d’objet métallique ?
IV-4) Le montage du monostable est indiqué figure 7. Il est réalisé avec des portes logiques
NON OU (NOR) et NON (NOT) de technologie CMOS, dont on suppose, pour simplifier, que
l’impédance des entrées est infinie. Les schémas et tables de vérité de ces portes sont rappelés figure
8. On néglige les durées de commutation des portes. La tension de l’état 0 est égale à 0 V et la tension de l’état 1 est égale à V0. Le seuil de basculement vaut V0/2.
a) On suppose v7 = 0 et l’état stable du montage établi depuis suffisamment longtemps pour que les courants et tensions soient constants. Déterminer v7’ dans ce cas ainsi que le
potentiel VS.
b) À l’instant t = 0, on applique v7 = V0 pendant la durée T/2. Que se passe-t-il ensuite ?
c) Exprimer la durée de l’état instable θ en fonction de RM et CM.
d) Quelle inégalité doivent vérifier T et θ pour que v7 revienne effectivement à l’état
stable ?
V-COMPARATEUR A FENETRE ET INDICATEUR VISUEL
V-1) On étudie le comparateur du montage de la figure 9.
Exprimer les seuils VA et VB (VA > VB) des comparateurs en fonction de VCC, R9, R10, R11.
Application numérique: VCC = 15 V; R9 = R11 = 100 kΩ; R10 = 5,6 kΩ; calculer VA et VB.
V-2) On étudie l’amplificateur de différence du montage de la figure 7. Exprimer v11 en
fonction de v9, v10, R12, R13. Que devient cette relation si R12 = 2.R13.
V-3) Pour v8 variant de 3,7 V à 11,2 V, indiquer dans le tableau suivant les valeurs des tensions v9 et v10.
v8 (en V)
3,7
VB
VA
11,2
v9 (en V)
v10 (en V)
v11 (en V)
V-4) L’amplificateur de différence est relié à un ampèremètre de calibre 1 mA dont une
borne est reliée à –VCC.
a) En l’absence d’objet métallique, calculer la valeur de la résistance R14 pour que
l’aiguille de l’ampèremètre dévie jusqu’à milieu du cadran.
b) Dans quel sens dévie l’aiguille de l’ampèremètre en présence d’un objet ferreux
sous la bobine B1 ? Même question pour un objet métallique non ferreux.
V-5) La technique étudiée ici (battement de fréquences) est peu onéreuse mais sensible aux
variations de température subies par la bobine détectrice (et pas par la bobine de référence).
D’autres techniques existent pour la détection de métaux, dont la technique de variation de
l’amplitude.
a) À l’aide de vos connaissances sur les oscillateurs, commenter les deux citations
suivantes trouvées sur Internet :
citation 1 : « Le détecteur de métaux à variation d’amplitude a une seule self détectrice reliée
à un étage oscillateur spécifique lequel, en présence d’un objet métallique, voit l’amplitude de son
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signal varier et non la fréquence. Les détecteurs de métaux à variation d’amplitude sont de qualité
semi-professionnelle et, à la différence des autres, ils sont insensibles aux variations thermiques. »
citation 2 : « Lorsqu’une pièce de métal pénètre le champ magnétique, un courant induit apparaît sur la surface de la pièce. Ce courant induit provoque une baisse d’énergie au niveau de
l’oscillateur et par conséquent diminue l’amplitude des oscillations. »
b) Proposer un schéma bloc simple contenant l’oscillateur et un autre quadripôle
permettant d’obtenir une variation de l’amplitude des oscillations en présence d’un objet métallique.
c) Proposer un montage permettant d’obtenir une tension constante proportionnelle à
l’amplitude des oscillations.
d) La tension constante est utilisée dans un comparateur à hystérésis. Justifier ce
choix.
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FIGURES
B1
OSC 1
v3
v4
B2
OSC 2
FILTRE
CONVERTISSEUR
v5 fréquence/tension
v8
COMPARATEUR
INDICATEUR VISUEL
v’3
TÊTE DE DÉTECTION
figure 1
K
+
v1
R3
v2
R2
C1
v3
L1
R4
R1
CHAINE DIRECTE
CHAINE DE REACTION
figure 2
C
2R5
R5
R6
V4
+
C
V5
figure 3
uD
+
iD
v5
v6
R7
iM = 0
R8
v7
iM = 0
MONOSTABLE
MOYENNEUR
v’7
v8
figure 4
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v5
v7
t
T/2
T
t
T
t
v7’
V0
θ
figure 5
figure 6
E1
E2
E1
E2
CM
≥1
E
&
v7’
RM
v7
V0
figure 7
S
≥1
E1
E2
S
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
S
&
E
E
S
1
0
0
1
porte NON (NOT)
porte NON OU (NOR)
figure 8
+ VCC
R9
-
R13
R12
+
v9
-
R10
+
v8
R12
+
R11
COMPARATEUR
v10
R14
v11
mA
-VCC
R13
AMPLIFICATEUR DE DIFFERENCE
figure 9
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