énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 1/6 Devoir n°2
Spé ψ
ψψ
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TRAITEMENT DU SIGNAL
ÉTUDE D’UN DÉTECTEUR DE MÉTAUX
On se propose d’étudier un système électronique permettant de détecter la présence d’un
objet métallique (ferreux ou non ferreux) proche de la surface du sol.
Le principe est basé sur la modification de la fréquence d’un oscillateur harmonique à circuit
LC dont l’inductance L varie à l’approche de l’objet métallique.
Pour compenser l’effet de sol, qui est une modification de la fréquence liée à la nature et à la
proximité du sol, on utilise en réalité deux oscillateurs harmoniques, donc deux bobines sans noyau
situées dans la tête de détection. (Voir le schéma synoptique sur la figure 1.)
Tous les A.L.I. sont idéaux et alimentés sous ± V
CC
= ± 15 V; les tensions de saturations sont
égales aux tensions d’alimentation.
I-O SCILLATEURS HARMONIQUES
On n’étudie que l’oscillateur 1 représenté sur la figure 2:
I-1) L’interrupteur K est ouvert. On applique une tension sinusoïdale v
1
de pulsation ω.
a) Quelle est la nature du montage de la chaîne directe. Exprimer l’amplification
complexe en tension A
V
V
=
2
1
.
b) Exprimer la fonction de transfert complexe B
V
V
=
3
2
de la chaîne de réaction, en
fonction de R
3
, R
4
, C
1
, L
1
et ω.
I-2) Après suppression du générateur fournissant v
1
, on ferme K.
a) Écrire la condition d’oscillation sinusoïdale du système bouclé à la pulsation ω
1
.
En déduire les deux relations entre R
1
, R
2
, R
3
et R
4
d’une part, entre L
1
, C
1
et ω
1
d’autre part.
b) Application numérique: C
1
= 15 nF; R
1
= 2 R
2
; R
4
= 33 kΩ; amplitude de v
2
:
V
2
= 15 V.
 calculer la valeur de L
1
pour que la fréquence de l’oscillateur soit
f
1
= 9 230 Hz;
 calculer la valeur de R
3
;
 calculer la valeur de l’amplitude de la tension v
3
.
c) Expliquer sans calcul comment on obtient les oscillations en pratique et comment
sont éventuellement modifiés les résultats précédents.
L’oscillateur (2) ayant la même structure que le précédent, il délivre une tension sinusoïdale
v’
3
de même amplitude mais dont la fréquence f
2
est égale à 9 100 Hz.
II-F ILTRE
Le filtre est représenté sur la figure 3 ; on étudie la fonction de transfert de ce filtre T
V
V
=
5
4
II-1) Établir l’expression de T et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme:
T j
j R C R C
( )ω
ωω
=
−
+ −
F
H
GI
K
J
1
11
5
0

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ψψ
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avec
5 6
0
5 6
.
2
R R
R
R R
=+.
2) En utilisant la forme T j
jQ
( )ωω
ω
ω
ω
=
−
+ −
F
H
GI
K
J
1
1
0
0
trouver l’expression de Q et ω
0
.
3) Application numérique: R
5
= 159 kΩ; R
6
= 470 Ω; C = 100 nF.
Déterminer les valeurs numériques de Q,
0
0
2
f
ω
=
π
ainsi que celle de |T| en ω
0
.
4) Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude. Quelle est la nature du filtre ? Est-il
sélectif ?
III-É LABORATION DU SIGNAL V
5
Le multiplieur reçoit les tensions v
3
et v’
3
et donne en sortie la tension v
4
= k.v
3
.v’
3
avec
k = 0,10 V
–1
.
III-1) Quelle est la nature de la tension v
5
à la sortie du filtre ? Préciser son amplitude et sa
fréquence f
5
.
III-2) Quand on approche la tête de détection du sol, les fréquences f
1
et f
2
des oscillateurs
varient de la même valeur ∆f : c’est l’effet de sol. Montrer que la fréquence de la tension v
5
n’est pas
changée c’est-à-dire que l’effet de sol est bien compensé.
On ne tiendra pas compte de l’effet de sol dans la suite.
III-3) En présence d’un objet métallique plus proche de la bobine (1) que de la bobine (2), la
fréquence f
1
de l’oscillateur (1) varie suivant la nature, la proximité et la dimension de l’objet. On
admet que la variation relative de fréquence de cet oscillateur est inférieure ou égale à 5,42×10
–4
et
que la fréquence f
2
de l’oscillateur (2) demeure égale à 9 100 Hz.
a) Calculer entre quelles limites varie la fréquence f
1
pour un objet ferreux qui pro-
voque une augmentation de la valeur de l’inductance L
1
.
b) Calculer entre quelles limites varie la fréquence f
1
pour un objet métallique non
ferreux qui provoque une diminution de la valeur de l’inductance L
1
.
c) En déduire entre quelle limites varie la fréquence f
5
de la tension v
5
.
IV-C ONVERSION FREQUENCE - TENSION
Le montage est celui de la figure 4 dans lequel les courants d’entrée du circuit monostable et
du circuit moyenneur sont considérés comme nuls.
IV-1) La tension v
5
= – 5 cos [2π(f
1
– f
2
).t] est appliquée à l’entrée du montage.
a) Déterminer la tension v
6
(t).
b) La diode D est idéale (u
D
= 0 en mode passant, i
D
= 0 en mode bloqué); suivant les
valeurs de v
6
, indiquer les valeurs de la tension v
7
pour R
8
= 2 R
7
.
c) Représenter les tensions v
6
et v
7
en concordance des temps avec la tension v
5
don-
née sur la figure 5.
IV-2) Le monostable est déclenché par le front montant du signal d’entrée comme l’indique
la figure 6. Sa durée de bascule est négligeable
a) À quel intervalle de temps, pendant la période [0, T], correspond l’état instable du
monostable ? Quelle est alors la valeur de v’
7
.
b) Combien de temps l’état instable dure-t-il ?
IV-3) Le bloc moyenneur réalise la fonction valeur moyenne
8 7
'
v v
= .
a) Exprimer v
8
en fonction de V
0
, θ et f
7
= 1/T.
b) Proposer, en le justifiant, un montage moyenneur.

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c) Le convertisseur fréquence-tension utilisé en réalité dans le montage réalise la re-
lation v
8
= a⋅f
7
+ b, a et b étant des constantes. On indique que v
8
= 15 V pour f
7
= 140 Hz et que
v
8
= 0 V pour f
7
= 120 Hz. Quand un objet métallique est détecté, la fréquence f
7
de la tension v
7
peut prendre une valeur comprise entre 125 Hz et 135 Hz. Déterminer les valeurs correspondantes
de la tension v
8
. Que vaut la tension v
8
en l’absence d’objet métallique ?
IV-4) Le montage du monostable est indiqué figure 7. Il est réalisé avec des portes logiques
NON OU (NOR) et NON (NOT) de technologie CMOS, dont on suppose, pour simplifier, que
l’impédance des entrées est infinie. Les schémas et tables de vérité de ces portes sont rappelés figure
8. On néglige les durées de commutation des portes. La tension de l’état 0 est égale à 0 V et la ten-
sion de l’état 1 est égale à V
0
. Le seuil de basculement vaut V
0
/2.
a) On suppose v
7
= 0 et l’état stable du montage établi depuis suffisamment long-
temps pour que les courants et tensions soient constants. Déterminer v
7
’ dans ce cas ainsi que le
potentiel V
S
.
b) À l’instant t = 0, on applique v
7
= V
0
pendant la durée T/2. Que se passe-t-il en-
suite ?
c) Exprimer la durée de l’état instable θ en fonction de R
M
et C
M
.
d) Quelle inégalité doivent vérifier T et θ pour que v
7
revienne effectivement à l’état
stable ?
V-C OMPARATEUR A FENETRE ET INDICATEUR VISUEL
V-1) On étudie le comparateur du montage de la figure 9.
Exprimer les seuils V
A
et V
B
(V
A
> V
B
) des comparateurs en fonction de V
CC
, R
9
, R
10
, R
11
.
Application numérique: V
CC
= 15 V; R
9
= R
11
= 100 kΩ; R
10
= 5,6 kΩ; calculer V
A
et V
B
.
V-2) On étudie l’amplificateur de différence du montage de la figure 7. Exprimer v
11
en
fonction de v
9
, v
10
, R
12
, R
13
. Que devient cette relation si R
12
= 2.R
13
.
V-3) Pour v
8
variant de 3,7 V à 11,2 V, indiquer dans le tableau suivant les valeurs des ten-
sions v
9
et v
10
.
v
8
(en V) 3,7 V
B
V
A
11,2
v
9
(en V)
v
10
(en V)
v
11
(en V)
V-4) L’amplificateur de différence est relié à un ampèremètre de calibre 1 mA dont une
borne est reliée à –V
CC
.
a) En l’absence d’objet métallique, calculer la valeur de la résistance R
14
pour que
l’aiguille de l’ampèremètre dévie jusqu’à milieu du cadran.
b) Dans quel sens dévie l’aiguille de l’ampèremètre en présence d’un objet ferreux
sous la bobine B
1
? Même question pour un objet métallique non ferreux.
V-5) La technique étudiée ici (battement de fréquences) est peu onéreuse mais sensible aux
variations de température subies par la bobine détectrice (et pas par la bobine de référence).
D’autres techniques existent pour la détection de métaux, dont la technique de variation de
l’amplitude.
a) À l’aide de vos connaissances sur les oscillateurs, commenter les deux citations
suivantes trouvées sur Internet :
citation 1 : « Le détecteur de métaux à variation d’amplitude a une seule self détectrice reliée
à un étage oscillateur spécifique lequel, en présence d’un objet métallique, voit l’amplitude de son

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signal varier et non la fréquence. Les détecteurs de métaux à variation d’amplitude sont de qualité
semi-professionnelle et, à la différence des autres, ils sont insensibles aux variations thermiques. »
citation 2 : « Lorsqu’une pièce de métal pénètre le champ magnétique, un courant induit ap-
paraît sur la surface de la pièce. Ce courant induit provoque une baisse d’énergie au niveau de
l’oscillateur et par conséquent diminue l’amplitude des oscillations. »
b) Proposer un schéma bloc simple contenant l’oscillateur et un autre quadripôle
permettant d’obtenir une variation de l’amplitude des oscillations en présence d’un objet métallique.
c) Proposer un montage permettant d’obtenir une tension constante proportionnelle à
l’amplitude des oscillations.
d) La tension constante est utilisée dans un comparateur à hystérésis. Justifier ce
choix.

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FIGURES
OSC 1
OSC 2
B
1
B
2
TÊTE DE DÉTECTION
v
3
v’
3
B
1
v
4
v
5
v
8
figure 1
FILTRE CONVERTISSEUR
fréquence/tension COMPA-
RATEUR INDICATEUR VISUEL
V
4
V
5
R
6
R
5
2R
5
C
C
-
+
figure 3
v
1
v
2
v
3
R
1
R
2
R
3
R
4
C
1
L
1
K
figure 2
CHAINE DIRECTE CHAINE DE REACTION
+
-
-
+
v
5
v
6
v
7
R
7
R
8
MONOSTABLE MOYENNEUR
v’
7
v
8
figure 4
i
D
u
D
i
M
= 0 i
M
= 0