Informatique : Les nombres complexes

Lyc´ee Vauban, PTSI, 2006-2007
Informatique : Les nombres complexes
Pour Maple, le ides math´ematiciens s’´ecrit Iou encore sqrt(-1) ou encore (-1)^(1/2). Ceci doit
vous choquer : il n’y a en effet pas de raison de choisir iplutˆot que −icomme “racine carr´ee” de −1. Il
faut toujours garder ceci en m´emoire lorsque l’on travaille avec Maple.
Partie r´eelle, partie imaginaire, conjugu´e
On commence par d´efinir un nombre complexe z=x+iy :
> z:=x+I*y ;
On veut extraire la partie r´eelle de z:
> Re(z) ;
Encore une fois, Maple donne le r´esultat sous forme symbolique. Il faut forcer l’´evaluation complexe `a
l’aide de la commande evalc :
> evalc(Re(z)) ;
Dans le mˆeme genre :
> Im(z) ;evalc(%) ;
> conjugate(z) ;evalc(%) ;
En revanche, pour obtenir la valeur num´erique d’un nombre complexe, il faut utiliser l’´evaluation
dans les flottants (evalf). Un exemple vaut mieux qu’un long discours :
> z0:=sqrt(2)+I*Pi ;
> evalc(z0) ;
> evalf(z0) ;
Pour choisir le nombre de chiffres significatifs :
> evalf(z0,1) ;evalf(z0,15) ;
Module et argument
La commande Maple pour le module et l’argument est polar. Attention, elle poss`ede une syntaxe
particuli`ere.
La commande polar(module,argument) renvoie le nombre complexe :
> polar(sqrt(2)/2,Pi/4) ;evalc(%) ;
La commande polar(z) renvoie le module et l’argument de z`a condition de lire la fonction dans la
biblioth`eque :
> restart ;z:=3+I*4 ;polar(z) ;readlib(polar) ;polar(z) ;
La commande convert(z,polar) renvoie le module et l’argument de z:
> restart ;z:=3+I*4 ;convert(z,polar) ;
Les complexes et les fonctions
L’exponentielle complexe est d´efinie et fait partie du programme de PTSI et elle se comporte comme
il faut dans Maple.
> J:=exp(I*2*Pi/3) ;evalc(J^3) ;
Attention aux autres fonctions usuelles (trigonom´etriques, logarithme, ...) lorsqu’elles agissent sur des
complexes : les r´esultats peuvent ˆetre justifi´es d’un certain point de vue mais un ´el`eve de PTSI n’a pas
`a les manipuler de la sorte.
> cos(I) ;evalc(cos(I)) ;evalf(cos(I)) ;
> evalc(cos(3+I)) ;
> evalc(sqrt(2+I)) ;
1

> evalc(ln(1-3*I)) ;
Pour l’explication concernant les fonctions trigonom´etriques, voir le cours.
Exercice 1. D´eterminer les complexes ztels que z2
2z+ 3isoit imaginaire pur.
Les repr´esenter dans le plan complexe.
Exercice 2. Dans C, r´esoudre l’´equation suivante z2+ ¯z+iz = 0.
Montrer que les points dont les affixes sont solutions forment un triangle rectangle.
Exercice 3. Soit j= exp i2π
3. D´eterminer les nombres complexes ztels que les points d’affixe j,zet
1 + jz soient align´es.
Les repr´esenter dans le plan complexe.
Exercice 4. Soient aet bdeux complexes tels que |a|=|b|= 1, a6=bet a6=b.
Montrer que 1 + ab
a+best r´eel.
Montrer que, pour tout z∈C,z+ab¯z−(a+b)
a−best un imaginaire pur.
2