corrigé

GCP2001
COMPOSITIONdeMATHEMATIQUEII
(SérieMP)
v
GCP2001
MathII MP
PartieI
1)En développantpar rapportàlapremièreligneontrouvedetCP=(¡1na0,d’oùlerésultat.
2)Leplusrapide estdedévelopperpar rapportàladernière colonne,ontrouvealors
ÂCP(X)=(¡an¡1¡X)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X0::: 0
1¡X...
0......
.
.
.
0::: 1¡X
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
+an¡2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X0::: 0
1¡X...
.
.
.
0: :: 1¡X0
0:: : 0 1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡:::
etonreconnaît(¡1)n(Xn+an¡1Xn¡1+:: : +a0)=(¡1)nP(X).
remarque:siondéveloppepar rapportàla premièreligneonaen notantÃ(a0;¢¢¢an)ledéterminantÃ(a0¢¢¢an)=
(¡1)na0¡XÃ(a1¢¢¢an)etlerésultatpar récurrence.
Donck=(¡1)n.
3)Ilfautetil su¢tqueletermedominantdeQsoit(¡1)nXn:
²SiAexisteonsaitparle coursqueletermedominantdu polynôme caractéristique est(¡1)nXn
²Réciproquementsi le coe¢cientest(¡1)nXnle calculprécédentdonneunematrice compagnonquiadmetQcomme
polynôme caractéristique en partantdeP=(¡1nQ
a)Lesvaleurspropres sontlesracinesdeÂquise calculeparun déterminant;orledéterminantestinvariantpartransposition:
det(tCp¡In)=det (Cp¡¸In)
b)onatCP=0
B
B
B
B
B
@
0 1 0 ::: 0
0 0 1 ::: 0
.
.
........
.
.
0::: 0 1
¡a0¡a1::: ¡an¡1
1
C
C
C
C
C
A
;siX=0
B
B
B
@
x1
x2
...
xn
1
C
C
C
Ail vientlesystème
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
x2=¸x1
x3=¸x2
.
.
.
xn=¸xn¡1
¡a0x1¡:::¡an¡1xn=¸xn
() (8i2[1:::n],xi=¸i¡1x1
(¡a0¡a1¸¡:::¡an¡1¸n¡1)x1=¸nx1
Doncx1nepeutêtrenul(un vecteurpropren’estpasnul),¸estracinedePet toutvecteurpropre estmultiplede
X¸=0
B
B
B
@
1
¸
...
¸n¡1
1
C
C
C
A
1

c)Onvientde constaterquelesespacespropres sont touslimitésàdesdroites; lamatrice tCPestdoncdiagonalisablesi
etseulementsi il ya assez detellesdroitespourengendrerl’espace entier,c’estàdiresiPanracinesdistinctes(etdonc
simples).
Laréciproque estdu cours(puisqueP=§ÂtCP).
CpestdiagonalisablesietseulementsiPestscindéàracines simples
d)SiPestscindéàracines simples,commeonvientdelevoirunematrice depassagequidiagonalisetCPestV=
0
B
B
B
@
1: :: 1
¸1: :: ¸n
...
¸n¡1
1: :: ¸n¡1 n
1
C
C
C
A,quiestinversiblepuisquematrice depassage!Biensûrson déterminantestconnu.
5a)Méthodehorsprogramme enPC.
b)Analyse:sifestnilpotented’ordrensonpolynôme caractéristique est(¡1)nXn.DoncP=Xn:Ce quidonnel’allure
delamatrice àchercher.Construirelabasedemandée estalorsungrandclassiquesurlesmatricesnilpotentes:
Oncommence parutiliserl’hypothèse:on prend un vecteure1telquefn¡1(e1)soitnon nul, onalorsfn(e1)=0eton
prend lesvecteursf(e1)=e2;:::;fk(e1)=ek+1.
Lafamilleainsiconstruite(e1;:::;en)estunebase:Ene¤etelle estlibre(etsoncardinalestn)parl’absurde:
SiPn
i=1¸iei=0ets’il existeun itelque¸i6=0on prend plepluspetit.AinsiPn i=p¸ifi(e1)=0avec ¸p6=0.En
composantl’égalitéparfn¡p¡1il reste¸pfn¡1(e1)=0:Absurde.
Danscettebase,onabien
Mat(f)=
0
B
B
B
B
B
B
B
@
0 0 ::: 0 0
1 0 .
.
..
.
.
0 1 ....
.
..
.
.
.
.
.
0::: 1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
PartieII
6)Parhypothèse,onapourtouti=1:::n
n
X
j=1
ai;jxj=¸xi
Parl’inégalitétriangulaire,
j¸xij·
n
X
j=1
jai;jj:jxjj·rikXk1
7)Soitiun indice telquejxij=kXk1(il existe carlafamille(xi)est…nie),danslesconditionsdelaquestion précédente.
Ona alorsj¸j·ri,c’estàdire¸2Di.
Ceciestvraipourn’importequellevaleurpropre,quiappartiendradoncàl’un desdisquesDi.Autotal,
Sp(A)½
n
S
k=1
Dk
(quid’ailleursn’estautrequeledisqueDmax(ri)).
8)Onvaseservirdelapremièrepartie!Ene¤et, lesracinesdePsontlesvaleurspropresdesamatrice compagneCP.Or
r1=ja0jr2=1+ja1j::: rn=1+janj
commeonlelitsurlamatrice CP.Enappliquantlaquestion précédente,onen déduitquetouteslesracinesdePsontdans
ledisqueDR=Sn
k=1DkoùR=maxrk.
9)Al’ordreprèsdesexposantson peutsupposerqueasoitleplusgrand desquatre entiersa;b;c;d.Posons
P(X)=Xa+Xb¡Xc¡Xd
Lamatrice CPne contientquedes0;§1etona avec lesnotationsdelaquestion précédenteR=2.
Les seulesracinesentièrespossibles sontdonc0;1;2.
2

Resteàexclurelederniercas:orsi2estracine,ona(avec parexemplec>d,sinoncetdjouantdesrôles symétriques...)
2b(1+2a¡b)=2d(1+2c¡d)
Doncsib>dona2b¡d(1+2a¡b)=(1+2c¡d).Un nombrepairestégalàun nombreimpair:absurde.
demêmesid>b.
Doncles seulesracinesdansNdena+nb=nc+ndsont0et1:
PartieIII
remarque:Ongénéralisedanscettepartiel’étudedes suiteslinéairesrécurrentesd’ordre2 dansle casoùlesracines sont
simples.Lesquestions10 ,11 ,12 sontlesmêmesquela démonstrationpourles suitesd’ordre2.Seulela…n change pour
véri…erqu’onaunbasedesolutionsavec des suitesgéométriques.
10)Remplaçonsu(n)par¸n:onabien¸n+p+ap¡1¸n+p¡1+: :: +a0¸n=0dèsqueP(¸)=0.
11)
²Toutd’abord,'estlinéaire(sescomposantes sontdesformeslinéaires).
²'estinjective carsi'(u)=(0)onau(0)=u(1)=¢¢¢=u(p¡1)=0etparunerécurrence immédiate8n2N,u(n)=0
.Doncuestlasuitenulle.
²'estsurjective carladonnée deu(0);u(1);¢¢¢u(p¡1),donnelesconditionsinitialesquidé…nissentlasuiteu.
²DoncF, isomorpheàCp,estdedimensionp.
12a)ei(p)=¡ap¡1ei(p¡1)¡:::¡a0ei(0)=¡ai.
b)Leseisontl’imagedelabase canoniquedeCpparl’isomorphisme'¡1.
remarque:oubienvéri…eraussilibre etboncardinal.
c)Lasuiteuetlasuitep¡1
P
i=0
u(i)eisontdeuxélémentsdeFquicommencentparlespmêmestermes,àsavoir'(u)=
(u(0);u(1);:::;u(p¡1)).
Elles sontdoncidentiques:(récurrence évidente)
13)f(¸u+¹v)estpardé…nitionlasuitedetermegénéral
(¸u+¹v)(n+1)=¸u(n+1)+¹v(n+1)
C’estdonc¸f(u)+¹f(v)ce quiprouvelalinéaritédef:ainsif2L(E).
En…n, larelation derécurrence quidé…nitFdevantêtrevraiepourtoutnseravraiepourtoutn+1ce quisigni…eque
f(F)½F,FeststableparF.
14)Celarésultede12a):ene¤et,ei(p)=¡aietdonc comme
ei=(0;0;0;:::;0;1
rgi
;0;:::; ¡ai
rgp
;: : :)
f(ei)=(0;0;0;:::;0;1
rgi¡1
;0;:::; ¡ai
rgp¡1
; : ::)=ei¡1¡aiep¡1
Enécrivantceciencolonnespouri=0:::p¡1,onobtientlamatrice defdanslabase(ei)etonreconnaîttCP.
15a)D’après4c),tCPestdiagonalisable etunebasedevecteurspropresestdonnée parlescolonnesdeV=0
B
B
B
@
1::: 1
¸0::: ¸p¡1
...
¸p¡1
1::: ¸p¡1 p¡1
1
C
C
C
A
oùles¸isontlesracinesdeP.
b)ToutélémentdeFs’écritdanscettebasequiestconstituée desuitesgéométriques(cf10)
8n2N;u(n)=k0¸n
0+: :: +kp¡1¸p¡1 p¡1
16)LesracinesdeP(X)=X3¡(a+b+c)X2+(ab+bc+ca)X¡abcsonta;betc.
Cesréelsétantsupposésdistincts,toutest…ni: unebasedel’espace Festconstituée parlestrois suitesgéométriques
(an);(bn);(cn)et toutélémentdeFs’écrit
un=®an+¯bn+°cn
où®;¯;°sontfonction desvaleursinitialesu0;u1;u2.
3

PartieIV
Notonsqueparlapremièrepartie,ÂA=ÂCA=(¡1)nP.
17 D’aprèsl’étudedu Iunematrice compagnonestdiagonalisablesietseulementsitoutes sesvaleurspropres sontdeux
àdeuxdistinctes.Ilsu¢tdeprendrepourAn’importequellematrice diagonalisableayantaumoinsunevaleurpropre
multiple.A=InouA=0sontparexemplesolution.
remarque:onpeutaussiconstaterquetoutematrice compagnonestderangsupérieuràn-1.Toutematrice deranginférieur
àn-2convientaussicomme contre exemple.
18)Supposons(¤¤),c’estàdireque(U;CU)et(V;CV)sontsimultanémentsemblables:commelerangestinvariantpar
changementdebase,onadoncU¡V=P¡1(CU¡CV)Psoit:
rg(U¡V)=rg(CU¡CV)=rg0
B
@
0::: ²
.
.
..
.
.
0::: ²
1
C
A
Cettematrice nepeutêtrenulle:onauraitrg(U¡V)=0etdoncU=Vce quiestexclu.Donc elle estderang 1,ce qui
prouve(¤).
(¤¤))(¤)
19)Ilsu¢tdereprendreun exempleinversibledelaquestion17 pourU(onestsurquePn’existerapas siUetCUnesont
pas semblables)puisd’ajouteràUn’importequellematrice derang1.Parexemple
PrenonsU=µ1 0
0 1¶;V=µ1 1 0 1¶.
20)Parlethéorèmedu rang,Hestun hyperplan.
21a)Parl’absurde:siF½HonauF=vFetdoncÂuF=ÂvF.MaisÂuFjÂuetÂvFjÂv,TouteracinedeÂuFdansCest
racine communeàÂuetÂv(etil existeunetelleracine card±¡ÂuF¢=dimF)>0.
DoncF6½H.
b)Soitx2FnH:alorsHetxengendrentEpuisqueHestun hyperplanetx=2H.Celasigni…equeF+H=E.
On utilisedeuxfoislethéorèmedelabaseincomplète en partantd’unebasedeF\Hquel’oncomplètedansF,puisdans
H.Ilexisteunebase(fi)[(gj)[(hk),(fi)basedeF\H;(fi)[(gj)basedeF,(hk)2H
Sion prend lamatrice deu(etv)danscettebase elle est triangulaireparbloc carFeststableparu.
Onaparblocs
Mat(u)=µU1?
0U2¶Mat(v)=µV1? 0V2¶
oùles sous-matricesU2etV2coïncident,puisqueu(x)=v(x)pourx2H(enfait,mêmeles sous-matricesau dessusde
celles-cisontégalesaussi).
EncalculantparblocslespolynômescaractéristiquesonaÂu=Âu1:Âu2etÂv=Âv1Âv2.TouteracinedeÂu1=Âv1est
racine communedeÂuetÂv.Absurde.
c)Les seuls sous-espaces stablesàlafoisparuetvsontEentieretf0g.
22a)ujest,commeu,un automorphisme,quiconserveladimension:doncGj=u¡j(H)est,commeH,un hyperplan.
b)OnadimG0=dimH=n¡1;dimG0\G1¸n¡2;:::dimG0\:::\Gn¡2¸1envertu du
carsiH1estun hyperplanetFun sev,onadim(F\H1)¸dimF¡1.carF\H1=Fouestun hyperplan deF.
c)Untelyexisted’aprèslaquestion précédente.
Lafamillefy;u(y);:::;uq(y)gnepeutêtrelibrepourtoutevaleurdep(elle estliedèsqueq>n),soitdoncpmaximaltel
quelafamilleF=fy;u(y);:::;up¡1(y)gsoitlibre etF=Vect (F)
NousvoulonsmontrerqueF=Ec’estàdirequep=n.
²Onaup(y)2Fpardé…nition dep.Etpar récurrence q¸p,uq(y)2F
²D’abord notonsquee0;e1;:::;en¡22Hpardé…nitionmêmedey.
Supposonsparl’absurdep<n,onadoncF½H.
²Feststableparucarl’imageparudelabaseFestencoredansF:up(y)2F
²pourtoutx2Fonav(x)=u(x)2FpuisqueF½HetvF=uF.DoncFeststableparvluiaussi.
²Nous sommesarrivésàuneimpossibilitéd’après21c).
DoncF=E;p=net
B00 =FestunebasedeE
4

d)Onau(ei)=u¡ui(y)¢=ui+1(y)=ei+1pourmi·n¡1:Lamatrice deudanslabaseB"estdoncunematrice compagnon.
SoitPlepolynômetelqueMatB"(u)=CP.OnaP=(¡1)nÂCp=(¡1)nÂU.DoncCP=CU
e)Récapitulons:onamontréquele changementdebaseversFchangeU(resp.V)enCU(resp.CV).Nousavonsdonc
montré(¤¤).
Si lespolynômescarctéristiquesn’ontpasderacine commune(¤))(¤¤)
5