énoncé

Spé ψ 2000-2001
Devoir n°5
ÉLECTROMAGNÉTISME
La boussole révèle l’existence, partout sur le globe terrestre, d’un champ
r magnétique
naturel. Gauss a montré que le premier terme du développement de la fonction B T(M) correspond au champ que créerait un dipôle magnétique situé au centre de la Terre et dont le moment serait dirigé suivant l’axe de rotation terrestre. Une autre caractéristique très importante du champ terrestre est le phénomène d’inversion de la direction du champ, découvert au
milieu du XXième siècle.
Différents modèles ont été proposés pour expliquer l’origine du champ magnétique
terrestre. Ce problème en étudie deux.
PARTIE I
Modèle des courants de convection
On considère une sphère de centre O et de rayon a. Elle est chargé uniformément en
volume avec une densité ρ et tourne autour d’un axe ∆ passant par O à la vitesse angulaire
constante ω par rapport à un référentiel d'étude R. Cette rotation n’affecte pas la répartition
des charges.
r
I-1) Déterminer le champ électrique E (M) crée en tout point M de l’espace. Cette
fonction est-elle continue en tout point ?
I-2) On repère un point M quelconque à l’intérieur de la sphère dans la base sphérique
de centre O. Ses coordonnées sont notées r, θ (défini à partir de l’axe ∆) et ϕ.
a) Exprimer la vitesse de M par rapport à R et en déduire la densité de courant
crée par le mouvement de la sphère.
b) En déduire que la sphère peut être assimilée à un empilement de spires et
calculer son moment magnétique total.
c) Donner l’expression du champ magnétique crée à grande distance de la
sphère.
I-3) On pense modéliser le champ magnétique terrestre par un système identique à celui étudié ci-dessus. On admet que le dipôle magnétique équivalent à la distribution est placé
au centre de la Terre T. Le rayon terrestre est aT = 6400 km. Le champ magnétique mesuré à
l’équateur est B = 2,8×10—5 T.
a) Calculer la valeur de ρ correspondant à la rotation terrestre ω.
b) En déduire le champ électrique crée au voisinage de la surface de la Terre.
Conclure, sachant que l’ordre de grandeur du champ électrique crée par un orage est
105 V.m—1.
c) Par analogie avec les propriétés des particules élémentaires mises en évidence dans les premières années de ce siècle, Blackett a proposé en 1947 de considérer que
tout astre possède un moment magnétique proportionnel à son moment cinétique. Que peut-on
penser de ce modèle.
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PARTIE II
Théorie dynamo
On considère un dispositif représenté ci-contre. Un disque conducteur est monté sur un
axe conducteur. L’ensemble peut tourner et est entraîné par un dispositif mécanique non représenté. Une boucle conductrice, fixe, relie le bord du disque à l’axe par l’intermédiaire de
deux frotteurs assurant un bon contact électrique. Ainsi, un courant électrique est susceptible
de circuler, empruntant un itinéraire indiqué par des flèches sur la figure .
∆
I
DISQUE
BOUCLE
Ω
II-1) On admet qu’il circule un courant I(t) dans la boucle dans le sens positif de
l’orientation indiquée sur la figure. On suppose ce courant « lentement variable » dans le
temps.
r
a) Quelles sont les propriétés de symétrie du champ magnétique B crée par ce
courant en un point quelconque de l’espace ?
b) Faire un dessin indiquant à un instant t l’allure des lignes de champ magnétique en précisant le sens du champ.
II-2) Le disque tourne à la vitesse angulaire Ω(t) dans le sens indiqué.
a) Justifier l’existence d’une force électromotrice d’induction e(t) au niveau du
disque.
Ω( t )
b) Montrer que e(t ) =
Φ(t ) où Φ(t) est le flux du champ magnétique crée
2π
par le courant circulant dans la spire à travers la surface du disque.
c) En notant M le coefficient d’inductance mutuelle entre la spire et le disque,
exprimer e en fonction de M, I(t) et Ω(t). (On ne cherchera pas à exprimer M.)
d) Le schéma électrique équivalent du système est le
L
suivant. Justifier la présence de chaque dipôle et en déduire
I(t)
e(t)
l’équation différentielle dite électrique existant entre I(t) et Ω(t).
R
e) Sans résoudre cette équation, montrer qualitativement que, le système étant initialement en rotation mais non parcouru par un courant, la génération spontanée d’un courant électrique et d’un champ magnétique est possible à partir d’une
perturbation aléatoire.
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II-3) Du point de vue mécanique, le système mobile disque + axe possède un moment
d’inertie J. Il est soumis par rapport à l’axe ∆ à un couple moteur constant Γ et à un couple de
frottement visqueux ΓF = — fΩ.
a) Exprimer le moment d2ΓL par rapport à l’axe ∆ de la force de Laplace exercée sur un morceau de longueur dl d’un tube de courant du disque parcouru par le courant dI..
Φ
En déduire que le couple subi par tout le tube de courant est dΓL = − dI
.
2π
b) En déduire que le couple électromagnétique subi par le disque par rapport à
M 2
l’axe ∆ est ΓL (t ) = −
I (t ) .
2π
c) Quelle est l’équation différentielle dite mécanique existant entre I(t) et Ω(t) ?
PARTIE III
Application au champ magnétique terrestre
On considère que le noyau terrestre est une sphère de centre T et de rayon a de l’ordre
de 1000 km. Le matériau constituant ce noyau est à l’état fluide. Il est soumis à des mouvements de convection dus aux différences de températures entre le centre et la surface du
noyau. On assimile le mouvement du noyau à une rotation d’ensemble, de vitesse angulaire Ω
autour d’un axe ∆.
Le noyau est essentiellement formé de fer dont la conductivité électrique σ est de
l’ordre de 107 Ω.m. Il peut donc être parcouru par des courants électriques.
III-1) On décrit les courants dans
le noyaux par une distribution orthoradiale c’est-àr
r
dire que la densité de courant est J = J(r, θ) u θ dans la base sphérique. On suppose que
J(r, θ) = J0(a — r)r sinθ.
a) Calculer l’intensité I totale qui circule dans le noyau.
b) Le milieu étant supposé ohmique, quelle est la densité volumique de puissance dégagée par effet Joule, p(r, θ) ? Quelle est la puissance totale dégagée par effet Joule
dans le noyau ?
c) En déduire l’expression de la résistance électrique R du noyau en fonction de
σ et a. Faire l’application numérique.
III-2) On assimile le noyau au système étudié dans la partie II, le disque et la spire
ayant chacun un rayon a. L’intensité du courant est notée I.
r
a) Exprimer le champ magnétique B 0 crée au centre de la spire.
b) En supposant qu’en tout point du disque, le champ magnétique a la valeur
déterminée ci-dessus, trouver l’expression du coefficient d’induction mutuelle M entre la spire
et le disque. Faire l’application numérique.
III-3) La partie II a montré que le système est décrit par les deux équations différentielles suivantes::
M
dI
L = − RI +
IΩ
dt
2π
dΩ
M 2
J
= Γ − fΩ −
I
dt
2π
R|
S|
|T
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En déduire une interprétation énergétique du phénomène. Dans le cas du noyau terrestre, quelle est l’origine physique des termes Γ et —fΩ ?
III-4) Il existe deux états stationnaires (IS, ΩS) tels que IS ≠ 0.
a) Déterminer les valeurs correspondantes de ΩS et IS en fonction de R, M, C et
f. Quel est l’ordre de grandeur de la vitesse angulaire nécessaire pour que le phénomène puisse
se développer dans le noyau terrestre. Calculer la période correspondante et conclure. Quelle
relation simple lie les deux états ? Commenter.
b) Pour étudier la stabilité de l’état stationnaire tel que IS > 0, on pose i = I —
IS et ω = Ω — ΩS. En linéarisant les équations données en III-3, établir le système
d’équations différentielles linéaires vérifiées par i(t) et ω(t).
c) On cherche des solutions de la forme i(t) = iM exp(qt) et ω(t) = ωM exp(qt) où
q est a priori un complexe. Montrer que q est racine de l’équation
M
JLq2 + fLq + 2( C — fR) = 0
2π
A quelle condition portant sur C, f, M et R la solution peut-elle être stationnaire ?
d) Par la même méthode de calcul, on montre que si la condition précédente
n’est pas vérifiée, la solution I0 = 0, Ω0 ≠ 0 est stable. Déterminer la valeur de Ω0 et conclure
sur la validité du modèle pour expliquer l’origine du champ magnétique terrestre.
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