Champ magnétique

PCSI.
EM7. Exercices.
Dipôle magnétique.
EM7.1. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.
Une spire circulaire de centre O, de rayon a et d'axe (Oz) est parcourue par un
courant d'intensité I. Un point courant P de la spire est repéré par l'angle  que fait
le vecteur OP avec l'axe (Ox) de référence.
1. Montrer que la composante Bz du champ magnétique créé en un point M
de l'axe (Ox) très éloigné de la spire (a/x << 1) s’écrit :
 I
u 2  u cos 
a
Bz  o 
d avec u 
3
4x ( 1  2u cos   u 2 ) 2
x
2. Effectuer un développement limité en u de l'intégrale et obtenir la partie
principale du champ B(M). Vérifier que ce champ est bien celui créé par
un dipôle magnétique au même point.
EM7.2. Champ magnétique dans le plan d'un disque tournant.
Il est préférable de résoudre EM7.1. avant afin de pouvoir en utiliser les résultats
dans cet exercice.
Un disque conducteur de centre O et de rayon R tourne à la vitesse angulaire 
constante autour de son axe (Oz) Ce disque porte une charge totale q répartie avec
une densité surfacique totale (les deux faces sont comptées) :
o

2
r 
1  
R
où r = OP désigne la distance du centre à un point P du disque.
1. Trouver la valeur de o en fonction de q et de R .
2. Quelle est l'expression du champ magnétique créé par une telle
distribution en un point M situé dans le plan du disque et supposé très
éloigné de celui-ci r = OM >> R.
EM7.3. Latitude géographique et inclinaison du champ magnétique terrestre.
Le champ géomagnétique BT (champ dont la Terre est la source) est caractérisé en
tout lieu par sa norme, sa déclinaison D (angle de la composante horizontale de BT
avec le Nord géographique) et son inclinaison (angle que fait BT par rapport au plan
horizontal). Cet exercice propose une première approche très simplifiée du
géomagnétisme, dans laquelle on suppose en particulier que la déclinaison est
nulle en tout point.
1. Un dipôle magnétique de moment M, placé en O, crée en tout point P de
l'espace un champ magnétique B(P). On utilise les coordonnées
sphériques du point P : OP = r et  = (M , OP).
1.1. Rappeler l'expression de B(P). Tracer quelques lignes de champ.
1.2. On pose  = (OP,B (P)) quelle relation simple lie  et ?
2. En supposant que le champ terrestre soit dû à un dipôle magnétique
confondu avec l'axe de rotation terrestre, quelle serait la relation liant la
latitude  du lieu et l'inclinaison du champ BT en ce lieu?