I Préliminaires II Deux cas particuliers

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1S1: doc 5
2015-2016
−
→ −
→
Le plan est muni d’un repère orthornormé (O; i ; j ).
Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8 ; 2), (4 ; −2) et (0 ; 2).
C est le cercle de centre A et passant par B.
P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelle Dp la droite (CP ).
I
Préliminaires
1. Déterminer une équation cartésienne de C.
Soit M (x ; y) ∈ C. Alors (x − 8)2 + (y − 2)2 = (4 − 8)2 + (−2 − 2)2 ⇔ (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32.
2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec chacun des axes de coordonnées.
Cherchons d’abord l’ensemble des intersections de C avec l’axe des abscisses (Ox).
Soit
de M sont solutions du système
 M (x ; y) ∈ C ∩ (Ox). Alors les coordonnées

:
 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 (x − 8)2 + (0 − 2)2 = 32
 x2 − 16x + 36 = 0
⇔
⇔
 y=0
 y=0
 y=0

 x = 8 − 2√7 ou x = 8 + 2√7
 y=0
√
√
On a donc C ∩ (Ox) = (8 − 2 7 ; 0) ; (8 + 2 7 ; 0) .
⇔
Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de C avec l’axe des ordonnées (Oy).
Soit
les coordonnées de M sont solutions
 du système :
 M (x ; y) ∈ C ∩ (Oy). Alors 
 y 2 − 4y + 36 = 0
 (0 − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32
⇔
⇔
 x=0
 x=0
 x=0
Or le trinôme y 2 − 4y + 36 a un discriminant égal à −128, donc négatif donc il n’a pas de racine. On a donc
C ∩ (Oy) = ∅.
II
Deux cas particuliers
1. On pose p = −6.
(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6 .
D−6 = (CP ) où C (0 ; 2) et P (−6 ; 0).
−−
→
−−→
M (x ; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (−6 ; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires
⇔ −6 × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité)
⇔ 2x − 6y + 12 = 0
⇔ x − 3y + 6 = 0
Une équation cartésienne de D−6 est donc x − 3y + 6 = 0.
(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C.
Soit
 M (x ; y) ∈ C ∩ D−6 . Alors les
 coordonnées de M sont solutions du
 système :
 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 (3y − 6 − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 10y 2 − 88y + 168 = 0
⇔
⇔
 x − 3y + 6 = 0
 x = 3y − 6
 x = 3y − 6
Or le trinôme 10y 2 − 88y + 168 a deux racines : y1 = 6 et y2 = 2, 8, ce qui donne x1 = 3y1 − 6 = 12 et
x2 = 3y2 − 6 = 2, 4. On a donc C ∩ D−6 = {(12 ; 6) ; (2, 4 ; 2, 8)}.
2. Mêmes questions avec p = 1.
(a) Cherchons d’abord une équation cartésienne de D1 .
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D1 = (CP ) où C (0 ; 2) et P (1 ; 0).
−−
→
−−→
M (x; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (1; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires
⇔ 1 × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité) Une équation cartésienne de
⇔ 2x + y − 2 = 0
D1 est donc 2x + y − 2 = 0.
(b) Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de D1 et de C.
Soit
:
 M (x ; y) ∈ C ∩ D1 . Alors lescoordonnées de M sont solutions du système

 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 (x − 8)2 + (−2x + 2 − 2)2 = 32
 5x2 − 16x + 32 = 0
⇔
⇔
 2x + y − 2 = 0
 y = −2x + 2
 y = −2x + 2
2
trinôme 5x − 16x + 32 a discriminant égal à −384, donc négatif, il n’a donc pas de racines.
On a donc C ∩ D1 = ∅.
III
Or le
Cas général
Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon les valeurs de p.
1. Cherchons d’abord une équation cartésienne de Dp .
Dp = (CP ) où C (0 ; 2) et P (p ; 0).
−
−→
−−→
M (x ; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (p ; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires
⇔ p × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité)
⇔ 2x + py − 2p = 0
Une équation cartésienne de Dp est donc 2x + py − 2p = 0.
2. Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de Dp et de C.
Soit M (x ; y) ∈ C ∩ Dp . Alors les coordonnées
de M sont solutions du système :

2



4x2
2x


 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32
 (x − 8)2 + 2 −
 (x − 8)2 +
= 32
− 2 = 32
p2
p
⇔
⇔
⇔
2x
 2x + py − 2p = 0



 y = 2 − 2x et p 6= 0
 y =2−
et p 6= 0
p
p
 4

 1 + 2 x2 − 16x + 32 = 0
p

 y = 2 − 2x et p 6= 0
p
4
Examinons le discriminant du trinôme pour p 6= 0 ; 1 + 2 x2 − 16x + 32 = 0
p
4
∆ = (−16)2 − 4 × 32 1 + 2
p
512
= 256 − 128 − 2
p
512
= 128 − 2
p
512
• ∆ > 0 ⇔ 128 − 2 > 0 ⇔ p2 > 4 ⇔ p ∈] − ∞; −2[∪]2 : +∞[ : C ∩ Dp = {2 points}
p
512
• ∆ = 0 ⇔ 128 − 2 = 0 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = −2 ou p = 2 : C ∩ Dp = {1 point}
p
512
• ∆ < 0 ⇔ 128 − 2 < 0 ⇔ p2 < 4 ⇔ p ∈] − 2; 2[− {0} : C ∩ Dp = ∅
p
.
• Par ailleurs, pour p = 0, la droite (CP ) est l’axe des ordonnées et vu à la question 1.b, la droite ne coupe
pas le cercle C. Donc C ∩ Dp = ∅ pour tout p ∈] − 2; 2[.
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