I Préliminaires II Deux cas particuliers

1S1:doc 5 Correction ex 2 TD 5 2015-2016
Le plan est muni d’un repère orthornormé (O;−→ i;−→ j).
Les points A,Bet Csont de coordonnées respectives (8 ; 2), (4 ; −2) et (0 ; 2).
Cest le cercle de centre Aet passant par B.
Pest le point de coordonnées (p; 0) où pest un réel quelconque et on appelle Dpla droite (CP ).
I Préliminaires
1. Déterminer une équation cartésienne de C.
Soit M(x;y)∈ C. Alors (x−8)2+ (y−2)2= (4 −8)2+ (−2−2)2⇔(x−8)2+ (y−2)2= 32.
2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle Cavec chacun des axes de coordonnées.
Cherchons d’abord l’ensemble des intersections de Cavec l’axe des abscisses (Ox).
Soit M(x;y)∈ C ∩ (Ox). Alors les coordonnées de Msont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
y= 0 ⇔
(x−8)2+ (0 −2)2= 32
y= 0 ⇔
x2−16x+ 36 = 0
y= 0 ⇔
x= 8 −2√7 ou x= 8 + 2√7
y= 0
On a donc C ∩ (Ox) = (8 −2√7 ; 0) ; (8 + 2√7 ; 0).
Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de Cavec l’axe des ordonnées (Oy).
Soit M(x;y)∈ C ∩ (Oy). Alors les coordonnées de Msont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
x= 0 ⇔
(0 −8)2+ (y−2)2= 32
x= 0 ⇔
y2−4y+ 36 = 0
x= 0
Or le trinôme y2−4y+ 36 a un discriminant égal à −128, donc négatif donc il n’a pas de racine. On a donc
C ∩ (Oy) = ∅.
II Deux cas particuliers
1. On pose p=−6.
(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6.
D−6= (CP ) où C(0 ; 2) et P(−6 ; 0).
M(x;y)∈(CP )⇔−−→ CP (−6 ; −2) et −−→ CM (x;y−2) colinéaires
⇔ −6×(y−2) −(−2) ×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔2x−6y+ 12 = 0
⇔x−3y+ 6 = 0
Une équation cartésienne de D−6est donc x−3y+ 6 = 0.
(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6et de C.
Soit M(x;y)∈ C ∩ D−6. Alors les coordonnées de Msont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
x−3y+ 6 = 0 ⇔
(3y−6−8)2+ (y−2)2= 32
x= 3y−6⇔
10y2−88y+ 168 = 0
x= 3y−6
Or le trinôme 10y2−88y+ 168 a deux racines : y1= 6 et y2= 2,8, ce qui donne x1= 3y1−6 = 12 et
x2= 3y2−6 = 2,4. On a donc C ∩ D−6={(12 ; 6) ; (2,4 ; 2,8)}.
2. Mêmes questions avec p= 1.
(a) Cherchons d’abord une équation cartésienne de D1.
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D1= (CP ) où C(0 ; 2) et P(1 ; 0).
M(x;y)∈(CP )⇔−−→ CP (1; −2) et −−→ CM (x;y−2) colinéaires
⇔1×(y−2) −(−2) ×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔2x+y−2 = 0
Une équation cartésienne de
D1est donc 2x+y−2 = 0.
(b) Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de D1et de C.
Soit M(x;y)∈ C ∩ D1. Alors les coordonnées de Msont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
2x+y−2 = 0 ⇔
(x−8)2+ (−2x+ 2 −2)2= 32
y=−2x+ 2 ⇔
5x2−16x+ 32 = 0
y=−2x+ 2
Or le
trinôme 5x2−16x+ 32 a discriminant égal à −384, donc négatif, il n’a donc pas de racines.
On a donc C ∩ D1=∅.
III Cas général
Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dpet de Cselon les valeurs de p.
1. Cherchons d’abord une équation cartésienne de Dp.
Dp= (CP ) où C(0 ; 2) et P(p; 0).
M(x;y)∈(CP )⇔−−→ CP (p;−2) et −−→ CM (x;y−2) colinéaires
⇔p×(y−2) −(−2) ×x= 0 (condition de colinéarité)
⇔2x+py −2p= 0
Une équation cartésienne de Dpest donc 2x+py −2p= 0.
2. Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de Dpet de C.
Soit M(x;y)∈ C ∩ Dp. Alors les coordonnées de Msont solutions du système :
(x−8)2+ (y−2)2= 32
2x+py −2p= 0 ⇔
(x−8)2+2−2x
p−22
= 32
y= 2 −2x
pet p6= 0 ⇔
(x−8)2+4x2
p2= 32
y= 2 −2x
pet p6= 0 ⇔
1 + 4
p2x2−16x+ 32 = 0
y= 2 −2x
pet p6= 0
Examinons le discriminant du trinôme pour p6= 0 ; 1 + 4
p2x2−16x+ 32 = 0
∆ = (−16)2−4×32 1 + 4
p2
= 256 −128 −512
p2
= 128 −512
p2
•∆>0⇔128 −512
p2>0⇔p2>4⇔p∈]− ∞;−2[∪]2 : +∞[ : C ∩ Dp={2points}
•∆ = 0 ⇔128 −512
p2= 0 ⇔p2= 4 ⇔p=−2 ou p= 2 : C ∩ Dp={1point}
•∆<0⇔128 −512
p2<0⇔p2<4⇔p∈]−2; 2[−{0}:C ∩ Dp=∅
.
•Par ailleurs, pour p= 0, la droite (CP ) est l’axe des ordonnées et vu à la question 1.b, la droite ne coupe
pas le cercle C. Donc C ∩ Dp=∅pour tout p∈]−2; 2[.
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