Parties connexes de R et fonctions continues

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P
PA AR RT TI IE ES S C CO ON NN NE EX XE ES S D DE E R R E ET T F FO ON NC CT TI IO ON NS S C CO ON NT TI IN NU UE ES S
1 Parties connexes de R – caractérisation
1.1 Partie connexe de R
On dit qu'une partie D de  est connexe si D n'admet pas de partition en deux ouverts non vides
disjoints.
1.2 Première caractérisation
Soit D une partie de . D est connexe si et seulement si toute application continue de D dans
{
}
0;1
est constante.
Démonstration
Supposons D connexe. Soit f une fonction continue de D dans
{
}
0;1 .
{
}
0 et
{
}
1 sont des fermés mais aussi des ouverts (car complémentaires d'un fermé).
{
}
()
10f− est
donc un ouvert, de même que
{
}
()
11f− (image réciproque d'ouverts par une fonction continue).
{
}
()
{
}
()
{
}
(
)
111
010;1
f
ff D
−−−
==∪.
{
}
()
{
}
()
(
)
111
01fff
−−−
=∅=∅∩.
D étant une partie connexe de , on en déduit que
{
}
(
)
10
f
D
−
=
ou
{
}
(
)
11
f
D
−= (l'un est égal à
D, l'autre à ∅). f est donc constante.
Pour la condition suffisante, montrons que si D n'est pas connexe, alors il existe une fonction
continue de D dans
{
}
0;1 non constante.
On suppose donc que D n'est pas connexe. Il existe donc deux ouverts 1
A et 2 A non vides et
disjoints tels que 12
DAA=∪. Soit f la fonction définie par :
1
2
1
,() 0
si x A
xDfx si x A
∈
⎧
∀∈ =
⎨∈
⎩.
f n'est pas constante sur D car 1
A
et 2
A
sont non vides.
{
}
()
10;1
f
D
−=
{
}
()
12
0
f
A
−=
{
}
()
11
1
f
A
−=
()
1
f−∅=∅
Dans tous les cas, on obtient un ouvert. L'image réciproque de tout ouvert est un ouvert donc f est
continue.

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1.3 Deuxième caractérisation
Les parties connexes de  sont les intervalles de .
Démonstration
Si I n'est pas un intervalle, alors il existe ,ab I
∈
tels que ab
≤
et
{
}
,ta t b I
≤
≤⊄. Il existe donc
c tel que acb≤≤ et cI∉. On a alors
(
)
(
)
];[ ];[
I
cI c I=−∞ +∞∩∪ ∩.
];[cI−∞ ∩ et ] ; [cI+∞ ∩ sont deux ouverts non vides disjoints de I. De plus, leur réunion est
égale à I donc I n'est pas une partie connexe de . On a donc montré que si I est une partie
connexe de , alors I est un intervalle de .
Soit I un intervalle de . Montrons que I est une partie connexe de . Soit f une fonction continue
de I dans
{
}
0;1 . Montrons que f est constante.
Soient ,ab I∈, avec ab<.
{
}
()
1()
f
fa
− est ouvert et fermé dans I. Soit
{
}
(
)
1() [;]
B
ffa ab
−
=∩ (B est l'ensemble des points
de [ ; ]ab dont l'image par f est a).
B est fermé non vide car aB∈ et B est majoré par b. B admet donc une borne supérieure, notée c.
cB∈ car B est fermé donc () ()
f
cfa=.
{
}
()
1()
f
fa
− est un ouvert contenant c donc il existe 0
ε
> tel que
{
}
()
1
];[ ()cc ffa εε
−
−+⊂ .
Si cb≠, il existe alors x tel que cxb<< et
{
}
(
)
1()
x
ffa
−
∈, ce qui contredit la définition de c.
Donc cb=.
Donc () ()
f
afb= et donc f est constante sur I. I est donc connexe (d'après 1.2).
Conséquence des caractérisations 1.2 et 1.3 : L'image d'un intervalle par une fonction continue
est un intervalle.
2 Fonctions continues sur un connexe
2.1 théorème (condition suffisante pour qu'une application monotone soit continue)
Soit I un intervalle de . Soit f une fonction réelle monotone sur I telle que ( )
f
I soit un intervalle.
Alors f est continue sur I.
Démonstration
On suppose f croissante sur I.
Soit a un point intérieur à I. D'après le théorème de la limite monotone, f admet une limite à gauche
en a notée ( )
f
a− et une limite à droite en a notée ( )
f
a
+
, et on a : ( ) ( ) ( )
f
afafa
−
≤≤+.
Montrons que ( ) ( )
f
afa−= + :
Supposons le contraire, à savoir ( ) ( )
f
afa−< +. Il existe alors y
∈
, ( )yfa
≠
, tel que
() ()
f
ayfa−< < +. ( )
f
I étant un intervalle, ( )yfI
∈
.
Soit ,
x
Ix a∈≠.

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Si
x
a<, alors ( ) ( )
f
xfay≤< car f est croissante.
Si ax<, alors ( ) ( )yfa fx<≤.
Donc pour tout
x
I∈, ( )yfx
≠
, contredit le fait que ( )yfI
∈
.
Donc ( ) ( )
f
afa−= + et donc f est continue en a.
Si a est l'extrémité gauche de I (dans le cas où I est de la forme [ ;...a), f admet une limite à droite
en a, notée ( )
f
a+ et ( ) ( )
f
afa≤+. Montrons que ( ) ( )
f
afa
=
+.
Supposons le contraire, à savoir ( ) ( )
f
afa<+. Il existe alors y
∈
, ( )yfx
≠
tel que
() ( )
f
ayfa<< +.
Soit ,
x
Ix a∈≠ (donc
x
a>). Alors ( ) ( )yfa fx
<
≤. Donc pour tout , ( )
x
Iy fx
∈
≠, ce qui
contredit le fait que ( )
f
I est un intervalle.
Même type de démonstration si a est l'extrémité droite de I.
2.2 Théorème des valeurs intermédiaires
Soit I un intervalle de  et f une fonction numérique continue sur I. Pour tous ,ab I∈ tels que
() ()
f
afb< et pour tout [ ( ); ( )]
f
afb
λ
∈, il existe cI
∈
tel que ( )fc
λ
=
.
Démonstration
Soient ,ab I∈ tels que ( ) ( )
f
afb<. f étant continue, on en déduit que ( )
f
I est un intervalle de
. (), () ()
f
afb fI∈ donc
[
]
(); () ()
f
afb fI⊂.
Donc :
[
]
(); (), ()
f
afb fI λλ ∀∈ ∈ . D'où le résultat.
Conséquence :
Soit f une fonction numérique définie et continue sur un intervalle I de . Si ,ab I∈ tels que
()() 0fafb<, alors il existe [ ; ] ( [ ; ])cabouba
∈
tel que ( ) 0fc= (car
[
]
[
]
0();() ();()
f
afboufbfa∈).
Si de plus on est assuré de l'unicité de c, on peut calculer une valeur approchée de c par dichotomie.
3 Applications
3.1 Formule de la moyenne
Soient f et g deux fonctions continues sur [ ; ]ab, g étant positive. Soient [;] inf ( )
xab
mfx
∈
= et
[;]
sup ( )
xab
M
fx
∈
=. Alors il existe [ ; ]cab∈ tel que ()
bb
aa
f
gfc g=
∫
∫.
Démonstration

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mg fg Mg≤≤ donc bb b
aa a
mg fgMg≤≤
∫∫ ∫
.
Si 0g=, l'égalité est évidente.
Si 0g≠, [; ]
b
ab
a
fg mM
g∈
∫
∫. Il existe alors [ ; ]cab
∈
tel que ()
b
ab
a
f
g
fc g =
∫
∫
(théorème des valeurs
intermédiaires), d'où le résultat.
Conséquence
Pour 1g= : il existe [ ; ]cab∈ tel que ()( )
b
a
f
fc b a
=
−
∫.
3.2 Théorème du point fixe
Soit f une fonction continue sur un intervalle [;]
I
ab
=
. Si ()
f
II⊂, alors f admet au moins un
point fixe.
Démonstration
Soit g la fonction définie sur I par () ()gx fx x
=
−. Montrons que 0()gI
∈
.
g est continue sur I donc ()gI est un intervalle de .
() () 0ga f a a=−≥ car ()
f
aa≥.
() () 0gb fb b=−≤ car ()
f
bb≤.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe cI
∈
tel que () 0gc
=
, c'est-à-dire
()
f
cc=.
3.3 Théorème de Darboux
Soit I un intervalle de  (non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable sur I.
Alors f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :
Pour tous ,ab I∈, f ' prend toutes valeur intermédiaire comprise entre '( )
f
a et '( )
f
b.
Notons que f ' n'est pas supposée continue.
Démonstration
Si '( ) '( )
f
afb=, le théorème est évident.
Supposons maintenant '( ) '( )
f
afb<. Soient
φ
et
ψ
les fonctions définies par :
:
() ()
'( )
I
fx fa si x a
xxa
fasixa
φ
→
−
⎧≠
⎪−
⎨
⎪=
⎩
 et
:
() ()
'( )
I
fx fbsi x b
xxb
fbsixb
ψ
→
−
⎧
≠
⎪−
⎨
⎪=
⎩
f étant dérivable sur I (donc en a),
φ
est une fonction continue sur I. Soit () ()
f
bfa
ba
ξ
−
=−.

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D'après le théorème des valeurs intermédiaires,
φ
prend toutes les valeurs intermédiaires entre
() '()afa
φ
= et ( )b
φ
ξ =.
De même,
ψ
prend toutes les valeurs intermédiaires entre ( )a
ψ
ξ
=
et ( ) '( )bfb
ψ
=.
Soit
[
]
'( ); '( )
f
afb λ ∈.
1er cas :
λ
est compris entre '( )
f
a et
ξ
.
Il existe [;]
x
ab∈ tel que ()x
φ
λ = (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à
φ
).
Si
x
a=, alors () '()afa
λ
φ == .
Si
x
a≠, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ];[ax, il existe ];[cax∈ tel
que () () '()( )
f
xfafcxa−= −
. Alors '( ) ( )fc x
φ
λ
=
=.
2ème cas :
λ
est compris entre
ξ
et '( )
f
b.
Il existe [;]
x
ab∈ tel que ()x
ψ
λ = (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à
ψ
).
Si
x
b=, alors () '()bfb
λ
ψ == .
Si
x
b≠, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ];[
x
b, il existe ];[cxb∈ tel
que () () '()( )
f
xfbfcxb−= −
. Alors '( ) ( )fc x
ψ
λ
=
=.
3.4 Corollaire du théorème de Darboux
Soit I un intervalle de  (non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable et
convexe sur I. Alors f ' est continue sur I.
Démonstration
f étant dérivable et convexe sur I, on en déduit que f ' est croissante sur I. d'après le théorème de
Darboux, f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires donc '( )
f
I est un intervalle.
f ' est monotone sur I et '( )
f
I est un intervalle donc f ' est continue sur I d'après le théorème 2.1.