Parties connexes de R et fonctions continues

Parties connexes de R et fonctions continues
PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES
1
Parties connexes de R – caractérisation
1.1 Partie connexe de R
On dit qu'une partie D de
disjoints.
est connexe si D n'admet pas de partition en deux ouverts non vides
1.2 Première caractérisation
Soit D une partie de
. D est connexe si et seulement si toute application continue de D dans {0;1}
est constante.
Démonstration
Supposons D connexe. Soit f une fonction continue de D dans {0;1} .
{0} et {1} sont des fermés mais aussi des ouverts (car complémentaires d'un fermé). f −1 ({0}) est
donc un ouvert, de même que f −1 ({1}) (image réciproque d'ouverts par une fonction continue).
f −1 ({0}) ∪ f −1 ({1}) = f −1 ({0;1}) = D .
f −1 ({0}) ∩ f −1 ({1}) = f −1 ( ∅ ) = ∅ .
D étant une partie connexe de , on en déduit que f −1 ({0}) = D ou f −1 ({1}) = D (l'un est égal à
D, l'autre à ∅ ). f est donc constante.
Pour la condition suffisante, montrons que si D n'est pas connexe, alors il existe une fonction
continue de D dans {0;1} non constante.
On suppose donc que D n'est pas connexe. Il existe donc deux ouverts A1 et A2 non vides et
disjoints tels que D = A1 ∪ A2 . Soit f la fonction définie par :
⎧1 si x ∈ A1
.
∀x ∈ D, f ( x) = ⎨
0
si
x
∈
A
2
⎩
f n'est pas constante sur D car A1 et A2 sont non vides.
f −1 ({0;1}) = D
f −1 ({0}) = A2
f −1 ({1}) = A1
f −1 ( ∅ ) = ∅
Dans tous les cas, on obtient un ouvert. L'image réciproque de tout ouvert est un ouvert donc f est
continue.
© S. DUCHET
- www.epsilon2000.fr.st
1/5
Parties connexes de R et fonctions continues
1.3 Deuxième caractérisation
Les parties connexes de
sont les intervalles de
.
Démonstration
Si I n'est pas un intervalle, alors il existe a, b ∈ I tels que a ≤ b et {t , a ≤ t ≤ b} ⊄ I . Il existe donc
c tel que a ≤ c ≤ b et c ∉ I . On a alors I = ( ] − ∞ ; c[ ∩ I ) ∪ ( ] c ; + ∞[ ∩ I ) .
] − ∞ ; c [ ∩ I et ] c ; + ∞[ ∩ I sont deux ouverts non vides disjoints de I. De plus, leur réunion est
égale à I donc I n'est pas une partie connexe de . On a donc montré que si I est une partie
connexe de , alors I est un intervalle de .
Soit I un intervalle de . Montrons que I est une partie connexe de
de I dans {0;1} . Montrons que f est constante.
. Soit f une fonction continue
Soient a, b ∈ I , avec a < b .
f −1 ({ f (a)}) est ouvert et fermé dans I. Soit B = f −1 ({ f (a)}) ∩ [a ; b] (B est l'ensemble des points
de [a ; b] dont l'image par f est a).
B est fermé non vide car a ∈ B et B est majoré par b. B admet donc une borne supérieure, notée c.
c ∈ B car B est fermé donc f (c) = f (a) .
f −1 ({ f (a)}) est un ouvert contenant c donc il existe ε > 0 tel que ] c − ε ; c + ε [ ⊂ f −1 ({ f (a)}) .
Si c ≠ b , il existe alors x tel que c < x < b et x ∈ f −1 ({ f (a)}) , ce qui contredit la définition de c.
Donc c = b .
Donc f (a ) = f (b) et donc f est constante sur I. I est donc connexe (d'après 1.2).
Conséquence des caractérisations 1.2 et 1.3 : L'image d'un intervalle par une fonction continue
est un intervalle.
2
Fonctions continues sur un connexe
2.1 théorème (condition suffisante pour qu'une application monotone soit continue)
Soit I un intervalle de . Soit f une fonction réelle monotone sur I telle que f ( I ) soit un intervalle.
Alors f est continue sur I.
Démonstration
On suppose f croissante sur I.
Soit a un point intérieur à I. D'après le théorème de la limite monotone, f admet une limite à gauche
en a notée f (a−) et une limite à droite en a notée f (a+ ) , et on a : f (a −) ≤ f (a) ≤ f (a + ) .
Montrons que f (a −) = f (a + ) :
Supposons le contraire, à savoir f (a −) < f (a + ) . Il existe alors y ∈ , y ≠ f (a) , tel que
f (a −) < y < f (a + ) . f ( I ) étant un intervalle, y ∈ f ( I ) .
Soit x ∈ I , x ≠ a .
© S. DUCHET
- www.epsilon2000.fr.st
2/5
Parties connexes de R et fonctions continues
Si x < a , alors f ( x) ≤ f (a) < y car f est croissante.
Si a < x , alors y < f (a) ≤ f ( x) .
Donc pour tout x ∈ I , y ≠ f ( x) , contredit le fait que y ∈ f ( I ) .
Donc f (a −) = f (a +) et donc f est continue en a.
Si a est l'extrémité gauche de I (dans le cas où I est de la forme [a ;... ), f admet une limite à droite
en a, notée f (a+ ) et f (a) ≤ f (a + ) . Montrons que f (a) = f (a +) .
Supposons le contraire, à savoir f (a) < f (a + ) . Il existe alors y ∈ , y ≠ f ( x) tel que
f (a) < y < f (a +) .
Soit x ∈ I , x ≠ a (donc x > a ). Alors y < f (a) ≤ f ( x) . Donc pour tout x ∈ I , y ≠ f ( x) , ce qui
contredit le fait que f ( I ) est un intervalle.
Même type de démonstration si a est l'extrémité droite de I.
2.2 Théorème des valeurs intermédiaires
Soit I un intervalle de
et f une fonction numérique continue sur I. Pour tous a, b ∈ I tels que
f (a) < f (b) et pour tout λ ∈ [ f (a); f (b)] , il existe c ∈ I tel que f (c) = λ .
Démonstration
Soient a, b ∈ I tels que f (a) < f (b) . f étant continue, on en déduit que f ( I ) est un intervalle de
. f (a), f (b) ∈ f ( I ) donc [ f (a ); f (b) ] ⊂ f ( I ) .
Donc : ∀λ ∈ [ f (a ); f (b) ] , λ ∈ f ( I ) . D'où le résultat.
Conséquence :
Soit f une fonction numérique définie et continue sur un intervalle I de . Si a, b ∈ I tels que
f (a) f (b) < 0 ,
alors
il
existe
c ∈ [a ; b] (ou [b ; a ])
tel
que
f (c ) = 0
(car
0 ∈ [ f (a ); f (b) ] ou [ f (b); f (a ) ] ).
Si de plus on est assuré de l'unicité de c, on peut calculer une valeur approchée de c par dichotomie.
3
Applications
3.1 Formule de la moyenne
Soient f et g deux fonctions continues sur [ a ; b ] , g étant positive. Soient m = inf f ( x) et
x∈[ a ; b ]
M = sup f ( x) . Alors il existe c ∈ [ a ; b ] tel que
x∈[ a ; b ]
∫
b
a
b
fg = f (c) ∫ g .
a
Démonstration
© S. DUCHET
- www.epsilon2000.fr.st
3/5
Parties connexes de R et fonctions continues
b
b
b
a
a
a
mg ≤ fg ≤ Mg donc m ∫ g ≤ ∫ fg ≤ M ∫ g .
Si g = 0 , l'égalité est évidente.
b
Si g ≠ 0 ,
∫
∫
a
b
a
fg
b
∈ [ m ; M ] . Il existe alors c ∈ [ a ; b ] tel que f (c) =
g
∫
∫
a
b
a
fg
(théorème des valeurs
g
intermédiaires), d'où le résultat.
Conséquence
Pour g = 1 : il existe c ∈ [ a ; b ] tel que
∫
b
a
f = f (c) (b − a ) .
3.2 Théorème du point fixe
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] . Si f ( I ) ⊂ I , alors f admet au moins un
point fixe.
Démonstration
Soit g la fonction définie sur I par g ( x) = f ( x) − x . Montrons que 0 ∈ g ( I ) .
g est continue sur I donc g ( I ) est un intervalle de .
g (a) = f (a) − a ≥ 0 car f (a) ≥ a .
g (b) = f (b) − b ≤ 0 car f (b) ≤ b .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c ∈ I tel que g (c) = 0 , c'est-à-dire
f (c ) = c .
3.3 Théorème de Darboux
Soit I un intervalle de
(non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable sur I.
Alors f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :
Pour tous a, b ∈ I , f ' prend toutes valeur intermédiaire comprise entre f '(a) et f '(b) .
Notons que f ' n'est pas supposée continue.
Démonstration
Si f '(a) = f '(b) , le théorème est évident.
Supposons maintenant f '(a) < f '(b) . Soient φ et ψ les fonctions définies par :
φ:I →
ψ :I →
x
⎧ f ( x) − f (a)
si x ≠ a et
⎪
x−a
⎨
⎪⎩ f '(a) si x = a
x
⎧ f ( x) − f (b)
si x ≠ b
⎪
x −b
⎨
⎪⎩ f '(b) si x = b
f étant dérivable sur I (donc en a), φ est une fonction continue sur I. Soit ξ =
© S. DUCHET
- www.epsilon2000.fr.st
f (b) − f (a)
.
b−a
4/5
Parties connexes de R et fonctions continues
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, φ prend toutes les valeurs intermédiaires entre
φ (a ) = f '(a) et φ (b) = ξ .
De même, ψ prend toutes les valeurs intermédiaires entre ψ (a ) = ξ et ψ (b) = f '(b) .
Soit λ ∈ [ f '(a ); f '(b) ] .
1er cas : λ est compris entre f '(a) et ξ .
Il existe x ∈ [a ; b] tel que φ ( x) = λ (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à φ ).
Si x = a , alors λ = φ (a) = f '(a) .
Si x ≠ a , d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ] a ; x [ , il existe c ∈] a ; x [ tel
que f ( x) − f (a) = f '(c) ( x − a) . Alors f '(c) = φ ( x) = λ .
2ème cas : λ est compris entre ξ et f '(b) .
Il existe x ∈ [a ; b] tel que ψ ( x) = λ (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à ψ ).
Si x = b , alors λ = ψ (b) = f '(b) .
Si x ≠ b , d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ] x ; b [ , il existe c ∈] x ; b [ tel
que f ( x) − f (b) = f '(c) ( x − b) . Alors f '(c) = ψ ( x) = λ .
3.4 Corollaire du théorème de Darboux
Soit I un intervalle de
(non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable et
convexe sur I. Alors f ' est continue sur I.
Démonstration
f étant dérivable et convexe sur I, on en déduit que f ' est croissante sur I. d'après le théorème de
Darboux, f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires donc f '( I ) est un intervalle.
f ' est monotone sur I et f '( I ) est un intervalle donc f ' est continue sur I d'après le théorème 2.1.
© S. DUCHET
- www.epsilon2000.fr.st
5/5