∫∫ ∫∫ ∫ ∫ soit

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MILMAG22
1) On considère le dispositif ci-contre qui comporte un circuit magnéti-
que torique et un conducteur rectiligne supposé infini, parcouru par un courant i(t),
placé sur l’axe de révolution du tore. Le tore est à section rectangulaire de hauteur
L, les côtés sont distants de a et b de l’axe de révolution ; a et b sont donc les rayons
intérieur et extérieur du tore. On a b = 2a et L = 1 cm. Le matériau magnétique
constituant le tore est supposé homogène, linéaire, de perméabilité magnétique
relative μr = 106.
Calculer l’expression du flux magnétique Φ à travers une section droite
du circuit magnétique.
2) Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques
couplés par le circuit magnétique précédent. La ligne électrique bifilaire EDF
(230 Veff, 50 Hz qui assure le transport aller et retour du courant) est placée au centre du circuit ma-
gnétique précédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit ouvert, comporte N spires enroulées
autour du circuit magnétique.
Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale bifilaire, par
exemple le conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la terre. Il y a alors un courant
de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller ne repart pas par le conducteur retour. Pour
qu’il n’y ait pas d’accident grave, l’intensité efficace du courant qui traverse l’usager doit être infé-
rieure à 30 mA. Expliquer pourquoi ce dispositif permet de détecter une électrocution.
La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l’alimentation EDF à partir d’un
seuil de tension: Vseuil = 5 V. Combien doit-elle comporter de spires ?
Corrigé
1) Le matériau est linéaire donc 0r
B
H=μ μ
J
GJJG. L’excitation
G
H
possède donc les mêmes propriétés de symétrie que
B
J
G
, celles d’un
pseudo vecteur. L’excitation est crée par l’intensité qui circule dans
le fil et le milieu magnétique qui canalise les lignes de champ. On
appelle « source » l’ensemble fil + milieu.
La source est invariante par symétrie par rapport au plan
contenant l’axe Oz et passant par le point d’observation M. Le
champ
()
HM
JJG est donc perpendiculaire à ce plan. Dans la base cylindrique d’axe Oz, on peut écrire
() ( )()
,,HM Hr ze M
θ
=θ
JJGG
.
La source est invariante par rotation d’un angle θ quelconque autour de Oz donc la valeur
algébrique H ne dépend pas de θ. Il reste donc
(
)
(
)
(
)
,HM Hrze M
θ
=
J
JGG
puis
(
)
(
)
(
)
,
B
MBrzeM
θ
=
J
GG
.
D’après ce qui précède, les lignes de champ de
G
H
et
G
B
sont des cercles centrés sur Oz. On
utilise le théorème d’Ampère sur un tel cercle de rayon r à l’intérieur du matériau, orienté comme
()
eM
θ
G, noté Γ :
()
CH i
ΓΓ
=
JJG soit ici
(
)
(
)
,, 2Hrzt r itπ= .
On en déduit
() ()
0r
,, 2
it
Brzt r
μμ
=π à l’intérieur du matériau.
À l’extérieur, μr = 1 et il reste
()
(
)
0
,, 2
it
Brzt r
μ
=
π
.
Par définition du flux magnétique
(
)
(
)
S
S
tBtndSΦ= ⋅
∫∫
J
GG avec Sz
ne
=
G
G si l’on envisage une
section droite perpendiculaire à Oz. On obtient donc
(
)
(
)
(
)
,, z tBrzteMedS
θ
Φ= ⋅
∫∫
G
Gsoit
(
)
0t
Φ
=.
Envisageons donc une section parallèle à Oz telle que
[
]
,rab∈ (correspondant donc à un
demi tore). On a alors
() () ()()
0r
2
it
teMeMdrdz
rθ
μμ
Φ= ⋅
π
∫∫
G
G
(
)
0r
0
2
bL
a
it dr dz
r
μμ
=π
∫
∫ soit
i(t)
z
L
r e
G
2a
2b
e
θ
G
ialler(t)
Bobine de N spires
de section L(b – a)
iretourt)
ligne bifilaire EDF

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() ()
0r ln
2b
titL
a
μμ ⎛⎞
Φ= ⎜⎟
π⎝⎠
.
2-a) Le champ magnétique crée par les courants varie dans le temps donc il crée une f.é.m.
d’induction dans la bobine
()
(
)
dt
et dt
Φ
=− d’après la loi de Faraday.
Les courants circulent en sens contraire donc ils créent des flux de signes opposés.
Tant que les courants sont égaux en valeur absolue, le flux total est nul et la f.é.m. aussi.
Dans le cas où il existe un courant de fuite, le flux n’est pas nul et il apparaît une f.é.m. qui
se traduit par une tension aux bornes de la bobine.
b) Le flux total à travers les N spires de la bobine est
() () ()
()
0r aller retour ln
2b
tN iti tLa
μμ ⎛⎞
Φ= − ⎜⎟
π⎝⎠
et la f.é.m. d’induction
() ()
(
)
0r ln
2
dit
b
et N L adt
Δ
μμ ⎛⎞
=− ⎜⎟
π⎝⎠ en notant
() () ()
aller retour
it i t i tΔ= − . Ces courants étant sinusoïdaux de même pulsation ω, on peut écrire
() ( )
MAX cosit i tΔ=Δ ω d’où
() ()
0r MAX
ln sin
2b
et N L i t
a
μμ ⎛⎞
=ωΔω
⎜⎟
π⎝⎠ .
La valeur efficace de la tension aux bornes de la bobines est donc
0r
B,eff eff
ln
2b
VNL i
a
μμ ⎛⎞
=ωΔ
⎜⎟
π⎝⎠ . L’électroaimant se déclenche si VB,eff = Vseuil. On doit donc
avoir Δieff < Δieff,max pour cette tension soit seuil
0r eff,max
2
ln
V
Nb
Li
a
π
>⎛⎞
μμ ωΔ
⎜⎟
⎝⎠
.
A.N.
()()()
()( )
()
MIN 76 2 3
25
410 1010ln22503010
N−− −
π
=π× π× × = 383 spires.
6) On veut dB
dH maximum au voisinage de L = 0 car la variation de B donc de flux sera
grande pour un Δi petit, ce qui permet donc une plus grande sensibilité du disjoncteur.