Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 1/5 NOTATIONS ET FORMULAIRE PROTOCOLE SUR U ECHATILLO Ensemble des n sujets de l’échantillon S = { s1 ; s2 ; ….; sn } (1) Variable aléatoire S→X (2) (3) Modalité observée de X pour un sujet i : xi Protocole: ensemble des observations {(s1, x1);(s2, x2);……….;(sn, xn)} (4) Protocole équipondéré: les observations ne sont pas regroupées, xi.a un poids absolu = 1 Protocole pondéré: distribution d’effectifs, la valeur xi est observée ni fois (poids absolu ni ) PROTOCOLE UIVARIE CATEGORISE (variable à k modalités) nk (5) fk = nk / n (6) Effectif observé pour modalité n° k Fréquence de la modalité n°k : PROTOCOLE UIVARIE UMERIQUE DOE PAR ITERVALLES Variable donnée par intervalles : Amplitude de l’intervalle [a ; b] : Densité d’un intervalle : (7) (8) b–a densité = effectif / amplitude PROTOCOLE UIVARIES UMERIQUES DISCRETS PODERES OU O Rang du quantile qα d’ordre α (une proportion α de sujets a un score ≤ qα) Rang = α n + ½ (9) q1 = 1er quartile α= ¼ Médiane :α = ½ q3 =3ème quartile α= ¾: Poids relatif ou fréquence de la valeur xi 1 en équipondéré (série de valeurs) souvent noté aussi n n pi = i en pondéré (distribution d’effectifs) souvent noté aussi n pi = 1 n ni fi = n fi = (10) (11) Moyenne d'un protocole m = x = ∑ p i x i = p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n (12) i∈ I Etendue = Max – Min EIQ = q3 – q1 (14) EAM = ∑ pi xi − m (15) Ecart inter quartile EAM (13) i∈I Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 2/5 Contribution absolue de i à la variance Ctai = pi (xi – m)2 (16) Variance « variance population ») Var = σ 2 = ∑ Cta i = ∑ p i ( xi − m) 2 i∈I (17) i∈I Contribution relative à la Variance Ctri = Ctai / Var (18) Ecart-type ("Ecart-type population") (19) σ= Var ECART A LA MOYEE, ECART CETRE-REDUIT Ecart à la moyenne de l'individu i (variable centrée) (20) Ei = xi – m Ecart-réduit de l’individu (variable centrée-réduite) zi = x i − m (21) σ COMBIATOIRE Coefficients binomiaux n n! C np = = = nCp p p ! ( n − p )! par la calculette (22) PROBABILITES Probabilité fréquentiste: P(A) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles P(A∩ B) P(B) (23) Probabilité conditionnelle P(A/ B)= Evènements indépendants P(A∩B) = P(A) x P(B) (25) C'est-à-dire P(A/B) = P(A) (26) (24) Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 3/5 TEST DE TYPICALITE – DISTRIBUTIOS D’ECHATILLOAGE Distribution d’échantillonnage d'une moyenne (DEM)– Propriétés Effectif Moyenne Ecart-type N µ σ POPULATIO DE REFERECE Echantillon observé DEM (variable M) n Eff (M) m Moy (M) Ety Ety (M) Moy ( M ) = µ Moyenne: (27) (Théorème des 3 moyennes: "La moyenne de la distribution d'échantillonnage de la statistique Moyenne est égale à la moyenne parente") Ety ( M ) = Ecart-type (D fini): σ n 1 −n 1 −1 (28) n σ petit) (erreur-type de la moyenne) (29) Ety( M ) = 1 n Forme – Théorème de la Limite Centrale Pour une distribution de référence quelconque, la forme de la distribution d'échantillonnage de la moyenne se rapproche de la forme normale lorsque n croît, et cela d'autant plus que la distribution de référence est symétrique et est proche d'une distribution normale. Ecart-type (D infini ou Distribution d'échantillonnage d'une proportion (ou fréquence) (DEF)– Propriétés POPULATIO DE REFERECE Echantillon observé DEF (variable F) Moyenne: Proportion ϕ n Eff (F) f F Moyenne Ecart-type Moy(F) Ety (F) Moy( F ) = ϕ (30) Ety ( F ) = Ecart-type (D fini): Ecart-type (D infini ou Effectif N n petit) 1 ϕ (1 − ϕ ) n Ety ( F ) = 1 −n 1 −1 ϕ (1 − ϕ ) n (31) (32) Forme La proportion F de l’échantillon, suit approximativement une loi normale de moyenne ϕ et d’écart type Ety(F). Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 4/5 TEST Z - IFERECE SUR UE MOYEE (σ σ COU) σ Ety( M ) = mobs − µ zobs = TEST Z - IFERECE (34) Ety (M ) SUR UE FREQUECE (OU PROPORTIO) Ety F = zobs = (33) n ϕ (1 − ϕ ) (35) n f obs − ϕ Ety F (36) ESTIMATIO POCTUELLE – VARIACE ET ECART-TYPE CORRIGES Dotations de la DEM POPULATIO PARETE Echantillon observé DEM (variable M) Effectif N Moyenne µ Variance σ² Ecart-type σ n Eff (M) m Moy (M) Var Ety Ety (M) Estimateur sans biais de µ la moyenne parente :m la moyenne de l'échantillon (moyenne empirique) (37) Estimateur sans biais de σ2 la variance de la population parente: la variance corrigée: s 2 = n Var n −1 s= d'où l'écart-type corrigé n Ety n −1 où Var est la variance de l'échantillon où Ety est l'écart-type de l'échantillon IFERECE SUR UE MOYEE (σ ICOU) On estime σ par l’écart-type corrigé s de l’échantillon Si n≥300 on utilise le test Z Si n <300 on utilise un test de Student avec comme degré de liberté ddl = ν = n-1 Ety( M ) = tobs = s (40) n mobs − µ Ety (M ) (41) (38) (39) Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 5/5 ESTIMATIO PAR ITERVALLE DE COFIACE DE LA MOYEE µ [RESP. DE LA PROPORTIO φ] DE LA POPULATIO PARETE Dotations de la DEM [resp. de la DEF] Exemple: Dire que l'on attribue au fait que µ [resp. φ] appartienne à [0,56 ; 0,64] le niveau de confiance 1 – α = 0,95 = 95% signifie : que pour ces valeurs de µ [resp. φ], l'échantillon est typique au seuil bilatéral α = 0,05, que l’hypothèse nulle selon laquelle µ [resp φ] est dans cet intervalle ne serait pas rejetée, que le test (Z ou t selon les cas) de cette hypothèse nulle serait non significatif Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne µ, (σ connu) ݖఈ/ଶ désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2 [m - zα/2. σ/√n ; m + zα/2. σ/√n ] (42) Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la proportion φ ݖఈ/ଶ désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2 [ f − zα / 2 f (1 − f ) ; f + zα / 2 n f (1 − f ) ] n (43) Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne µ, (σ inconnu estimé par s) ݐഀ,ିଵ désigne la valeur de t au seuil unilatéral α/2, degré de liberté n-1 మ [m - tα/2, n-1. s/√n ; m + tα/2, n-1. s/√n ] (44) IFERECE SUR UE REPARTITIO DE FREQUECES (OU PROPORTIOS) Distribution d’effectifs observés : ( nk ) k∈K sur un ensemble à K modalités n= Effectif total ∑n (45) k k =1àK Fréquences observées ݂ = Distribution de fréquences théoriques: Effectifs théoriques: Test : χ 2 obs ೖ (46) (ϕ k nˆ k = n ϕ ) k = 1 àK k (nk − nˆ k ) 2 (obs − théo) ² = ∑ =∑ ˆ n théo k =1àK k Degré de liberté: ddl = K - 1 (47) (48) (49) (50)