Formulaire Univarié

Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 1/5
NOTATIONS ET FORMULAIRE
P ROTOCOLE SUR U ECHATILLO
Ensemble des n sujets de l’échantillon S = { s
1
; s
2
; ….; s
n
} (1)
Variable aléatoire S →
→→
→ X (2)
Modalité observée de X pour un sujet i : x
i
(3)
Protocole: ensemble des observations {(s
1
, x
1
);(s
2
, x
2
);……….;(s
n
, x
n
)} (4)
Protocole équipondéré: les observations ne sont pas regroupées, x
i
.a un poids absolu = 1
Protocole pondéré: distribution d’effectifs, la valeur x
i
est observée n
i
fois (poids absolu n
i
)
P ROTOCOLE UIVARIE CATEGORISE (variable à k modalités)
Effectif observé pour modalité n° k n
k (5)
Fréquence de la modalité n°k : f
k
= n
k
/ n (6)
P ROTOCOLE UIVARIE UMERIQUE DOE PAR ITERVALLES
Variable donnée par intervalles :
Amplitude de l’intervalle [a ; b] : b – a (7)
Densité d’un intervalle : densité = effectif / amplitude (8)
P ROTOCOLE UIVARIES UMERIQUES DISCRETS PODERES OU O
Rang du quantile q
α
d’ordre α (une proportion α de sujets a un score ≤ q
α
)
Rang = α n + ½ (9)
Médiane :α = ½ q
1
= 1
er
quartile α= ¼ q
3
=3
ème
quartile α= ¾:
Poids relatif ou fréquence de la valeur x
i
n
pi
1
=
en équipondéré (série de valeurs) souvent noté aussi
n
fi
1
=
(10)
pi =
n
n
i
en pondéré (distribution d’effectifs) souvent noté aussi fi =
n
n
i
(11)
Moyenne d'un protocole
nn
Ii
ii
xpxpxpxpxm +++===
∑
∈
...
2211
(12)
Etendue = Max – Min (13)
Ecart inter quartile EIQ = q
3
– q
1
(14)
EAM
∑
∈
−=
Ii
ii
mxpEAM (15)

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Contribution absolue de i à la variance
Cta
i
= p
i
(x
i
– m)
2
(16)
Variance « variance population »)
22
)( mxpCtaVar
i
Ii
i
Ii
i
−===
∑
∑
∈∈
σ (17)
Contribution relative à la Variance
Ctr
i
= Cta
i
/ Var (18)
Ecart-type ("Ecart-type population")
σ= Var (19)
E CART A LA MOYEE , ECART CETRE - REDUIT
Ecart à la moyenne de l'individu i (variable centrée)
E
i
= x
i
– m (20)
Ecart-réduit de l’individu (variable centrée-réduite)
σ
mx
z
i
i
−
=
(21)
COMBIATOIRE
Coefficients binomiaux
nCp
pnp
n
p
n
C
p
n
=
−
= =)!(!
!
par la calculette (22)
PROBABILITES
Probabilité fréquentiste: P(A) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles (23)
Probabilité conditionnelle
)(
)(
)/( BP
BAP
BAP
∩
= (24)
Evènements indépendants P(A∩B) = P(A) x P(B) (25)
C'est-à-dire P(A/B) = P(A) (26)

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T EST DE TYPICALITE – DISTRIBUTIOS D’ECHATILLOAGE
Distribution d’échantillonnage d'une moyenne (DEM)– Propriétés
Effectif Moyenne Ecart-type
POPULATIO DE
REFERECE
N
µ
σ
Echantillon observé n m Ety
DEM (variable M) Eff (M) Moy (M) Ety (M)
Moyenne:
Moy
M
(
)
=
µ
(27)
(Théorème des 3 moyennes: "La moyenne de la distribution d'échantillonnage de la statistique
Moyenne est égale à la moyenne parente")
Ecart-type ( fini):
1
)(
−
−
=
n
n
MEty
σ
(28)
Ecart-type ( infini ou
n
petit)
Ety M
n
( ) =
σ
(erreur-type de la moyenne) (29)
Forme – Théorème de la Limite Centrale
Pour une distribution de référence quelconque, la forme de la distribution d'échantillonnage de la
moyenne se rapproche de la forme normale lorsque n croît, et cela d'autant plus que la
distribution de référence est symétrique et est proche d'une distribution normale.
Distribution d'échantillonnage d'une proportion (ou fréquence) (DEF)– Propriétés
Effectif Proportion Moyenne Ecart-type
POPULATIO DE
REFERECE
N
ϕ
Echantillon observé n f
DEF (variable F) Eff (F) F Moy(F) Ety (F)
Moyenne:
ϕ
=
)F(Moy
(30)
Ecart-type ( fini):
1
)1(
)(
−
−
−
=
n
n
FEty
ϕϕ
(31)
Ecart-type ( infini ou
n
petit)
n
FEty )1( )(
ϕϕ −
=
(32)
Forme
La proportion F de l’échantillon, suit approximativement une loi normale de moyenne ϕ et d’écart
type Ety(F).

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TEST Z - IFERECE SUR UE MOYEE (σ
σσ
σ COU)
Ety M
n
( ) =
σ
(33)
zobs =
)(MEty
m
obs
µ
−
(34)
TEST Z - IFERECE SUR UE FREQUECE (OU PROPORTIO)
Ety F =
n
)1( ϕϕ −
(35)
zobs =
FEty
f
obs
ϕ
−
(36)
ESTIMATIO POCTUELLE – VARIACE ET ECART-TYPE CORRIGES
otations de la DEM
Effectif Moyenne Variance Ecart-type
POPULATIO
PARETE
N
µ
σ
²
σ
Echantillon observé n m Var Ety
DEM (variable M) Eff (M) Moy (M) Ety (M)
Estimateur sans biais de µ la moyenne parente :m la moyenne de l'échantillon (moyenne
empirique) (37)
Estimateur sans biais de σ
2
la variance de la population parente:
la variance corrigée:
Var
n
n
s
1
2
−
=
où Var est la variance de l'échantillon (38)
d'où l'écart-type corrigé
Ety
n
n
s1− =
où Ety est l'écart-type de l'échantillon (39)
IFERECE SUR UE MOYEE ( σ ICOU )
On estime σ par l’écart-type corrigé s de l’échantillon
Si n≥300 on utilise le test Z
Si n <300 on utilise un test de Student avec comme degré de liberté ddl = ν = n-1
n
s
MEty =)(
(40)
tobs =
)(MEty
m
obs
µ
−
(41)

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ESTIMATIO PAR ITERVALLE DE COFIACE DE LA MOYEE µ [RESP. DE
LA PROPORTIO φ] DE LA POPULATIO PARETE
otations de la DEM [resp. de la DEF]
Exemple:
Dire que l'on attribue au fait que µ [resp. φ] appartienne à [0,56 ; 0,64]
le niveau de confiance 1 – α = 0,95 = 95% signifie :
que pour ces valeurs de µ [resp. φ], l'échantillon est typique au seuil bilatéral α = 0,05, que
l’hypothèse nulle selon laquelle µ [resp φ] est dans cet intervalle ne serait pas rejetée, que le test
(Z ou t selon les cas) de cette hypothèse nulle serait non significatif
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne , (σ connu)
ݖ
ఈ/ଶ
désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2
[m - z
α/2
. σ/√n ; m + z
α/2
. σ/√n ] (42)
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la proportion φ
ݖ
ఈ/ଶ
désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2
]
)1(
;
)1(
[
2/2/
n
ff
zf
n
ff
zf − +
−
−
αα
(43)
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne , (σ inconnu estimé par s)
ݐഀ
మ
,௡ିଵ
désigne la valeur de t au seuil unilatéral α/2, degré de liberté n-1
[m - t
α/2, n-1
. s/√n ; m + t
α/2, n-1
. s/√n ] (44)
IFERECE SUR UE REPARTITIO DE FREQUECES (OU PROPORTIOS)
Distribution d’effectifs observés : Kkk
n
∈
)(
sur un ensemble à K modalités
Effectif total
∑
=
=
àKk
k
nn
1
(45)
Fréquences observées ݂
௞
=
௡
ೖ
௡
(46)
Distribution de fréquences théoriques:
àKkk 1
)(
=
ϕ
(47)
Effectifs théoriques:
k
nn
k
ϕ
=
ˆ
(48)
Test :
∑∑ −
=
−
=
=
théo
théoobs
n
nn
àKk k
kk
obs
²
1
2
2
)(
ˆ
)
ˆ
(
χ
(49)
Degré de liberté: ddl = K - 1 (50)