Réponse harmonique des systèmes du 1 ordre

Université du Sud TOULON - VAR Génie Electrique et Informatique Industrielle
Institut Universitaire de Technologie
M. GARNERO
Réponse harmonique
des systèmes du 1
er
ordre
1 Réponses du premier ordre
1.1 Courbes de Bode – Coordonnées réduites
1.2 Réponses en jx et (jx)
-1
1.3 Réponses en (1+ jx) et (1 + jx)
-1
1.4 Cas général d’une combinaison de termes du 1° ordre

M. GARNERO Chapitre 6 Page : 2 GE11-6.doc
Réponses du 1° ordre
Courbes de Bode – Coordonnées réduites
Les amplifications A
V
ou A
I
étant des nombres
complexes, on peut établir deux fonctions
variant avec la fréquence :
Le gain en dB et la phase en radian.
G
V
= 20 log
10
(A
V
) et ϕ
V
= arg (A
V
)
de même pour le courant
G
I
= 20 log
10
(A
I
) et ϕ
V
= arg (A
I
)
Le tracé des variations en fonction de la
fréquence (ou de la pulsation) porte le nom de
courbes de Bode ; (Bode gain et Bode phase).
Il est fréquent, dans ce genre d’étude, d’avoir
recours à des « coordonnées réduites ».
Ce procédé permet de ne tracer qu’une seule
fois pour toutes, les courbes en fonction d’une
variable réduite x =
refref
ff ω
ω
= la valeur de la
fréquence de référence étant propre aux
valeurs numériques du système.
Par exemple, sur le circuit ci-dessous, en
appliquant le partage de la tension d’entrée
entre C et R il vient :
R = 10 kΩ
C = 47 nF
jxj +
=
+
== 11
RC1 1 eVsV
H
ω
en posant
RCω =
ref
ω
ω
=
ref
ff
= x ce qui donne
dans ce cas particulier
πRC
2
1
f
ref
= = 339 Hz
Réponses en jx et ( jx )
-1
Si H = jx son module vaudra x et son
argument
2
π
, ainsi le gain vaudra G = 20 log ( x )
Le tracé de la courbe de gain donne une droite
puisque l’échelle des fréquences est également
logarithmique. Cette droite est croissante. Elle
passe à 0 dB lorsque x = 1
Lorsque x = 10, elle passe par 20log(10) = 20 dB
et lorsque x = 0,1, elle passe par 20log(0,1) = -20
dB. La pente est donc de 20 dB par décade.
Lorsque x = 2, elle passe par 20log(2) = 6dB, ou
d’une façon générale si la fréquence double ou
diminue de moitié, la variation est de 6 dB.
Une pente de 20 dB par décade correspond donc à une
pente de 6 dB par octave
Le tracé de la courbe de phase donne une
horizontale à
2
π
v
s
v
e
R
C
Courbes de Bode
f
(Hz) ou
ω
ωω
ω (rad/s)
Gain
(dB)
Echelle logarithmique
Echelle linéaire
Phase
(rad)
f
(Hz) ou
ω
ωω
ω (rad/s)
Echelle logarithmique
Echelle linéaire
1
10
0,1
-
10
-
20
+10
+20
0
x
+20 dB/décade
(+6 dB/octave)
G (dB)
1
10
-
π
ππ
π
2
π
π
ππ
π
0
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
(rad)

M. GARNERO Chapitre 6 Page : 3 GE11-6.doc
Dans le cas où l’amplification est de la forme
H = ajx les courbes sont similaires, mais le
franchissement le l’axe 0 dB se produit pour
x =
a
1
et non pas pour x = 1
Si A = (jx )
-1
=
jx
1
son module vaudra
x
1
et
son argument
2
π
− , ainsi le gain vaudra
G = 20 log (
x
1
) = - 20 log (x)
Le tracé de la courbe de gain donne encore une
droite. Cette droite est décroissante. Elle passe
à 0 dB lorsque x = 1. C’est la symétrique de la
précédente.
Le tracé de la courbe de phase donne une
horizontale à -
2
π
Comme précédemment, pour H = (ajx )
-1
on
assiste à un déplacement horizontal de la courbe
qui franchi l’axe 0 dB pour x =
a
1
Réponses en (1 + jx) et (1+jx)
-1
Lorsque H = 1 + jx
le module vaut
2
1H x+= et
Notes personnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
10
0,1
-
10
-
20
+10
+20
0
x
-20 dB/décade
(-6 dB/octave)
G (dB)
1
10
-
π
ππ
π
2
π
π
ππ
π
0
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
(rad)

M. GARNERO Chapitre 6 Page : 4 GE11-6.doc
l’argument
)(arctg x
=
ϕ
ce qui donne pour
le gain )1log(101log20
22
xxG +=+=
On appelle comportement asymptotique,
l’analyse des limites des courbes lorsque x tend
vers zéro ou l’infini.
Dans le cas traité, lorsque x → 0
- le module de H tend vers 1 donc G vers 0 dB
- l’argument de H tend vers 0.
lorsque x → ∞
- le module de H tend vers x , la courbe de gain
se comporte donc comme au paragraphe
précédent. C’est une droite, de pente
+20 dB/décade qui coupe l’axe 0 dB pour x = 1
- l’argument de H tend vers
2
π
.
Pour x = 1, G = 10 log 2 = 3 dB et ϕ = arctg 1 =
4
π
quelques valeurs intermédiaires permettent de
tracer les courbes avec précision :
x 0,1 0,25 0,5 1 2 4 10
G
dB
0,04 0,3 1 3 7 12,3 20,04
ϕ° 6 14 27 45 63 76 84
Pour l’étude de A = (1 + jx)
-1
, il suffit de
considérer que faire l’inverse correspond à une
multiplication par –1, tant pour le gain que pour
la phase.
2
1log20
2
1
1
log20 x
x
G+−=
+
=
)(arctg0 x
−
=
ϕ
x 0,1 0,25 0,5 1 2 4 10
G
dB
-0,04 -0,3 -1 -3 -7 -12,3 -20,04
ϕ° 6 14 27 45 63 76 84
Le point d’intersection des asymptotes
correspond à la « fréquence de brisure ». Le
système que nous venons d’étudier correspond à
un « passe bas du 1°ordre » dont la fréquence de
coupure à – 3 dB est obtenue pour x = 1 c’est à
dire pour f
c
= f
ref
Si les fonctions étudiées étaient de la forme
H = 1 + ajx ou H = (1 + ajx)
-1
les allures seraient
semblables. Il n’y aurait que la brisure qui se
produirait pour x =
a
1.
Le premier système porte le nom de dérivateur
pur, le deuxième d’intégrateur pur. Le troisième
1
10
0,1
-
10
-
20
+10
+20
0
x
+20 dB/décade
(+6 dB/octave)
G (dB)
asymptotes
1
10
0
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
(degré)
90
45
asymptote
1
10
0,1
-
10
-
20
+10
+20
0
x
-20 dB/décade
(-6 dB/octave)
G (dB)
asymptotes
1
10
0
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
(degré)
-
90
-
45
asymptote
0,1

M. GARNERO Chapitre 6 Page : 5 GE11-6.doc
est un speudo-dérivateur , il n’a les propriétés
du dérivateur que pour
x → ∞ de même pour le
dernier qui est un pseudo-intégrateur.
Cas général d’une combinaison de termes du
1° ordre.
Nous avons vu au chapitre précédent que la
fonction de transfert pouvait se mettre sous la
forme :
H =
m
m
2
210
n
n
2
210
)(a...)(a)(a
)(b...)(b)(b
jxjxjxa
jxjxjxb ++++ ++++
En factorisant le numérateur et le
dénominateur, on peut faire apparaître leurs
racines et organiser l’écriture de H de façon
différente. Par exemple :
H =
2
2
)2()(
)(5,1)(5,31
jxjx
jxjx
+++
peut se mettre sous la
forme : H =
)21( )31)(5,01( jxjx jxjx +
+
+
que l’on
peut écrire :
)21( 1
*
1
*)31(*)5,01(H jxjx jxjx + ++= ou encore
4321
H*H*H*HH = avec )5,01(H
1
jx+=
)31(H
2
jx+=
jx
1
H
3
=
)21( 1
H
4
jx+
=
ce qui donnera au niveau du gain et de la phase :
G = G
1
+ G
2
+ G
3
+ G
4
ϕ = ϕ
1
+ ϕ
2
+ ϕ
3
+ ϕ
4
Le tracé du « diagramme asymptotique » est assez
simple.
Notes personnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
10
0,1
-
10
-
20
+10
+20
0
x
G (dB)
½
⅓
1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
2