Réponse harmonique des systèmes du 1 ordre

Université du Sud TOULON - VAR
Institut Universitaire de Technologie
Génie Electrique et Informatique Industrielle
Réponse harmonique
des systèmes du 1er ordre
1 Réponses du premier ordre
1.1
1.2
1.3
1.4
Courbes de Bode – Coordonnées réduites
Réponses en jx et (jx)-1
Réponses en (1+ jx) et (1 + jx)-1
Cas général d’une combinaison de termes du 1° ordre
M. GARNERO
Réponses du 1° ordre
Courbes de Bode – Coordonnées réduites
Les amplifications AV ou AI étant des nombres
complexes, on peut établir deux fonctions
variant avec la fréquence :
Le gain en dB et la phase en radian.
GV = 20 log10(AV) et ϕV = arg (AV)
de même pour le courant
GI = 20 log10(AI) et ϕV = arg (AI)
Le tracé des variations en fonction de la
fréquence (ou de la pulsation) porte le nom de
courbes de Bode ; (Bode gain et Bode phase).
Echelle linéaire
Gain
(dB)
f (Hz) ou
ω (rad/s)
Echelle logarithmique
Courbes de Bode
Echelle linéaire
Phase
(rad)
f (Hz) ou
ω (rad/s)
Il est fréquent, dans ce genre d’étude, d’avoir
recours à des « coordonnées réduites ».
Ce procédé permet de ne tracer qu’une seule
fois pour toutes, les courbes en fonction d’une
f
variable réduite x =
= ω la valeur de la
f ref ω ref
fréquence de référence étant propre aux
valeurs numériques du système.
Par exemple, sur le circuit ci-dessous, en
appliquant le partage de la tension d’entrée
entre C et R il vient :
R
H=
=
dans ce cas particulier
Réponses en jx et
f
= x ce qui donne
f ref
f ref =
1
= 339 Hz
2 πRC
(jx)-1
son module vaudra x et son
π
argument , ainsi le gain vaudra G = 20 log (x)
2
Le tracé de la courbe de gain donne une droite
puisque l’échelle des fréquences est également
logarithmique. Cette droite est croissante. Elle
passe à 0 dB lorsque x = 1
Lorsque x = 10, elle passe par 20log(10) = 20 dB
et lorsque x = 0,1, elle passe par 20log(0,1) = -20
dB. La pente est donc de 20 dB par décade.
Lorsque x = 2, elle passe par 20log(2) = 6dB, ou
d’une façon générale si la fréquence double ou
diminue de moitié, la variation est de 6 dB.
Si H
= jx
Une pente de 20 dB par décade correspond donc à une
pente de 6 dB par octave
Le tracé de la courbe de phase donne une
π
horizontale à
2
+20
G (dB)
+20 dB/décade
(+6 dB/octave)
x
0
-10
-20
0,1
π
10
1
ϕ (rad)
π
2
C
vs
Vs
1
1
=
=
Ve 1 + jRCω 1 + jx
M. GARNERO
ω
ω ref
+10
Echelle logarithmique
ve
en posant RCω =
Chapitre 6
R = 10 kΩ
C = 47 nF
x
0
-π
π
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1
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Dans le cas où l’amplification est de la forme
H = ajx les courbes sont similaires, mais le
franchissement le l’axe 0 dB se produit pour
1
x = et non pas pour x = 1
a
1
1
-1
Si A = (jx ) =
son module vaudra et
jx
x
π
son argument − , ainsi le gain vaudra
2
1
G = 20 log ( ) = - 20 log (x)
x
Le tracé de la courbe de gain donne encore une
droite. Cette droite est décroissante. Elle passe
à 0 dB lorsque x = 1. C’est la symétrique de la
précédente.
Le tracé de la courbe de phase donne une
π
horizontale à 2
+20
G (dB)
+10
-20 dB/décade
(-6 dB/octave)
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Notes personnelles
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x
0
-10
-20
0,1
π
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10
1
ϕ (rad)
π
2
x
0
-π
π
10
1
-1
Comme précédemment, pour H = (ajx ) on
assiste à un déplacement horizontal de la courbe
1
qui franchi l’axe 0 dB pour x =
a
-1
Réponses en (1 + jx) et (1+jx)
Lorsque
H = 1 + jx
le module vaut
M. GARNERO
H = 1 + x 2 et
Chapitre 6
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l’argument
ϕ = arctg( x ) ce qui donne pour
Pour l’étude de A = (1 + jx)-1 , il suffit de
considérer que faire l’inverse correspond à une
multiplication par –1, tant pour le gain que pour
la phase.
1
G = 20 log
= −20 log 1 + x 2
2
1+ x
le gain G = 20 log 1 + x 2 = 10 log(1 + x 2 )
On appelle comportement asymptotique,
l’analyse des limites des courbes lorsque x tend
vers zéro ou l’infini.
ϕ = 0 − arctg( x )
Dans le cas traité, lorsque x → 0
- le module de H tend vers 1 donc G vers 0 dB
- l’argument de H tend vers 0.
lorsque x → ∞
- le module de H tend vers x, la courbe de gain
se comporte donc comme au paragraphe
précédent. C’est une droite, de pente
+20 dB/décade qui coupe l’axe 0 dB pour x = 1
π
- l’argument de H tend vers .
2
π
Pour x = 1, G = 10 log 2 = 3 dB et ϕ = arctg 1 =
4
quelques valeurs intermédiaires permettent de
tracer les courbes avec précision :
x
GdB
ϕ°
0,1
0,04
6
0,25
0,3
14
0,5
1
27
1
3
45
2
7
63
x
GdB
ϕ°
+20
0,1 0,25
-0,04 -0,3
6
14
0,5
-1
27
1
-3
45
2
-7
63
4
10
-12,3 -20,04
76
84
G (dB)
+10
asymptotes
x
0
4
10
12,3 20,04
76
84
-10
-20 dB/décade
(-6 dB/octave)
-20
+20
0,1
G (dB)
0,1 ϕ (degré)
+20 dB/décade
(+6 dB/octave)
10
1
1
10
0
+10
x
x
0
- 45
asymptotes
-10
asymptote
- 90
-20
0,1
90
10
1
ϕ (degré)
asymptote
45
x
1
0
M. GARNERO
Chapitre 6
10
Le point d’intersection des asymptotes
correspond à la « fréquence de brisure ». Le
système que nous venons d’étudier correspond à
un « passe bas du 1°ordre » dont la fréquence de
coupure à – 3 dB est obtenue pour x = 1 c’est à
dire pour fc= f ref
Si les fonctions étudiées étaient de la forme
H = 1 + ajx ou H = (1 + ajx)-1 les allures seraient
semblables. Il n’y aurait que la brisure qui se
1
produirait pour x = .
a
Le premier système porte le nom de dérivateur
pur, le deuxième d’intégrateur pur. Le troisième
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est un speudo-dérivateur , il n’a les propriétés
du dérivateur que pour x → ∞ de même pour le
dernier qui est un pseudo-intégrateur.
Notes personnelles
Cas général d’une combinaison de termes du
1° ordre.
Nous avons vu au chapitre précédent que la
fonction de transfert pouvait se mettre sous la
forme :
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ce qui donnera au niveau du gain et de la phase :
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G = G1 + G2 + G3 + G4 ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4
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H=
b 0 + b1 ( jx ) + b 2 ( jx ) 2 + ... + b n ( jx ) n
a 0 + a1 ( jx ) + a 2 ( jx ) 2 + ... + a m ( jx ) m
En factorisant le numérateur et le
dénominateur, on peut faire apparaître leurs
racines et organiser l’écriture de H de façon
différente. Par exemple :
1 + 3,5( jx ) + 1,5( jx ) 2
peut se mettre sous la
( jx ) + 2( jx ) 2
(1 + 0,5 jx )(1 + 3 jx )
forme :
H=
que l’on
jx (1 + 2 jx )
H=
peut écrire :
H = (1 + 0,5 jx ) * (1 + 3 jx ) *
1
1
*
ou encore
jx (1 + 2 jx )
H = H1 * H 2 * H 3 * H 4
H 2 = (1 + 3 jx )
H3 =
avec H1 = (1 + 0,5 jx )
1
jx
H4 =
1
(1 + 2 jx )
Le tracé du « diagramme asymptotique » est assez
simple.
G (dB)
G2
+20
G1
+10
⅓
0
x
2
½
1
G
-10
G3
-20
0,1
M. GARNERO
1
Chapitre 6
G4
10
Page : 5
GE11-6.doc
ϕ (degré)
+ 90
+ 45
ϕ1
ϕ2
10
0,1
1
x
0
ϕ
ϕ4
- 45
ϕ3
- 90
M. GARNERO
Chapitre 6
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