filtre 1 ordre1

1
AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL :
REALISATION DE FILTRES DU PREMIER ORDRE 1
L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal. La résistance R3 sur les schémas (qui
a pour but de limiter la tension d’offset de l’amplificateur réel) ne sera pas prise en compte : sa tension
aux bornes est nulle. On supposera de plus que la courbe de réponse de l’amplificateur est idéale : gain
en tension constant quelle que soit la fréquence.
1 - FILTRE PASSE-HAUT INVERSEUR
Figure 1 : filtre passe-haut inverseur
1. Le montage de la figure 1constitue un amplificateur inverseur de gain A(ω) :
A( ! )=vs
ve
=!R2
Z1
avec :
Z1=R1+1
j ! C1
On obtient alors :
A( ! )=vs
ve
=!R2
R1
1
1+1
j ! R1C1
2. Déterminons le module du gain :
A( ! )=vs
ve
=R2
R
1
1
1+1
! R
1C1
( )
2
soit en décibels :
A( ! )dB =20 log R2
R1
!
"
#$
%
&'10 log(1+1
! R1C1
( )
2)
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
fréquences moyennes {soit :
20 log R2
R
1
!
"
#$
%
&=20dB
)} a chuté de -3dB.
Dans ces conditions :
!
cR 1C1=1
.
1 Philippe ROUX © 2012 http://philippe.roux.7.perso.neuf.fr/
+
_
R
1
R
3
R
2
C
1
10k"
v
e
1k"
1k"
1!F
v
s
e

2
On en déduit la fréquence de coupure à -3 dB par rapport aux fréquences moyennes :
fc=1
2 ! R1C1
soit fc = 159 Hz.
Le déphasage (en degrés) de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
!="180 "Arc tan( ! R
1C1)
A la fréquence de coupure fc le déphasage Φ (fc) est de -225°.
4. Déterminons le Graphe asymptotique de Bode du module du gain en tension exprimé en dB.
A( ! )dB =20 log R2
R1
!
"
#$
%
&'10 log(1+1
! R1C1
( )
2)
Le graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 2 :
Composante (1) :
20 log R2
R
1
!
"
#$
%
&
= 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
droite horizontale.
Composante (2) :
!10 log(1+1
! R
1C1
( )
2)
dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à 0 dB pour une fréquence tendant vers l’infini.
• à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur 20 dB/ décade (pour f
tendant vers zéro).
La somme (3) des deux composantes précédentes constitue le graphe asymptotique de Bode
du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
Figure 2 : Graphe asymptotique de Bode du module du gain
10
100
1
10
3
1
10
4
20
0
20
40
159
f (Hz)
!
A
dB
1
2
fc
20 dB/décade
3

3
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée :
!="180 "Arc tan( ! R
1C1)
.
Le graphe asymptotique de Bode a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 3 :
Composante (1) : -180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite
horizontale.
Composante (2) :
!Arc tan( ! R
1C1)
dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini.
• à 0° pour f tendant vers zéro.
• à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du
déphasage Φ.
Figure 3 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est
l'angle et le module la distance du point à l'origine).
Figure 4 : Graphe de Nyquist
10
100
1
10
3
1
10
4
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
159
f (Hz)
1
2
3
!
"
degrés
-45°/décade
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

4
2 - FILTRE PASSE-BAS INVERSEUR
Figure 5 : Filtre passe-bas inverseur
1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain :
A( ! )=vs
ve
=!Z2
R
1
Z2=R2
1+j ! C2R2
. On obtient alors :
A( ! )=vs
ve
=!R2
R1
1
1+j ! R2C2
2. Déterminons le module du gain en décibels ainsi que la déphasage Φ de la sortie par rapport à
l’entrée.
A( ! )=vs
ve
=R2
R
1
1
1+ ! R2C2
( )
2
Soit en décibels :
A( ! )dB =20 log R2
R1
!
"
#$
%
&'10 log(1+
! R2C2
( )
2)
Le déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
!=180 "Arc tan( ! R2C2)
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
fréquences moyennes {
20 log R2
R
1
!
"
#$
%
&=20dB
)} a chuté de -3dB.
Dans ces conditions :
!
cR2C2=1
fc=1
2 ! R2C2
=31,8kHz
Le déphasage est alors :
!(fc)=180 "45 =135°
+
_
R
1
R
3
R
2
C
2
10k!
v
e
1k!
1k!
0,5nF
v
s
e

5
4. Graphes asymptotiques de Bode du module du gain en tension.
A( ! )dB =20 log R2
R1
!
"
#$
%
&'10 log(1+
! R2C2
( )
2)
Ce graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 6 :
Composante (1) :
20 log R2
R
1
!
"
#$
%
&
= 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
droite horizontale.
Composante (2) :
!10 log(1+ ! R2C2
( )
2)
dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro.
• à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur -20 dB/ décade (pour
f tendant vers l’infini).
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du module
du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
Figure 6 : Graphe asymptotique du module du gain
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage
!=180 "Arc tan( ! R2C2)
Le graphe de Bode du déphasage a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 7 :
Composante (1) : 180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite
horizontale.
Composante (2) :
!Arc tan( ! R2C2)
dont les asymptotes correspondent respectivement :
1
10
3
1
10
4
1
10
5
1
10
6
20
10
0
10
20
30
40
.
3.183
10
4
1
2
fc
f (Hz)
!
A
dB
3
-20/décade