Les oscillateurs, généralités 1 Introduction : motivation et définitions Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de la physique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important. En voici quelques exemples : la corde vocale, le cœur humain, la balançoire, le circuit électrique oscillant, les électrons dans les atomes, les cordes en physique des particules . . . En acoustique, la production, le transport, et la perception des sons mettent en jeu des oscillateurs mécaniques, acoustiques et électriques. Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques et électriques. Définition : Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeur physique de part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variations se reproduisent identiques à ellesmêmes, l’oscillateur est dit périodique. Un oscillateur est harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonction sinusoïdale du temps. Dans ce chapitre, nous étudions d’abord les oscillateurs mécaniques avant de transposer les résultats aux autres types d’oscillateurs. La figure ci-dessous montre quelques oscillateurs mécaniques. Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de sa position d’équilibre. En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est un oscillateur électrique. 2 L’oscillation harmonique, introduction mécanique 2.1 L’oscillation harmonique Quand un objet est en oscillation, il passe continuellement d’un côté à l’autre d’une position appelée la position d’équilibre. Ce pourrait être, par exemple, un pendule. Dans ce cas, la masse passe alternativement d’un côté à l’autre de la position d’équilibre, qui est au point le plus bas du mouvement du pendule. Si on pose que la position d’équilibre est à x = 0, cela signifie que la position prend alternativement des valeurs positives et négatives. Le graphique de la position de l’objet en fonction du temps pourrait donc ressembler au graphique suivant. Le graphique peut prendre une multitude de formes. La seule chose qui indique qu’il y a une oscillation c’est l’alternance entre les valeurs positives et négatives. Il y a cependant un cas particulier très important : le mouvement d’oscillation décrit par une fonction sinusoïdale. On parle alors d’oscillation harmonique. Dans ce cas, la position est donnée par la formule : De façon plus correcte, on parle ici de mouvement harmonique simple. Dans le mouvement harmonique complexe, il faudrait plusieurs fonctions sinusoïdales additionnées pour décrire le mouvement. Prenons un exemple pour illustrer un mouvement d’oscillation harmonique. Supposons que la position soit donnée par : Le graphique de ce mouvement est illustré sur la figure ci-dessous. Dans ce clip, vous pouvez voir que le graphique de la position en fonction du temps pour un système masse-ressort (qui est un système qui fait une oscillation harmonique) est un graphique identique à celui de la figure. http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI Oscillation harmonique Dans la formule, A est l’amplitude du mouvement. Elle permet d’ajuster la hauteur du sinus. Normalement, un sinus a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1. En multipliant par A, le sinus aura alors une valeur maximale de A et une valeur maximale de –A. Cette amplitude indique la plus grande distance qu’il peut y avoir entre l’objet et la position d’équilibre. Dans notre exemple, l’amplitude est de 3 cm. T est la période du mouvement. Elle indique le temps que prend l’objet pour faire un cycle d’oscillation. Normalement, un sinus a une période de 2π (en radians). En multipliant le temps par 2π/T, le sinus aura alors une période de T. Dans notre exemple, la période est de 2 secondes. f est la fréquence. Elle indique le nombre d’oscillations fait par l’objet en une seconde. Elle est mesurée en Hertz (Hz), qui sont des s-1 Évidemment, il y a un lien entre la période et la fréquence puisque, plus l’objet fera d’oscillations par seconde, plus la période sera petite. Si l’objet fait 10 oscillations par secondes, cela signifie que chaque oscillation dure 0,1 s (1 seconde / 10). Si l’objet fait 50 oscillations par secondes, chaque oscillation dure 0,02 s (1 seconde / 50). On a donc : On peut donc écrire la fonction sinusoïdale sous la forme : La quantité 2πf revient continuellement dans l’étude des oscillations harmoniques. Les physiciens ont décidé d’utiliser un symbole pour la représenter. C’est la fréquence angulaire ou pulsation. La fréquence angulaire est en rad/s et elle représente le nombre de cycles d’oscillation effectué durant un temps de 2π secondes. Notre fonction sinusoïdale peut donc s’écrire sous la forme : Ce n’est toujours pas notre formule la plus générale pour décrire le mouvement d’oscillation, même si on peut ajuster l’amplitude et la période. On doit aussi pouvoir ajuster le début du mouvement. On n’est pas obligé de commencer le mouvement d’oscillation à x = 0 comme on doit avoir avec un sinus. On pourrait commencer le mouvement d’oscillation à la position maximum comme illustré sur ce graphique. Ce graphique ne correspond pas au graphique d’un sinus. On doit pouvoir changer quelque chose dans le sinus pour arriver à représenter cette fonction. En fait, la forme de la fonction n’a pas changé, le sinus n’est que déplacé le long de l’axe du temps. On a donc une translation de la fonction. Sur ce graphique, on déplace notre fonction sinus de ∆t vers la gauche. En pointillé, on voit les axes du départ qui se sont déplacés avec la fonction. Avec les axes en pointillé, nous avons toujours notre graphique du sinus. L’équation est donc : Avec les axes en lignes continues, nous avons notre sinus qui ne commence pas à zéro. On peut déterminer l’équation de ce sinus en trouvant les lois de transformation entre les coordonnées x’ et t’ et les coordonnées x et t. Comme on n’a pas changé de hauteur par rapport aux axes horizontaux lors du déplacement, on n’a pas changé les valeurs de x : Les points du graphique ne sont cependant pas à la même distance des axes verticaux puisque l’axe x’ est ∆t plus à gauche. On a donc : Si on met ces transformations dans notre formule du sinus, on obtiendra l’équation de ce graphique en fonction des axes x et t. ωet ∆t étant des constantes, on peut les renommer en utilisant une autre constante φ, appelée constante de phase. La constante de phase est en rad. Notre équation la plus générale pour le mouvement d’oscillation harmonique est donc : Notez que tout ce qu’il y a à l’intérieur du sinus porte le nom de phase (c’est un terme général en mathématiques et qui ne s’applique pas uniquement aux oscillations harmoniques.) La constante de phase déplace notre sinus vers la gauche. Par exemple, il est déplacé d’un quart de cycle vers la gauche si la constante de phase est π/2 (qui est un quart de 2π), il est déplacé d’un demi-cycle si la constante est et est déplacé de trois quarts de cycle si la constante est 3π /2. Inutile d’utiliser une constante de phase de 2π, puisqu’on décale alors d’un cycle au complet et on revient à notre sinus du départ. Si la constante de phase est négative, le graphique du sinus est déplacé vers la droite. Certains d’entre vous ont peut-être déjà remarqué qu’avec une constante de π/2, on obtient alors le graphique d’un cosinus. Cela veut dire qu’on peut également décrire les oscillations harmoniques avec un cosinus. C’est très correct de le faire et certains livres sur les oscillations travaillent toujours avec un cosinus. On peut passer facilement d’un à l’autre avec l’identité trigonométrique suivante : La constante de phase est toujours π/2 plus petite avec le cosinus qu’avec le sinus. Les identités suivantes peuvent être aussi utiles à l’occasion : L’amplitude du mouvement n’est jamais négative. S’il y a un signe négatif devant la fonction, c’est une constante de phase de π déguisé comme l’indique la deuxième identité. 2.1.1 Vitesse et accélération Avec la position en fonction du temps, on peut facilement trouver la vitesse et l’accélération de l’objet en fonction du temps. La vitesse est : On obtient ainsi : Comme le cosinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peut prendre la vitesse est : L’accélération est : On obtient ainsi : Comme le sinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peut prendre l’accélération est : Voici les graphiques de la position, de la vitesse et de l’accélération : On remarque que quand la position et l’accélération sont maximales (positive ou négative), la vitesse est nulle et que quand la vitesse est maximale (positive ou négative), la position et l’accélération sont nulles. L’objet atteint donc sa vitesse maximale quand il est à la position d’équilibre. Vous pouvez admirer ces graphiques en action dans le clip suivant : http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg Mouvement harmonique simple 2.1.2 Lien entre la position et la vitesse On trouve un lien très utile entre la position et la vitesse d’un objet en oscillation harmonique en utilisant une propriété entre les sinus et les cosinus. En utilisant : On a : En multipliant par A2 on a : 2.1.3 Lien entre la position et l’accélération Comme la position et l’accélération sont : on remarque facilement que : Et donc que : 2.1.4 Condition pour avoir une oscillation harmonique Cette dernière équation est aussi la condition suffisante pour obtenir une oscillation harmonique. Quand on analyse un système et qu’on détermine les forces agissant sur un objet dans le but de déterminer son accélération, on saura que le mouvement de l’objet sera une oscillation harmonique si on obtient un résultat de la forme : De plus, la valeur de la constante nous donne ω², ce qui nous permet de connaître la fréquence et la période d’oscillation. Nous appliquerons plus tard cette idée pour déterminer si certains systèmes font une oscillation harmonique. Si on avait un signe positif, il n’y aurait pas d’oscillations. À droite de la position d’équilibre, la force serait vers la droite et à gauche de la position d’équilibre, la force serait vers la gauche. Ces forces éloignent l’objet de la position d’équilibre plutôt que de le ramener. L’objet ne reviendra donc jamais à sa position d’équilibre, il s’en éloignera de plus en plus. 2.1.5 Comment trouver A et φ si on connait x et v à un certain moment? On a vu que la constante de phase nous permet d’utiliser le sinus, peu importe comment commence le mouvement d’oscillation. Reste à déterminer les valeurs de cette constante de phase et de l’amplitude selon les valeurs initiales de position et de vitesse. En fait, on va faire encore mieux, on pourra trouver A et φ si on sait x et v à n’importe quel moment du mouvement, pas uniquement à t = 0. Pour trouver A, on peut utiliser notre formule faisant le lien entre x et v, car l’amplitude est présente dans cette équation. Pour la constante de phase, nous allons utiliser : Pour faire le raisonnement suivant : Ce qui nous donne : Attention : - La valeur de φ est en radians. Mettez votre calculatrice en radians pour obtenir la bonne valeur - Si la valeur de v est négative, il faut ajouter π radians à la réponse obtenue avec la calculatrice. - Si la vitesse est nulle, vous devez faire l’arctangente de infini ou de – infini selon le signe de x. Ne paniquez pas, les réponses de ces arctangentes sont π/2 et –π/2. 2.2 Le système masse-ressort Pour déterminer si un système masse-ressort sur une surface sans friction fait des oscillations harmoniques simples, on doit trouver la formule reliant l’accélération à la position et voir si elle répond à la condition pour avoir une oscillation harmonique, qui est : Il y a trois forces sur le bloc : le poids (vers le bas), la normale (vers le haut) et la force du ressort (horizontale). Le poids et la normale s’annulent et il ne reste que la force du ressort. Si l’objet n’est pas à la position d’équilibre (force nulle exercée par le ressort), on a : On obtient bien la forme voulue. Ainsi, on sait que : Comme la valeur de la constante (ce qui est entre parenthèses) doit aussi être égale au carré de la fréquence angulaire, on a : À partir de cette équation, on peut trouver la période d’oscillation d’un système masse-ressort. Elle est de : On remarque un élément très important et un peu surprenant : la période d’oscillation d’un système masse-ressort ne dépend pas de l’amplitude. Que le système fasse de toutes petites oscillations ou de grandes oscillations, le temps est le même! La plus grande distance à faire est exactement compensée par des vitesses plus grandes. Cela est un peu particulier et ne se produit que pour les oscillations harmoniques. Pour tous les autres types d’oscillations, la période va dépendre de l’amplitude. Ce peut être d’ailleurs une façon de déterminer si on a affaire à une oscillation harmonique : on mesure la période d’oscillation et si on remarque qu’elle ne dépend pas de l’amplitude, notre système fait une oscillation harmonique. C’est Galilée qui remarqua ceci en premier en examinant l’oscillation d’un chandelier suspendu lors d’une messe en 1583. À mesure que l’amplitude diminuait à cause de la friction, il remarqua que la période d’oscillation restait la même. Est-ce qu’on a toujours des oscillations harmoniques si le système est Vertical ? Dans ce cas, la force de gravité vient-elle détruire nos oscillations harmoniques ? On doit premièrement trouver où est maintenant située la position d’équilibre. On a une position d’équilibre quand la somme des forces sur l’objet est nulle. Le ressort sera donc étiré de y0 pour compenser la force de gravité. On va maintenant vérifier si on a des oscillations harmoniques autour de cette position d’équilibre. Comme spécifié auparavant, on doit mettre notre y = 0 à la position d’équilibre. Si on descend le ressort un peu plus que la position d’équilibre, on a donc (avec un axe positif vers le bas) : Or, comme mg = ky0 (formule de la position d’équilibre), il ne reste que : Cela respecte encore la condition pour le mouvement harmonique et la fréquence angulaire est la même. La période d’oscillation d’un système masse-ressort vertical est donc identique à celle d’un système horizontal sans friction. 2.3 L’énergie mécanique de l’oscillation harmonique 2.3.1 Formules de l’énergie L’énergie peut prendre deux formes. L’énergie cinétique (Ek) et l’énergie potentielle (U) associée à la force qui cause le mouvement d’oscillation. Par exemple, dans le système masse-ressort, on a l’énergie cinétique et l’énergie du ressort. L’énergie mécanique est la somme de ces deux formes d’énergie. L’énergie cinétique est évidemment, en utilisant la formule de la vitesse en fonction du temps, On peut trouver l’énergie potentielle avec : On peut choisir ce qu’on veut comme constante d’intégration. Le choix le plus simple est bien sûr une constante nulle. On a donc, en utilisant cette fois-ci la formule de la position en fonction du temps, la formule suivante pour l’énergie potentielle : Dans le cas du système masse-ressort, on peut utiliser la valeur de ω² = k/m pour obtenir : On reconnait la formule de l’énergie d’un ressort obtenue dans le cours de mécanique. 2.3.2 Preuve de la conservation de l’énergie mécanique On peut montrer que l’énergie est conservée en montrant que la valeur de l’énergie mécanique ne dépend pas du temps. Additionnons l’énergie mécanique et l’énergie potentielle pour trouver l’énergie mécanique pour voir si elle change. On voit que le résultat est une constante, ce qui signifie que l’énergie mécanique est conservée. 2.3.3 La valeur de l’énergie mécanique Avec cette preuve, nous avons également obtenu, comme par enchantement, une formule pour l’énergie mécanique. Dans le cas du système masse-ressort, on peut utiliser ω² = k/m pour obtenir : Dans les deux cas, on voit que l’énergie mécanique est égale à la valeur maximale de l’énergie potentielle, car la valeur maximale de x est A. De plus, comme ωA est la vitesse maximale, on peut écrire : On peut ainsi constater que l’énergie mécanique est aussi égale à la valeur maximale de l’énergie cinétique. Vous pouvez admirer ici-bas les graphiques des énergies en fonction du temps. Supposons que ce soit un système masse-ressort. On voit très bien l’énergie qui passe alternativement de l’énergie cinétique à l’énergie du ressort. Au départ ici, l’objet est à sa position maximale et sa vitesse est nulle. L’énergie mécanique est alors entièrement sous forme d’énergie du ressort puisque le ressort est étiré au maximum. À mesure que l’objet se dirige vers la position d’équilibre, l’énergie du ressort diminue et l’énergie cinétique augmente de telle sorte qu’à la position d’équilibre, toute l’énergie mécanique est sous forme d’énergie cinétique. Puis l’objet s’éloigne de sa position d’équilibre ce qui fait augmenter l’énergie du ressort et diminuer l’énergie cinétique. Quand l’objet atteint sa plus grande distance de la position d’équilibre, l’énergie cinétique est redevenue nulle et toute l’énergie cinétique est revenue sous forme d’énergie du ressort. Puis tout se répète sans fin. On peut voir dans cette vidéo comment l’énergie passe d’une forme à l’autre dans un système masse-ressort : http://www.youtube.com/watch?v=PL5g_IwrC5U Conservation de l‘énergie file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/springpendulum_f.htm http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm 2.4 Le pendule 2.4.1 Preuve que le pendule est un mouvement harmonique (pour une petite amplitude) Il faut vérifier que le pendule respecte la condition pour avoir un mouvement harmonique. Cependant, le mouvement du pendule est plus un mouvement de rotation qu’un mouvement de translation. Sans en donner de preuve, cette condition pour le mouvement de rotation est : dans laquelle la constante vaut toujours ω². Examinons si le pendule respecte cette condition. On va en fait faire un cas plus complexe qu’une simple masse au bout d’une corde. On va faire le calcul pour un objet suspendu en oscillation. Il y a deux forces sur le pendule : la gravitation et la force exercée par l’axe. Cette dernière force s’exerce sur l’axe de rotation et ne fait donc pas de moment de force. Seule la force de gravitation fait un moment de force sur un pendule. (On met la direction positive dans ce sens pour que le déplacement soit positif.) On a donc : où d est la distance entre l’axe de rotation et le centre de masse de l’objet. Si on isole l’accélération angulaire, on a : Malheureusement, on n’obtient pas le résultat désiré à cause du sinus. On répondrait à la condition si, à la place de sin θ, on avait simplement θ. Cela signifie que le mouvement du pendule n’est pas un mouvement d’oscillation harmonique. C’est un mouvement d’oscillation, mais il n’est pas harmonique, il est décrit par une autre fonction plus complexe qu’une simple fonction trigonométrique (la solution exacte est fort complexe et fait appel à des fonctions elliptiques, que vous ne connaissez pas). Mais tout n’est pas perdu, car si l’angle est petit (plus petit que 15° environ), on peut faire l’approximation suivante : On obtient alors : qui est la condition pour avoir une oscillation harmonique. Cela veut dire que pour des oscillations de faibles amplitudes, l’oscillation du pendule ressemble beaucoup à une oscillation harmonique. On obtient même la fréquence angulaire, car on doit avoir : 2.4.2 La fréquence angulaire d’un pendule simple Le pendule simple est une masse ponctuelle au bout d’une corde de masse négligeable. Le centre de masse du pendule est donc au centre de la masse ponctuelle et d est donc égal à la longueur de la corde : Comme toute la masse est concentrée dans la masse ponctuelle, le moment d’inertie est : La fréquence angulaire est donc : En simplifiant, on a : La période du pendule est donc : On remarque encore une fois que la période ne dépend pas de l’amplitude. C’est normal, c’est ce qui se produit avec toutes les oscillations harmoniques. Ici, il y a une autre curiosité : la période ne dépend pas de la masse du pendule ! En y réfléchissant bien, ce n’est pas tellement surprenant puisque le mouvement est fait par la force de gravité et que la chute gravitationnelle donne la même accélération à tous les objets. On peut bien voir au début du clip suivant que la période est plus petite pour les pendules avec des cordes plus petites. Les effets produits dans le reste du clip sont très jolis. http://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ Onde de pendules 2.4.3 Description du mouvement d’un pendule simple Sachant que le mouvement est une oscillation harmonique, on peut décrire la position à l’aide d’une fonction sinusoïdale. On a cependant deux possibilités ici pour décrire cette position. On peut la faire avec la position x (mesurée le long de l’arc de cercle) ou avec l’angle θ que fait le pendule avec la verticale. On a donc : On peut donner l’angle θen degrés ou en radians, c’est au choix. S’il est en degré, inutile de mettre votre calculatrice en degré, car cet angle n’est pas à l’intérieur d’une fonction trigonométrique. En fait, vous devez la laisser en radians, car ω est toujours en radians par seconde, ce qui fait que ce qui est à l’intérieur de la fonction trigonométrique est toujours en radians. On peut d’ailleurs passer facilement de x à θ en se rappelant qu’un angle (en radians) est la longueur de l’arc de cercle divisé par le rayon du cercle. On a donc ici : Ce qui fait qu’avec les valeurs maximales de x (A) et θ(θmax), on obtient : 2.4.4 Énergie gravitationnelle du pendule simple L’énergie potentielle est ici l’énergie gravitationnelle : En utilisant la formule de ω pour le pendule, on peut aussi obtenir : ou, en utilisant aussi x = θ(rad)L, Ces formules peuvent sembler un peu bizarres puisqu’on avait vu que l’énergie gravitationnelle est mgy. On peut montrer qu’à partir de cette formule, on obtient effectivement nos formules de l’énergie gravitationnelle. Il faut premièrement se rappeler le lien entre y et θ dans un pendule. Ce lien est : Ici, les oscillations du pendule sont petites, ce qui nous permet d’utiliser la série de Taylor du cosinus : On a alors : En remplaçant dans mgy, on a : qui est la formule obtenue précédemment. 2.5 Oscillations harmoniques, résumé 2.5.1 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs harmoniques : période et fréquence Certaines grandeurs sont communes à tous les phénomènes périodiques, comme la période et la fréquence. Dans le cas des oscillations, la période T est le temps pour une oscillation. C’est la plus courte durée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité de la période est la seconde (s). La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde. L’unité de la fréquence est le hertz (Hz). La période et la fréquence sont reliées par : 2.5.2 Équation horaire Considérons les oscillations d’un oscillateur harmonique. La variation d’une grandeur x du système est sinusoïdale. Cette grandeur est par exemple : la mesure algébrique de l’écart par rapport à la position d’équilibre, appelée élongation ; l’intensité du courant électrique dans le cas d’un oscillateur électrique. La forme la plus générale de l’équation horaire de l’oscillateur harmonique est : où les constantes a, b et c sont les paramètres de l’oscillation qui dépendent du système considéré. Les constantes a et b sont choisies positives. Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus ! La grandeur x prend des valeurs entre −a et +a ; la constante a est la valeur maximale de x, appelée amplitude xm. L’unité de l’amplitude est égale à celle de x. La valeur de x à l’instant t = 0 est donnée par : La constante c tient compte de la valeur initiale de la grandeur x et du sens initial de sa variation ; elle est notée ϕ et appelée phase initiale. Il reste à déterminer la constante b. Elle s’exprime en fonction de la période T de sorte que la condition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente d’une période T : l’argument du sinus augmente de 2π de sorte que : Cette condition est vérifiée à tout instant t si la constante b satisfait à la relation : La constante b est notée ω et est appelée pulsation : L’unité de la pulsation est le hertz (Hz). L’équation horaire d’un oscillateur harmonique s’écrit finalement : L’argument du sinus, est la phase de l’oscillation à l’instant t. L’amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions initiales, tandis que la pulsation dépend des caractéristiques de l’oscillateur. 3 Introduction aux oscillateurs mécaniques (non nécessairement harmoniques) 3.1 Mouvement circulaire uniforme et mouvement harmonique 3.1.1 Mouvement circulaire uniforme Pour commencer progressivement, nous allons ici décrire le simple mouvement de rotation à vitesse constante d'un objet autour d'un point fixe (mouvement circulaire uniforme). L'objet (une tige) représenté ci-contre est un pendule en rotation libre autour de son point fixe. On suppose qu’il n’y a ni force gravitationnelle, ni de force de frottement, de sorte que sa vitesse de rotation soit constante. Sa position est repérée par l’angle θ que fait la tige avec l'axe x. Comme la vitesse de rotation est constante, l'angle θ est une simple fonction linéaire du temps, soit, θ =ω0 t , où le coefficient ω0 s'appelle la « pulsation » ou la « fréquence angulaire » du mouvement. Quand le temps s'écoule de t = 0 à 0 t = 2π/ω0, l'angle θ augmente de 2π , c'est-à-dire qu'il fait un tour complet et que l'objet revient dans la position qu'il avait au temps t = 0. Le mouvement est dit périodique. Bien sûr, pour tout temps multiple de 2π/ω0, l'objet revient à la même position. Ce temps caractéristique de retour à la position initiale est appelé la période du mouvement et il est noté T = 2π/ω0. Les coordonnées de la masse du pendule tournant sont données par : x = l cos θ et y = l sin θ , ce qui donne en fonction du temps : x = l cos (ω0t) et y = l sin(ω0t). La fonction x(t) est représentée en rouge sur le schéma ci-contre. L'évolution de cette coordonnée reproduit ce que l'on appelle le mouvement harmonique. file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/circmotion_f.htm 3.1.2 Mouvement harmonique Il est possible d'imprimer à un objet le mouvement harmonique de la coordonnée x de l'extrémité du pendule en rotation. Le dispositif qui permet cela est représenté ci-contre. Il s'agit de l’« attelage écossais ». C’est une simple roue qui tourne à vitesse constante autour de son axe. Elle est munie d'un ergo qui entraîne une pièce mécanique munie d'une glissière verticale de façon à ne transmettre que le mouvement de la coordonnée horizontale de l’ergot : x = l cos(ω0t). La pièce métallique effectue donc harmonique de translation horizontale. un mouvement Un attelage écossais pour produire des oscillations sinusoïdales verticales. La vitesse du mouvement harmonique est donnée par la dérivée temporelle de la position x = l cos(ω0t) , ce qui donne : (notez que la dérivée temporelle est indiquée par un point sur la fonction qui est dérivée). De même l'accélération du mouvement harmonique est donné par la dérivée de la vitesse soit : On constate ainsi que l'accélération du mouvement harmonique est en tout temps proportionnelle à la position x(t), en effet, on peut écrire l’accélération comme suit : Cette relation entre la position et l'accélération est propre au mouvement harmonique. Elle est illustrée sur le schéma ci-dessus où l’on voit les courbes de la position, de la vitesse et de l’accélération. 3.2 Mouvement harmonique naturel : l'oscillateur harmonique En raison de la relation de proportionnalité entre la position et l'accélération qui le caractérise, le mouvement harmonique peut être obtenu de façon beaucoup plus naturelle qu'avec l'attelage écossais représenté ci-contre. En effet, puisque, d’une part, l'accélération multipliée par la masse m de la pièce mécanique donne la force : qui est exercée sur cette pièce, et que, d’autre part, l’accélération est proportionnelle à la position x, on voit que la force exercée sur la pièce est une simple fonction linéaire de la position x de la pièce, soit : On peut simplifier cette écriture en posant ce qui donne http://www.suu.edu/faculty/penny/Phsc2210/Physlets/PhysletsForWeb/Semester1/c18_SHM _graphs.html Il s'agit donc d'une force proportionnelle à la distance qui sépare la masse de sa position centrale x = 0. Son signe négatif indique qu'elle est de type attractive, c'est-à-dire que le vecteur force f est dirigé vers les x négatifs quand x est positif et est dirigé vers les x positifs quand x est négatif (voir graphe ci-contre). C'est ce que l'on appelle une force de « rappel élastique » l’idée étant que la force « rappelle » la masse à sa position centrale (notez que la position centrale est la position de repos car la force y est nulle). Le terme « élastique » provient du fait que cette force exercée par la roue dans l'attelage écossais peut être obtenue naturellement par la déformation élastique d'un objet. Ceci est illustré avec le dispositif représenté ci-contre. Ce dispositif est simple, il s'agit d'un ressort au bout duquel est fixé une masse m. L'expérience (et la théorie de la physique de l'état solide) montre que la force exercée par un ressort lorsqu'on modifie sa longueur (en compression ou en élongation) est une force de rappel élastique : f = −κ.x où κ est une constante appelée constante de rappel et où x représente la position de l'extrémité du ressort par rapport à sa position de repos. Notez que ceci n’est vrai que si l'autre extrémité du ressort est fixée, voir schéma ci-dessus. De même cette loi de « force de rappel élastique » n'est valable que si la modification de longueur du ressort est beaucoup plus petite que la longueur du ressort lui-même. Le mouvement de la masse m fixée à l'extrémité du ressort peut s'étudier facilement à partir de la seconde loi de Newton : (notez que ceci ne peut se faire que si on néglige la masse du ressort lui-même car celui-ci est aussi en mouvement et sa masse devrait donc être prise en compte dans la loi de Newton). On voit que l'accélération est égale à qui, en posant conduit à la relation : Cette relation nous montre que la loi du mouvement de la masse m est identique à celle d’un attelage écossais qui tournerait avec une vitesse angulaire ω0, ce qui était bien sûr attendu puisque nous avons reproduit la force de l’attelage écossais avec le ressort. On peut donc dire que l'évolution de la position de la masse m fixée à l'extrémité du ressort est la même que celle de l'attelage écossais, c'est-à-dire, x=x0 cos(ω0 t) . On peut vérifier facilement que ce mouvement périodique harmonique est solution de l'équation du mouvement de Newton. En effet, en dérivant x deux fois par rapport au temps, on trouve : 3.2.1 Équation de l'oscillateur harmonique L'équation du mouvement de Newton correspondant à une force de rappel élastique se rencontre dans un grand nombre de situations physiques dépassant largement le cadre de la mécanique considéré ci-dessus. C'est pourquoi on considère cette équation comme une équation « générique » à caractère transdisciplinaire. Les systèmes qui répondent à cette équation sont, bien sûr, des systèmes oscillants et puisque leur évolution est donnée par une fonction harmonique du temps, on les appelle « oscillateurs harmoniques » et l'équation du mouvement correspondante (rappelée ci-dessous) s'appelle l'équation de l'oscillateur harmonique. 3.2.2 Solution générale La solution générale de cette équation peut s'écrire : x(t) = acos (ω0 t +ϕ) où a est l'amplitude du mouvement, ω0 sa pulsation et ϕ son « déphasage ». Le terme déphasage provient du fait que l’argument du cosinus s’appelle la « phase » du mouvement harmonique. La pulsation ω0 correspond à une période T = 2π/ω0 et un déphasage ϕ correspond à décalage temporel de δt =ϕ/ω0 par rapport à la solution à déphasage nul. Ceci se comprend facilement si on réécrit la solution en mettant ω0 en évidence x=a cos[ω0 (t+ϕ/ω0 )]. Cette expression de la solution générale de l'équation de l'oscillateur harmonique est illustrée sur le schéma ci-contre. L'amplitude et le déphasage constituent les deux constantes d'intégration de l'équation du mouvement (comme il s'agit d'une équation du deuxième degré, il y a bien deux constantes) ; elles sont déterminées par les conditions initiales du mouvement (la position et la vitesse initiales fixent a et ϕ ). Par exemple, si ϕ est nulle, le mouvement commence en t = 0 avec une amplitude a et une vitesse nulle (la vitesse étant donnée par la dérivée temporelle de x(t) on voit effectivement que si ϕ = 0 la vitesse est nulle, car la pente du cosinus à l'origine est nulle). Par contre, si le déphasage ϕ est non nul, la position initiale x(0) =acos(ϕ) (voir schéma cidessus) et la dérivée temporelle de x(t) en t = 0 est : ce qui montre que le mouvement a une vitesse initiale non nulle. 3.2.3 Potentiel harmonique Il est intéressant d'analyser le mouvement de l'oscillateur harmonique en termes d’énergie cinétique et potentielle. Pour trouver l’énergie potentielle de l’oscillateur, calculons le travail qui est nécessaire pour déplacer l'extrémité libre du ressort d'une distance x à partir de la position de repos x = 0 . Pour déplacer l'extrémité, il faut y appliquer une force fa opposée à la force de rappel, c’est-àdire fa= −f = κ.x. Le travail nécessaire est donné par l'intégrale de circulation de cette force de 0 à x, ce qui donne : Cette énergie fournie est emmagasinée dans le ressort sous forme de contraintes au sein du matériau qui le constitue. A tout moment l'énergie emmagasinée peut être libérée en annulant la force appliquée. Dans ce cas, la masse m fixée à l'extrémité du ressort prend progressivement de la vitesse et gagne de l'énergie cinétique. La réserve d'énergie emmagasinée dans le ressort a donc la nature d'une énergie potentielle pour la masse m, au même titre que l'énergie potentielle gravitationnelle. Si on appelle Ep l'énergie potentielle de la masse fixée au ressort dans la position x, on peut écrire : L'énergie potentielle de l'oscillateur harmonique est donc une fonction parabolique de la position x. Bien entendu, puisque la fonction « énergie potentielle » Ep(x) est l'opposé de la primitive de la fonction « force » f (x) , la fonction f (x) est aussi l'opposé de la dérivée de la fonction Ep(x). La fonction Ep « énergie potentielle » s’appelle le « potentiel » de l'oscillateur harmonique. On dit également plus simplement le « potentiel harmonique ». Il est représenté graphiquement ci-contre à l’aide de la courbe rouge. On peut étudier le mouvement de l'oscillateur harmonique en appliquant le principe de conservation de l'énergie. Supposons que l'on éloigne la masse m de sa position de repos jusqu'à une position x=x0 et qu'une fois arrivé en ce point on lâche la masse au temps t = 0 avec une vitesse nulle. Au point x0 l'énergie potentielle, égale à : représente l'énergie totale vu qu’elle n’a pas d'énergie cinétique puisque sa vitesse est encore nulle. En vertu du principe de conservation de l'énergie, la masse conserve cette énergie totale en tout temps. Puisqu'on a une force de rappel, la masse accélère vers les x négatifs à partir du temps t = 0 . Elle acquiert donc une énergie cinétique EC dont la valeur sera donnée en tout point x par la différence entre l'énergie totale et l'énergie potentielle, soit : On voit ainsi, en particulier, que la vitesse est maximale en x = 0, c’est-à-dire, à la position de repos de l'oscillateur. On peut dire que le mouvement harmonique est caractérisé par un échange périodique et progressif entre les deux formes d'énergie de la masse m : son énergie potentielle et son énergie cinétique. Avec cette approche énergétique du mouvement, une simple inspection du potentiel dans lequel la masse est plongée permet de comprendre son mouvement. Ici en l’occurrence, le mouvement périodique est dû à un échange incessant énergies potentielle et cinétique inhérent à la courbure partout positive du potentiel. Oscillateur harmonique http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.html 3.2.4 Le pendule simple Le pendule, dans la limite des petits mouvements, constitue un autre exemple d'OH mécanique. Pour le comprendre, analysons la force que subit la masse fixée au bout du fil (ou de la tige, dans le cas d'un pendule rigide d'horloge par exemple). Cette force résulte de la somme de la force gravitationnelle et de la force de tension du fil. La force de tension du fil équilibre exactement la composante de la force gravitationnelle qui est parallèle au fil. L'autre composante de la force gravitationnelle est parallèle à la trajectoire de la masse et c'est elle qui est responsable du mouvement oscillant du pendule. C'est donc cette composante de force parallèle qu'il faut considérer pour obtenir l'équation du mouvement à partir de la loi de Newton. Il est facile de voir sur le schéma de droite ci-dessus que la composant de la force gravitationnelle qui est parallèle à la trajectoire est donnée par : f = − mg sinθ où θ est l'angle que fait le pendule avec la verticale. Si on considère seulement les petits angles, on peut approcher le sinus par son argument (ce qui revient à approcher le sinus par son développement de Mac Laurin dont on néglige les termes de puissance supérieure à 1). On peut donc dire que la force vaut en première approximation f = − mgθ . Pour repérer la position de la masse du pendule, on choisit la distance le long de la trajectoire à partir de la position de repos θ = 0 (voir schéma de gauche ci-dessus). Si on appelle x cette distance on peut écrire x = l.θ où l est la longueur du pendule. En remplaçant θ par x/ l dans l'expression de la force, on obtient f = − m g x / l , ce qui constitue une force de rappel élastique caractéristique de l'OH. On peut donc en conclure que, dans la limite des petits angles, le pendule constitue un OH. L’expression de la force nous permet de retrouver ci-dessous les paramètres standards de l'OH, en l'occurrence, la constante de rappel κ et la pulsation ω0. On constate en particulier que la pulsation propre du pendule est indépendante de la masse du pendule. Période du pendule pesant http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/periode_pendule.html Pendule pesant http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/pend_pesant1.html 3.2.5 Les molécules Les molécules constituent également des exemples d'OH. Pour comprendre cela il faut considérer la structure des molécules. Le schéma ci-dessous montre une molécule d'hydrogène. Elle est constituée de deux atomes d'hydrogène qui mettent en commun leur électron. S'ils étaient seuls les deux protons se repousseraient en vertu de la loi de Coulomb. Si on considère le mouvement d'un proton (celui de droite) en supposant que l'autre est fixé dans l'espace (c'est une vue de l'esprit) celui-ci est régi par le potentiel Coulombien répulsif représenté par la ligne bleue sur le graphe ci-dessous). Pour des raisons qui relèvent de la mécanique quantique, les électrons qui tournent autour des deux protons créent une sorte de potentiel attractif qui vient se rajouter au potentiel Coulombien répulsif (ce potentiel attractif est représenté en rouge sur le graphique). La somme des deux potentiels est un potentiel Ep(x) en forme de U présentant un minimum à une certaine distance x0. Ce minimum de potentiel correspond à la position de repos des protons, en d'autres termes, x0 détermine la taille de la molécule. Ceci est une vue fortement simplifiée de la notion de liaison chimique mais elle a l'avantage de donner une image simple des liaisons chimiques responsables de la formation des molécules. Lorsque les molécules subissent des chocs entre elles (agitation thermique), la distance entre protons est modifiée et x ne vaut donc plus x0. Lorsque x s'écarte de x0, le potentiel Ep(x) a une pente non nulle correspondant à une force de rappel vers x0 et un mouvement d'oscillation comparable à celui de l'OH commence. Pour voir que la molécule constitue un véritable OH, considérons le potentiel en U Ep(x) et développons le en série de Taylor autour du point de repos. Dans ce développement, le terme (x−x0) représente l'élongation de la molécule. Si on suppose que l'élongation est très petite par rapport à la taille de la molécule, on peut négliger les puissances de (x−x0) supérieures à 2 dans ce développement. On peut faire le changement de variable x′ =x−x0, c'est-à-dire que l'on décrit le mouvement du proton de droite à partir de sa position d'équilibre x′ = 0. On voit alors que l'on obtient le potentiel parabolique caractéristique de l'OH. La force de rappel qui lie les protons entre eux est donnée par l’opposé de la dérivée du potentiel Ep(x) . On retrouve bien sûr une force de rappel élastique dont le coefficient κ est donné par la dérivée seconde de la fonction potentiel à la position de repos x′ = 0 , soit En conclusion, les molécules diatomiques constituent des OH et sont donc sujettes à des oscillations. 3.3 Un oscillateur non harmonique Un ressort de raideur k est fixé en un point P d'un axe vertical. Son autre extrémité est reliée à une masse m susceptible de glisser sans frottement sur un axe horizontal. Le système possède un seul degré de liberté, la variable de position étant l'élongation x de la masse m. Il est possible de faire varier la hauteur du point P ou la position initiale de m. Un cercle rose indique la position de P telle que le ressort ne soit pas tendu lorsque la masse est au centre. Lorsque P est au centre du dispositif, on suppose qu'il ne gêne pas le mouvement de m. Un bouton permet d'effacer les graphes, un second bouton permet de réinitialiser les positions de P et m. 3 graphes permettent d'observer : la position x en fonction du temps la vitesse v en fonction de la position (portrait de phase) les différentes formes d'énergie en fonction de la position Oscillateur anharmonique et bifurcation http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort_bifur.html Observer et interpréter les différents graphes. Comparer avec l'oscillateur harmonique 1.Les oscillations ne sont pas sinusoïdales. 2.Le portrait de phase n'est pas elliptique : il peut se déformer en une sorte de 8 couché, et même se décomposer en deux lobes : c'est la « bifurcation ». 3.Le profil d'énergie potentielle n'est pas parabolique, et peut même présenter un maximum (équilibre instable). Lorsque P est au centre du dispositif, le profil d'énergie potentielle est formé de deux « cuvettes » paraboliques : on retrouve à droite ou à gauche le cas de l'oscillateur harmonique. Sans intervention de l‘opérateur, l'énergie mécanique se conserve. Comment faut-il faire pour augmenter ou diminuer cette énergie ? 3.4 L'oscillateur linéaire amorti Jusqu'à présent, nous avons considéré des systèmes oscillants qui ne présentent pas d'amortissement, c'est-à-dire, des systèmes qui ne présentent pas de mécanisme de dissipation d'énergie. Les termes « dissipation d'énergie » signifient que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de l'oscillateur n'est pas conservée en raison d'un transfert de ces énergies vers une troisième forme d'énergie qui n'entre pas dans le mécanisme d'oscillation. En pratique tous les dispositifs que nous avons vus ci-dessus présentent des pertes d'énergie. Par exemple, le pendule mécanique présente toujours un peu de frottement au niveau de son axe ou au niveau des frottements dans le milieu dans lequel la masse se déplace. Ces mécanismes de dissipation d'énergie provoquent une diminution de l'énergie de l'oscillation et l'oscillateur tend naturellement vers son état de repos, c'est le phénomène d'amortissement. Il est, bien entendu, important dans la pratique de tenir compte de la dissipation dans la description des phénomènes oscillatoires. Les mécanismes de dissipation d'énergie sont divers et leur description mathématique peut être parfois très ardue. Puisque nous allons surtout nous attacher aux aspects qualitatifs de l'amortissement, nous allons considérer un seul modèle de mécanisme de dissipation énergétique. Il s’agit d’un modèle à la fois simple et représentatif d'un grand nombre de situations physiques. Ceci nous permettra de limiter les développements mathématiques au strict nécessaire. 3.4.1 Equation de l’oscillateur linéaire amorti Le modèle mathématique d’amortissement que nous considérons est utilisé par exemple pour décrire l'oscillateur mécanique lorsque sa masse se déplace dans un milieu visqueux tel que l'air ou l'eau. L'expérience montre que la viscosité du milieu provoque une force proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse et, bien sûr, dirigée dans le sens opposé à cette vitesse, soit, C'est la force de frottement visqueux. Ce mécanisme de dissipation d'énergie est représenté cidessous avec l'exemple de l'oscillateur mécanique dont la masse subit un frottement sur son support (en réalité dans ce cas le modèle du frottement visqueux n'est valable que si la surface du support est enduite d'un fluide visqueux, si ce n'est pas le cas, on a affaire à une force de frottement « sec » dont le module est indépendant de la vitesse). Dans cette situation, l'énergie de l'oscillation est transformée en énergie thermique. A titre d'exemple, le modèle mathématique du frottement visqueux s'applique très bien à la description des amortisseurs de voiture dont le schéma de principe est représenté ci-contre. En introduisant la forme mathématique de la vitesse s'écrit : En ajoutant cette force à la force de rappel du ressort exercée sur la masse de l'oscillateur, son module vaut : la force de frottement visqueux on obtient la force totale L'équation du mouvement de l'oscillateur est obtenue en introduisant cette expression de la force dans la seconde loi de Newton. En introduisant la pulsation propre de l'oscillateur : et le coefficient d'amortissement : on obtient ce que l'on appelle l'équation de l'oscillateur linéaire amorti (OLA). Cette équation est, au même titre que l'équation de l'OH, une équation « générique » qui s'applique à une multitude de situations physiques. 3.4.2 Solution générale La solution générale de cette équation n'est pas simple à établir et requiert des développements relevant du cours d'analyse. Nous donnons en annexe un outil mathématique appelé « phaseur » qui permet de résoudre cette équation relativement facilement mais qui repose sur l’utilisation des nombres complexes. Contentons-nous ici de donner cette solution sans la démontrer. Limitons-nous de plus, dans un premier temps, au cas d'un « amortissement faible ». L'amortissement est dit « faible » quand le coefficient d'amortissement α est plus petit que la pulsation propre de l'oscillateur ω0. Dans cette situation, la solution générale de l'équation de l'OLA est une fonction harmonique multipliée par une exponentielle décroissante du temps de coefficient α . Remarquez que la pulsation ωa du mouvement de l'OLA n'est pas égale à la pulsation propre de l'oscillateur ω0. Elle est donnée par la relation ci-dessus à droite qui montre qu'elle est toujours plus faible que ω0. Le mouvement de l'OLA est représenté sur le graphique ci-dessous. On définit la pseudo-période Ta du mouvement comme étant deux fois le temps qui sépare deux zéros consécutifs de la position x(t). Ce temps est bien sûr fixé par la pulsation ωa au travers de la relation, qui montre qu’il est toujours supérieur à la période de l'OH que l'on obtiendrait si on annulait le frottement visqueux. Oscillateur amorti http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.html 4 Les oscillateurs mécaniques, présentation générale On rencontre trois composants principaux dans les oscillateurs mécaniques : un élément amortisseur, un élément de masse, un élément élastique. Si on applique une force F(t) à un élément, on observe une variation de la position x(t) (un déplacement) de celui-ci. La variation de position de l’élément par rapport au temps définit une vitesse de déplacement v(t)=dx/dt. La force mécanique est la CAUSE de la variation, la vitesse de la masse est l’EFFET. Détaillons, pour chaque composant de l’oscillateur mécanique la relation entre la cause et l’effet. 4.1 élément amortisseur (ou résistant) Un élément amortisseur est un composant mécanique qui présente un frottement fluide (d’un solide dans un fluide, par opposition au frottement solide/solide), comme par exemple un piston se déplaçant dans un cylindre d’huile ou une masse en mouvement dans l’air. Nous le symboliserons par l’élément : Pour un amortisseur, la relation entre cause et effet est donnée par la loi du frottement fluide : « la force de frottement créée par le déplacement du système est proportionnelle à la vitesse de déplacement »: Le facteur de proportionnalité (f) est appelé résistance mécanique ou coefficient de frottement fluide. Il se mesure en ohm mécanique (Ω ou N.s.m-1). Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), la force de frottement sera aussi une fonction sinusoïdale (Ff=f.vmax.sinωt = Fmax.sinωt) en phase avec la vitesse. Un amortisseur est un élément de dissipation d’énergie mécanique. À cause du frottement, il y a une perte d’énergie mécanique sous forme de chaleur. La puissance moyenne dégagée en chaleur vaut : (où l’on a utilisé la valeur efficace de la vitesse). Résumé : La force d’amortissement est proportionnelle à la vitesse du déplacement et est donc en phase avec la vitesse ; cette force dissipe l’énergie mécanique du système. 4.2 élément de masse Un élément de masse est une quantité de matière, présentant une certaine inertie vis-à-vis du mouvement. Nous le symboliserons par l’élément : Lors du mouvement, la relation de cause à effet est donnée par le principe fondamental de la dynamique : « la force appliquée à une masse inertielle en mouvement est proportionnelle à son accélération » : Le facteur de proportionnalité (m) est appelé masse inerte ou inertance de l’élément et se mesure en kilogramme (kg). Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), la force d’inertie sera aussi une fonction sinusoïdale, mais en avance de π/2 sur la vitesse (Fi=m.ω.vmax.cosωt = Fmax.cosωt = Fmax.sin[ωt+ π/2]). La masse est un élément d’accumulation de l’énergie mécanique sous forme réactive. Elle restitue entièrement l’énergie mécanique qui a été emmagasinée en la mettant en mouvement. La masse est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose aux changements de position. L’énergie mécanique instantanée accumulée dans une masse en mouvement est sous forme cinétique et vaut : Résumé : La force d’inertie est proportionnelle à l’accélération du déplacement et est donc en avance de 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système mais la stocke sous forme cinétique. 4.3 élément élastique Un composant élastique est un matériau présentant une certaine capacité de déformation (ressort, caoutchouc, mousse, etc.). Nous le symboliserons par l’élément : Si on écarte un ressort de sa position d’équilibre, la relation entre la cause et l’effet du mouvement est donnée par la loi de Hooke : « le ressort est ramené vers sa position d’équilibre par une force proportionnelle à l’élongation x appelée force de rappel » : Le facteur de proportionnalité (k, en N/m) est appelé raideur, mais on utilise souvent son inverse 1/k=Cm qui est alors appelé élasticité ou encore compliance mécanique. La compliance se mesure en mètre par Newton (m.N-1). Si la vitesse du déplacement est une fonction sinusoïdale, la force de rappel sera aussi une fonction sinusoïdale mais en retard de π/2 sur la vitesse. En effet : Un composant élastique est un élément d’accumulation d’énergie mécanique sous forme réactive. Lors de sa détente, l’élément libère entièrement l’énergie potentielle d’élasticité qu’on y a emmagasiné en le tendant ou le comprimant. L’énergie potentielle d’élasticité instantanée accumulée dans un élément élastique vaut : Résumé : La force de rappel d’un élément élastique est proportionnelle au déplacement et est donc en retard de 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système mais la stocke sous forme potentielle. 5 Système non dispersif : mouvement oscillatoire harmonique (MOH) Un oscillateur idéal ne présente pas de frottement. On parle de système conservatif (ou non dispersif) car son énergie mécanique est conservée. L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de la dynamique : c’est-à-dire ici : C’est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants dont l’inconnue est l’élongation x(t). Sa solution générale est de la forme : avec : et donc : En conclusion, un oscillateur harmonique, mis en mouvement par une impulsion unique, vibre naturellement, sinusoïdalement, avec une fréquence qui lui est propre et qui ne dépend que des caractéristiques de masse et d’élasticité du système. La fréquence du mouvement est indépendante de la façon dont il a été initié. Elle vaut : Une masse oscillant librement à l’extrémité d’un ressort ou un pendule simple sont des systèmes proche de cette situation idéale. Illustration : le pendule simple idéal, un oscillateur harmonique 6 Systèmes dispersifs : oscillations amorties Le mouvement oscillatoire harmonique n’existe pas dans la réalité : tout système mécanique réel présentant un frottement, une partie de l’énergie mécanique est dissipée en chaleur, et les oscillations du système sont amorties. L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de la dynamique : c’est-à-dire ici : ou encore : C’est à nouveau une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants, mais elle est complète dans ce cas. L’inconnue est toujours l’élongation x(t). Sans discuter la résolution de cette équation, on peut noter qu’il existe trois types de solutions, selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique de l’équation différentielle : 6.1 Amortissement sous-critique Ce cas correspond aux valeurs faibles du frottement. Le mouvement n’est pas périodique, (on ne repasse jamais par les mêmes points avec la même vitesse) mais il présente encore un caractère oscillant autour de la position d’équilibre. L’amplitude des oscillations est toutefois décroissante, elle est pondérée au fil du temps par un facteur exponentiel décroissant dépendant du frottement f. On appelle pseudo-période le temps nécessaire pour que le système parcoure un cycle. Elle est plus longue que la période propre de l’oscillateur non amorti. Ce type de mouvement oscillant correspond à celui des portes de saloon d’un western ou d’un amortisseur de voiture usagé. Illustration : le pendule simple réel, un oscillateur amorti en régime sous-critique 6.2 Amortissement sur-critique Dans le cas d’un frottement fort, le mouvement ne présente plus de caractère oscillant. Le système revient lentement (d’autant plus lentement que le frottement est fort) à sa position d’équilibre sans effectuer autour de celle-ci des oscillations. Le mouvement est donc apériodique. Ce type de mouvement est illustré par les systèmes de fermeture automatique des portes. 6.3 Amortissement critique C’est le cas intermédiaire entre les deux cas précédents ; pour cette valeur particulière du frottement, le retour à l’équilibre est le plus rapide possible. Le système ne présente pas non plus d’oscillations, mais revient très rapidement à sa position d’équilibre. De nombreux instruments de mesure (balances, galvanomètres, etc.) sont configurés pour avoir un amortissement critique. On utilise aussi ce type d’amortissement en électroacoustique (microphones, haut-parleur, etc.). 7 Systèmes dispersifs : oscillations forcées, notion d’impédance mécanique et phénomène de résonance Comme mentionné plus haut, les oscillateurs présentent, pour la plupart, un processus d'amortissement et, en conséquence, pour maintenir leur oscillation il faut en pratique une source d'énergie extérieure. On peut illustrer ceci à l'aide de plusieurs exemples. Le ballon qui rebondit sur le sol peut être vu comme un oscillateur. En raison des frottements dans l'air et sur le sol, la hauteur des rebonds diminuent avec le temps. Pour maintenir l'oscillation, il faut exercer une force périodique régulière de fréquence identique à celle de l'oscillation naturelle du ballon. C'est ce que réalise le joueur de basketball. Il en est de même pour le pendule de l'horloge qui, en raison des frottements de son axe et des frottements dans l'air, verrait l'amplitude de son mouvement diminuer s’il n'était pas poussé de façon périodique par une force extérieure. La balançoire constitue un exemple bien connu et largement expérimenté d'oscillateur amorti et forcé. Dans ce cas, c'est le mouvement du corps qui provoque la force périodique qui permet d'entretenir l'oscillation. Tous ces dispositifs constituent ce que l'on appelle des oscillateurs linéaires amortis et forcés. Pour étudier la physique de l'OLA forcé ou OLAF, nous allons considérer un problème d'oscillateur mécanique de type masse-ressort sur lequel s'applique une force extérieure harmonique F.cos ( ωt) ; ce modèle de force est loin de s'appliquer au problème du ballon de basket ou du pendule mais il est tout à fait valable pour l'exemple de la balançoire. Si l’on soumet un oscillateur non plus à une impulsion unique, mais à une action extérieure périodique qui le force à osciller, on constate que cet oscillateur ne vibre plus avec sa fréquence propre mais, après une courte période transitoire, il oscille avec la fréquence de l’action externe. Ce régime d’oscillations forcées se retrouve notamment dans les microphones, les hautparleurs, et le tympan. L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de la dynamique : c’est-à-dire ici : ou encore : Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, complète avec second membre (équation inhomogène). Cette équation est relativement complexe et le calcul de sa solution générale demande de longs développements. Nous ne nous y intéresserons pas ici. De plus, un théorème général sur les équations différentielles affirme que la solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (c’est-à-dire la solution générale de l’oscillateur amorti) et d’une solution particulière de l’équation avec second membre. Comme la solution générale de l’équation sans second membre s’amortit, au bout d’un certain temps, la solution générale de l’équation avec second membre se ramène à la solution particulière. Comment construire une solution particulière ? Nous considérons seulement les solutions de type périodique représentant un mouvement harmonique (c'est-à-dire de pulsation et d'amplitude constante). Bien entendu c’est la force extérieure qui impose sa pulsation ω au système. On doit donc rechercher des solutions harmoniques de pulsation ω de la forme générale donnée ci-dessous : Pour calculer l'amplitude x0 et le déphasage ϕ, il faut substituer cette forme de la solution dans l'équation du mouvement. On effectue les dérivées et on essaye ensuite de calculer les valeurs de x0 et ϕ qui satisfont l’équation trigonométrique résultante. On se rend vite compte en essayant cette substitution que le calcul est d'une grande lourdeur, en particulier, en raison du caractère non homogène de l’équation et du grand nombre de paramètres qui y apparaissent. On sait effectivement que x0 et ϕ seront tous deux fonctions des paramètres apparaissant dans les trois termes du membre de droite de l’équation, soit : Pour éviter cette lourdeur calculatoire, nous allons utiliser un outil mathématique d'une très grande importance dans l'étude des systèmes oscillants et plus généralement des systèmes périodiques. Il s’agit du concept de phaseur construit sur le formalisme des nombres complexes. Une solution particulière peut être trouvée par la méthode des vecteurs tournants de Fresnel : on essaie de trouver une solution particulière sous la forme d’une solution oscillante harmonique : où x0 et v0= x0.ω sont définis positifs. chaque terme de l’équation de la dynamique est alors une fonction oscillante harmonique de même pulsation. on associe à chaque force un vecteur tournant de Fresnel. la force excitatrice externe est la somme vectorielle des forces d’inertie, d’amortissement, et de rappel. par rapport à la vitesse qui sert de vecteur de référence, la force d’inertie est en avance de π/2, la force d’amortissement est en phase, et la force de rappel est en retard de π/2. la force excitatrice est déphasée d’une quantité ε par rapport à la vitesse. le déphasage entre la cause (la force externe périodique) et l’effet (la vitesse de l’oscillation forcée) est donc donné par ϕ. FFi i(t)=m.ω.v(t) On définit l’impédance mécanique l’oscillateur forcé par : Zm de FF(t)=Z m.v(t) m= Fi+Fk L’amplitude du mouvement oscillatoire forcé vaut : FFf (t)=λ.v(t) f Fk= A l’aide du diagramme vectoriel, on trouve pour l’impédance : et pour le déphasage ε entre la force et la vitesse : L’élongation est en retard sur l’excitation d’un angle - ϕ qui vaut bien sûr ε+π/2. Résumé : Pour une force excitatrice périodique du type : L’oscillation forcée se fait selon : où le facteur est appelé impédance mécanique de l’oscillateur forcé et vaut : Pour un système mécanique donné, le coefficient de frottement visqueux, la masse, et l’élasticité sont constants. La pulsation ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur. Par conséquent, l’impédance Zm(ω) est fonction uniquement de la fréquence de l’action extérieure. La vitesse est en retard par rapport à l’excitation d’un angle ε, et l’élongation est en retard par rapport à l’excitation de - ϕ = ε+π/2 avec ε donné par : Et donc l’avance de la force sur l’élongation ϕ est telle que : c’est-à-dire finalement : Une manière simple d’exercer une force périodique externe sur l’oscillateur mécanique est de mettre en oscillation le point d’attache du ressort, en lui donnant un mouvement harmonique du type : La force d’excitation exercée sur le système vaut alors : Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance se réduit à Zm≅m ω02 /ω, l’amplitude de l’oscillation forcée x0=F/ωZm ≅F/(mω02) est presqu’égale à l’amplitude de l’oscillation de l’excitateur [définie ici par Aext=F/κ=F /(mω02)]. De plus, le déphasage entre la force et l’élongation est alors quasi nul (force excitatrice et élongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en avance de π/2 sur l’excitation). En effet, on a alors tan ε→-∞, ε→-π/2, tan ϕ→0 et ϕ→0 ; l’excitation est donc donnée par : qui est bien en phase avec l’élongation de l’oscillation forcée, la vitesse étant en avance de π/2 sur l’excitation : Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance vaut Zm=m ω, l’amplitude de l’oscillation forcée vaut x0=F/(mω2) et est donc plus petite que celle de l’excitateur Aext=F/κ=Fm /(mω02) ; de plus, elle diminue quand ω augmente, et tend rapidement vers zéro. De plus, le déphasage entre la force et l’élongation tend alors vers π (force excitatrice et élongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard de π/2 sur l’excitation). En effet, on a alors tan ε→+∞, donc ε→+π/2 et donc ϕ=-ε-π/2→-π ; l’excitation est donc donnée par : qui est bien en opposition de phase avec l’élongation de l’oscillation forcée, la vitesse étant en retard de π/2 sur l’excitation : Voici, pour différentes valeurs du coefficient de frottement, les courbes donnant l’amplitude A=x0 de l’oscillation forcée en fonction de la fréquence. On a posé : On peut vérifier toutes les déductions précédentes sur ces courbes. Évolution du déphasage entre la force excitatrice et l’élongation pour des amortissements différents. L’angle -ϕ du graphique vaut ε+π/2 du texte et donne donc le retard de l’élongation par rapport à l’excitation ; le facteur λ du graphique est l’équivalent de β dans le texte et est donc proportionnel au coefficient de frottement. Si, pour une même cause, on veut obtenir un effet maximal, il faut que l’impédance soit minimale. On voit, sur les formules générales précédentes ou sur les courbes que lorsque la fréquence de l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance a sa valeur minimale. C’est le phénomène de résonance. L’amplitude de l’oscillation forcée peut alors devenir très grande. Lors de la résonance, tan ε=0, ε=0, ϕ=-π/2 et l’élongation est donc en retard de π/2 sur la force excitatrice (quadrature de phase), et la vitesse d’élongation (la conséquence) est en phase avec la force excitatrice (la cause) : En fait, à la résonance, seul le terme de frottement fixe l’impédance, et par conséquent, le mouvement de l’oscillateur sera non amorti, peu amorti, amorti, ou très amorti selon la valeur de λ (et donc de β ici). La résonance associée est alors infinie, aiguë, large ou nulle. Illustration des phénomènes d’oscillation forcée et de résonance http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/ressort_rsf.html Observations : Q est l’inverse du facteur de frottement f ; Q grand correspond donc à un petit f frottement et réciproquement. Dans cette animation, l’excitation résulte du mouvement oscillant imprimé au point d’attache du système masse-ressort. Elle est donc décrite par une excitation en élongation de la forme : La force externe qui s’exerce sur le système masse ressort est de la forme : On a représenté ici sur les diagrammes l’élongation de l’oscillation forcée, et non sa vitesse. Pour l’oscillateur forcé, l’oscillation en élongation est en retard de π/2 sur la vitesse d’élongation. Il faut tenir compte de ce décalage supplémentaire pour relier les résultats des observations sur l’animation aux équations générales de l’oscillateur forcé écrite plus haut. Lors de la mise en route de l'excitation ou de toute variation de l’excitation, la masse oscille de manière plus ou moins chaotique (d'autant plus que le facteur d’amortissement Q est grand), puis son mouvement se « stabilise » à une oscillation sinusoïdale de même pulsation que l'excitation, mais d'amplitude différente, et déphasée. On observe un régime transitoire chaotique, qui ne dure que peu de temps, suivi d'un régime sinusoïdal forcé. En faisant varier la fréquence, on constate que les deux oscillations diffèrent dans le temps (elles ne sont pas en phase), tout en restant de même fréquences. L'amplitude et la phase du mouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence de l’excitateur. Lorsque l'excitation est de fréquence très basse, les deux oscillations en élongation sont identiques en amplitude et sont aussi en phase. Lorsque l'excitation est de fréquence « grande », l'oscillation en élongation de la masse a une petite amplitude, et elle est en opposition de phase avec celle de l'excitation. Lorsque le facteur d’amortissement Q est « grand » (supérieur à 0,7) il existe une fréquence (1,3 Hz) pour laquelle l'amplitude de la masse passe par un maximum, les deux oscillations d’élongation sont alors déphasées de π/2 (plus précisément l’élongation de l’oscillateur forcé est en retard de π/2 sur celle de l’excitation). La cause de l’excitation (l’élongation du point d’attache) et l’effet (la vitesse de l’oscillateur forcé, en avance de π/2 sur l’élongation) sont donc en phase. On constate que cette fréquence correspond à la fréquence propre du régime d’oscillation libre de la masse. C’est le phénomène de résonance, l’élongation et la vitesse de la masse deviennent grandes. Résumé : L'amplitude et la phase du mouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence de l’excitateur. Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 de l’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée est presqu’égale à l’amplitude de l’oscillation de l’excitateur ; force excitatrice et élongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en avance de π/2 sur l’excitation. Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 de l’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée tend rapidement vers zéro ; force excitatrice et élongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard de π/2 sur l’excitation. Lorsque la fréquence de l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance a sa valeur minimale et on obtient l’effet maximal (l’amplitude de l’oscillation forcée peut alors devenir très grande) ; C’est le phénomène de résonance.. Lors de la résonance, l’élongation est donc en retard de π/2 sur la force excitatrice et la vitesse d’élongation (la conséquence) est en phase avec la force excitatrice (la cause). http://perso.ensc-rennes.fr/jimmy.roussel/meca_simu1.php file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/resonance_f.htm Illustration du phénomène de résonance pour des ondes mécaniques : le pont de Tacoma Illustration du phénomène de résonance pour des ondes acoustiques : le verre brisé Verre brisé 8 Analogie électro-mécano-acoustique Bien que les phénomènes mécaniques, électriques et acoustiques soient de natures très différentes, ils sont régis par une formulation mathématique identique : il existe une profonde analogie entre ces trois phénomènes et le regard s’un l’un peut éclairer les autres. 8.1 éléments constitutifs des systèmes électriques Dans un circuit électrique, les trois composants principaux que l’on rencontre sont les résistances, les selfs et les condensateurs. Ce sont ces éléments qui vont respectivement jouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et de l’élément élastique. Si aux bornes d’un de ces composants on applique une différence de potentiel U(t), la charge électrique q(t) qui traverse le composant va être modifiée. La variation instantanée de charge électrique par rapport au temps dq/dt correspond à un courant électrique i(t). La différence de potentiel est la CAUSE. Le courant électrique est l’EFFET. Détaillons pour chaque composant du circuit électrique, comme nous l’avons fait pour chaque composant de l’oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l’effet, c’est-àdire entre la tension et le courant. si le composant est une résistance électrique (conducteur qui laisse passer plus ou moins bien le courant ou s’y oppose), la relation entre cause et effet est donnée par la loi d’Ohm : la différence de potentiel aux bornes d’une résistance est proportionnelle au courant électrique qui la traverse : Le facteur de proportionnalité est appelé résistance du composant (R) et se mesure en Ohm électrique (Ω). Elle est symbolisée par : ou par : La résistance électrique est un élément de dissipation de l’énergie électrique en chaleur (effet Joule). La puissance électrique moyenne (P) dissipée par une résistance vaut : (où l’on a utilisé la valeur efficace du courant). si le composant est une self (c’est-à-dire un conducteur électrique bobiné), la relation de cause à effet est donnée par la loi de l’induction électrique : la différence de potentiel aux bornes d’une sels est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps du courant électrique qui la traverse : Le facteur de proportionnalité est appelé coefficient de self-induction, ou inductance (L) de la bobine. Il se mesure en Henry (H). Elle est symbolisée par : La self est un élément d’accumulation d’énergie électrique sous forme réactive. Elle restitue entièrement l’énergie qui y a été emmagasinée. La self est donc un facteur d’inertie, s’opposant aux variations (de courant ici). L’énergie emmagasinée dans une self est une véritable énergie cinétique électrique dont la valeur est : si le composant est un condensateur (élément constitué de deux conducteurs séparés par un isolant), on montre que le condensateur se charge lorsqu’on applique à ses deux armatures une différence de potentiel, et que la charge emmagasinée est proportionnelle à la différence de potentiel (U) appliquée entre ses bornes : Le facteur de proportionnalité est la capacité du condensateur (C) qui se mesure en farad (F). Il est symbolisée par : Pour un condensateur, puisque i(t)=dq(t)/dt, la relation entre cause et effet devient : la différence de potentiel est proportionnelle à l’intégrale de la différentielle de la charge électrique dq(t)=i(t)dt, et donc : Le condensateur est un élément d’accumulation de l’énergie électrique sous forme réactive. Lors de sa décharge, il restitue entièrement l’énergie qu’il a emmagasinée lors de sa charge. Il se comporte donc comme un élément élastique qui rend en se détendant l’énergie potentielle d’élasticité qu’on y avait accumulée en le tendant. L’énergie électrique instantanée accumulée dans un condensateur vaut : 8.2 éléments constitutifs des systèmes acoustiques Dans un système acoustique, les trois composants principaux sont les résistances acoustiques, les masses acoustiques et les cavités acoustiques. Ce sont ces éléments qui vont respectivement jouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et de l’élément élastique. Si à un système acoustique on applique une pression acoustique p(t), on observe une variation du volume V(t) de la masse acoustique. La variation instantanée de ce volume par rapport au temps correspond à un débit D(t)=dV/dt qui est égal au produit de la section S par la vitesse v (D(t)=S.v). La pression acoustique est la CAUSE. Le débit est l’EFFET. Détaillons pour chaque composant du système acoustique, comme nous l’avons fait pour chaque composant de l’oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l’effet, c’est-àdire entre la pression acoustique et le débit. si le système est une résistance acoustique (c’est-à-dire un milieu à caractère visqueux, fibreux ou poreux comme de la laine de verre), la propagation de l’onde acoustique s’accompagne d’une dissipation de l’énergie acoustique. La résistance acoustique de rayonnement est un cas particulier où l’énergie acoustique n’est pas transformée en chaleur mais rayonnée à l’extérieur du système. La résistance acoustique est souvent représentée par un réseau de fentes fines et parallèles : La loi du frottement fluide montre que la force de frottement créée par le déplacement du fluide dans le réseau de fentes de la résistance acoustique est proportionnelle à la vitesse de déplacement du fluide : Si dans cette relation on fait apparaître la pression acoustique (p=Ff/S) et le débit (D=v.S), on obtient pour une résistance acoustique la relation directe entre cause et effet : Pour une résistance acoustique, la pression acoustique est proportionnelle au débit. Le facteur de proportionnalité entre pression acoustique et débit est la résistance acoustique de l’élément. Elle se mesure en Ohm acoustique (Ω ou N.s.m-5). La résistance acoustique est un élément de dissipation de l’énergie acoustique. La puissance moyenne dissipée en chaleur vaut : (où l’on a utilisé la valeur efficace du débit). si le système est une masse acoustique (c’est-à-dire un tube ou un conduit de longueur l et de section S, où le fluide en mouvement oscillatoire se comporte comme un solide indéformable), on considère que le fluide en mouvement est incompressible et que tous les points de la masse acoustique ont la même vitesse. Une masse acoustique est symbolisée par : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse d’air m=ρ.S.l contenue dans la masse acoustique donne : Si dans cette relation, on fait apparaître la pression acoustique (p=F/S) et le débit (D=v.S) on obtient pour la masse acoustique la relation directe entre cause et effet : Pour une masse acoustique, la pression acoustique appliquée à la masse acoustique est proportionnelle à la dérivée du débit par rapport au temps. Le facteur de proportionnalité est appelé inertance acoustique (ma=ρ.l/S) et se mesure en kilogramme par mètre à la puissance quatre (kg.m-4). La masse acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous forme réactive. La masse acoustique restitue entièrement l’énergie qui a été emmagasinée pour la mettre en mouvement. La masse acoustique est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose aux variations de position. Il s’agit d’une véritable énergie cinétique acoustique, dont la valeur instantanée est : si le système est une cavité acoustique de section fixe S (c’est-à-dire une cavité quelconque remplie de fluide comme une bouteille, un caisson de baffle), une variation de pression acoustique engendre une variation relative de volume de la cavité qui lui est proportionnelle (loi de la compressibilité d’un fluide) : où χ est le module de compressibilité en volume du fluide et s’exprime en Pa-1. Une cavité acoustique est symbolisée par : Comme la variation de volume se produit uniquement dans le sens du déplacement , la variation de volume dV de la cavité est égale au produit de la section S par l’élongation x de la particule de fluide : dv=S.x. Il s’ensuit, en faisant apparaître la pression acoustique (p=F/S) et le débit (D=v.S) que pour la cavité acoustique, on peut écrire : et par conséquent, la relation directe entre cause et effet pour la cavité acoustique est : Pour une cavité acoustique, la pression acoustique appliquée à la cavité est proportionnelle à l’intégrale de la différentielle du volume dV=D(t)dt. Le facteur de proportionnalité est la raideur ka=1/χV mais on utilise souvent son inverse Ca appelé élasticité de la cavité ou capacitance acoustique ; la capacitance acoustique se mesure en mètres cubes par pascal (m3Pa-1). La cavité acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous forme réactive. Lors de sa décompression, la cavité restitue entièrement l’énergie qu’elle a emmagasinée lors de sa compression. La cavité se comporte donc comme un élément élastique qui restitue, en se détendant, l’énergie potentielle d’élasticité qu’il a accumulée lorsqu’il a été tendu. L’énergie acoustique instantanée accumulée dans la cavité acoustique vaut : 9 Oscillations harmoniques des oscillateurs électrique et acoustique Comme pour l’oscillateur mécanique harmonique, lorsqu’il n’y a pas d’énergie électrique ou acoustique dissipée, la présence d’un composant générateur d’inertie en couplage avec un composant générateur d’élasticité engendre pour une cause linéaire, un effet périodique. 9.1 oscillateur harmonique électrique : circuit LC Il est important de réaliser que l'OH existe également dans des domaines qui ne relèvent pas de la mécanique. Par exemple, un simple circuit électrique composé d'un condensateur et d'un inducteur constitue un OH. Ainsi, si on couple une self et un condensateur chargé, la décharge du condensateur dans la self va provoquer la charge du condensateur en sens inverse. L’énergie potentielle contenue dans le condensateur va se transformer en énergie cinétique dans la self qui, à son tour, va la rendre sous forme d’énergie potentielle au condensateur. Le circuit électrique présente donc des oscillations harmoniques. Ce circuit est représenté sur le schéma ci-dessous. Pour obtenir l'équation du circuit il nous suffit de nous baser sur les lois de comportement des éléments qui le constituent. Si pour le courant qui circule dans le circuit on choisit comme sens conventionnel le sens horlogique, la charge Q de la plaque de gauche du condensateur augmente avec un courant I positif et sa croissance est donnée par le courant lui-même, I = dQ/ dt . Aux bornes du condensateur la différence de potentiel (dans le sens opposé à celui du courant, selon la convention) est Q/C alors qu’aux bornes de l’inducteur elle vaut L.dI/dt. L’équation qui régit l’évolution de ce circuit électrique s’obtient au départ de la loi d’Ohm qui exprime le fait que la somme des différences de potentiel sur un tour complet du circuit est nulle : c’est-à-dire ici : LdI/dt+Q/C=0. Comme i(t)=dq/dt, cette équation peut être réécrite en terme de la charge électrique q(t) : Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est : qui est une oscillation harmonique de fréquence propre : Puisque la charge Q donne le courant quand elle est dérivée, on peut encore écrire cette équation sous la forme dI/dt = −Q/(LC) et il suffit de dériver cette dernière équation par rapport au temps pour obtenir une équation ne contenant que le courant et le temps comme variable. L'équation résultante est l'équation du circuit exprimée pour le courant. Cette équation (ou la précédente, concernant la charge électrique) a la structure habituelle de l'équation de l'OH. Et on voit de cette manière que le circuit LC constitue un OH dont la pulsation caractéristique vaut : On sait dès lors que le courant du circuit LC subit une évolution harmonique d’amplitude arbitraire appelée ici I0 (c’est la valeur maximale que prend le courant, elle est déterminée par les conditions initiales de fonctionnement du circuit). Ce qui, en vertu de la loi courant-tension de l'inducteur V = LdI /dt, donne la tension suivante aux bornes du condensateur et de l'inducteur : On voit ainsi que courant et tension évoluent en quadrature exactement comme la position et la vitesse de l'oscillateur harmonique mécanique. L’évolution de la tension a été rajoutée sur le graphe ci-contre à l’aide de la courbe rouge. Pour s'expliquer l'origine de l'oscillation harmonique dans le circuit LC, il est éclairant de pousser un peu plus loin l'analogie avec l'OH mécanique. Pour se faire, il est naturel d'associer au courant la vitesse de la masse de l'OH mécanique puisque le courant représente un flux de particules chargées possédant une certaine vitesse. De plus, on montre en électromagnétisme que le courant dans l'inducteur présente une énergie qui a la forme mathématique de l'énergie cinétique, il s'agit de l'énergie magnétique Wm=(1/2)mLI2. Cette énergie magnétique oscille avec une pulsation égale à 2ω0. En plus de cette énergie magnétique, il y a dans le circuit l'énergie électrique du condensateur We=(1/2)CV2. Comme l'énergie est conservée dans le circuit (il n'y a pas de dissipation Joule), l'énergie totale du circuit ne peut être qu’une constante, Wm+We=constante . Le bref développement ci-dessous montre qu'effectivement l'énergie totale du circuit est une constante donnée par l'énergie magnétique maximale (1/2)LI02. Il suffit pour y arriver de se rappeler que la pulsation propre des oscillations est donnée par Dans l'analogie à la mécanique, on peut donc dire que l'énergie magnétique représente l’énergie cinétique et que l’électrique représente l'énergie potentielle de l'OH. L'oscillation dans le circuit LC est donc due à un échange périodique entre énergie magnétique et énergie électrique. 9.2 oscillateur harmonique acoustique Si on couple un tuyau (masse acoustique) et une cavité acoustique où l’air est comprimé, une détente de l’air dans la cavité va provoquer (à cause de l’inertie de la masse acoustique), une recompression de l’air dans la cavité. Il s’ensuit une oscillation acoustique où l’énergie potentielle contenue dans la cavité acoustique se transforme en énergie cinétique dans la masse acoustique qui, à son tour, la restitue sous forme d’énergie potentielle à la cavité acoustique : le système acoustique oscille. L’équation qui régit ce système acoustique est : c’est-à-dire ici : ou, comme le débit est relié au volume V(t) de la cavité par D(t)=dV/dt : Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est : Il s’agit donc d’une oscillation harmonique, et le système oscille avec la fréquence propre : Résumé : oscillateurs harmoniques électrique, mécanique et acoustique 10 Oscillations amorties des systèmes électriques et acoustiques Comme dans le cas mécanique, il n’existe pas de système électrique ou acoustique qui ne dissipe pas une partie de l’énergie. Pratiquement, on observe une diminution progressive de la valeur maximum du courant électrique et du débit acoustique (comme on observait une diminution progressive de la vitesse mécanique de l’oscillateur mécanique). 10.1 Oscillateur électrique amorti : circuit RLC (cf. annexe 1) Soit un circuit comprenant un condensateur chargé, une self, et une résistance. L’équation qui régit ce circuit est la loi d’Ohm : qui se ramène à l’équation différentielle : 10.2 Oscillateur acoustique amorti Soit un système mécanique comprenant une cavité acoustique, une masse acoustique et une résistance acoustique. L’équation qui régit ce système est : Cette équation se ramène à l’équation différentielle : Ces équations différentielles sont analogues à l’équation décrivant l’évolution de l’oscillateur mécanique amorti. La solution générale du problème correspond donc à l’un des trois régimes d’amortissement étudiés. Circuit RLC série : un exemple d’oscillateur amorti 11 Oscillateurs électrique et acoustique forcés : calcul des impédances Au lieu d’étudier les systèmes oscillants librement (avec ou sans amortissement), on peut étudier l’évolution de ces systèmes sous l’action d’une action extérieure périodique. Il s’ensuit, après une courte période transitoire, des oscillations forcées, dont la périodicité est celle de l’action extérieure, mais pour lesquelles les oscillations du système (l’effet) ne sont pas en phase avec l’action extérieure (la cause). 11.1 Oscillateur électrique forcé : circuit RLC avec générateur (cf. annexe 3) Si on connecte un générateur délivrant une tension alternative U=Umsin(ωt+ε) à un circuit composé d’une résistance, d’une self et d’un condensateur, le circuit va être parcouru après les transitoires par un courant alternatif i=imsin ωt. L’équation qui régit le circuit est : En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directement écrire : Le déphasage entre la tension aux bornes du circuit et le courant est donné par la relation : Circuit RLC : étude de la résonance À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’action extérieure est égale à la fréquence propre du circuit. Le déphasage cause-conséquence est alors nul. 11.2 Oscillateur acoustique forcé : résonateur de Helmholtz Si on soumet à une pression acoustique extérieure périodique p=pmsin(ωt+ε) un système acoustique composé d’une résistance acoustique, d’une masse acoustique et d’une cavité acoustique, il va se produire après une période transitoire des oscillations forcées de débit D=Dmsin ωt. L’équation qui régit ce système acoustique est : En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directement écrire la solution après la période transitoire : Le déphasage entre la pression extérieure exercée sur le système et le débit est donné par la relation : À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’action extérieure est égale à la fréquence propre du système. Le déphasage cause-conséquence est alors nul. Résumé : 11.3 Illustration sonore des phénomènes d’ondes stationnaires et de résonance Annexe 1 : le circuit RLC un oscillateur linéaire amorti Comme mentionné ci-dessus, la plupart des oscillateurs harmoniques sont en réalité des oscillateurs linéaires amortis en raison de la présence de mécanisme de dissipation d'énergie. Le circuit RLC représenté ci-dessous constitue un exemple idéal d'oscillateur linéaire amorti car il a l'avantage de présenter un terme d'amortissement correspondant rigoureusement à une force de frottement visqueux. Comme son nom l'indique ce circuit est composé d'une résistance, d'un inducteur et d'un condensateur. Pour établir l'équation de ce circuit, il suffit d'exprimer le fait que la somme des différences de potentiel aux bornes des 3 éléments est nulle. Les différences de potentiel aux bornes des trois éléments dans le sens contraire du courant (qui est le sens conventionnel de la définition de la différence de potentiel dans un circuit) sont notées VC , VR et VL ci-dessous. Leurs expressions mathématiques en fonction de la charge et du courant sont bien connues : En remplaçant les différences de potentiel VC , VR et VL par leurs expressions ci-dessus, on trouve : Pour éliminer la charge et obtenir l'équation du circuit pour le courant, nous dérivons cette relation par rapport au temps. On divise ensuite par L pour obtenir l'équation standard de l'OLA. Si on introduit la pulsation propre de l'oscillateur : qui n’est autre que la fréquence propre de l'OH que l'on obtient quand la résistance R est nulle (voir le circuit LC) ainsi que le coefficient d'amortissement α =R/(2L), on retrouve la forme « canonique » de l'équation de l'OLA. La solution de l'équation de l'OLA vue plus haut peut être utilisée ici pour caractériser l'évolution du courant dans le circuit sur base des conditions initiales. Si le courant vaut I0 au temps t = 0, on peut écrire : La phase ϕ est déterminée par la dérivée du courant dI/dt au temps t = 0 mais nous ne nous attarderons pas sur ce détail ici. La figure ci-contre montre simplement que les oscillations de courant ont une amplitude décroissante lorsque la résistance R est non nulle, α =R/(2L). Dans la limite de résistance nulle, l'amortissement n'existe plus, ce qui est physiquement compréhensible puisque la source d'amortissement est la dissipation Joule dans la résistance (les énergies électrique et magnétique du condensateur et de l'inducteur, respectivement, sont progressivement dissipées dans la résistance sous forme de chaleur). Annexe 2: les phaseurs Nous allons ici aborder l’étude d’un outil mathématique extrêmement puissant pour la description théorique des phénomènes oscillatoires. Il s’agit des phaseurs. A2.1 Représentation complexe du mouvement harmonique L'astuce qui se cache derrière le concept de phaseur réside dans l'utilisation d'une nouvelle représentation mathématique du mouvement harmonique. Pour introduire cette représentation, rappelons que nous avons défini la notion de mouvement harmonique à partir du mouvement de rotation à vitesse constante d'un pendule autour de son axe : on se rappelle grâce au schéma ci-contre que le mouvement harmonique était défini comme étant le mouvement de la coordonnée horizontale de la masse du pendule, La représentation mathématique dont il est question ici s'inspire de cette vision du mouvement harmonique, mais plutôt que de considérer la rotation d'un objet dans l'espace (la masse du pendule tournant), elle se base sur la notion de rotation dans le plan complexe (plan de Gauss). Le plan complexe se prête particulièrement bien à la description de la rotation car on sait que représente l'angle que ce nombre définit l'argument θ d'un nombre complexe avec l'axe réel, tel que représenté ci-dessus à droite. Le schéma ci-dessous montre le nombre complexe x0.eiθ et ses projections sur les axes réel et imaginaire. La projection sur l'axe réel vaut x0cosθ et la projection sur l'axe imaginaire vaut x0sinθ. Dès lors, si θ augmente linéairement avec le temps θ =ω0t, la projection sur l'axe réel reproduit le mouvement harmonique x(t) = x0 cos(ω0t). Puisque θ =ω0t représente la phase de la variation harmonique, on l'appellera par la suite la « phase » du nombre complexe tournant plutôt que l'« argument ». On en conclut que le mouvement harmonique est représenté par la partie réelle d'un nombre complexe tournant. On pourrait se demander à ce stade pourquoi on complique les choses en introduisant une représentation complexe du mouvement mais nous verrons par la suite que cette représentation est extrêmement pratique pour la description des phénomènes périodiques en physique et plus généralement dans le domaine des sciences et techniques. A2.2 Déphasages et phaseurs La représentation complexe permet de représenter la solution générale de l'équation de l'OH avec un déphasage quelconque (déphasage par rapport à la phase ω0t considérée ci-dessus). Il suffit pour comprendre cela de considérer la partie réelle non plus d’un nombre réel multiplié par exp(iω0.t), mais d'un nombre complexe X multiplié par exp(iω0.t) (la notation particulière de ce nombre complexe avec la barre inférieure sera justifiée plus bas). Cette partie réelle est facile à expliciter si on introduit le module X et l'argument ϕ du nombre complexe X. Nous obtenons une évolution harmonique d'amplitude X et de déphasage ϕ, ce qui est bien la solution générale de l'équation de l'OH. La représentation graphique de l'évolution du nombre complexe ξ(t) =Xexp iω0 t est donnée ci-dessous. Il s'agit, bien sûr, d'un nombre complexe tournant. Au temps t = 0 , ce nombre a un argument égal à ϕ, ce qui signifie que l'oscillation x(t) commence en t = 0 à la valeur de Xcos(ϕ). De même, la dérivée temporelle de x(t) nous indique que la vitesse initiale est non nulle en t = 0 , elle vaut : L'argument ϕ du nombre complexe X représente donc bien le déphasage de l'oscillation par rapport à la phase ω0t. Ce qui est important à retenir de cette discussion c'est que le nombre complexe X contient les caractéristiques du mouvement harmonique général dans la mesure où le module de X représente l'amplitude du mouvement alors que son argument ϕ représente le déphasage du mouvement. Le mouvement harmonique général est donc entièrement caractérisé par le nombre complexe X et la pulsation ω0. Dans la suite, nous utiliserons les nombres complexes pour décrire les mouvements harmoniques. Quand un nombre complexe caractérise un mouvement harmonique, on l'appelle « phaseur » et pour mettre en évidence sa signification physique et ainsi le différencier d'un simple nombre complexe, on le notera toujours comme ici, à l’aide une lettre majuscule assortie d’une barre inférieure. Le phaseur X, représentant un mouvement harmonique tout à fait général est représenté ci-contre. Son module donne l'amplitude de l'oscillation et son argument en donne le déphasage. Nous verrons plus loin que cette représentation du mouvement harmonique par un nombre complexe est très utile en pratique. A2.3 Phaseurs et oscillateur harmonique Nous allons voir ici que la notion de phaseur permet de simplifier fortement les développements mathématiques liés à la résolution des équations différentielles. Pour commencer progressivement, considérons l'équation de l'oscillateur harmonique. Cette équation est simple et on en connaît déjà la solution générale mais on va faire comme s'il s'agissait d'un problème nouveau dont on ne connaît pas la solution. Le but est alors de calculer cette solution sur base de la notion de phaseur. Notez que si on utilise la notion de phaseur c’est que l’on suppose implicitement que la solution de l’équation est harmonique. Le but que nous nous fixons ici est donc simplement de trouver le mouvement harmonique qui satisfait l'équation de l'OH ci-dessous. Si nous recherchons une solution harmonique x(t) nous pouvons l’écrire à l'aide du phaseur X, et de la fréquence ω, c’est-à-dire, x(t) = Re[X exp(iωt)]. Nous ne connaissons ni X ni la fréquence ω et notre but est de les calculer pour pouvoir caractériser complètement le mouvement décrit par l'équation de l'OH. Pour trouver le phaseur X et la fréquence ω, il nous suffit de substituer l'expression de x donnée ci-dessus dans l'équation différentielle de l'OH. L'opération de dérivée temporelle est simple à effectuer puisque celle-ci peut être entrée dans la partie réelle (l'opération de dérivée est commutative avec l'opération « partie réelle »). On voit donc que la dérivée première de x(t) est égale à : Notez que ceci revient à dire que la dérivée a pour phaseur iωX. La dérivée seconde qui apparaît dans l'équation de l'OH est obtenue en calculant la dérivée de et on trouve : On voit donc que le phaseur de l'accélération de l'oscillateur est − ω2X. Ceci permet de remarquer que l'opération de dérivée temporelle sur x(t) est équivalente à l'opération de multiplication par iω sur le phaseur correspondant X (la dérivée seconde qui est l'opération de dérivée appliquée deux fois est bien équivalente à deux fois la multiplication par iω, soit (iω)2= −ω2. Si on substitue dans l'équation de l'OH x et par leurs expressions en termes de phaseur, on trouve la relation suivante : En regroupant les parties réelles à gauche, on trouve : N'oublions pas que cette relation est équivalente à l'équation différentielle de l'OH (plus exactement, c'est l'équation de l'OH retreinte aux solutions harmoniques de fréquence ω). En mettant l'exponentielle en évidence, on obtient la relation suivante où l’on voit apparaître le nombre complexe Le nombre complexe Y peut être vu comme un phaseur. Il est représenté schématiquement ci-contre ainsi que le nombre complexe tournant Yexp(iωt) . La relation ci-dessus, qui est l'équivalent de l'équation de l'OH pour le phaseur X, nous indique que la partie réelle de ce nombre complexe tournant est nulle pour toute valeur de t. Il est clair que ceci n'est possible que si Y est nul. La partie réelle de Yexp(iωt) n’est effectivement nulle que si le module de Y est nul (le schéma ne correspond donc pas a une solution acceptable). En remplaçant Y par sa valeur en fonction de X, on obtient une relation algébrique simple : Cette dernière relation peut être vue comme l'équation de l'OH pour le phaseur X. Remarque : Il est intéressant que comparer cette équation algébrique avec l'équation différentielle de l'OH car on voit alors facilement que pour passer de l'équation différentielle à l'équation algébrique du phaseur, il suffit de remplacer x par son phaseur X et la dérivée temporelle par la multiplication par iω. L'équation algébrique du phaseur de l'OH est facile à résoudre. On voit immédiatement que la pulsation ω est égale à la pulsation propre de l'oscillateur, soit, De même, puisque X peut être simplifié à gauche et à droite, on voit que X est indéterminé. En d’autres termes, l'amplitude X et le déphasage ϕ du mouvement sont indéterminés. Ceci correspond bien à la solution générale de l'OH vue plus haut, où l'amplitude X et le déphasage ϕ sont les constantes d'intégration déterminées par les conditions initiales du mouvement. La chose essentielle à retenir de ce développement est que l’introduction des phaseurs permet de transformer une équation différentielle en x(t) en une simple équation algébrique pour le phaseur associé X. A2.4 Phaseurs et Oscillateur linéaire amorti forcé Grâce à l'introduction de la notion de phaseur, nous sommes maintenant à même de traiter le problème de l'oscillateur linéaire amorti forcé. On avait vu plus haut que la force totale exercée sur la masse de cet oscillateur est donnée par la somme de la force de rappel élastique, de la force de frottement visqueux et de la force extérieure (que l'on suppose harmonique pour simplifier les développements). L'équation du mouvement de l'OLA forcé est donnée par la seconde loi de Newton : En mettant tous les termes dans le membre de gauche et en introduisant les paramètres : de pulsation propre d'amortissement de force extérieure on obtient l'équation sous sa forme canonique. Il est essentiel d’avoir à l’esprit que la pulsation ω de la force extérieure n'est pas nécessairement égale à la pulsation propre ω0 de l'oscillateur. La force extérieure impose sa pulsation et celle-ci n’a aucune raison d’être prise égale à la pulsation propre de l’oscillateur. A2.4.1 Solution harmonique, équation du phaseur Nous allons maintenant nous servir de la représentation complexe pour calculer les solutions harmoniques de l'équation de l'OLA forcé. Pour cela, nous introduisons le phaseur de x avec la fréquence ω de la force extérieure comme fréquence de référence. Le mouvement harmonique permanent ne peut, en effet, s'obtenir que si la fréquence du mouvement est égale à la fréquence de la force extérieure. Dans la représentation complexe la dérivée par rapport au temps de la position x(t) devient la dérivée de la partie réelle de X exp(iωt), soit Re[iω X exp(iω t)]. En faisant de même pour la dérivée seconde et en écrivant le terme de force extérieure a.cos (ωt) comme étant la partie réelle de a.exp(i ω t), on peut facilement transformer l'équation du mouvement de l'OLA forcé en termes de phaseur. Après substitution de ces expressions dans l’équation du mouvement : et après avoir exprimé que la somme des parties réelles est égale à la partie réelle de la somme, on obtient l’égalité suivante : Pour obtenir l'équation du phaseur du problème, il suffit de mettre exp(iωt) en évidence. On obtient alors le nombre complexe : multiplié par exp(iωt). Comme ce produit doit avoir une partie réelle nulle en tout temps, Y ne peut être que nul, ce qui s'exprime par la relation suivante : C'est l'équation du phaseur de l'OLA forcé. Remarque : Notez que cette équation algébrique pouvait être obtenue tout de suite à partir de l'équation différentielle en remplaçant simplement x par le phaseur X et la dérivée temporelle par iω et, bien entendu aussi, en remplaçant le terme de forçage acos (ωt) par son phaseur a. A2.4.2 Résonance Grâce à la notion de phaseur nous avons transformé l'équation différentielle du mouvement en une équation algébrique dont la solution est extrêmement simple à calculer. Cette équation est réécrite ci-dessous. Elle va nous permettre d’étudier l’OLA forcé et, en particulier, de décrire le phénomène de résonance qui y est associé. Il suffit, en effet, de mettre le terme de forçage « a » dans le membre de droite et mettre X en évidence pour obtenir immédiatement l'expression de X : Comme on l'a mentionné plus haut, le phaseur caractérise entièrement le mouvement harmonique x(t) au travers de la relation x(t) = Re[X exp(iωt)]. En particulier, son module donne l'amplitude du mouvement. Sur base de l'expression de X cidessus, on peut facilement voir que l'amplitude du mouvement dépend de la pulsation ω de la force extérieure. Analysons tout d'abord ce qui se produit lorsque la pulsation de la force extérieure s'annule ω = 0 . Cette situation particulière correspond à une force extérieure constante. Dans ce cas, le ressort de l'oscillateur est étendu (ou comprimé) jusqu'à une position d'équilibre correspondant à l'égalité entre cette force extérieure F et la force de rappel (voir le schéma ci-contre dans lequel il faut considérer ω = 0 ). La valeur de x correspondante est donc donnée par l'équilibre entre ces forces, soit F − κ x=0, ce qui donne x=F/κ. Si la théorie que nous venons de développer est exacte, cette coordonnée de la position de repos doit correspondre au module du phaseur X lorsque ω = 0 (autrement dit, c'est l'amplitude du mouvement à fréquence nulle). Ceci est très facile à vérifier. C'est illustré sur le graphe ci-contre où on voit qu'en ω = 0 , le module du phaseur à fréquence nulle (noté XS) vaut F/κ (notez que c'est un cas particulier pour lequel le phaseur est réel). Voyons maintenant ce qui se produit quand ω tend vers la pulsation propre de l'oscillateur ω0. Quand ω = ω0 le dénominateur dans l'expression de X a une partie réelle nulle et on trouve Le module du phaseur donnant l'amplitude du mouvement, celle-ci vaut donc : En multipliant cette expression en haut et en bas par ω0, on y retrouve l'expression de l'amplitude stationnaire ce qui nous permet d’écrire : Dans le cas d'un amortissement faible, c'est-à-dire quand α<<ω0, on voit que l'amplitude à la pulsation ω0 est beaucoup plus grande que l'amplitude à pulsation nulle (cas stationnaire). On peut en conclure qu'en passant de la pulsation nulle à la pulsation propre de l'oscillateur, le mouvement subit une amplification. Pour voir ce qui se passe au-delà de la pulsation propre, il suffit de faire tendre ω vers l'infini. On voit alors tout de suite que l'amplitude du mouvement diminue et tend vers zéro. Ce phénomène d'amplification de l'amplitude du mouvement de l'oscillateur autour de sa fréquence propre s'appelle le phénomène de « résonance ». A2.4.2.a Amortissement faible Pour étudier plus en détail le phénomène de résonance, nous allons introduire une approximation dans les calculs. Cette approximation est basée sur l'hypothèse de faible amortissement, c’est-à-dire qu’elle se base sur l’inégalité α<<ω0. Dans cette situation nous verrons que la résonance est très étroite, ce qui nous permet de la décrire uniquement pour des valeurs de pulsation très proches de la pulsation propre de l'oscillateur. Pour simplifier les notations, nous allons décrire la résonance en termes de l’écart δω entre la pulsation ω et la pulsation propre ω0, soit δω= ω-ω0. Nous ferons donc le changement de variable ω= ω0+ δω dans l’expression du phaseur X de sorte que, en faisant varier δω autour de zéro, on décrive toute la résonance. Si celle-ci est étroite on peut se contenter de petites valeurs de δω ; nous allons donc considérer dans la suite l’inégalité δω << ω0 de façon à appliquer une approximation du premier ordre en δω/ω0 (on négligera les puissances de δω/ω0 supérieures à l’unité). On peut donc étudier la résonance en analysant les valeurs de l'amplitude du mouvement X en fonction de δω en appliquant l’approximation du premier ordre en δω/ω0 et en α/ω0 en vertu de l’hypothèse d'amortissement faible α<<ω0. Puisque le carré de la pulsation intervient dans l'expression du phaseur de l'OLA forcé, nous commençons ci-dessous par calculer ω2 en fonction de δω. Comme δω << ω0, on peut négliger le terme du deuxième degré en δω et ne conserver que le terme du premier degré. Sur cette base, le développement simple qui suit montre que le dénominateur du phaseur X vaut Notez que dans ce développement on néglige le produit αδω qui est très petit puisque à la fois α et δω sont petits devant ω0. Le produit αδω est en fait du même ordre de grandeur que δω2 que l'on a négligé quelques lignes plus haut. Le phaseur de l'OLA forcé est donc donné en première approximation par l'expression remarquablement simple suivante : Les trois expressions qui suivent résument la démarche suivie. La solution harmonique de l'équation du mouvement de l'OLA forcé a été calculée de façon algébrique grâce à l'introduction du concept de phaseur. Le phaseur résultant a été exprimé dans une approximation basée sur l'hypothèse de l'amortissement faible. La valeur de l'amplitude réelle du mouvement x(t) peut être retrouvée à partir de la définition du phaseur. Le mouvement harmonique réel est entièrement caractérisé par le phaseur, en particulier, l'amplitude du mouvement est donnée par le module du phaseur et son déphasage est donné par son argument. Le module et l’argument du phaseur sont très simples à calculer, ils sont donnés ci-dessous. L'interprétation physique de l’argument ϕ est simple, il représente le déphasage (ou le décalage temporel) entre la force extérieure F.cos(ωt) et le mouvement qui en résulte x(t) = X cos (ωt +ϕ). L'expression du déphasage ϕ montre que celui-ci vaut π/2 lorsque l'on est à la résonance δω= 0, c'est-à-dire, quand il y a égalité entre la pulsation de la force extérieure ω et la pulsation propre ω0 de l’oscillateur. On dit dans cette situation qu’il y a une quadrature de phase entre la position de l'oscillateur x(t) et la force extérieure Fcos (ωt). Le module du phaseur est représenté sur le graphique ci-contre en fonction de l'écart par rapport à la résonance δω. On peut facilement vérifier sur l'expression mathématique du phaseur que l'amplitude à la résonance vaut : (ce qui est identique à l'expression exacte calculée plus haut avant l'introduction de l'approximation). A2.4.2.b Largeur de résonance Il est intéressant de voir comment la largeur de la résonance varie avec le coefficient d'amortissement α. Pour cela, calculons la valeur de δω à laquelle l'amplitude du mouvement vaut la moitié de l'amplitude maximale de la résonance : Si on appelle δω* cette valeur particulière de δω on a, par définition : En substituant, l'expression approchée du phaseur dans cette dernière relation, on obtient : On voit que pour avoir égalité, il faut que la racine de conduit immédiatement à l'expression : soit égale à 2α, ce qui Ce résultat montre que la largeur de la résonance est simplement proportionnelle au coefficient d'amortissement α. Plus l'amortissement est faible, plus la résonance est étroite (ce résultat est illustré avec la ligne bleue pointillée sur le graphe ci-dessus). Il est intéressant de noter que ce résultat valide l’approximation du premier ordre en δω utilisée pour l’étude de la résonance. Remarquez que lorsque la résonance s'affine en raison d'une diminution de l'amortissement, l'amplitude maximale d'oscillation augmente (cette augmentation est inversement proportionnelle à l'amortissement, Annexe 3 : le circuit RLC Le circuit RLC alimenté par une source de tension alternative est un exemple idéal d'OLA forcé car tous les termes de l'équation canonique de l'OLA forcé correspondent très rigoureusement à la physique en jeu dans ce circuit. En particulier, le terme de force extérieure harmonique est fourni par la source de tension alternative qui a en général une variation très proche de la variation harmonique idéale considérée dans la théorie ci-dessus. De même, le terme d'amortissement de type frottement visqueux est fourni rigoureusement par la résistance du circuit. A3.1 Equation du circuit Pour obtenir l'équation du circuit, on procède comme d'habitude en exprimant les différences de potentiel aux bornes de chaque élément. Comme il y a une source de tension V, il faut exprimer que cette tension équilibre exactement la somme des tensions des tous les éléments du circuit, soit, V=VC+VR+VL. Remarquez que l'on prend une fonction sinusoïdale pour la variation de tension de la source et non une fonction cosinusoïdale (ce choix est fait pour la commodité du calcul et n'a aucune incidence sur le résultat auquel on aboutira). On obtient donc : Pour éliminer la charge Q et la remplacer par le courant I, on dérive cette relation par rapport au temps. On divise ensuite par L les deux membres et on introduit les paramètres usuels de l'équation de l'OLA forcé. Et on arrive ainsi aisément à la forme canonique de l'équation de l'OLA forcé. On en conclut que le circuit RLC alimenté par une tension alternative est un OLA forcé. C'est donc un dispositif qui présente le phénomène de résonance. Pour étudier la résonance du circuit, nous n'allons pas nous baser sur cette équation mais nous allons plutôt formuler directement l'équation du circuit en termes de phaseurs. Ceci nous conduira à la notion d'impédance qui est centrale en théorie de l’électricité. A3.2 Phaseurs et impédances L'introduction des phaseurs de courant et de tension permet une analyse extrêmement simple du circuit basée sur l’expression des lois courant-tension de chaque élément du circuit en termes de phaseur. Nous allons commencer ici par traiter en détail la loi courant-tension du condensateur. Comme I = dQ/dt et que Q = CVC, on peut écrire directement la loi couranttension suivante : Si on exprime le courant et la tension en fonction de leur phaseur, on trouve les relations suivantes : En regroupant les termes dans le membre de gauche et en utilisant le fait que la somme des parties réelles est la partie réelle de la somme, on obtient la relation suivante : Et comme cette relation doit être vérifiée pour tout temps t, on sait que le facteur multiplicatif de l'exponentielle dans les crochets doit être nul, ce qui nous mène à l'égalité I = iω CVC. C'est la loi courant-tension du condensateur exprimée en phaseurs. Cette équation algébrique aurait pu être obtenue directement en remplaçant la dérivée temporelle par iω dans la loi courant-tension du condensateur exprimée en grandeurs réelles I = CdVC /dt. Pour faire l’analyse du circuit complet nous devons tout d'abord traduire les lois courant-tension de tous les éléments du circuit. Nous l'avons déjà fait pour le condensateur et on a vu qu'il suffisait de remplacer la dérivée temporelle par iω pour passer de la loi réelle différentielle à la loi algébrique des phaseurs. Nous allons ici adopter cette procédure directement aux lois courant-tension des autres éléments du circuit. Pour la résistance, la loi d'Ohm en termes de phaseur garde bien sûr la même structure que la loi réelle puisqu'elle ne comporte pas de dérivée. Par contre la loi de l'inducteur devient simplement VL = iω LI. De même, la relation d'équilibre des tensions dans la maille du circuit conserve la même forme puisqu'aucune dérivée n'y intervient. Dans cette dernière relation on substitue ensuite les phaseurs de tension par leur expression en termes du phaseur de courant donné par les trois lois courant-tension trouvées ci-dessus, ce qui donne : Réactances Pour simplifier les notations, on introduit les réactances du condensateur et de l'inducteur. Les lois courant-tension prennent alors une forme analogue à la loi d'Ohm mais avec une nuance de première importance : les coefficients de proportionnalité entre courants et tensions sont complexes (c'est d'ailleurs pourquoi on parle de réactance et non de résistance). Remarque : Notez que le facteur imaginaire « i » apparaissant dans la loi de l'inducteur peut être écrit exp(iπ/2), ce qui montre que le phaseur tension dans l'inducteur a une phase supérieure de π/2 à celle du courant. En effet, la tension de l’inducteur peut être écrite soit encore, en faisant apparaître l’amplitude Im et la phase ϕI du courant, ce qui, en calculant la partie réelle, donne : alors que le courant est Ce qui correspond bien à une avance temporelle de la variation de tension d’un quart de période par rapport au courant. Le même raisonnement appliqué à la relation courant-tension du condensateur mène à la conclusion que la tension est dans ce cas-là en retard d’un quart de période sur le courant car le facteur imaginaire − i est égal à exp(− iπ/2) . Revenons à la relation d'équilibre des tensions. Avec l'introduction des réactances, celle-ci prend la forme suivante : En mettant le courant en évidence, on voit apparaître une simple relation de proportionnalité entre la tension appliquée au circuit et le courant qui y circule. A nouveau donc, on retrouve la structure de la loi d'Ohm avec une « résistance » complexe. Tout ce passe comme si tout le circuit RLC se comportait comme une résistance complexe. Pour ne pas confondre cette résistance complexe avec une résistance réelle, on l'appelle « impédance » et on la note Z (notez que le terme réactance n'est utilisé que pour désigner la partie imaginaire de l’impédance, il s’agit de ne pas les confondre). La loi courant-tension du circuit RLC se résume donc à V = ZI . L'impédance est un nombre complexe mais il est important de réaliser qu’elle ne constitue pas un phaseur ; la raison de ceci est qu’il n'y a pas de mouvement harmonique associé à ce nombre. Autrement dit, il n’y a pas de grandeur physique réelle oscillante associée à Z. L’impédance est représentée ci-dessous dans le plan de Gauss (plan complexe). Sa partie réelle est la résistance R et sa partie imaginaire est donnée par la différence des réactances : i(XL-XC). L'argument de Z est, en toute généralité, différent de zéro puisqu'il dépend de la différence des réactances qui elles-mêmes dépendent différemment de la pulsation ω. L'argument de Z représente le déphasage qui existe entre la tension et le courant dans le circuit RLC, en effet, Plus précisément, l’argument de Z est l'avance de phase de la tension sur le courant (bien sûr, si arg (Z) est négatif l'avance de phase devient un retard de phase). Le décalage temporel correspondant est : A3.3 Condition de résonance Pour se convaincre de l'utilité de la représentation complexe des phaseurs, on va montrer ici que le phénomène de résonance du circuit RLC peut s'étudier à partir des deux relations algébriques toutes simples données ci-dessous. La tension représente le terme de force extérieure de l'OLA forcé que constitue le circuit. En fonction de la fréquence de la tension, l’amplitude d’oscillation du courant prend des valeurs plus ou moins grandes et sa valeur maximale est bien entendu obtenue à la résonance. Or, l’amplitude d’oscillation du courant est maximale lorsque le module de l’impédance est minimal. On peut donc facilement calculer la pulsation de résonance en recherchant la valeur de ω pour laquelle le module de l’impédance est minimum. Puisque la partie réelle de l’impédance est indépendante de la pulsation, Re(Z) =R, il est clair que la valeur minimale du module de l'impédance est obtenue lorsque sa partie imaginaire est nulle. On voit cela très facilement sur la représentation graphique de l’impédance donnée précédemment. Le module de l'impédance apparaît comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l’un des cotés est la résistance indépendante de la fréquence. Par contre, l'autre coté du triangle à une longueur qui dépend de la pulsation ω. La pulsation pour laquelle la longueur de ce coté s'annule correspond à la valeur la plus petite du module de l'impédance puisque l'hypoténuse prend alors la longueur du coté indépendant de la fréquence, soit, R. D'après l'expression de l'impédance cette valeur minimale du module de l'impédance est obtenue lorsque les réactances de l'inducteur et du condensateur sont égales. Sachant que XL =iωL et que XC = 1/iωC, nous obtenons la condition de résonance sous la forme suivante : Comme on pouvait s'y attendre, ce résultat montre que la pulsation de résonance n'est rien d'autre que la pulsation propre ω0 de l’OLA forcé que constitue le circuit RLC.