TS. DM3 - Correction Les deux parties sont indépendantes 1 Le

TS. DM3 - Correction
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Les deux parties sont indépendantes
1 Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :
• Soit il avance d’un pas tout droit ;
• Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
• Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité p de l’évènement S « Tom traverse le pont » c’est-à-dire « Tom n’est pas tombé
dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé (O , I, J) comme l’indique la figure ci-dessous.
On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la
position de Tom après x déplacements.
2
1
départ
O
J
I
1
−1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
−2
On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements :
x, y, n sont des entiers
Affecter à x la valeur 0
Affecter à y la valeur 0
Tant que y > −1 et y 6 1 et x 6 9
Affecter à n une valeur choisie au hasard entre −1, 0 et 1
Affecter à y la valeur y + n
Affecter à x la valeur x + 1
Fin tant que
Afficher « la position de Tom est » (x ; y)
1. On donne les couples suivants : (−1 ; 1); (10 ; 0); (2 ; 4); (10 ; 2).
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
•
•
•
•
(−1 ; 1) : non car x < 0 ce qui n’est pas possible ;
(10 ; 0) : oui par exemple en choisissant 10 fois la valeur 0 pour y ;
(2 ; 4) : non car y > 2 ;
(10 ; 2) : oui par exemple en choisissant dans cet ordre 8 fois la valeur 0 puis deux fois la valeur 1 pour y.
2. Modifier cet algorithme pour qu’à la place de « la position de Tom est (x ; y) », il affiche finalement « Tom a réussi la
traversée » ou « Tom est tombé ».
Pour que Tom ait réussi la traversée, il faut qu’il soit arrivé au bout des 10 étapes, c’est-à-dire que x = 10 et qu’il ne tombe
pas lors de cette dernière étape, ce qui est encore possible si sa position à l’étape précédente était (9 ; 1) ou (9 ; −1) ; il
faut donc tester également si y n’est pas plus grand que 1 ou plus petit que −1 en fin d’algorithme.
On remplace dans l’algorithme la ligne :
Afficher « la position de Tom est » (x ; y)
par :
Si x = 10 et y > −1 et y 6 1
alors Afficher « Tom a réussi la traversée »
sinon Afficher « Tom est tombé »
Fin du si
Partie B
Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note : An l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point
d’ordonnée −1 ».
Bn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 ».
Cn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 ».
On note a n , b n , c n les probabilités respectives des évènements An , Bn , Cn .
1. Justifier que a 0 = 0, b 0 = 1, c 0 = 0.
Au départ, Tom se trouve à l’origine O donc son ordonnée est 0 ; donc l’événement B0 est réalisé : a 0 = 0, b 0 = 1 et c 0 = 0
2. Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9, on a


 a n+1

 b n+1
On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
=
=
an + bn
3
an + bn + cn
3
On va représenter sur un arbre pondéré le passage de l’état n à l’état n + 1 ; une branche vers le haut signifie que le
nombre choisi au hasard est −1, une branche du milieu signifie que le nombre est 0 et une branche vers le bas signifie
que ce nombre vaut 1.
Il est dit dans le texte que S représente l’événement « Tom traverse le pont » donc S désigne l’événement « Tom est tombé
à l’eau ».
S
An ∩ S
b
1
3
An
An+1
1
3
b
An ∩ An+1
b
An ∩ Bn+1
1
3
b
an
Bn+1
An+1
Bn ∩ An+1
b
1
3
Bn
bn
Bn+1
1
3
b
b
Bn ∩ Bn+1
b
Bn ∩ Cn+1
1
3
b
Cn+1
Bn+1
cn
Cn ∩ Bn+1
b
1
3
Cn+1
1
3
b
Cn
1
3
b
Cn ∩ Cn+1
b
Cn ∩ S
S
D’après la formule des probabilités totales :
a n+1 = P (An+1 ) = P (An ∩ An+1 ) + P (Bn ∩ An+1 )
= P (An ) × PAn (An+1 ) + P (Bn ) × PBn (An+1 ) = a n ×
1 an + bn
1
+ bn × =
3
3
3
De même
1
1
1
1
an + bn + cn
1 bn + cn
c n+1 = P (Cn+1 ) = b n × + c n × =
+ b n × + c n × ==
3
3
3
3
3
3
3
Remarque : on pourrait aisément démontrer, par exemple par récurrence, que pour tout n, a n = c n .
b n+1 = P (Bn+1 ) = a n ×
3. Calculer les probabilités p (A1 ) , p (B1 ) et p (C1 ).
P (A1 ) = a 1 =
a0 + b0 1
=
3
3
;
P (B1 ) = b 1 =
a0 + b0 + c0 1
=
3
3
;
P (C1 ) = c 1 =
b0 + c0 1
=
3
3
4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements si l’ordonnée y de sa position vaut −1, 0 ou 1, autrement dit
dans le cas de l’événement A2 ∪ B2 ∪ C2 .
Les trois événements A2 , B2 et C2 sont incompatibles donc P (A2 ∪ B2 ∪ C2 ) = P (A2 ) + P (B2 ) + P (C2 ).
1
1
1
1
1
a1 + b1 3 + 3 2
a1 + b1 + c1 3 + 3 + 3 1
a2 =
=
= ; b2 =
=
= ;
3
3
9
3
3
3
1
b1 + c1 3 2
= = .
c2 =
3
3 9
2 1 2 7
P (A2 ∪ B2 ∪ C2 ) = P (A2 ) + P (B2 ) + P (C2 ) = a 2 + b 2 + c 2 = + + =
9 3 9 9
7
La probabilité que Tom se trouve sur le pont après deux déplacements est .
9
n
an
bn
0
0
1
1
0,333 333
0,333 333
5. À l’aide d’un tableur, on a obtenu la feuille
2
0,222 222
0,333 333
de calcul ci-contre qui donne des valeurs
3
0,185 185
0,259 259
approchées de a n , b n , c n pour n compris
4
0,148 148
0,209 877
entre 0 et 10.
5
0,119 342
0,168 724
Donner une valeur approchée à 0, 001 près
6
0,096 022
0,135 802
de la probabilité que Tom traverse le pont
7
0,077 275
0,109 282
(on pourra s’aider du tableau ci-contre).
8
0,062 186
0,087 944
9
0,050 043
0,070 772
10
0,040 272
0,056 953
Pour la même raison que dans la question précédente, la probabilité que Tom traverse le pont est
cn
0
0,333 333
0,222 222
0,185 185
0,148 148
0,119 342
0,096 022
0,077 275
0,062 186
0,050 043
0,040 272
P (A10 ∪ B10 ∪ C10 ) = P (A10 ) + P (B10 ) + P (C10 ) = a 10 + b 10 + c 10 ≈ 0,040 272 + 0,056 953 + 0,040 272 ≈ 0,137 497
(d’après le tableau fourni).
Une valeur approchée à 0, 001 près de la probabilité que Tom traverse le pont est 0, 137