VI INERTIE – GEOMETRIE DES MASSES

Mécanique - VI - 1 / 8
VI
INERTIE – GEOMETRIE DES MASSES
Dans l’étude de la dynamique des systèmes matériels et des solides il est important d’étudier
la répartition géométrique des masses, afin d’exprimer simplement les concepts cinétiques qui
apparaissent dans les lois fondamentales.
1. Masse d’un système matériel
a) Masse volumique
Définition :
Soit un ensemble de points matériels ( , )
ii
Gm. En chaque point M de l’espace occupé par les
(,)
ii
Gm on définit un volume de mesure V(M) fermé.
La densité volumique de masse au point M, ( )M ρ
+
∈R, est alors donnée par :
()
() ()
masse deV M
MVM ρ =
ρ est aussi appelée masse volumique, son unité est le kg/m3
Remarque
La fonction densité : ρε
+
→R ainsi définie n’est généralement pas continue (distribution
discrète des points). Cette définition correspond à un procédé physique simple de mesure de ρ
(on prend un volume dont on mesure la masse et on fait la division).
On peut cependant modifier légèrement la définition de ρ pour obtenir une fonction continue,
en affectant un poids à chaque point matériel par exemple.
Nous supposerons ρ généralement continu dans la suite.

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b) Masse
Définition :
Avec le modèle du milieu continu, un système matériel S est représenté par un volume V
fermé et borné de ε sur lequel on a défini la densité volumique de masse ρ .
La masse de S est alors définie par :
() () ()
VMS
mS dm M dVM ρ
∈
==
∫∫
V est le domaine volumique contenant l’ensemble des masses.
Remarque : En mécanique newtonienne, la masse d’un système matériel présente la propriété
d’additivé (faux en mécanique relativiste).
Pour un ensemble discret de n points matériels de masse mi, on a : 1
n
i
i
mm
=
=∑
c) Elément de volume
Rappel : Suivant le type de coordonnées choisi pour décrire le système, l’élément de volume
dV(M) s’exprime différemment :
• Coordonnées cartésiennes : dV dxdydz =
• Coordonnées cylindriques : dV d d dz
ρρ
θ =
• Coordonnées sphériques : 2sindV r dr d d
ϕ
θ
ϕ
=
2. Centre de masse (ou d’inertie)
a) Définition
On appelle centre de masse d’un système matériel S le barycentre des différents points de S
affectés de leurs masses respectives.
Pour un système de n points matériels ( , )
ii
Gm, sa position est définie par : 10
n
ii
imGG
==
∑!!!!""

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Cette relation est équivalente à : 1
n
ii
i
mOG m OG
=
=∑
!!!" !!!!"
où O est une origine quelconque et m la masse totale du système ( 1
n
i
i
mm
=
=∑)
Pour un milieu continu de domaine Ω (volume, surface ou courbe) sur lequel est définie une
densité uniforme (volumique, surfacique, linéique) son centre de masse G est alors défini par :
0
MGM dm
∈Ω =
∫!!!!!!!!"", ou la relation équivalente : M
mOG OMdm
∈Ω
=∫
!!!" !!!!!!!!", O
∀
Remarques :
- Le centre de masse est souvent appelé centre de gravité (abus de langage)
- La définition du centre d’inertie est indépendante du point O choisi
b) Propriétés
(i) Associativité
Soient 2 systèmes matériels disjoints S1 et S2 de centres de masse respectifs G1 et G2, alors
12
()SS∪ a pour centre de masse G tel que :
12 1 1 2 2
() () ()mS SOGmSOG mSOG∪= +
!!!" !!!!"!!!!"
Généralisation : Si un système matériel S est une somme de n systèmes matériels simples Si,
cette propriété permet de déterminer le centre de masse de l’ensemble à partir des centres de
masse Gi de chacune des parties :
1
() ( )
n
ii
i
mSOG mS OG
=
=∑
!!!" !!!!"
(ii) Symétrie matérielle
Définition :
Un système matériel possède un élément de symétrie matérielle (point, droite, plan) si la
masse volumique en tout point de ce système est égale à la masse volumique au point
symétrique par rapport à cet élément de symétrie.
⇔ Soit :s
αεε
→ l’application symétrie par rapport à α alors A∀,
()
() ()sA A
α
ρρ =

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Propriété : Si un élément matériel S admet une symétrie matérielle par rapport à α (point,
droite ou plan) alors le centre d’inertie de S, G, appartient à la symétrie : G
α
∈
(iii) Théorèmes de Guldin
→ Détermination des centres de masse de courbes et de surfaces matérielles simples.
1er Théorème :
Soit un système matériel S modélisé par un arc de courbe C plan (π) de densité linéique de
masse l
ρ
homogène. Soit ∆ une droite de (π) ne coupant pas C, alors on a :
2lh S π
∆∆
=
où l = longueur de la courbe C
h∆ = distance de G à ∆
S∆ = aire de la surface engendré par la rotation de C autour de ∆
Exemple : Position du centre de masse d’un quart de cercle de rayon R
En prenant successivement pour ∆ les axes x e
" et y
e
" délimitant le quart de cercle , on obtient :
2
GG
xy R π ==
2ème Théorème :
Soit un système matériel modélisé par une surface S dans le plan (π) de densité surfacique de
masse s
ρ
homogène. Soit ∆ une droite de (π) telle que S ne coupe pas ∆, alors on a :
2Ah V π
∆∆
=
où A = aire de la surface S
h∆ = distance de G à ∆
V∆ = volume du domaine engendré par la rotation de S autour de ∆

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Exemple : Position du centre de masse d’un quart de plaque circulaire de rayon R
Même démarche que pour le quart de cercle. On obtient : 43
GG
xy R π ==
3. Moments d’inertie
a) Moment d’inertie par rapport à un axe
Définition
On appelle moment d’inertie d’un système matériel continu S par rapport à un axe ∆, la
quantité positive :
2
(/) ( ,)
MS
IS dM dm
∈
∆= ∆
∫
où ( , )dM∆ est la distance du point M à l’axe ∆
(,)dM HM∆=!!!!"
Remarque :
Pour un système matériel discret (ensemble de n points matériels ( , )
ii
Gm), on a :
2
1
(/) ( ,)
n
ii
i
IS mdG
=
∆= ∆
∑
Théorème de Huygens-Schteiner
Soit un système matériel S de densité de masse ρ et de centre d’inertie G. Soit ∆ un axe et G ∆
la droite parallèle à ∆ passant par G.
Alors on a :
2
(/) (/ ) ()
G
IS IS mSd∆= ∆ +
où ( , )ddG=∆
(distance entre les deux axes parallèles ∆ et G ∆)