PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

Propagation du champ électromagnétique
CHAPITRE V
PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I. DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE LA PROPAGATION
Considérons une fonction physique ξ = f(x) représentée graphiquement par la courbe
en trait plein, qui se propage dans le sens des x positifs. A la distance x = x0, nous obtenons la
fonction ξ = f(x-x0), la courbe a été déplacée vers la droite d’une quantité x0.
de même ξ = f(x+ x0) correspond à un déplacement vers la gauche.
De toute évidence, la forme de la courbe n’a pas été modifiée ; les mêmes valeurs de ξ se
retrouvent.
Si on pose x = v t, où v représente la vitesse de propagation de la courbe, on obtient
une courbe « voyageuse » ; c’est à dire que ξ = f(x-vt) représente une courbe se déplaçant vers
la droite et ξ = f(x+ vt) représente une courbe se déplaçant vers la gauche.
Nous concluons qu’une expression mathématique de la forme ξ = f(x ± vt) est
suffisante pour décrire un phénomène physique qui se propage sans déformation, suivant le
sens positif ou négatif de l’axe des x.
ξ = f(x+ vt)
ξ = f(x)
x0
ξ = f(x- vt)
x0
O
x
x0
x0
Figure 1 : Translation sans déformation de la fonction ξ = f(x ± vt)
Fonction sinusoïdale :
Un cas spécialement intéressant est dans lequel ξ = f(x,t) est une fonction sinusoïdale :
ξ = f(x,t)= ξ0 sin β(x – vt).
En remplaçant x par (x + 2π / β), on obtient la même valeur, soit :
ξ  x+ 2π −vt =ξ0 sin β  x+ 2π −vt =ξ0 sin[β (x−vt )+ 2π ]=ξ (x−vt )
β
β




donc
λ = 2π
β
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représente la « période dans l’espace », c’est à dire que la courbe se reproduit égale à elle
même tous les λ, qui est appelée longueur d’onde. La quantité λ = 2π représente alors le
β
nombre de longueurs d’onde dans la distance 2π et est appelé nombre d’onde.
Par conséquent, on peut écrire :
ξ(x,t)=ξ0 sin(βx−ω t )
où
ω =βv= 2πv
λ
est la pulsation de l’onde.
Puisque
ω = 2π f
on a la relation importante :
λ f = v.
λ
λ
t = t0
X
t = t0 +T/4
X
t = t0 +T/2
X
t = t0 +3T/4
X
t = t0 +T
X
Figure 2
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Nous pouvons remarquer que, tandis que la situation physique se propage vers la
droite, elle se reproduit identique à elle même dans l’espace avec une période : la longueur
d’onde λ est la distance que progresse l’onde en une période T.
On adonc deux périodes :
l’une dans le temps T et l’autre dans l’espace λ, liées par la relation
λ = v =vT .
f
EXERCICE
Montrer que l’expression d’une onde progressive ξ = f(x ± vt) peut s’écrire sous une autre
forme ξ = f(t+ x/v).
x±vt = v (x±vt)=v x ±t =v t ± x
v
v
v
x
donc ξ(x±vt) ⇔ξ t ± .
v
Par conséquent, pour l’onde sinusoïdale, on peut écrire :
ξ (x,t )=ξ0 sin β (x±vt )=ξ0 sin βv x ±t
v
comme βv = ω,
ξ0 sin β (x±vt )=ξ0 sinω t ± x =ξ0 sin (ωt ± βx )
v
( )( )
( )
( )
( )
II. EQUATION DE PROPAGATION D’UNE ONDE QUELCONQUE
Exemple : Onde de vibration sur une corde.
Une vibration créée en "m" progresse vers "p"
en gardant la même forme, il s’agit donc d’une
onde progressive.
m
m
Si la propagation se fait vers les x > 0, on pose :
rp(t )=rm(t −τ )
Propagation vers les x<0, on pose :
rp (t )=rm(t +τ )
x
Mur
Sens de propagation
de l’onde
avec
τ = x v : retard ou temps de propagation ;
r
Figure 3
où
v : vitesse de propagation de l’onde.
1. Equation de propagation
On supposera une propagation vers les x > 0, on pose donc :
rp(t )=rm(t −τ )
posons
rp (t )= f (t ) et
( )
rm(t −τ )= f (t −τ )= f t − x = f (u )
v
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avec
u =t − x
v
Calculons les dérivées première et seconde de r par rapport au temps t
∂rm(t −τ ) ∂f (u ) ∂f (u ) ∂u
=
=
= f' (u )
∂t
∂t
∂u ∂t
∂ 2rm(t −τ ) ∂ 2 f (u ) ∂  ∂f (u )  ∂
∂f' (u ) ∂u
=
= f' (u )=
=
= f'' (u )
∂t 2 ∂t  ∂t  ∂t
∂t 2
∂u ∂t
soit
∂ 2rm
= f'' (u ) (1)
∂t 2
Calculons les dérivées première et seconde de r par rapport à x
∂rm = ∂rm(t −τ )= ∂f (u )= ∂f (u ) ∂u =− 1 f' (u )
∂x
∂x
∂x
∂u ∂x v
∂ 2rm(t −τ ) ∂  ∂rm(t −τ )  ∂ 1
∂f' (u ) ∂u 1
= 
= − f' (u ) =− 1
= f'' (u )
∂x 2
∂x  ∂x  ∂x v
v ∂u ∂x v 2
∂ 2rm(t −τ ) 1
soit
= f'' (u ) (2)
∂x 2
v2
(
)
En combinant les équations (1) et (2), on obtient :
∂ 2rm 1 ∂ 2rm
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
Cette équation représente l’expression mathématique de l’équation de propagation de la
grandeur rm suivant l’axe des x.
Propagation suivant une direction quelconque
∂ 2rm ∂ 2rm ∂ 2rm 1 ∂ 2rm
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
∂ 2rm
soit ∇2rm = 12 2 (4)
v ∂t
Equation différentielle de la propagation
∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
est l’équation différentielle de propagation de la grandeur ζ suivant l’axe des x.
La solution de cette équation est de la forme :
ξ (x,t )= f1 (x−vt )+ f1 (x+vt )
Cette solution peut alors s’exprimer comme la superposition de deux ondes se
propageant en sens opposés. Evidemment, pour une onde se propageant dans un seul sens,
seule l’une des deux fonctions de l’équation est nécessaire.
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Exercice : montrer que l’équation précédente est bien la solution de l’équation de propagation.
ξ (x,t )= f1 (x±vt )= f1 (u)
avec u = x±vt
∂ξ ∂ξ ∂u dξ ∂ξ ∂ξ ∂u
dξ
=
=
;
=
= ±v
∂x du ∂x du ∂t du ∂t
du
Ensuite en calculant les dérivées secondes on obtient :
∂ 2ξ ∂  dξ  ∂ ∂u  dξ  d 2ξ
=
=
=
∂x 2 ∂x  dx  ∂u ∂x  du  du 2
∂ 2ξ ∂  dξ  ∂ ∂u  dξ  ∂
dξ 2 d 2ξ
(
)
v
v
=
=
=
±
(
±
)
=v
du
du 2
∂t 2 ∂t  dt  ∂u ∂t  dt  ∂u
en combinant ces deux équations pour éliminer d2ξ / du2, nous obtenons l’équation de
∂ 2ξ
∂ 2ξ
propagation : 2 = 12 2 .
∂x v ∂t
Exercice : montrer que l’équation sinusoïdale est bien la solution de l’équation de
propagation.
ξ =ξ0 sin(ωt − β x )
∂ 2ξ
∂ξ
=−βξ 0 cos(ωt − βx ) ; 2 =−β 2ξ0 sin(ωt − β x ) (1)
∂x
∂x
∂ 2ξ
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt −β x ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − β x ) (2)
∂t
∂t
par conséquent, en éliminant ξ0 sin(ωt − β x ) entre les équations (1) et (2), on obtient :
2
2
2
2 2
2
1 ∂ ξ = 1 ∂ ξ ⇒ ∂ ξ =β ∂ ξ = 1 ∂ ξ
− β 2 ∂x2 −ω 2 ∂t 2
∂x 2 ω 2 ∂t 2 v2 ∂t 2
III. EQUATION DE PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE DANS
LE VIDE
1. Equation de propagation de E
Les équations de Maxwell sont :
ρ
divE = ; divB =0 ; rotE =− ∂B ; rotH = J +ε ∂E
ε
∂t
∂t
En posant dans vide que :
• J =0 ; ρ =0 (milieu neutre).
•
ε =ε 0 =8,85.10−12 F/m ; µ =µ0 =4π 10 −7 H/m
on obtient
rotE =− ∂B =−µ0 ∂H ⇒rot (rotE )=rot − µ0 ∂H =−µ0 ∂ (rotH )
∂t
∂t
∂t
∂t
2E
∂
d’où rot(rotE )=−µ0 ∂ ε 0 ∂E =−ε 0 µ0 2 (5)
∂t
∂t
∂t
(
(
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)
)
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d’autre part, nous avons
rot (rotE )= grad (divE )−∇ 2 E
comme divE =
ρ
=0 , on a :
ε0
rot (rotE )=−∇ 2 E
soit donc, en tenant compte de l’équation (5) :
∂2 E
∇2 E =ε 0 µ0 2 (6) ;
∂t
∂ 2rm
En comparant celle-ci avec l’équation (4), à savoir ∇2rm = 12 2 , on déduit :
v ∂t
1 =ε µ
v2 0 0
soit
v=
1 =
ε 0 µ0
1
≈3.10 8 m / s
8,85.10 −12.4π.10 −7
Conclusion : Le champ électrique E se propage dans le vide avec une vitesse v=3.10 8 m / s .
2. Equation de propagation de H
rotH = J +ε 0 ∂E =ε 0 ∂E
∂t
∂t
rot (rotH )=rot ε 0 ∂E =ε 0 ∂ (rotE )
∂t
∂t
∂2 H
rot (rotE )=ε 0 ∂ − µ0 ∂H =−ε 0 µ0 2 (7)
∂t
∂t
∂t
)
(
(
)
d’autre part
rot(rotH )= grad (divH )−∇2 H
comme divB =0 ,
rot (rotH )=−∇2 H
soit donc, en tenant compte de l’équation (7) :
∂2 H
∇2 H =ε 0 µ0 2 (8) ;
∂t
∂ 2rm
En comparant celle-ci avec l’équation (4), à savoir ∇2rm = 12 2 , on déduit également que :
v ∂t
v=
1 =3.10 8 m / s
ε 0 µ0
Conclusion : Le champ magnétique H se propage également dans le vide avec une vitesse
v=3.10 8 m / s .
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IV. VERIFICATION EXPERIMENTALE
Contrairement à la majorité des découvertes scientifiques qui commencent par des
essais expérimentaux avant d’établir des lois théoriques (Loi de Coulomb, loi de Faraday), la
démonstration mathématique (théorique) de la propagation du champ électromagnétique était
réalisée bien avant que l’expérience ne vienne confirmer la théorie de propagation du champ
électromagnétique.
Expérience de Hertz
Vers la fin du dix-neuvième siècle, le physicien allemand Heirich Hertz (1857 – 1894)
a prouvé de manière indiscutable que le champ électromagnétique se propage bien dans le
vide. L’accumulation d’informations des ondes électromagnétiques concernant leur
production, leur propagation et leur absorption a ouvert la porte au monde merveilleux des
communications tel que nous le connaissons aujourd’hui. Avant que Hertz n’ait effectué ses
expériences, l’existence des ondes électromagnétiques avait été prédite par Maxwell à la suite
d’une analyse détaillée des équations du champ électromagnétique.
Y
E
P1
i
P2
X
O
H
S1
S2
Figure 4
Z
Le système formé par les deux boules sphériques P1 et P2 alimenté par une tension est
un oscillateur, à chaque étincelle (arc) qui apparaît entre les deux sphères circule un courant i
brusque et donc variable. Ce courant génère un champ électrique et un champ magnétique.
Résultat de l’expérience :
Il apparaît une étincelle aux bornes de la spire S1
Interprétation :
L’apparition de l’étincelle montre qu’il existe une tension aux bornes de la spire S1 ,
en fait c’est une f.e.m induite par le champ magnétique H crée par l’oscillateur, et qui s’est
propagé jusqu’à S1. La spire S2 étant parallèle au champ H, le flux magnétique est nul et ne
peut pas induire une f.e.m.
Conclusion :
Quand le champ électromagnétique est variable, il devient une onde qui se propage dans
l’air.
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V. ONDE PLANE
L’expression ξ = f (ωt – βx) signifie qu’à un instant donné t, la fonction prend la
même valeur en tout point ayant une même coordonnée x. Mais x = const représente un plan
perpendiculaire à l’axe des x (Figure). Par conséquent, ξ = f (ωt – βx) décrit dans l’espace une
onde plane se propageant parallèlement à l’axe des x.
Y
E
Y
t=t1, x=x1
t2, x2
t3, x3
H
x
O
P
Z
ux
Vecteur de propagation
n
r
X
Figure 6
Figure 5
Z
n est un vecteur unitaire dirigé suivant l’axe de propagation, appelé vecteur de propagation.
L’onde électromagnétique est plane lorsque E et H forment un plan qui se propage dans une
seule direction.
Remarque :
Les ondes électromagnétiques sont soit des ondes planes soit une combinaison d’ondes planes.
Si r est le vecteur position d’un point quelconque P du front d’onde, on a x = n . r et l’on peut
donc écrire :
ξ = f (ω t −β n.r ) .
Cette forme reste valable quelque soit la direction de n :
n = nx ux + ny uy + nz uz.
Dans le cas d’une onde sinusoïdale se propageant dans une direction n quelconque, on écrit :
.
ξ =ξ0 sin(ω t −β n.r )
Il est commode de définir un vecteur β = β n. il est habituellement nommé vecteur d’onde.
Remarque : si la propagation a lieu dans l’espace à trois dimensions l’équation d’onde doit
être modifiée en conséquence. Elle devient alors
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
(1)
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
Dans ce cas, on pose également :
β = βx ux + βy uy + βz uz.
Pour une onde sinusoïdale, on obtient :
ξ =ξ0 sin(ωt − βnx x− β ny y − β nz z ) (2)
et,
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Propagation du champ électromagnétique
β 2 =β x2 + β y2 + β z2 =
ω2
.
v2
Remarque : en plus des ondes planes, il existe des ondes cylindriques, sphériques…
• Les ondes planes se propagent dans une seule direction (Figure 7).
• Les ondes cylindriques se propagent perpendiculairement à l’axe d’un cylindre (Figure
8).
• Les ondes circulaires qui se propagent dans toutes les directions suivant un plan
(Figure 9).
• Les ondes sphériques se propagent dans toutes les directions (Figure 9).
Y
n
O
Z
Figure 7
X
Figure 8
Figure 9
Remarque : l’onde circulaire qui se propage sur un plan est bi-dimensionnelle qui demande
seulement deux coordonnées d’espace. L’équation pour cette onde est donc :
∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
.
+
=
∂x 2 ∂y 2 v2 ∂t 2
EXERCICE
Montrer que l’équation (2) vérifie l’équation différentielle de propagation (1).
Solution :
ξ =ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )
∂ 2ξ
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt −β x ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − β x ) (3)
∂t
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∂t
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Propagation du champ électromagnétique
∂ 2ξ
∂ξ
=−β nxξ0 cos(ωt − β nx x− β ny y − βnz z ) ; 2 =−β 2(nx2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (3)
∂x
∂x
par analogie avec l’équation (3), on obtient :
∂ 2ξ
=−β 2(ny2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (4)
∂y 2
∂ 2ξ
=−β 2(nz2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (5)
∂z 2
En remplaçant les expressions (3), (4) et (5) dans l’équation différentielle de propagation, on
obtient :
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
+
+
=−β 2ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )[(nx2 + ny2 + nz2 )]
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
comme (nx2 +ny2 + nz2 )=1 ,
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
+
+
=−β 2ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
comme par ailleurs,
∂ξ 2
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − βnx x− βny y − β nz z )
∂t
∂t
on aboutit à :
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
EXERCICE
Soit un champ sinusoïdal E = E0 ucos(ωt ) qui se propage suivant l’axe des x. Réécrire les
équations de Maxwell et l’équation de propagation en utilisant la forme exponentielle.
Solution :
Considérons le champ E = E0 ucos(ωt ) ,
Ecrit sous forme exponentielle, il devient :
E = E0 u exp jωt
Calculons les dérivées première et seconde par rapport au temps
∂E = jωE uexp jωt = jωE ;
0
∂t
et
∂2 E
2
=( jω ) E =−ω 2 E
∂t 2
donc on peut remplacer ∂ par jω
∂t
et
∂2
par −ω 2 .
∂t 2
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Propagation du champ électromagnétique
En tenant compte de ces remplacements, les équations de Maxwell deviennent :
rotH = J +ε 0 ∂E =σE + jε 0ωE ; rotE =−µ0 ∂H =−jµ0ωH
∂t
∂t
divB =0 ; divE =
ρ
ε0
et l’équation de propagation devient :
∂2 E
∂2 E
∇2 E − 12 2 =0⇒∇ 2 E −ε 0 µ0 2 =0⇒∇2 E −ε 0 µ0 (−ω 2 )=0
v ∂t
∂t
soit ∇2 E +ε 0 µ0ω 2 E =0
En posant β 2 =ε 0 µ0ω 2 , on obtient :
∇2 E + β 2 E =0 .
Remarque
Si l’on considère une propagation suivant l’axe des x, l’équation précédente devient :
∂2 E ∂2 E
∇2 E = 2 ⇒ 2 + β 2 E =0
∂x
∂x
C’est une équation différentielle dont la solution est de la forme suivante :
E = E0 u1 exp j(ωt − βx )+ E0 u2 exp j(ωt + βϕ )
Où E0 u1 exp j(ωt − β x ) est une onde se déplaçant vers les x > 0 ;
Et E0 u2 exp j(ωt + βϕ ) est une onde progressive vers les x < 0.
VI. CARACTERISTIQUES DES ONDES PLANES
Dans tout ce paragraphe on supposera une propagation des ondes suivant la direction des x
positifs.
1. Onde transverse
l’équation de MG est : divE =
ρ
ε
En général les milieux où se propagent les ondes sont électriquement neutres, on pose ρ =0 :
Alors,
divE = ∂Ex + ∂E y + ∂Ez =0 (1)
∂x ∂y ∂z
pour simplifier, considérons une propagation suivant un seul axe, celui des x.
par conséquent nous avons
∂ = ∂ =0
∂y ∂z
l’équation (1) devient
∂Ex =0
∂x
on obtient par la suite que
Ex =Cte
donc Ex(x )=Cte
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D’autre part,
l’équation de propagation de E suivant x s’écrit
∂2 E
∂2 E
=
ε
µ
∂x 2 0 0 ∂t 2
posons E = Ex ux + E y u y + Ez uz
∂2 E ∂2
∂2
(Ex ux + Ey uy + Ez uz )
=
(
E
u
+
E
u
+
E
u
)
=
ε
0 µ0
z
z
x
y
x
y
∂x 2 ∂x 2
∂t 2
Suivant ux, on obtient :
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
(1)
0 µ0
=
ε
∂x 2
∂t 2
Suivant uy, on obtient :
∂2 Ey
∂2 Ey
=
ε
0 µ0
∂y 2
∂t 2
Suivant uz, on obtient :
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
0 µ0
=
ε
∂z 2
∂t 2
on peut écrire
Vu que Ex(x )=Cte , l’équation (1) devient :
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
=
ε
=0
0 µ0
∂x 2
∂t 2
soit
∂ 2 Ex
=0
∂t 2
La solution de cette équation est
Ex(t )= At + B
ou bien Ex(t )=Cte
La première est une solution mathématiquement juste, mais physiquement impossible, car un
champ qui croîtrait de lui même indéfiniment avec le temps sans raison n’existe pas.
Par conséquent, vu que Ex(x) = Cte et Ex(t) = Cte, on peut établir que :
Ex(x,t) = Cte
Ou bien Ex(x,t) =0.
Vu que dans la propagation des ondes les grandeurs constantes,
donc statiques, sont négligées et posées égales à zéro.
Remarque :
on peut également démontrer que H x(x,t )=0
Conclusion :
La composante du champ électromagnétique suivant
la direction de propagation (Ex, Hx) étant nulle, l’onde
plane est située dans le plan YOZ et donc
perpendiculaire à la direction de propagation OX :
l’onde plane est transverse.
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Y
Onde
plane
n = ux
X
E = E y u y + Ez uz
H = H y u y + H z uz
Z
Figure 10
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2. Impédance caractéristique
Pour simplifier, supposons toujours une propagation suivant l’axe des x > 0, on peut alors
poser
E = f t− x , H =g t− x
v
v
∂ = ∂ =0 et
∂y ∂z
Ex = 0
( )
( )
l’équation de MF est :
rotE =−µ0 ∂H
∂t
ux u y uz
rotE =∂ ∂x 0 0 =−u y ∂Ez + uz ∂E y 
∂x
 ∂x 
0 E y Ez
( )
d’autre part
− µ0 ∂H =−µ0 ∂H y u y −µ0 ∂H z uz
∂t
∂t
∂t
on obtient alors
∂Ez =µ0 ∂H y (a)
∂t
∂x
et
∂Ey =−µ0 ∂H z (b)
∂x
∂t
Par ailleurs
A partir de l’équation de MA rotH =ε 0 ∂E nous obtenons ce qui suit :
∂t
ux uy uz
rotH =∂ ∂x 0 0 =−u y ∂H z + uz ∂H y 
∂x
 ∂x 
0 H yHz
( )
ε 0 ∂E =ε 0 ∂E y uy +ε 0 ∂Ez uz
∂t
∂t
∂t
on a alors
∂H z =−ε ∂E y (c)
0
∂x
∂t
et
∂H y =ε ∂Ez (d)
∂x 0 ∂t
( )
Si on pose Ey = f1 t − x , l’équation (c) donne :
v
∂E y = ∂f1(u )= ∂f1(u ) ∂u = f ' (u )=− 1 ∂H z
∂t
∂t
∂u ∂t 1
ε 0 ∂x
donc
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Propagation du champ électromagnétique
H z =∫ −ε 0 f1 ' (u )dx
du =− 1⇒dx=−vdu
dx v
on arrive alors à
H z =−ε 0(−v )∫ f1 ' (u )du =ε 0 v f1(u )+Cte=ε 0v f1(u )
soit donc
H z =ε 0 vEy
et
E y = E y = 1 = ε 0 µ0 = µ0 =Z
ε0 0
H z ε 0 vE y ε 0 v
ε0
d’où
Ey =Z
Hz 0
( )
Si on pose Ez = f2 t − x , l’équation (d) donne :
v
(
)
(
)
∂Ez = ∂f 2 u = ∂f 2 u ∂u = f ' (u )= 1 ∂Hy
∂t
∂t
∂u ∂t 2
ε 0 ∂x
H y = ∫ε 0 f 2 ' (u )dx
comme dx = −vdu
il vient
H y =−ε 0 v∫ f 2 ' (u )du =−ε 0v f 2(u )+Cte=−ε 0vf1(u )
soit H y =−ε 0 vEz
et
Ez = Ez =− 1 =− ε 0 µ0 =− µ0 =−Z0
ε0
H y −ε 0 vEz ε 0v
ε0
E z = −Z 0
Hy
Le rapport entre les modules de E et H vaut alors :
2
2
E y2 + Ez2
E = E y + Ez =
2
H
2
H y2 + H z2
− Ez
+ Ey
Z0
Z0
(
E=
H
) ( )
E y2 + Ez2
= 1 = Z0
1 (E y2 + Ez2 ) 1
Z0
Z2
0
Soit E = Z0 = µ0 ε 0
H
Unité de Z0
[Z 0 ] = [E ] = V / m = V = Ω
[H ] A / m A
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Propagation du champ électromagnétique
Z0 est appelée "Impédance caractéristique" du milieu dans lequel se déroule la propagation
des ondes.
Pour le vide, air : Z 0 = 120π
3. E ⊥ H
Considérons toujours une propagation suivant l’axe des x positifs, donc on a :
- vecteur de propagation n=ux
- Ex =0
- E = E y u y + Ez uz
( )
E 
E.H = E y H y + Ez H z = E y Ez + Ez y =0
− Z0
 Z0 
Conclusion: les champs électrique E et magnétique H sont perpendiculaires entre eux.
4. Direction de propagation
Calculons E ^ H
ux u y uz ux u y
uz
E ∧ H = 0 E y E z = 0 Z 0 H z − Z0 H y
0 H yHz 0 H y Hz
soit
E ∧ H =ux (Z0 H z2 + Z0 H y2 )=Z0 H 2ux
comme ux =n , on peut écrire :
E ∧ H = Z0 H 2 n
Conclusion : le produit vectoriel de E par H donne la direction de propagation.
VII. PROPAGATION DANS UNE DIRECTION QUELCONQUE
Quand la propagation se fait suivant l’axe
des x, le champ E de l’onde s’exprime par :
E = E0 u exp j(ωt − β x )
Suivant OM, le champ E s’écrit :
E(M )= E0 u exp j(ωt − β OM ) ;
comme il s’agit d’un même plan d’onde,
le champ est le même sur tout le plan :
E(M )= E(P )
Vu que
OM =n.OP =n.r
soit donc
E(P )= E0 u exp j(ωt −β n.r )
y
Sens de propagation
P
M
r
Onde
plane
n
x
O
z
Figure 11
On déduit que l’expression du champ se propageant suivant une direction quelconque n est :
E(P )= E0 u exp j(ωt −β n.r )
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Propagation du champ électromagnétique
VIII. VITESSE ET LONGUEUR D’ONDE
1. Vitesse de phase
Dans une onde plane considérée à un instant t, les modules de E et H ainsi que la phase ϕ sont
constants ;
On peut donc poser que la phase ϕ est constante :
ϕ =ωt − β x=Cte
soit
d(ωt −β x )=0⇒ωdt − β dx=0
d’où
dx =v= ω
β
dt
Vitesse de groupe
La vitesse définie auparavant v = ω / β est appelée vitesse de phase. En réalité, l’onde qui
possède une longueur d’onde et une fréquence unique n’est pas capable de transmettre un
signal, car un signale implique quelque chose qui commence à un instant et qui se termine à
un instant ultérieur, qu’on appelle Pulse (Figure).
La vitesse à laquelle le signal est transmis est la vitesse avec laquelle se propage la Pulse.
vg
X
Figure 12
Le pulse n’est pas sinusoïdal puisque son amplitude n’est pas constante le long de l’axe des X.
nous devons donc faire une analyse de Fourrier et nous devons donc examiner la situation
plus soigneusement.
2. Fréquence d’onde
ϕ =ωt −β x
Phase dans le temps : ϕ(t )=ωt
Pour t = T,
avec T période dans le temps
on écrit :
ω T = 2π
soit
T = 2π (1)
ω
3. Longueur d’onde
Phase dans l’espace : ϕ(x )=β x
Pour x = λ
Avec λ période dans l’espace ou longueur d’onde
on écrit :
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Propagation du champ électromagnétique
βλ =2π
soit
λ = 2π (2)
β
En combinant les équations (1) et (2), on obtient :
ωT =βλ
d’où
ω =λ
β T
comme ω =v et 1 = f , on déduit la relation suivante :
β
T
v=λf
EXERCICE
On considère dans le vide une onde plane, dont le champ électromagnétique est exprimé par :
E = E0 u y cos(ωt −β x) et H = H0 uz cos(ωt − β x)
Tracer l’onde aux instants ωt=0 et ωt=π/2.
Solution
y
λ
λ
E1
E2
E3
x
H3
H2
H1
y
z
λ
λ
E1
E2
E3
x
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H3
H2
H1
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Propagation du champ électromagnétique
Y
Sens de propagation
E
X
Z
H
Figure 14
Le champ électrique oscille dans le plan XY et le champ magnétique dans le plan XZ. Ceci
correspond à une onde polarisée linéairement, c’est à dire dans un plan. Le plan de
polarisation est défini comme le plan dans lequel oscille le champ électrique, en ce cas le plan
XY.
Remarque : il existe un autre type de polarisation : la polarisation circulaire.
Remarque : à côté des ondes planes, les équations de Maxwell admettent également pour
solution des ondes électromagnétiques cylindriques ou sphériques. A grande distance de la
source, une portion limitée de l’onde cylindrique ou sphérique peut pratiquement être
considérée comme plane.
IX. PROPAGATION DE L’ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
Une onde électromagnétique transporte de l’énergie.
Surface d’onde
E
E
H
Direction de
propagation
H
X
Définition de la direction d’écoulement de l’énergie
dans une onde électromagnétique
Figure 15
Rappel
Tout champ électrique E possède une énergie de densité we = 1 ε 0 E 2 ;
2
et tout champ magnétique H possède une énergie de densité wm = 1 µ0 H 2 .
2
Energie transportée par l’onde
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Propagation du champ électromagnétique
E
n
Volume V
H
Figure 16
Considérons l’équation de M.A :
rotH = J +ε 0 ∂E ;
∂t
dans le vide , on pose J =0 :
rotH =ε 0 ∂E ⇒
∂t
E rotH =ε 0 E ∂E
∂t
comme div(E ∧ H )= H rotE − E rotH
vient E rotH = H rotE −div(E ∧ H )
soit E ε 0 ∂E = H −µ0 ∂H −div(E ∧ H )
∂t
∂t
d’où
∂E 2 1 ∂H 2
−div(E ∧ H )= 1 ε 0
+ µ
2 ∂t 2 0 ∂t
−div(E ∧ H )=ε 0 E ∂E + µ0 H ∂H
∂t
∂t
2
 1 ∂E 1 ∂H 2 
div
dv
−
∧
=
(
E
H
)
∫
∫ 2 ε0 ∂t + 2 µ0 ∂t dv
(
) (
)
( )
( )
on obtient ensuite
∫−(E ∧ H ).ds= ∂∂t ∫ 21ε0 E 2 + 21 µ0 H 2 dv
∫−(E ∧ H ).ds= ∂∂t (We +Wm )
(
)
Comme le terme ∂ (We +Wm ) représente l’augmentation de l’énergie électromagnétique dans le
∂t
volume V.
∫−(E ∧ H ).ds représente donc l’énergie électromagnétique transportée par l’onde entrant dans
le volume V
Remarques
• E ∧ H est appelé vecteur de Poynting (Flux d’énergie par unité de surface).
• ∫(E ∧ H ).ds représente l’énergie sortant de V.
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Propagation du champ électromagnétique
Rayonnement d’un dipôle électrique oscillant :
La source des ondes sonores est un certain corps vibrant tel que la membrane d’un tambour ou
la corde d’un violon. Dans le cas des ondes électromagnétiques, les sources des ondes sont de
toute évidence les mêmes que les sources du champ électromagnétique ; c’est-à-dire, les
charges en mouvement.
La diffusion contribue à réduire l’intensité de l’onde incidente parce que l’énergie absorbée
dans l’onde est réemise dans toutes les directions, ce qui produit une diminution effective de
l’énergie du rayonnement.
EXERCICE
Un conducteur cylindrique de résistivité ρ, de diamètre 2R est parcouru par un courant I
réparti uniformément dans la section. Comparer les pertes Joule et le flux du vecteur de
Poynting à travers la surface latérale.
Solution
La puissance dissipée dans le conducteur (Pertes Joule) est
P= RI 2
i
R
avec
R= ρ L et
S
I =∫ J dS = J S = J π R 2
j
L
2
soit P = ρ L (I ) = ρ L 2 I 2
πR
S
Le champ électrique dans le conducteur est celui de la loi
locale d’Ohm qui assure le mouvement des électrons :
E = J =ρ J
M
k
(S)
σ
où
σ=1
ρ
est la conductivité du conducteur
donc, le champ est uniforme, et vaut en tout point M de la surface latérale (S) du cylindre
E=
ρI
i
π R2
le champ magnétique est calculé par le théorème d’Ampère, en un point de (S) il vaut :
B=
µ0 I
j
2π R
le vecteur de Poynting sur la surface est
P=E ∧H =E ∧ B
µ0
soit
P=
2
ρI
I j =- ρ I k
i
∧
π R 2 2π R 2π 2 R 3
le flux de P entrant dans le cylindre par la paroi latérale est
φ = P.(−k)2πRL
soit
φ =ρ L 2 I 2
πR
Ce flux n’est autre que la puissance dissipée par effet Joule dans le volume du cylindre.
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20
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Propagation du champ électromagnétique
X. REFLEXION ET TRANSMISSION DES ONDES
1. Réflexion par un conducteur parfait
L’onde incidente est totalement réfléchie, il n’y a pas d’onde transmise à travers le
conducteur, car le champ électrique dans le conducteur est nul.
2. Réflexion par un diélectrique
Vu que le champ électrique pénètre à l’intérieur d’un diélectrique, contrairement à un
matériau conducteur, l’onde incidente donne naissance en plus de l’onde réfléchie à une onde
transmise.
y
y
Onde
incidente
Onde
incidente
Onde
réfléchie
Onde
transmise
Onde
réfléchie
x
Réflexion par un plan
conducteur parfait
x
z
Réflexion par un
diélectrique parfait
z
Figure 17
XI. ONDES GUIDEES
Soient P1 et P2 deux plans métalliques parallèles
L’onde qui entre à l’intérieur subit une succession de réflexions multiples puis sort de l’autre
côté : on dit que l’onde est guidée.
Sortie de l’onde
Entrée de l’onde
P1
n1 n2
Figure 18
Exemples de guide d’onde
• fibre optique :
c’est un tube métallique cylindrique
P2
Guide cylindrique
Figure 19
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Propagation du champ électromagnétique
Ionosphère
• Guide d’ondes radio :
Les ondes émises par la station radio sont réfléchies
d’une part par la surface de la terre et d’autre part par la
couche atmosphérique de l’ionosphère.
Emetteur
Globe
Terrestre
80 km
• Guide d’ondes TV par satellite :
Le satellite réfléchit vers la terre les ondes émises par
la station TV.
Figure 20
Réflexion et transmission :
Les directions des trois vecteurs ui, ur et ut sont liées entre elles par les lois suivantes,
vérifiées expérimentalement :
1) les directions d’incidence, de réflexion et de transmission sont contenues dans un
même plan normal à la surface de séparation.
2) L’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion, c’est-à-dire :
θi = θr
3)
sinθi vi
=
sinθ r vr
Supposons qu’une onde incidente soit écrite comme suit :
Ei = E0i sin(ω t − β ni .r ) ,
les ondes réfléchies et transmises sont :
Er = E0r sin(ω t − β nr .r )
et
Et = E0t sin(ω t − β nt .r )
dans le milieu (1) on trouve les ondes incidente et réfléchie, tandis que dans le milieu (2)
n’existe que l’onde transmise. On a alors à la surface de séparation
Ei + Er = Et (*)
Pour que cette relation soit satisfaite à chaque instant en tout point de la surface de séparation,
il faut que les phases soient identiques dans les équations (1), (2) et (3):
ωt – βi ni.r = ωt – βr nr.r = ωt – βt nt.r (**)
soit,
βi ni.r = βr nr.r = βt nt.r (4)
Comme l’indique la figure, la surface de séparation coïncide avec le plan XZ. L’égalité (4) ne
sera donc vérifiée qu’en posant y = 0. Par conséquent
r = x ux + z uz .
D’autre part, la direction d’incidence est contenue dans le plan XY, donc :
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Propagation du champ électromagnétique
ni = nix ux + niy uy.
β1 ni .r = β1 xnix (5)
Comme nr = nrx ux + nry uy + nrz uz
et
nt = ntx ux + nty uy + ntz uz
nous obtenons également
β1 nr .r = β1 xnrx + β1 z nrz (6)
et
β 2 nt .r = β 2 xntx + β 2 z ntz (7)
en remplaçant les équations 5, 6 et 7 dans l’équation 4, on obtient :
β1 nix = β1 nrx = β 2 ntx et β1 nrz =β 2 ntz =0
le second groupe d’équations indique que les vecteurs nr et nt n’ont pas de composante
suivant l’axe des Z. les rayons incident, réfléchi et transmis sont donc dans un même plan.
C’est la loi (1) énoncée précédemment.
Nous voyons ensuite sur la figure que :
ni = ux sinθi +
; nr = ux sinθr +
; nt = ux sinθt +
le premier groupe d’équations devient alors :
β1 sinθi =β1 sinθr = β 2 sinθt
et comme par ailleurs :
β1 = ω et β2 = ω
v1
v2
on obtient après simplification par ω
1 sinθi = 1 sinθr = 1 sinθt
v1
v1
v2
on déduit alors :
sinθi =sinθr , c’est-à-dire θi =θr
et
sinθi v1
=
sinθt v2
nous retrouvons donc, sous une forme plus analytique, les lois (2) et (3) de la réflexion et la
transmission.
Si l’équation (**) est satisfaite, l’équation (*) devient :
E0i + E0r = E0t
Qui est une relation entre les amplitudes des trois ondes.
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23
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Propagation du champ électromagnétique
XII. SPECTRE DU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE
Spectre du rayonnement électromagnétique
La classification usuelle du spectre électromagnétique est la suivante :
1) Ondes radio et TV
la fréquence f s’étend de quelques kHz à 109 Hz ;
la longueur d’onde λ s’étend de quelques km à 0,3m.
Energie des photons est comprise entre 0 et 10-5 eV.
Les ondes qui sont utilisées pour les transmissions radio et la télévision sont produites par des
dispositifs électroniques, essentiellement des circuits oscillants.
2) Micro-ondes
f : de 109 à 3.1011 Hz ;
λ : de 0,3 à 10-3 m;
-5
-3
W : de 10 à 10 eV.
Ces ondes sont utilisées dans les radars et d’autres systèmes de communication, mais aussi
dans l’analyse de détails très fins des structures atomiques et moléculaires.
Cette région des micro-ondes est également désignée par le sigle UHF (Ultra - HauteFréquence par rapport aux fréquences Radio).
3) Le spectre infrarouge
λ : de 10-3 à 7,8.10-7 m ;
f : de 3.1011 à 4.1014 Hz ;
W : de 10-3 à 1,6 eV.
Ces ondes sont produites par les molécules et les corps chauds. Elles ont de nombreuses
applications dans l’industrie, la médecine, l’astronomie.
4) Spectre visible (lumière)
λ : de 7,8.10-7 à 3,8.10-7 m;
f : de 4.1014 à 8.1014 Hz ;
W : de 1,6 à 3,2 eV.
C’est une bande étroite formée par les longueurs d’onde auxquelles notre rétine est sensible.
La lumière est produite par le mouvement des atomes et des molécules par suite des
réajustements internes du mouvement des composants, principalement des électrons.
En raison des similitudes dans le comportement des régions infrarouge et ultra-violette du
spectre, le domaine de l’optique les inclut également en plus du spectre visible.
Les différentes couleurs que la lumière produit sur l’œil, dépendent de la fréquence ou de la
longueur d’onde du rayonnement :
Couleur
Violet
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
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Longueur d’onde
λ (m)
3,90 à 4,55. 10-7
4,55 à 4,92. 10-7
4,92 à 5,77. 10-7
5,77 à 5,97. 10-7
5,97 à 6,22. 10-7
6,22 à 7,80. 10-7
24
Fréquence
f (Hz)
7,69 à 6,59. 1014
6,59 à 6,10. 1014
6,10 à 5,20. 1014
5,20 à 5,03. 1014
5,03 à 4,82. 1014
4,82 à 3,84. 1014
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Propagation du champ électromagnétique
5) Rayons Ultra-violets
λ de 3,8.10-7 à 6.10-10 m ;
f : de 8.1014 à 3.1017 Hz ;
W : de 3 à 2.103 eV.
Ces ondes sont générées par des sources chaudes, mettant en jeu des énergies élevées, telles
que le soleil ou les décharges électriques. Vu que certains micro-organismes qui absorbent le
rayonnement UV sont détruits, ces ondes sont utilisées dans certaines applications médicales
et certains procédés de stérilisation.
Le rayonnement ultra-violet du soleil interagit également avec les atomes de la haute
atmosphère, produisant ainsi de nombreux ions. Ceci explique pourquoi la haute atmosphère à
des altitudes supérieures à 80 km est fortement ionisée, on l’appelle pour cette raison
l’ionosphère.
6) Rayons X
f : de 3.1017 à 5.1019 Hz ;
W : de 1,2.103 à 2,4.105 eV..
λ : de 10-9 à 6 10--12 m ;
La méthode la plus commune de production des rayons X consiste à accélérer un faisceau
d’électrons par un potentiel de plusieurs kV et qui tombe sur une plaque métallique.
Sont dangereux, sont utilisées par exemple en radioscopie, mais pendant une durée très brève.
L’absorption relativement plus grande des os par rapport au tissu permet une « photographie »
précise. Les rayons X sont utilisés dans le traitement du cancer, dans la mesure où ils
semblent avoir tendance à détruire les tissus malades plus rapidement que les tissus sains.
7) Rayons γ
f : de 3.1018 à 5.1022 Hz ;
λ : de 10-10 à 6 10--14 m ;
4
7
W : de 10 à 10 eV.
D’origine nucléaire, produits par les corps radio-actifs et sont présents dans les réacteurs
nucléaires ; l’absorption des rayons γ peut donc produire des modifications à l’intérieur du
noyau.
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