un cours sur les fonctions spéciales

Michèle Audin
UN COURS SUR
LES FONCTIONS SPÉCIALES

Michèle Audin
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Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin
Version préliminaire du 26 novembre 2012

UN COURS SUR LES FONCTIONS SPÉCIALES
Michèle Audin

TABLE DES MATIÈRES
I. Introduction, sources et sommaire........................................................ 7
Ce qu’il est impossible de ne pas savoir si l’on veut suivre ce cours : convergence d’une suite de
fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ce qu’il est impossible de ne pas savoir si l’on veut suivre ce cours : fonctions définies par une
intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Ce qu’il faudrait savoir avant de suivre ce cours : les grands théorèmes sur les fonctions d’une
variable complexe........................................................................ 9
Mise en place d’autres outils................................................................... 11
Les fonctions « spéciales » étudiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Quelques théorèmes obtenus................................................................... 13
Exercices de «révision»....................................................................... 14
Autour de ζ(2n)............................................................................... 16
II. Notes sur la fonction Γ.................................................................... 19
II.1. La fonction Γcomme fonction de variable réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.2. La fonction Γcomme fonction de variable complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercices sur la fonction Γ..................................................................... 27
III. Notes sur les fonctions elliptiques...................................................... 31
III.1. Réseaux dans C......................................................................... 31
III.2. La fonction ℘de Weierstrass............................................................ 32
III.3. Corps des fonctions elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.4. Changer de réseau....................................................................... 35
III.5. Opération du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.6. Réseaux et fonctions elliptiques, le retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III.7. Intégrales elliptiques..................................................................... 41
Exercices sur les fonctions elliptiques.......................................................... 42
Exercices sur le demi-plan de Poincaré, le groupe modulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
IV. Appendice, les produits infinis.......................................................... 49
IV.1. Produits infinis de nombre complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV.2. Produits infinis de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
IV.3. Exemple, développement de la fonction sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercices...................................................................................... 52
V. Notes sur les séries de Dirichlet......................................................... 53
V.1. Demi-plans de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
V.2. Développement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
V.3. Séries de Dirichlet à coefficients périodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
V.4. La fonction ζde Riemann................................................................ 58
V.5. Le théorème des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercices sur les séries de Dirichlet............................................................ 69