Correction du devoir de sciences physiques

T Ba MSMA 14 octobre 1999
PhG-Physique
z0
0
zsurface
libre
2 R
diamètre 2R et section S
diamètre d et section s
DEVOIR DE SCIENCES PHYSIQUES
Les horloges à eau ou clepsydres permettent de mesurer le temps en utilisant l'écoulement d'un
fluide. Elles sont apparues 3000 ans avant J.-C en Égypte ; elles étaient destinées, entre autre, à
«conserver» l'heure pendant la nuit. La précision était bien sûr très faible.
L'objet de ce devoir est de déterminer la durée de vidange d'un récipient de section constante et
de discuter des pertes liées à la viscosité.
On étudie la vidange d’un réservoir de section circulaire
constante S et de rayon R = 0,25 m.
Le réservoir contient de l’eau et se vide par un orifice
circulaire de section s placé au fond du réservoir.
La hauteur de la surface libre est notée z, l'origine étant
choisie à la base du récipient.
A l’instant initial t = 0, la vidange commence pour une
hauteur d'eau initiale z0 = 50 cm.
I- Pour un fluide parfait, incompressible, en écoulement permanent dans le champ de
pesanteur terrestre, le théorème de Bernoulli énonce que la quantité v 2
2g + p
g + z est une
constante le long d’une ligne de courant.
On prendra pour l'accélération gravitationnelle g = 9,8 m.s – 2 et pour la masse volumique
de l'eau  = 1000 kg.m – 3. On pourra noter pa la pression atmosphérique.
1- En appliquant le théorème de Bernoulli et en négligeant le mouvement de la surface
libre, montrer que la vitesse initiale v0 (c'est à dire à t = 0) du fluide à la sortie de l’orifice
s’écrit : v0 =
0
zg2
Formule de Torricelli
2- En déduire l’expression du débit volumique initial Q0.
3- Calculer la vitesse initiale v0 de l'eau à 10 – 1 près, pour une hauteur d'eau initiale de 50 cm.
4- Calculer la valeur numérique du débit volumique initial Q0.
On donne s =  d2
4 où d représente le diamètre de l’orifice d = 0,5 cm.
II- On prend en compte le mouvement de la surface libre du liquide.
On désigne par V0 la vitesse initiale d’un point de la surface libre et par v’0 la vitesse initiale
du fluide à la sortie de l’orifice lorsqu’on tient compte du mouvement de la surface libre.

1- En utilisant la conservation du débit volumique, exprimer V0 en fonction de S, v’0 et s.
2- En appliquant le théorème de Bernoulli, écrire l’expression de v’0 en fonction de V0 et z 0.
3- Montrer, à l'aide de la formule de Torricelli, v0 =
0
zg2
, que l'expression de v'0 en
fonction de v0 est : v'0 =
2
2
0
S
s
1
v
.
4- Déterminer numériquement le rapport v’0 – v0
v0 et en déduire que l'on peut identifier v'0 à v0.
On donne S =  R2 avec R = 0,25 m.
III- On se propose d’effectuer une détermination de la durée de la vidange du réservoir.
On suppose que le débit volumique Q0 est égal à 6,1 10 – 5 m 3.s – 1 pendant toute la vidange.
1- Déterminer la durée  de la vidange.
2- Commenter l’hypothèse faite pour cette détermination.
La durée réelle de la vidange sera-t-elle plus grande ou plus petite que  
IV- A la sortie de l’orifice, on adjoint un coude à 90° suivi d'un tuyau horizontal rigide de
diamètre intérieur d et de longueur L. d = 0,5 cm L = 1,5 m
On prend en compte les effets liés à la viscosité de l’eau, les pertes de charge, singulière dans
le coude, et régulière dans la partie linéaire du tuyau.
Le débit QS à la sortie du tuyau horizontal est : QS = 15,7 cm 3.s – 1.
1- Calculer la vitesse VS de l’eau à la sortie du tuyau.
2- Déterminer le nombre de Reynolds Re pour de l'eau et qualifier le type d'écoulement.
3- Calculer le total des pertes de charge p =
2
V
d
L
05,03,1 2
S
en Pa
Données Coefficient de viscosité cinématique = en m 2.s – 1
À 20°C, le coefficient de viscosité dynamique de l'eau est : eau = 10 – 3 Pl
Nombre de Reynolds Re =
dv
(nombre sans dimension)
Écoulement laminaire
Re < 1600
Écoulement transitoire
1600 < Re < 2300
Écoulement turbulent
Re > 2300

T Ba MSMA 14 octobre 1999
PhG-Physique
Correction du devoir de sciences physiques
I- 1- On applique le théorème de Bernoulli entre la surface libre et l'orifice :
V0 2
2g + pa
g + z0 = v02
2g + pa
g + 0 Le mouvement de surface est négligeable V0
0
d'où : z0 = v02
2g et v0 =
0
zg2
2- Débit pour un écoulement permanent : Q0 = s.v0
3- v0 =
0,59,82 
v0 = 98 v0 3,1 m.s – 1
4- s =  d2
4 s =  (0,5.10 – 2)2 4 s
19,6 mm2
Q0 19,6.10 – 6 3,1 Q0 61.10 – 6 m3.s – 1
II- 1- S V0 = s v'0 d'où : V0 = s
S
v'0
2- V0 2
2g + pa
g + z0 = v '02
2g + pa
g + 0 d'où v '02 = V02 + 2 g z0
3- v0 =
0
zg2
d'où v '02 = V02 + v02
et avec V0 = s
S
v '0 on obtient : v '02 = ( s
S
v '0 )2 + v02 soit v '02 –
2
S
s
v '02 = v02
et v '02 
1 – s 2
S 2 = v02 et finalement : v'0 =
2
2
0
S
s
1
v
.
4- v’0 – v0
v0 =
2
2
0
S
s
1
v
- v0
v0 v’0 – v0
v0 =
1
S
s
1
1
2
2
S =  R2 avec R = 0,25 m S 0,196 m2 v’0 – v0
v0 = 5.10 – 9
v0 3,13049 m/s v '02 3,132 m/s La correction est donc négligeable.
III- 1- Q0 = V
 avec V = S
z0 et S =  R2 pour R = 0,25 m S 0,196 m2
V 0,196 0,5 V 0,098 m3
 = V
Q0 
Error!
1610 s
2- Le débit diminue au cours du temps car la hauteur d'eau dans le réservoir diminue.
La durée réelle de la vidange est donc plus grande.
IV- Tuyau horizontal rigide de diamètre intérieur d et de longueur L : d = 0,5 cm, L = 1,5 m
Le débit QS à la sortie du tuyau horizontal est : QS = 15,7 cm 3.s – 1.
1- VS = QS
s VS
Error!
VS 0,8 m.s – 1

La vitesse est beaucoup plus faible qu'avec l'hypothèse du fluide parfait.
2- Re =
dv
avec =  eau = 10 – 3 Pl et eau = 1000 kg.m – 3
Le coefficient de viscosité cinématique de l'eau est : = 10 – 3
10 3 = 10 – 6 m 2.s – 1
Re =
Error!
Re = 4000 L'écoulement est donc turbulent.
3- Total des pertes de charge p =
2
V
d
L
05,03,1 2
S
en Pa
p =
2
8,010
10.5,0 5,1
05,03,1 23
2
 p = 5216 Pa
Si on prend en compte les effets liés à la viscosité de l'eau, dans un tuyau, la charge totale
moyenne P dans une section est donnée par la relation : P =  g h + p +   VS2
2
ou  est une constante.  = 1,1
Pour des faibles débit, le régime est laminaire et la loi de Poiseuille s'écrit : P = k Q avec k = 128
 L 1
d4
Le coude à 90° introduit une perte de charge singulière K  VS2
2 K = 0,2
et la partie linéaire du tuyau une perte de charge régulière  L
d  VS2 2  = 0,05
Si la charge totale H est exprimée en hauteur : H = h + p
 g +  VS2
2 g
Le coude à 90° introduit une perte de charge singulière K VS2
2 g
et la partie linéaire du tuyau une perte de charge régulière  L
d VS2 2 g .