Principe de l`horloge à eau

d’après “Concours général de physique” session 1997
série “Sciences et technologie de laboratoire”
Principe de l’horloge à eau
Les horloges à eau ou clepsydres permettent de mesurer le temps en utilisant l’écoulement d’un
fluide. Elles sont apparues 3000 ans avant J.C en Égypte ; elles étaient destinées, entre autre, à
“conserver” l’heure pendant la nuit. La précision de ces appareils était bien sûr très faible.
L’objet de cette étude est de déterminer la durée de la vidange d’un récipient de section constante et
enfin de discuter des pertes liées à la viscosité du fluide.
I- Préliminaire
Il y a 5000 ans, comment pensez-vous qu’opéraient les égyptiens pour connaître l’heure pendant
la journée ?
II- Durée de vidange d’un réservoir à section constante
On étudie la vidange d’un réservoir de section circulaire constante
S0 et de rayon R. Il contient de l’eau et se vide par un orifice
circulaire, placé au fond du réservoir, de section s. La hauteur de la
surface libre est notée z, l’origine est la base de l’orifice.
A l’instant t = 0, la hauteur d’eau est z0 et la vidange commence.
On supposera que S0 est très grande devant s : S0 >> s.
1- Pour un fluide parfait, incompressible, en écoulement permanent dans le champ de pesanteur
terrestre, le théorème de Bernoulli énonce que la quantité v2/ 2g + p/g + h est une constante le
long d’une ligne de courant.
On prendra g = 9,8 m.s1 et  = 1000 kg.m-3 pour la masse volumique de l’eau et on pourra
noter pA la pression atmosphérique.
a) En appliquant le théorème de Bernoulli et en négligeant le mouvement de la surface libre,
montrer que la vitesse initiale vo (c’est à dire à t = 0) du fluide à la sortie de l’orifice s’écrit :
vo = 2gz0 (formule de Torricelli).
Calculer numériquement cette grandeur pour z0 = 0,5 m.
b) En déduire l’expression et la valeur numérique du débit volumique initial qV0.
On donne s =  d2
4 où d représente le diamètre de l’orifice ; d = 0,5 cm.
2- On prend en compte le mouvement de la surface libre. On désigne par V0 la vitesse initiale
d’un point de la surface libre et par v’0 la vitesse initiale du fluide à la sortie de l’orifice
lorsqu’on tient compte du mouvement de la surface libre.
a) En utilisant la conservation du débit volumique, établir une relation entre V0, S0, v’0 et s.
b) En appliquant le théorème de Bernoulli, déduire l’expression de v’0 en fonction de s, S0 et v0
z
0

d’après “Concours général de physique” session 1997
série “Sciences et technologie de laboratoire”
c) Déterminer numériquement le rapport v’0 – v0
v0.
Est-il nécessaire de tenir compte du mouvement de la surface libre ?
On donne S0 =  .R2 avec R = 0,25 m.
3- On se propose d’effectuer une détermination de la durée de la vidange du réservoir. Pour cela
on suppose que le débit volumique est le même à tout instant et est égal à qV0 pendant toute la
vidange.
a) Déterminer la durée  de la vidange.
b) Commenter l’hypothèse faite pour cette détermination. La durée réelle de la vidange
sera-t-elle plus grande ou plus petite que  
III- Étude des pertes liées à la viscosité de l’eau
Le dispositif précédent est compléter par un dispositif annexe qui maintient la hauteur de la
surface libre constante.
A la sortie de l’orifice, on adjoint un tuyau rigide de diamètre intérieur d ; il se compose d’un
coude à 90° suivi d’une partie horizontale de longueur L.
On prend en compte les effets liées à la viscosité de l’eau dans la partie linéaire du tuyau et on
néglige les autre pertes de charge.
La partie linéaire du tuyau introduit une perte de charge régulière  L
d VS2 2g ou est une constante
sans unité.
1- A l’aide du théorème de Bernoulli, donner une expression littérale de la vitesse moyenne VS de
l’eau à la sortie du tuyau.
2- Calculer numériquement cette vitesse en prenant: z0 = 0,5 m L = 1,5 m
d = 0,5 cm 
3- Comparer cette vitesse avec celle calculé à la question I- 1- a).
4- Déterminer le nombre de Reynolds relatif à l’eau avec  = 10-1 Pl et qualifier le type
d’écoulement.