Exemple de la création d`une oscillation avec un circuit RLC (manip

Sinusoïdal
Cours
Prérequis sur les complexes :
- coordonnées algébriques : z=a+ib représentation dans le plan complexe
- coordonnées trigonométriques : z=[;] avec =|z| (module) et =arg(z) (argument)
- passage de trigonométrique à algébrique : a=cos et b=sin
- passage d’algébrique à trigonométrique : = a²+b² et cos=a/ si b>0 et a/ si b<0
- somme de complexes : loi des mailles u=u1+u2 , déterminer U.
- produit de complexes : U=ZI, déterminer U. Retrouver I.
I- Grandeurs sinusoïdales
1/ Définition : sinusoïde ne passant pas par zéro
Fonction : u(t)=Ûsin(t+u) avec u la phase à l’origine en rad et f, la pulsation en rad/s
Rappel : <u>=0 et U=U/ 2 mesurée avec un voltmètre quelconque en mode alternatif (~ ; AC).
2/ Autres représentations mathématiques
Vecteur de Fresnel : à u on peut associer U tel que ||U||=U et d’angle égal à u
Somme de sinus : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/repfresn.html
Représentation complexe : à u on peut associer un complexe U=[U ;u] ; |U|=U ; argU=u
3/ Déphasage
A une durée correspond un angle T360°(2rad) ; 
Le déphasage entre deux signaux est l’angle correspondant à la durée séparant les 2 sinusoïdes.
On note , le déphasage de u par rapport à i : =ui= avec  le décalage temporel entre u et i (si u
avant i alors >0 sinon <0). =(I,U) courbes u et i
II- Dipôles linéaires en régime sinusoïdal
1/ Impédance et admittance
Z=U/I en convention récepteur
Z=[Z;] avec Z=|Z| (valeur de l’impédance U/I en ) et =argZ (déphasage de la tension par rapport à
l’intensité engendré par l’impédance)
Admittance Y=1/Z=I/U
Remarque : =0 résistif, >0 inductif et <0 capacitif
2/ Cas des dipôles linéaires élémentaires
loi
impédance complexe
admittance complexe
résistor
u=Ri
[R;0]=R
[1/R;0]=1/R
bobine idéale
u=Ldi/dt
[L;90°]=jL
[1/L;–90°]=1/jL
condensateur idéal
i=Cdu/dt
[1/C;–90°]=–j/C=1/jC
[C;90°]=jC
En très basse fréquence la bobine comme un fil, le condensateur comme un circuit ouvert et en très haute
fréquence c’est l’inverse.
3/ Association de dipôles
Même relation qu’en continu : les résistances sont remplacées par des impédances en sinusoïdal.
Exemple de la création d’une oscillation avec un circuit RLC (manip synchronie):
Association série, déterminer l’impédance puis la fréquence d’oscillation (le circuit se place naturellement
à la fréquence la plus favorable, celle de résonance c’est-à-dire pour laquelle le courant le plus facilement
avec une impédance minimale).
Association parallèle, de même.

4/ Modèles série ou parallèle : à archiver dans la calculatrice
Bobine : modèles // et série
modèle série : Z=Rs+jL  facteur de qualité Qs= L/Rs
modèle parallèle : Y=1/Rpj/L  facteur de qualité Qp= Rp/L
LsLp  QsQp Q²=Rp/Rs
Condensateur : de même : Q=X/R=B/G=(1/RsC)= RpC
III- Modèles de Thévenin et de Norton
1/ Sources de tension et de courant symboles
une source de tension fournit une tension indépendante de l’intensité
une source de courant fournit une intensité indépendante de la tension
2/ Thévenin
Tout dipôle actif linéaire peut se mettre sous la forme du modèle ci-dessous.
Eth, Zth schéma
Avec Eth la tension à vide aux bornes du dipôle actif et Zth l’impédance équivalente lorsque toute les
sources sont passives (« éteintes »).
Exemple :
exprimer UAB en fonction de E,R,Ru,C
retrouver les éléments sur une droite
tableau batterie (manip mesure avec rhéostat 10)
Exemple : pile
Pile
modèle
COMPOSANTS
I (A)
U (V)
Um(V)
0
4,52
4,52
Eth=4,52V
0,106
4,38
4,4373
0,184
4,32
4,3765
0,245
4,26
4,3289
0,3
4,2
4,286
0,443
4,1
4,1745
0,68
3,92
3,9896
1,05
3,67
3,701
1,6
3,3
3,272
C
Ru
R
R
E
A
B

Caractéristique tension courant
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,5 1 1,5 2
I(A)
U(V)
3/ Norton
IN, YN schéma
IN=Icc intensité de court-circuit du dipôle actif
YN est l’admittance équivalente lorsque toute les sources sont passives (« éteintes »).
4/ Relations entre les modèles
Zth=1/YN c’est donc la même chose
Eth=ZthIN
Exemple :
IV- Puissances en sinusoïdal
1/ Puissance instantanée : p = ui en watts (W) on prend i=I 2 sin(t) et u=U 2 sin(t+) avec =(I
,U)
En convention récepteur p est la puissance reçue (le dipôle fonctionne en récepteur si p>0 et en
générateur si p<0). En convention générateur c’est l’inverse.
2/ Puissance active : P = <ui> = UI cos
3/ Puissance réactive (n’est définie qu’en sinusoïdal) : Q = UI sin en volt.ampères réactifs (var)
4/ Puissance apparente et facteur de puissance : S=UI et P=UIcos  k =P/S= cos
5/ Relations entre les puissances (se déduisent du triangle des puissances)
S² = P²+Q² et tan = Q/P
6/ Théorème de Boucherot
R
E
A
B
S
P
Q

Les puissances active et réactive absorbées par une association quelconque de dipôles sont égales à la
somme des puissances actives et réactives absorbées par ces dipôles.
Exemple : P = P1 + P2 + P3 et Q = Q1 + Q2 + Q3 S= P²+Q²
u1
D1
i
u2
D2
D3

Exercices de première
Exercice 1 : grandeurs sinusoïdales
1/ Placer les voies de l’oscilloscope afin de visualiser u et i du dipôle D.
On obtient les courbes ci-dessous :
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2/ Donner <u> et <i>.
3/ Déterminer la période.
En déduire la fréquence et la pulsation.
4/ Déterminer la valeur maximale de u et de i.
En déduire les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité.
5/ Déterminer le déphasage 
de la tension par rapport à l’intensité.
6/ On prendra U=3,5V ; I=5,7mA ; i=0 ; u=60°. Donner les expressions temporelles de u(t) et i(t) puis les
expressions complexes de U et I. En déduire l’impédance Z=U/I.
t(ms)
u(V) en trait plein
i(mA) en pointillés
ugén
i
u
R
D
R =1k.
uR