Exemple de la création d`une oscillation avec un circuit RLC (manip

Sinusoïdal
Cours
Prérequis sur les complexes :
- coordonnées algébriques : z=a+ib représentation dans le plan complexe
- coordonnées trigonométriques : z=[;] avec =|z| (module) et =arg(z) (argument)
- passage de trigonométrique à algébrique : a=cos et b=sin
- passage d’algébrique à trigonométrique : = a²+b² et cos=a/ si b>0 et a/ si b<0
- somme de complexes : loi des mailles u=u1+u2 , déterminer U.
- produit de complexes : U=ZI, déterminer U. Retrouver I.
I- Grandeurs sinusoïdales
1/ Définition : sinusoïde ne passant pas par zéro
Fonction : u(t)=Ûsin(t+u) avec u la phase à l’origine en rad et f, la pulsation en rad/s
Rappel : <u>=0 et U=U/ 2 mesurée avec un voltmètre quelconque en mode alternatif (~ ; AC).
2/ Autres représentations mathématiques
Vecteur de Fresnel : à u on peut associer U tel que ||U||=U et d’angle égal à u
Somme de sinus : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/repfresn.html
Représentation complexe : à u on peut associer un complexe U=[U ;u] ; |U|=U ; argU=u
3/ Déphasage
A une durée correspond un angle T360°(2rad) ; 
Le déphasage entre deux signaux est l’angle correspondant à la durée séparant les 2 sinusoïdes.
On note , le déphasage de u par rapport à i : =ui= avec  le décalage temporel entre u et i (si u
 
avant i alors >0 sinon <0). =( I, U) courbes u et i
II- Dipôles linéaires en régime sinusoïdal
1/ Impédance et admittance
Z=U/I en convention récepteur
Z=[Z;] avec Z=|Z| (valeur de l’impédance U/I en ) et =argZ (déphasage de la tension par rapport à
l’intensité engendré par l’impédance)
Admittance Y=1/Z=I/U
Remarque : =0 résistif, >0 inductif et <0 capacitif
2/ Cas des dipôles linéaires élémentaires
loi
impédance complexe
admittance complexe
résistor
u=Ri
[R;0]=R
[1/R;0]=1/R
bobine idéale
u=Ldi/dt [L;90°]=jL
[1/L;–90°]=1/jL
condensateur idéal i=Cdu/dt [1/C;–90°]=–j/C=1/jC [C;90°]=jC
En très basse fréquence la bobine comme un fil, le condensateur comme un circuit ouvert et en très haute
fréquence c’est l’inverse.
3/ Association de dipôles
Même relation qu’en continu : les résistances sont remplacées par des impédances en sinusoïdal.
Exemple de la création d’une oscillation avec un circuit RLC (manip synchronie):
Association série, déterminer l’impédance puis la fréquence d’oscillation (le circuit se place naturellement
à la fréquence la plus favorable, celle de résonance c’est-à-dire pour laquelle le courant le plus facilement
avec une impédance minimale).
Association parallèle, de même.
4/ Modèles série ou parallèle : à archiver dans la calculatrice
Bobine : modèles // et série
modèle série : Z=Rs+jL  facteur de qualité Qs= L/Rs
modèle parallèle : Y=1/Rpj/L  facteur de qualité Qp= Rp/L
LsLp  QsQp
Q²=Rp/Rs
Condensateur : de même : Q=X/R=B/G=(1/RsC)= RpC
III- Modèles de Thévenin et de Norton
1/ Sources de tension et de courant symboles
une source de tension fournit une tension indépendante de l’intensité
une source de courant fournit une intensité indépendante de la tension
2/ Thévenin
Tout dipôle actif linéaire peut se mettre sous la forme du modèle ci-dessous.
Eth, Zth schéma
Avec Eth la tension à vide aux bornes du dipôle actif et Zth l’impédance équivalente lorsque toute les
A
sources sont passives (« éteintes »).
Exemple :
R
R
Ru
C
E
exprimer UAB en fonction de E,R,Ru,C
retrouver les éléments sur une droite
B
tableau batterie (manip mesure avec rhéostat 10)
Exemple : pile
Pile
modèle
I (A)
U (V)
Um(V)
COMPOSANTS
0
4,52
4,52Eth=4,52V
0,106
4,38
4,4373
0,184
4,32
4,3765
0,245
4,26
4,3289
0,3
4,2
4,286
0,443
4,1
4,1745
0,68
3,92
3,9896
1,05
3,67
3,701
1,6
3,3
3,272
U(V)
Caractéristique tension courant
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
I(A)
3/ Norton
IN, YN schéma
IN=Icc intensité de court-circuit du dipôle actif
YN est l’admittance équivalente lorsque toute les sources sont passives (« éteintes »).
4/ Relations entre les modèles
Zth=1/YN c’est donc la même chose
Eth=ZthIN
E
Exemple :
IV- Puissances en sinusoïdal
R
A
B

1/ Puissance instantanée : p = ui en watts (W) on prend i=I 2 sin(t) et u=U 2 sin(t+) avec =( I

, U)
En convention récepteur p est la puissance reçue (le dipôle fonctionne en récepteur si p>0 et en
générateur si p<0). En convention générateur c’est l’inverse.
2/ Puissance active : P = <ui> = UI cos
3/ Puissance réactive (n’est définie qu’en sinusoïdal) : Q = UI sin
en volt.ampères réactifs (var)
4/ Puissance apparente et facteur de puissance : S=UI et P=UIcos  k =P/S= cos
5/ Relations entre les puissances (se déduisent du triangle des puissances)
S² = P²+Q² et tan = Q/P
6/ Théorème de Boucherot

S


P

Q
Les puissances active et réactive absorbées par une association quelconque de dipôles sont égales à la
i
somme des puissances actives et réactives absorbées par ces dipôles.
D1
D2
Exemple : P = P1 + P2 + P3 et Q = Q1 + Q2 + Q3 S= P²+Q²
u1
u2
D3
Exercices de première
Exercice 1 : grandeurs sinusoïdales
1/ Placer les voies de l’oscilloscope afin de visualiser u et i du dipôle D.
On obtient les courbes ci-dessous :
R =1k.
u(V) en trait plein
i(mA) en pointillés
10
D
i
u
ugén
R uR
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-4
-6
-8
-10
2/ Donner <u> et <i>.
3/ Déterminer la période.
En déduire la fréquence et la pulsation.
4/ Déterminer la valeur maximale de u et de i.
En déduire les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité.
5/ Déterminer le déphasage 
de la tension par rapport à l’intensité.
6/ On prendra U=3,5V ; I=5,7mA ; i=0 ; u=60°. Donner les expressions temporelles de u(t) et i(t) puis les
expressions complexes de U et I. En déduire l’impédance Z=U/I.
9t(ms)


7/ Exprimer UR en fonction de I. Tracer les vecteurs de Fresnel de u et uR. En déduire la valeur efficace et
l’angle de ugén
Exercice 2 : compléter le tableau ci-dessous
impédance complexe Z
loi
en cartésien et en polaire
résistor
R
u=Ri
admittance complexe Y
en cartésien et en polaire
bobine idéale
L
condensateur
idéal
C
Exercice 3
Les tension et intensité d’un dipôle en convention récepteur sont : u=7 2sin(314t+0,5) et i=0,06sin(314t0,2)
1/ Donner Umax et Imax. En déduire U, I, puis Z.
2/ Donner la phase à l’origine u de u et celle i de i. En déduire la déphasage  de la tension par rapport à
l’intensité.
3/ Montrer d’après les questions précédentes que l’impédance complexe de ce dipôle est : Z=[165 ;40,1°]
CH1
CH2
Exercice 4
i
u
D
pince ampèremétrique
CH2
La pince ampèremétrique donne une tension
proportionnelle à l’intensité à chaque instant :
1A100mV.
CH1 : 5V/div
CH2 : 10mV/div
base de temps: 20µs/div
1/ Placer, sur le schéma, la voie CH1 de l’oscilloscope de façon à visualiser la tension du dipôle.
2/ Mesurer Umax et la valeur max de la tension de la pince. En déduire Imax, U et I.
3/ Mesurer le déphasage de la tension par rapport à l’intensité. En déduire la nature de ce dipôle (résistif, inductif
ou capacitif).
4/ Donner l’impédance complexe de ce dipôle (module et argument).
Exercice 5
Une bobine réelle a pour modèle équivalent le schéma ci-contre :
L=190mH
r=12
f=25Hz
1/ Calculer la pulsation.
i
r
L
u
2/ Exprimer l’impédance Z de la bobine réelle en fonction de r, L et .
3/ Exprimer I en fonction de U et Z. Faire l’application numérique sachant que U=[220;0]
Exercice 6
On associe un condensateur en série avec une résistance :
C=2,2µF
R=330
=1060rad/s
I=2A
1/ Ecrire la loi des mailles. En déduire l’expression de 
;U en fonction de
;UR et ;UC.
2/ Tracer les vecteurs de Fresnel et en déduire la valeur efficace de la
tension u.
i
R
C
uR
uC
u
i
Exercice 7
Le dipôle D fonctionne en régime sinusoïdal.
D
u
i(A)
6
u(V)
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
t(ms)
-2
-4
-6
1/ Déterminer les valeurs efficaces de u et de i.
2/ Calculer le déphasage  de u par rapport à i.
3/ En déduire les puissances active, réactive et apparente de ce dipôle.
Exercice 8
Une installation monophasée 230V, 50Hz alimente 5 lampes résistives de 70W et 4 moteurs identiques qui
demandent chacun 300W avec un facteur de puissance de 0,83. Tous ces éléments sont en dérivation entre les
bornes de l’installation et fonctionnent en même temps.
1/ Calculer la puissance active P absorbée par cette installation.
2/ Montrer que la puissance réactive totale est Q = 806var.
3/ Déterminer la puissance apparente. En déduire l’intensité efficace de l’installation et le facteur de puissance.
4/ Comment relever le facteur de puissance ? Quel est l’intérêt d’avoir un facteur de puissance élevé ?
Approche expérimentale (TP) : quadripôles et impédances
Prérequis : programme de première, notamment réalisation d’un circuit, mesures avec multimètres et
oscilloscope.
Objectifs :
- comprendre l’objet quadripôle, reconnaître les grandeurs associées (entrées, sorties)
- observer l’influence de la fréquence sur l’action d’un quadripôle
- mesurer et visualiser des courants et des tensions
- mesurer des déphasages
- calculer des impédances
Préambule : la déphasage de la tension par rapport à l’intensité donne une indication importante sur la
nature et la puissance d’un dipôle linéaire (R, L, C).
I- Quadripôle (ici constitué de deux dipôles)
D1
D1 est un résistor de résistance 470.
D2
a) Qu’est-ce qu’un quadripôle ?
b) Comment connaître son action sur la tension et sur déphasage de la tension par rapport à l’intensité ?
II- Etude avec charge non linéaire
1/ Montage de référence : D2 est un circuit ouvert.
On place un résistance de résistance 330 en série avec une DEL en charge.
Observer à 1Hz 20Vpp puis à 1000Hz.
2/ Montage résistif :
D2 est une résistor de résistance 220.
Quelle est l’action du quadripôle ?
Vérifier avec plusieurs fréquences (1, 10, 100, 1000, 10000).
3/ Montage capacitif : D2 est un condensateur de capacité 1µF.
Mêmes questions.
4/ Montage inductif : D2 est une bobine d’inductance 150mH.
Mêmes questions.
III- Etude en fonctionnement linéaire, à vide
Comment compléter l’étude en répondant à la question b) ?
Rappel matériel : la touche MATH permet de faire la différence CH1–CH2 et la tension aux bornes d’une
résistance est proportionnelle à l’intensité.
IV- Impédances
Déterminer les impédances des dipôles D2.
Cas du condensateur : MATH avec même calibre CH1CH2 (image de i) Z=[160 ;90°]
TP : Résonance
RLC série 22nF 470 150mH
1/ Echelon de tension de 10V. Visualiser l’intensité. Quelle est sa fréquence propre ?
Quelle est l’influence de la résistance ?
2/ Circuit maintenant alimenté en 20Vpp.
Tracer I(f) et (f). ( est le déphasage de la tension u aux bornes de RLC par rapport à i du circuit)
Déterminer la fréquence de résonance.
Remarque : en XY, à la résonance l’ellipse devient un segment de droite.
RLC parallèle
C=100nF ; R=4,7k ; L=150mH ; r=100k
Retrouver la fréquence de résonance.
ri
i
e
r
u
R
L
C
Vérification du travail effectué
Compléter le tableau
dipôle
loi
résistor
R
u=Ri
impédance complexe Z
en trigonométrique et algébrique
admittance complexe Y
en trigonométrique et algébrique
bobine idéale
L
condensateur
idéal
C
Rappel de cours :
bobine réelle
modèle série : Z=Rs+jL  facteur de qualité Qs= L/Rs
modèle parallèle : Y=1/Rpj/L  facteur de qualité Qp= Rp/L
L=LsLp  Q=QsQp
Q²=Rp/Rs
condensateur réel
de même :
Q=X/R=B/G=(1/RsC)= RpC
3.01
Une bobine est alimentée par un réseau 220V 50Hz. Elle consomme une puissance de 19,6W et l’intensité
du courant qui la traverse est de 1,4A.
Indication : P=RI².
1. Déterminer les valeurs de son impédance, des éléments LS et RS de sa structure série.
2. En déduire son facteur de qualité et les éléments RP et LP de sa structure parallèle.
3.02
Une bobine présente un facteur de qualité de 30 à la fréquence de 20kHz. Son inductance vaut 0,12H.
1. Déterminer la valeur de sa résistance série r et les éléments LP et RP de son modèle parallèle à cette
fréquence.
2. Pour la fréquence de 30kHz, calculer les valeurs du facteur de qualité Q et les éléments RP et LP du
modèle parallèle de la bobine.
Vérification du travail effectué : correction
Compléter le tableau
dipôle
résistor
R
bobine idéale
L
condensateur
idéal C
loi
impédance complexe Z
en trigonométrique et algébrique
admittance complexe Y
en trigonométrique et algébrique
u=Ri
[R;0]=R
[1/R;0]=1/R
u=Ldi/dt
[L;90°]=jL
[1/L;–90°]=1/jL
i=Cdu/dt
[1/C;–90°]=–j/C=1/jC
[C;90°]=jC
Rappel de cours :
bobine réelle
modèle série : Z=Rs+jL  facteur de qualité Qs= L/Rs
modèle parallèle : Y=1/Rpj/L  facteur de qualité Qp= Rp/L
L=LsLp  Q=QsQp
Q²=Rp/Rs
condensateur réel
de même :
Q=X/R=B/G=(1/RsC)= RpC
3.01
Une bobine est alimentée par un réseau 220V 50Hz. Elle consomme une puissance de 19,6W et l’intensité
du courant qui la traverse est de 1,4A.
Indication : P=RI².
1. Déterminer les valeurs de son impédance, des éléments LS et RS de sa structure série.
2. En déduire son facteur de qualité et les éléments RP et LP de sa structure parallèle.
1. Z=U/I=157
LSLP=L  QSQP=Q
Z=L si on néglige la partie résistive  L= Z/  L= Z/(2f)=0,500H
P= RSI²  RS=P/I²=10,0
Q= L/RS=15,7
2. Q²=RP/RS  RP=Q²RS=2,46k
Remarque: si on ne néglige pas RS pour le calcul de Z, alors Z= (L)²+RS² 
L= Z²RS²=156,7, notre approximation était donc bonne.
3.02
Une bobine présente un facteur de qualité de 30 à la fréquence de 20kHz. Son inductance vaut 0,12H.
1. Déterminer la valeur de sa résistance série r et les éléments LP et RP de son modèle parallèle à cette
fréquence.
2. Pour la fréquence de 30kHz, calculer les valeurs du facteur de qualité Q et les éléments RP et LP du
modèle parallèle de la bobine.
1. LSLP=L  QSQP=Q
L=15,1 k
Q= L/r  r = L/Q= 503
Q= RP/L  RP= Q L= 452k
2. r correspond à la résistance du fil donc sa valeur ne change pas.
Q= L/r = L2f/r= 45,0
RP= Q L= 1,02M
Evaluation : Sinusoïdal
Questions de cours
Dessiner le modèle de Thévenin.
Comment calculer ses paramètres ?
Dessiner le modèle de Norton.
Comment calculer ses paramètres ?
Exercice 1
i=2 2sin(314 t + /3) et u=7,07 sin(314 t  /4)
Déterminer en trigonométrique et en algébrique I, U et Z
Exercice 2
Une bobine réelle a pour modèle équivalent le schéma ci-contre :
Exprimer l’impédance Z de la bobine réelle en fonction de r, L et .
r
i
L
u
Exercice 3
On associe un condensateur en série avec une résistance :
C=2,2µF
R=330
=1060rad/s
I=2A
Tracer les vecteurs de Fresnel et vérifier que la valeur efficace de la tension
u est égale à 1080V.
i
R
C
uR
uC
u
CH1
Exercice 4 : grandeurs sinusoïdales
CH2
i
D
u
pince ampèremétrique
1A100mV
CH2
1/ Placer la voie et la masse de l’oscilloscope
afin de visualiser la tension u.
A quoi sert la pince ampèremétrique ?
CH1 : 2V/div
CH2 : 50mV/div
base de temps: 100µs/div
2/ Mesurer Umax et Upincemax la valeur max de la tension de la pince. En déduire Imax, U et I.
3/ Mesurer la période, en déduire la fréquence et la pulsation.
4/ Mesurer le déphasage de la tension par rapport à l’intensité.
5/ En déduire les puissances active, réactive et apparente de ce dipôle.