OSCILLATIONS LIBRES DE

Université MONTPELLIER II « Introduction à l’électronique
Licence de Physique-Chimie et à l’électrotechnique »
L3 – S6 - Année 2013-2014 Module GLPH 614
Responsable : Yves LACHAUD
ÉTUDE DE CIRCUITS LINÉAIRES
EN
RÉGIME PERMANENT
Durée de l’épreuve : 2h00
Dans tout le problème, les grandeurs complexes seront écrites en caractères soulignés.
Il sera tenu compte dans la correction, du respect des notations proposées dans l’énoncé, de la
clarté des explications fournies et de la correction de l’expression écrite.
I. Circuits linéaires en régime continu permanent
I.1. Générateur équivalent
Une source idéale de tension, de f.e.m E1, alimente un dipôle
(AB) constitué de deux résistors (AC) et (CB), de résistances
respectives R1 et R constantes, placées en série (voir figure ci-
contre). Les fils de jonction sont de résistance négligeable.
I.1.a Reproduire sur votre copie la figure ci-contre et
indiquer la convention adoptée pour la mesure de l’intensité I qui
circule dans ce circuit. On indiquera également sur cette figure
les flèches des deux différences de potentiels suivantes :
* U1 = (Potentiel du point A) – (Potentiel du point C),
* U = (Potentiel du point B)  (Potentiel du point C).
I.1.b Écrire pour chacun des trois dipôles qui constituent ce circuit la relation courant –
tension qui le caractérise. On précisera la convention adoptée (générateur ou récepteur) pour
écrire la relation caractéristique de chacun des trois dipôles.
I.1.c Déduire des trois équations précédentes l’expression de l’intensité du courant I en
fonction de R, R1 et E1.
Le circuit de la Figure I, vu entre les nœuds B et C, est équivalent à une source de Thévenin
de f.e.m ETH et de résistance interne RTH comme représenté ci-dessous :
I.1.d Énoncer le théorème de Thévenin.
…/…

I.1.e En appliquant le théorème de Thévenin énoncé ci-dessus, calculer la f.e.m ETH en
fonction de E1, R1 et R.
I.1.f Calculer également la résistance RTH.
Application numérique : E1 = 10 V, R1 = 1,0 103  et R = 9,0 103 .
I.1.g Calculer numériquement : I, ETH et RTH.
I.1.h Une variation relative élémentaire (dE1/E1) de la f.e.m E1 de la source de tension
idéale du circuit de la Figure I entraîne une variation relative élémentaire (dI/I) de l’intensité
I du courant. Établir la relation qui existe entre les variations relatives (dI/I) et (dE1/E1) dans
le circuit de la Figure I.
I.2. Générateurs en opposition
On branche en parallèle entre les nœuds B et C du
circuit de la Figure I un dipôle constitué par
l’association série d’une source de tension idéale de
f.e.m E2 et d’un résistor de résistance R2. Dans un
premier temps, on recherche l’expression de l’intensité
I’ qui traverse la branche du résistor R.
I.2.a Énoncer le théorème de superposition.
I.2.b Appliquer ce théorème au circuit de la figure
ci-dessus pour montrer que l’intensité I’ recherchée peut s’écrire comme la superposition de
deux intensités plus simples à calculer, notées respectivement I1’ et I2’. On dessinera les deux
circuits C1 (source n°2 passivée) et C2 (source n°1 passivée) dans lesquels apparaissent les
intensités I1’ et I2’.
I.2.c En utilisant l’équivalence établie dans la partie I.1,
montrer que le circuit C1 dessiné à la question précédente est
équivalent au circuit plus simple représenté sur la Figure IV ci-
contre. On exprimera ETH1 et RTH1 en fonction de R1, R2 et E1.
I.2.d En déduire l’expression de I1’ en fonction des
paramètres R, R1, R2 et E1.
I.2.e En comparant attentivement les circuits C1 et C2,
déduire sans calcul l’expression de l’intensité I2’.
En déduire l’expression suivante de l’intensité recherchée :
I'
2121
2112 RRRRRR ERER
.
Dans la pratique, on suppose que dans l’expression ci-dessus, la f.e.m E2 et les résistances R1,
R2 et R sont constantes. Une variation relative élémentaire (dE1/E1) de la f.e.m E1 de la source
de tension idéale n°1 entraîne une variation relative élémentaire (dI’/I’) de l’intensité I’ du
courant dans le résistor de résistance R.
I.2.f Établir la relation qui existe entre les variations relatives (dI’/I’) et (dE1/E1) dans le
circuit de la Figure III.
Applications numériques : E1 = E2 = 10 V, R1 = R2 = 1,0 103  et R = 9,0 103 .
I.2.g Calculer I’.
I.2.h Pour une même variation relative (dE1/E1) de la f.e.m E1 de la source n°1 dans les
deux montages (Figures I et III), comparer numériquement les variations (dI/I) et (dI’/I’).
Conclusion ?
I.2.i Application pratique : Un véhicule ne peut démarrer car sa batterie d’accumulateur
est en mauvais état. Expliquer, en s’inspirant de ce qui précède, comment on peut le dépanner.
…/…

II. Circuit linéaire en régime sinusoïdal permanent
II.1. Filtre LR
On considère le circuit électrique représenté
ci-contre : une source idéale de tension
sinusoïdale de f.e.m e(t) =
E2
cos(t)
alimente l’association série d’une bobine
réelle (inductance L et résistance interne r)
et d’un résistor de résistance R. On note s(t)
la tension de sortie aux bornes du résistor
(voir Figure V ci-contre).
II.1.a Pour quelle raison le circuit ci-dessus est-il qualifié de linéaire ?
II.1.b Pour quelle raison peut-on écrire à priori la tension de sortie s(t) sous la forme
suivante : s(t) =
E2
G() cos[ t + () ].
Dans la suite du problème, on notera j le nombre imaginaire tel que : j2 = -1.
II.1.c Donner l’expression de la tension complexe d’entrée, notée e(t), telle que :
e(t) = Re{ e(t) }.
II.1.d Donner l’expression de la tension complexe de sortie, notée s(t), telle que :
s(t) = Re{ s(t) }.
II.1.e Déduire de ce qui précède la relation suivante : s(t) = G() exp[ j ()] e(t).
II.1.f Déduire de l’écriture précédente la signification physique précise des deux
grandeurs G() et ().
II.1.g Reproduire le schéma électrique de la Figure V sur votre copie en remplaçant
toutes les grandeurs électriques réelles par les grandeurs complexes associées et les
paramètres des dipôles passifs par les impédances complexes.
II.1.h Donner sans démonstration l’impédance équivalente ZE d’un dipôle constitué par
l’association série de deux dipôles d’impédance respective Z1 et Z2.
II.1.i En déduire l’impédance ZB de la bobine réelle (dipôle AC) et l’impédance Z de
l’association série de la bobine et du résistor (dipôle AB).
II.1.j Quelle relation existe-t-il entre les grandeurs complexes s(t) et i(t) ? Quel est le nom
de cette relation ?
II.1.k Redessiner en notation complexe le circuit de la Figure V en remplaçant
l’association série de la bobine réelle et du résistor par l’unique impédance Z.
II.1.l Montrer que dans le circuit dessiné à la question précédente, il existe une relation
simple entre e(t) et i(t) que l’on précisera.
II.1.m Déduire des questions II.1.j et II.1.l que la tension complexe de sortie s(t) peut
s’écrire comme suit en fonction de la tension complexe d’entrée e(t) :
s(t) = H() e(t).
On exprimera la fonction de transfert H() en fonction de R et Z.
II.1.n Quel relation existe-t-il entre G() et H() ? En déduire l’expression de G() en
fonction de R, L, r et .
II.1.o Quel relation existe-t-il entre () et H() ? En déduire l’expression de () en
fonction de R, L, r et .
…/…

On introduit les notations suivantes : K =
rRR
et 0 =
LrR
.
II.1.p Montrer que l’on peut écrire G() et () sous la forme suivante :
G() =
2
0
ω
ω
1
K
et () = - Atan
0
.
On introduit les notations suivantes : X = log(/0), Y = GdB = 20 logG() et KdB = 20 logK.
II.1.q Quel est le comportement asymptotique de G() lorsque  devient très petit devant
0 ? En déduire l’équation de l’asymptote au graphe logarithmique Y = f(X) du gain du
montage, lorsque X tend vers (∞).
II.1.r Quel est le comportement asymptotique de G() lorsque  devient très grand
devant 0 ? En déduire l’équation de l’asymptote au graphe logarithmique Y = f(X) du gain
du montage, lorsque X tend vers (+∞).
II.1.s Donner les coordonnées (X,Y) du point où se coupent les deux asymptotes
précédentes.
II.1.t Tracer le graphe asymptotique de Bode du gain du montage dans le cas particulier
où la résistance r est nulle. On tracera ce graphe sur l’intervalle : -2 < X < +2.
II.1.u Tracer également le graphe asymptotique de Bode de la phase du montage sur le
même intervalle -2 < X < +2.
II.1.v Quelle est la caractéristique principale de ce montage ? Justifier la réponse.
II.2. Quartz piézo-électrique
On considère comme schéma électrique simplifié équivalent d’un quartz piézo-électrique
destiné à servir d’étalon de fréquence dans une horloge, un dipôle (AB) composé de deux
branches en parallèle. Dans l’une, une bobine d’inductance L, en série avec un condensateur
de capacité C ; dans l’autre, un condensateur de capacité C0.
Le dipôle (AB) est par ailleurs alimenté par une source idéale de tension sinusoïdale de
pulsation .
On posera  = (C/C0) et l’on exprimera tous les résultats demandés en fonction des seules
variables L, C0,  et .
II.2.a Calculer l’impédance complexe notée Z du dipôle (AB).
II.2.b Calculer le module Z de l’impédance précédente.
II.2.c Déterminer l’argument  de Z.
On étudie maintenant les variations de l’impédance Z en fonction de . On note 1 et 2 les
valeurs finies et non nulles de la pulsation pour lesquelles Z est respectivement nulle et
infinie.
II.2.d Déterminer la nouvelle expression de Z en fonction des variables C0, 1, 2 et .
II.2.e Donner l’allure du graphe Z(). On précisera particulièrement les limites de Z
quand  tend vers 0 ou l’infini.
II.2.f A quel dipôle électrique simple est équivalent le quartz piézo-électrique lorsque la
pulsation excitatrice vaut 1 ?
II.2.g A quel dipôle électrique simple est équivalent le quartz piézo-électrique lorsque la
pulsation excitatrice vaut 2 ?
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