Particules chargées dans un champ magnétique

Université Paul Sabatier
Master de Physique Fondamentale
Mécanique Quantique
2012-2013
Travaux Dirigés
Particules chargées dans un champ magnétique
A. Transformations de jauge
1. Ecrire le hamiltonien pour une particule de charge q en présence d’un potentiel
vecteur A(r).
2. Si ψ(r) est solution de l’équation de Schrödinger pour A(r) donné, comment faut-il
modifier ψ(r) pour obtenir une solution après la transformation de jauge :
A(r) −→ A(r) + ∇ω(r)
B. Effet Aharonov-Bohm
Considérons un cylindre infini à l’intérieur duquel se trouve un champ magnétique.
Ce champ magnétique est strictement nul à l’extérieur du cylindre. Le flux à travers le
cylindre est noté ΦB .
Imaginons une boîte à l’extérieur du cylindre où se trouve une particule. La position
de cette boîte est repérée par R et celle de la particule dans la boîte par r.
Soit H = H(p, r − R) le hamiltonien de la particule pour ΦB = 0 et |n(R)i les
états propres correspondant d’énergie En . ψn (r − R) = hr|n(R)i est la fonction d’onde
correspondant au n-ième état propre de H.
1. Montrer que hn(R)|P|n(R)i = 0.
2. Si maintenant ΦB 6= 0, montrer que
iq
ψ̂n (r, R) = e h̄
Rr
R
dr0 A(r0 )
ψn (r − R)
satisfait l’équation de Schrödinger avec la même valeur propre En . Ici l’intégrale de
ligne porte sur un chemin arbitraire contenu dans la boîte et reliant R à r.
3. Montrer que la fonction d’onde ne dépend pas du chemin choisi si celui-ci est contenu
dans la boîte.
4. Imaginons maintenant que nous faisons suivre un trajet à la boîte qui contourne le
cylindre. Montrer alors que
hn(R)|∇R n(R)i =
Z
d
3
r ψn∗ (r−R)
iq
iq
− A(R)ψn (r − R) + ∇R ψn (r − R) = − A(R)
h̄
h̄
5. En déduire la phase de Berry de la fonction d’onde ψn (r − R) lorsque la boîte
retourne à sa position de départ.
6. Pour conclure, expliquer qualitativement le comportement du spectre d’interférences dans une expérience de fentes de Young avec des particules chargées si on
place un cylindre à l’intérieur duquel existe un champ B 6= 0 et que l’on varie
l’amplitude de B.
On pourra se référer aux articles originaux :
Y. Aharonov et D. Bohm, “Significance of electromagnetic potentials in quantum theory”,
dans Phys. Rev., vol. 115, 1959, p. 485-491.
Y. Aharonov et D. Bohm, “Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the
Quantum Theory”, dans Phys. Rev., vol. 123, 1961, p. 1511-1524.
2
TD
C. Si les monopôles magnétiques existaient. . .
Imaginons un monopôle magnétique situé en r0 , de charge magnétique g. Le champ
magnétique produit est :
1
B(r) = −g∇
r − r0
1. Montrer que ce champ magnétique peut être obtenu à partir d’un potentiel vecteur,
qui est singulier le long d’un chemin allant de r0 à l’infini (corde Dirac), donné par
AC (r) = −g
Z
C
dr0 × ∇
1
r − r0
2. Montrer que si l’on change le chemin C en C 0 , A(r) devient A(r) + g∇ΩC,C 0 (r)
où ΩC,C 0 (r) est l’angle solide fait par la surface S de bords (C, C 0 ) vue depuis la
position r.
3. Imaginons une particule quantique de charge q et de fonction d’onde ψ(r). Comment
change ψ(r) si le chemin C est changé par le chemin C 0 ?
4. Si la particule traverse la surface S, l’angle solide de S vue par celle-ci change de 4π.
Montrer alors que pour que la fonction d’onde soit univaluée, nous devons imposer
la condition de quantification de la charge :
n
qg
= ,
h̄
2
n entier