Particules chargées dans un champ magnétique

Université Paul Sabatier Mécanique Quantique
Master de Physique Fondamentale 2012-2013
Travaux Dirigés
Particules chargées dans un champ magnétique
A. Transformations de jauge
1. Ecrire le hamiltonien pour une particule de charge qen présence d’un potentiel
vecteur A(r).
2. Si ψ(r)est solution de l’équation de Schrödinger pour A(r)donné, comment faut-il
modifier ψ(r)pour obtenir une solution après la transformation de jauge :
A(r)−→ A(r) + ∇ω(r)
B. Effet Aharonov-Bohm
Considérons un cylindre infini à l’intérieur duquel se trouve un champ magnétique.
Ce champ magnétique est strictement nul à l’extérieur du cylindre. Le flux à travers le
cylindre est noté ΦB.
Imaginons une boîte à l’extérieur du cylindre où se trouve une particule. La position
de cette boîte est repérée par Ret celle de la particule dans la boîte par r.
Soit H=H(p,r−R)le hamiltonien de la particule pour ΦB= 0 et |n(R)iles
états propres correspondant d’énergie En.ψn(r−R) = hr|n(R)iest la fonction d’onde
correspondant au n-ième état propre de H.
1. Montrer que hn(R)|P|n(R)i= 0.
2. Si maintenant ΦB6= 0, montrer que
ˆ
ψn(r,R) = eiq
¯hRr
Rdr0A(r0)ψn(r−R)
satisfait l’équation de Schrödinger avec la même valeur propre En. Ici l’intégrale de
ligne porte sur un chemin arbitraire contenu dans la boîte et reliant Ràr.
3. Montrer que la fonction d’onde ne dépend pas du chemin choisi si celui-ci est contenu
dans la boîte.
4. Imaginons maintenant que nous faisons suivre un trajet à la boîte qui contourne le
cylindre. Montrer alors que
hn(R)|∇Rn(R)i=Zd3rψ∗
n(r−R)−iq
¯hA(R)ψn(r−R) + ∇Rψn(r−R)=−iq ¯hA(R)
5. En déduire la phase de Berry de la fonction d’onde ψn(r−R)lorsque la boîte
retourne à sa position de départ.
6. Pour conclure, expliquer qualitativement le comportement du spectre d’interfé-
rences dans une expérience de fentes de Young avec des particules chargées si on
place un cylindre à l’intérieur duquel existe un champ B6=0et que l’on varie
l’amplitude de B.
On pourra se référer aux articles originaux :
Y. Aharonov et D. Bohm, “Significance of electromagnetic potentials in quantum theory”,
dans Phys. Rev., vol. 115, 1959, p. 485-491.
Y. Aharonov et D. Bohm, “Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the
Quantum Theory”, dans Phys. Rev., vol. 123, 1961, p. 1511-1524.

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C. Si les monopôles magnétiques existaient. . .
Imaginons un monopôle magnétique situé en r0, de charge magnétique g. Le champ
magnétique produit est :
B(r) = −g∇1
r−r0
1. Montrer que ce champ magnétique peut être obtenu à partir d’un potentiel vecteur,
qui est singulier le long d’un chemin allant de r0à l’infini (corde Dirac), donné par
AC(r) = −gZC dr0× ∇ 1
r−r0
2. Montrer que si l’on change le chemin Cen C0,A(r)devient A(r) + g∇ΩC,C0(r)
où ΩC,C0(r)est l’angle solide fait par la surface Sde bords (C, C0)vue depuis la
position r.
3. Imaginons une particule quantique de charge qet de fonction d’onde ψ(r). Comment
change ψ(r)si le chemin Cest changé par le chemin C0?
4. Si la particule traverse la surface S, l’angle solide de Svue par celle-ci change de 4π.
Montrer alors que pour que la fonction d’onde soit univaluée, nous devons imposer
la condition de quantification de la charge :
qg
¯h=n 2, n entier