denombrement - Le Web Pedagogique
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DENOMBREMENT. COMBINATOIRE.
1. La notation factorielle
Définition :
n est un entier supérieur du égal à 1. Le nombre factorielle n, noté n!, désigne le produit de tous les
entiers naturels de 1 à n :
n! = n × (n - 1) × ... × 2 × 1.
Par convention : 0! = 1.
Exemple :
5! == 5 × 4 ×3 × 2 × 1 = 120.
Exercice :
Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10!)
2. Les différents types de tirages
Une urne contient quatre boules numérotées : 10, 20, 30, 40.
2.1 Tirages avec remise
Une expérience est définie par le protocole suivant :
. on effectue trois tirages successifs avec remise, c'est-à-dire qu'après chaque tirage, on replace la
boule tirée dans l'urne ;
. on note le numéro de chaque boule tirée suivant l'ordre dans lequel elle a été tirée. Le résultat d'une
expérience peut alors être représenté par un triplet, ou une liste ordonnée de trois éléments de
l'ensemble E = {10, 20, 30, 40}. Ainsi le triplet (40, 30, 30) correspond au tirage suivant : la première
boule tirée porte le n° 40, la deuxième le n° 30, la troisième le n° 30.
1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien y a-t-il de résultats possibles dans chacun des cas suivants :
a) La première boule tirée porte le n° 10, la deuxième le n° 40, la troisième le n° 20 ?
b) La première boule tirée porte le n° 30 et la deuxième le n° 20 ?
c) La deuxième boule tirée porte le n° 40 et la troisième le n° 30 ?
d) La deuxième boule porte le n° 20 ?
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2.2 Tirages sans remise
Une expérience est définie par le protocole suivant :
. on effectue trois tirages successifs sans remise, c'est-à-dire que l'on ne replace pas la boule tirée dans
l'urne ;
. on note le numéro de chaque boule tirée suivant l'ordre dans lequel elle a été tirée. Le résultat d'une
expérience peut alors être aussi représenté par un triplet, mais cette fois les éléments de ce triplet sont
nécessairement deux à deux distincts, c'est donc une partie de E contenant 3 éléments et ordonnée
(arrangement).
1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Répondez aux a), b), c), d) du 2.1 pour ce deuxième type d'expérience.
2.3 Tirage simultané
Une expérience est définie par le protocole suivant :
. on tire simultanément trois boules de l'urne;
. on note les trois numéros inscrits sur les boules tirées.
Le résultat d'une expérience peut alors être représenté par une partie à trois éléments de l'ensemble
E = {10, 20, 30, 40}.
1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien y a-t-il de résultats dans lesquels figure le nombre 20 ? le nombre 30 et le nombre 40 ?
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3. Combinaisons
Définition :
n et p désignent des entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E est un ensemble à n éléments. Une combinaison de p
éléments de E est une partie de E à p éléments.
Propriété :
n et p désignent des entiers tels que 1 ≤ p ≤ n et E est un ensemble à n éléments. Le nombre
n
de combinaisons de p éléments de E, noté (lire « p parmi n »), est donné par :
p
n n (n 1)...( n p 1)
p!
p
Démonstration :
Propriété :
Pour tous nombres entiers n et p tels que 0 ≤ p ≤ n,
n
n!
p p!(n p)!
Démonstration :
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4. Propriétés des coefficients binomiaux
1. Propriété
Pour tout entier n et tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ n, on a :
n n
p n p
Démonstration :
2. Conséquences
n
1
0
n
1
n
n
n
1
n
n
n 1
Exemple :
Le nombre de façons de choisir 2 délégués parmi 30 élèves est égal au nombre de façons de choisir 28
30 30
élèves non délégués parmi 30 :
2 28
3. Propriété (Relation de Pascal)
Pour tout entier n et tout entier p tel que 1 ≤ p ≤ n - l, on a :
n n 1 n 1
p p 1 p
Démonstration algébrique :
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4. Triangle de Pascal
p
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
9
1
9
36
84
126 126
84
36
9
1
10
1
10
45
120 210 252 210 120
45
10
10
1
5- Formule du binôme de Newton
Théorème :
Pour tous nombres complexes a et b, et tout nombre entier n non nul,
n
n
n
n
n n-1
ab + bn
(a + b)n = a n p b p = an + an-1b + an-2b² + … +
p 0 p
1
2
n 1
Démonstration :
Exemple :
Remarque :
n
(a + b)n =
n
p a
p 0
p
b n p (a et b ayant des rôles symétriques dans l’expression (a + b)n)
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