Equations et inéquations

Arithmétique
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés et les relations élémentaires
concernant l'ensemble des nombres entiers et des nombres rationnels.
Rappel : Nombres entiers naturels : positifs.
  relatifs : positifs ET négatifs.
 rationnels : quotients.
I) Rappels
1) Diviseurs et multiples d'un entier naturel
12 = 12  1 = 6  2 = 4  3.
1, 2, 3, 4, 6, 12 sont les diviseurs de 12. 12 est un multiple de 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, si a = b  c avec c entier, alors b est un diviseur de a .
On dit alors que a est divisible par b et par c.
On dit également que a est un multiple de b et de c.
Remarques :  1 n'a qu'un seul diviseur : 1.
 Tous les autres entiers naturels ont au moins deux diviseurs : 1 et eux-mêmes.
2) Critères de divisibilité
 Un nombre entier est divisible par 2 s'il est pair.
 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
II) Diviseurs communs à deux entiers naturels
1) Définition
Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b est un nombre entier diviseur de a ET de b.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
2) Exemple de recherche de diviseur commun ; PGCD
30 = 30  1 = 15  2 = 10  3 = 6  5. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 sont les diviseurs de 30.
24 = 24  1 = 12  2 = 8  3 = 6  4. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sont les diviseurs de 24.
Donc 1, 2, 3, 6 sont les diviseurs communs à 24 et 30.
 Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur à a et b (en abrégé PGCD) et on le note : PGCD (a ; b).
Remarque : Ici, on a : PGCD (24 ; 30) = 6.

3) Rappel : division euclidienne
Soient a, b deux nombres entiers.
Lorsqu’on divise a par b, la division peut se poser ainsi : a b
… q
r
4) Propriétés des diviseurs communs
Soit a = 77 et b = 21. 7 est un diviseur commun à a et b.
On a : a + b = 77 + 21 = 7 (11 + 3) = 7  14.
a – b = 77 – 21 = 7 (11 – 3) = 7  8.
77 = 21  3 + 14 et 14 est divisible par 7.
 Ainsi un diviseur commun à deux entiers naturels non nuls est aussi un diviseur de leur somme, de leur
différence et de leur reste dans la division euclidienne du plus grand par le plus petit.
III) Détermination du PGCD de deux entiers a et b
1) Première méthode
On dresse les listes des diviseurs de a et de ceux de b, puis on les compare.
245 = 5  7  7.
Exemple : 175 = 5  5  7.
Diviseurs de 245 : 1, 5, 7, 35, 49, 245. Diviseurs de 175 : 1, 5, 7, 25, 35, 175.
Donc PGCD (245 ; 175) = 35.
2) Deuxième méthode
Algorithme (programme de calcul) des différences : trouver PGCD ( 493 ; 377).
493 – 377 = 116.
377 – 116 = 261.
261 – 116 = 145.
145 – 116 = 29.
116 – 29 = 87.
87 – 29 = 58.
58 – 29 = 29.
29 – 29 = 0.
245
49
7
1
5
7
7
175
35
7
1
5
5
7
C'est la dernière différence non
nulle, donc PGCD (493 ; 377) = 29.
Cette division est appelée
"division euclidienne".
Le calcul peut se résumer ainsi : a = b  q + r.
q est le quotient et r le reste.
On reprend les deux derniers nombres et on soustrait le plus petit au plus grand.

Autre présentation :
3) Troisième méthode
Algorithme d'Euclide : trouver PGCD ( 493 ; 377) par des divisions euclidiennes successives.
493 = 377  1 + 116.
377 = 116  3 + 29.
116 = 29  4 + 0.
Cette méthode est la plus rapide.
IV) Nombres premiers
 Un entier naturel est dit premier lorsque ses seuls diviseurs commun sont 1 ET lui-même.
Exemple : Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, 15 donc 15 n'est pas premier. Ceux de 13 sont 1 et 13 donc
13 est premier.
Conséquences :
 1 n'est pas premier : il n'admet qu'un diviseur alors qu'il en faut exactement deux.
 Les nombres pairs ne sont pas premiers SAUF 2.
Liste des nombres premiers de 1 à 101 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97, 101.
V) Nombres premiers entre eux
 Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
Exemple : les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, 15 et ceux de 22 sont 1, 2, 11, 22. Leur seul diviseur commun
est 1 ; ils sont premiers entre eux.
Conséquence :
 Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1.
VI) Fractions irréductibles
 Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple : la fraction
22
15
est irréductible, car PGCD (15 ; 22) = 1.
(493 ; 377)
(493 – 377 ; 377) = (116 ; 377)
(116 ; 377 – 116) = (116 ; 261)
(116 ; 261 – 116) = (116 ; 145)
(116 ; 145 – 116) = (116 ; 29)
(116 – 29 ; 29) = (87 ; 29)
(87 – 29 ; 29) = (58 ; 29)
(58 – 29 ; 29) = (29 ; 29).
À chaque étape, on conserve le plus
petit nombre et on le soustrait au plus
grand. On s'arrête lorsque les deux
entiers sont égaux : c'est le PGCD.
C'est le dernier reste non nul, donc
PGCD (493 ; 377) = 29.

Pour simplifier, on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on les divise par leur
PGCD.
Exemple : Fraction
17835
5655
.
17835 = 5655  3 + 870.
5655 = 870  6 + 435.
870 = 435  2 + 0.
Donc PGCD (5655 ; 17835) = 435.
43517835 4355655
17835
5655
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13
VII) Ensembles de nombres
 I; N : ensemble des entiers naturels (positifs).
 Z;Z : ensemble des entiers relatifs (positifs et négatifs).
 ID : ensemble des décimaux (qui peuvent s'écrire sous la forme
p
10
a
, nombre fini de chiffres après la
virgule).
 I;Q : ensemble des rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fractions d'entiers relatifs).
 I; R : ensemble des nombres réels (tous les nombres précédents + les irrationnels comme ,
2
, …)