201-323-HU
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Exercices de pratique MAT2777 Exercice I : Soit X une variable uniforme sur l’intervalle [20,50]. (a) Calculer les probabilités suivantes : P(X<10) ; P(X<25); P(25<X<45). (b) Calculer la moyenne et l’écart type de X. Exercice II : Dans un petit aéroport, le temps X (en minutes) qui s’écoule entre l’arrivée de deux avions est distribué selon une loi exponentielle de moyenne 25 minutes. Calculer la probabilité que le temps entre l’arrivée de deux avions soit : (a) Inférieur à 5 minutes. (b) Compris entre 10 et 20 minutes. Exercice III : On sait que 40% des clients d’une station service utilisent leurs cartes de crédits pour leurs achats. Approximer la probabilité que parmi les 400 prochains clients, plus de 250 utiliseront leurs cartes de crédits. Exercice IV : Le poids d’un certain groupe est distribué normalement avec une moyenne de 66 kg et écart type de 5 kg. Quel est le pourcentage de ce groupe qui a un poids excédent 74 kg? Exercice V : Des relevés récents montrent qu’il entre en moyenne 1,6 client par minute dans une caisse populaire entre 12h et 14 h 30. Pour cette période de la journée, quelle est la probabilité : (a) qu’il n’entre aucun client pendant un intervalle de 2 minute? (b) Qu’il entre au moins 5 clients pendant une période de 5 minutes? Exercice VI : La probabilité qu’un étudiant ayant un DEC soit admis à l’université de son choix est de 0,55. Trouver la probabilité que dans un échantillon aléatoire de 10 étudiants : (a) exactement la moitié y soit admise. (b) Au moins deux sont admis. Exercice VII : Une machine fabrique des rondelles de métal dont le diamètre est distribué normalement avec une moyenne de 2,40 cm et un écart type de 0,05 cm. Calculer le pourcentage des rondelles dont le diamètre : 1 (a) est compris entre 2,35 cm et 2,47 cm. (b) N’excède pas 2,34 cm. Exercice VIII : Dans un lot de 6 pièces, il y en a une défectueuse. On tire les pièces une à une jusqu’à tomber sur la pièce défectueuse. Calculer la probabilité qu’il faut tirer 4 pièces, si : (a) Le tirage est fait avec remise. (b) Le tirage est fait sans remise. Exercice IX : On suppose que la taille d’un homme âgé de 25 ans est une variable aléatoire normale de moyenne 175 cm et d’écart type 6 cm. (a) Quel est le pourcentage des hommes ayant une taille supérieure à 185 cm? (b) Parmi ceux mesurant plus de 180 cm, quel est le pourcentage d’entre eux dépassant 192 cm? Exercice X : La durée de vie (en années) d’une radio est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre 1/ 8 . Quelle est la probabilité qu’elle fonctionne plus de 10 ans? Exercice XI : On choisit deux boules au hasard d’une urne contenant 8 blanches, 4 noires et 2 oranges. Supposons que l’on reçoive 2$ pour chaque boule noire tirée et que l’on perde 1 $ pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X. Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont les probabilités associées à ces valeurs? Exercice XII : Soit X la variable aléatoire comptant la différence entre le nombre de faces et le nombre de piles lors d’une répétition de n jets d’une pièce. Quelles sont les valeurs que peut prendre X? Exercice XIII : Un examen est administré sous forme d’un questionnaire de 5 questions à 3 choix multiples chacune. Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne 4 bonnes réponses ou plus en devinant ? Exercice XIV : Le nombre de rhumes attrapés par un individu en l’espace d’un an est une variable aléatoire de Poisson de paramètre =5. Admettons qu’un remède miracle ait été lancé sur le marché et 2 qu’il abaisse le paramètre à 3 pour 75% de la population. Pour les autres, il est sans effet. Un individu essaie ce médicament pendant un an et attrape deux rhumes. Quelle est la probabilité que le remède ait un effet sur lui? Exercice XV : Vous arrivez à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui est distribué uniformément entre 10 h et 10h 30. quelle est la probabilité que vous devriez attendre plus de 10 min? Si à 10 h 15 le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que vous deviez attendre au moins 10 min supplémentaires? Exercice XVI: La quantité annuelle de précipitations (en cm) est normale de moyenne 140 cm et de variance 16. (a) Quelle est la probabilité que dans une année on observe plus de 150 cm? (b) Quelle est la probabilité qu’il faut attendre plus de 10 ans pour observer une quantité de pluie annuelle de plus de 150 cm? Exercice XVII : On choisit deux boules au hasard d’une urne contenant 8 blanches, 4 noires et 2 oranges. Supposons que l’on reçoive 2$ pour chaque boule noire tirée et que l’on perde 1 $ pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X. Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont les probabilités associées à ces valeurs? Exercice XVIII : Un examen est administré sous forme d’un questionnaire de 5 questions à 3 choix multiples chacune. Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne 4 bonnes réponses ou plus en devinant ? Exercice XIX : Le nombre de rhumes attrapés par un individu en l’espace d’un an est une variable aléatoire de Poisson de paramètre =5. Admettons qu’un remède miracle ait été lancé sur le marché et qu’il abaisse le paramètre à 3 pour 75% de la population. Pour les autres, il est sans effet. Un individu essaie ce médicament pendant un an et attrape deux rhumes. Quelle est la probabilité que le remède ait un effet sur lui? Exercice XX : Vous arrivez à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui est distribué uniformément entre 10 h et 10h 30. Quelle est la probabilité que vous devriez attendre plus de 10 3 min? Si à 10 h 15 le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que vous deviez attendre au moins 10 min supplémentaires? Exercice XXI : La quantité annuelle de précipitations (en cm) est normale de moyenne 140 cm et de variance 16. (c) Quelle est la probabilité que dans une année on observe plus de 150 cm? (d) Quelle est la probabilité qu’il faut attendre plus de 10 ans pour observer une quantité de pluie annuelle de plus de 150 cm? Exercice XXII : On considère 1000 jets indépendants d’un dé homogène. Calculer une approximation de la probabilité que la face 6 apparaisse entre 150 et 200 fois. Exercice XXIII : Le temps (en heures) nécessaire pour réparer une machine est une variable exponentielle distribuée avec une moyenne de 2 heures. (a) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède 2 heures? (b) Quelle est la probabilité qu’une réparation prenne au moins 10 heures sachant qu’elle a déjà dépasse 9 heures? Exercice XXIV : La durée de vie des puces d’ordinateur produites par un fabricant est distribuée normalement avec une moyenne 1,4 x10 6 heures et un écart type 3x10 5 heures. (a) Quelle est la probabilité qu’une puce dure moins que 1,8x10 6 heures? (b) Quelle est la probabilité approximative qu’un lot de 100 puces contienne au moins 20 puces dont la durée de vie ne dépasse pas 1,8 x10 6 heures? 4
