Ts1 ET DEVOIR N°7 SURVEILLE le 1-04-98

Ts1 GT alt.
DEVOIR N°6 SURVEILLE
le 16-01-01
I- Les parties A et B sont indépendantes.
On considère un lot d'un grand nombre de pièces fabriquées ; ces pièces sont de même
nature, le tiers d'entre elles ont été usinées par une machine M1, les deux autres tiers ont
été usinées par une machine M2 (une pièce quelconque a été usinée soit par M1, soit par
M2). Les productions de ces deux machines sont indépendantes. Les longueurs étant
exprimées en millimètre, on sait que :
- la longueur X1 des pièces fabriquées par M1 suit une loi normale de moyenne 52,1
et d'écart type 0,16
- la longueur X2 des pièces fabriquées par M2 suit une loi normale de moyenne 52 et
d'écart type 0,15.
II- La réalisation d'un certain type de dossiers techniques nécessite trois travaux
consécutifs :
T (relevé topographique), R (rédaction) et D (tirage et assemblage des dossiers).
On considère que les durées respectives, en jours, nécessaires à l'exécution de chacun des
travaux T, R et D, sont des variables aléatoires, notées XT, XR et XD.
Une étude statistique effectuée dans un cabinet de géomètre donne les lois de probabilités
suivantes :
pour XT,
durée, en jours, xi
P(XT = xi )
8
0,1
9
0,4
10
0,5
durée, en jours, xi
P(XR = xi )
4
0,3
5
0,6
6
0,1
durée, en jours, xi
P(XD = xi )
3
0,6
4
0,4
PARTIE A : (6)
pour XR,
Une pièce est jugée acceptable si sa longueur est comprise entre 51,7 et 52,4.
1) Pour cette question, on donnera des résultats la valeur décimale arrondie à 10 -3
près.
a) Déterminer la probabilité pour qu'une pièce usinée par M1 soit acceptable.
Et pour XD,
b) Déterminer la probabilité pour qu'une pièce usinée par M2 soit acceptable.
2) On tire au hasard une pièce dans le lot des pièces fabriquées par M1 ou par M2.
a) Déterminer la probabilité pour que cette pièce soit fabriquée par M1. Déterminer
de même la probabilité pour que cette pièce soit fabriquée par M2.
b) En utilisant tous les résultats précédents déterminer la probabilité pour que cette
pièce soit acceptable.
PARTIE B : (4)
On admet que la probabilité de tirer une pièce acceptable dans le lot des pièces fabriquées
par M1 ou par M2 est p = 0,97. On tire au hasard dans le lot des pièces fabriquées dix
pièces et on note X le nombre de pièces acceptables obtenues. On admet, compte tenu du
grand nombre de pièces du lot, que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
Donner, en le justifiant, les paramètres de la loi de probabilité de X.
Déterminer la probabilité d'avoir au plus deux pièces défectueuses. On donnera la valeur
décimale arrondie à 10-3 près. (Bts CPI93)
1) Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de chacune des variables
aléatoires XT, XR et XD.
2) On suppose que les trois types de travaux sont indépendants ; on note X la variable
aléatoire qui, à chaque dossier, associe le nombre de jours nécessaires à sa
réalisation : X = XT + XR + XD.
a) Calculer E(X)
b) Quelles sont les différentes possibilités pour que X = 19 ?
Montrer que P [X = 19] = 0,166 .
c) Sachant qu'un dossier a été réalisé en 19 jours, calculer à 0,001 près la probabilité
que l'exécution du relevé topographique ait nécessité 10 jours.
3) a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X (On ne fera pas figurer sur la copie
les calculs conduisant à ce tableau). En déduire la valeur (arrondie à 0,1 près), de
l'écart type (X) .
b) Comment, en utilisant les variances V(XT), V(XR) et V(XD), pouvait-on obtenir ce
résultat ? (Bts GT99)