Unité d’enseignement : L6S2TC – Cours TD3 Statistiques Statistiques – Cours du TD3 : « Variables aléatoires » I. Espace probabilisable : 1. Définition A une expérience aléatoire, on associe : Un ensemble fondamental l’univers des possibles associé à cette expérience. Une famille T de parties de telle que : Si A T et B T alors : A B T, A B T et A T. On doit aussi avoir si pour tout n An est dans T alors An T. T est appelée tribu. Remarque : Si est fini, on prend en général T = P(). (,T) est alors un espace probabilisable muni d’une probabilité P : un tel espace se note (,T,P). 2. Exemple On lance un dé à 6 faces. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On définit une probabilité P sur (, P()) en choisissant des nombres dont la somme vaut 1. Par exemple : p({1})=0,1 ; p({2}) = 0,15 ; p({3}) = 0,05 ; p({4}) = 0,2 ; p({5}) = 0,3 et p({6}) = 0,2. La probabilité d’avoir un nombre pair est donc : p = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 0,15 + 0,2 + 0,2 = 0,55 II. Variables aléatoires : 1. Définition Soit (,T,P) un espace probabilisé. Une application X : est dite une variable aléatoire réelle si pour tout intervalle I de , on a : {w/X(w) I} qui appartient à T. 2. Notation {w /X(w) I} se note X- ou [X I]. [X I] est l’événement réalisé pour tous les événements pour lesquels X(w) est dans I. Si I = [a, b], on note aussi [X [a,b] ] ou [a X b] 3. Exemple On jette deux dés : = {(i,j), i,,j {1,2,3,4,5,6}} , P équiprobabilité et T = P(). X : (i,,j) i + j est une v.a.r Y : (i,,j) Max{i,j} est une v.a.r On dit que X est une variable aléatoire de Bernoulli si X prend uniquement les valeurs 0 et 1. Ex : (i, j) {1 si i + j = 12;0 sinon Si X : (i, j) i+j alors [3 X 6] = {(1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (3,1) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) .....} [X>10] = {(5,6) ; (6,6) ; (6,5)} 4. Propriété Si X et Y sont des v.a.r sur (,T,P) alors : X+Y est une v.a.r Si k , kX est une v.a.r Si g est une fonction continue de dans alors Z = g(X) est une v.a.r. III. Fonction de répartition d’une v.a.r 1. Définition 1 Unité d’enseignement : L6S2TC – Cours TD3 Statistiques Soit X, une v.a.r définie sur (,T,P) ; la fonction de répartition est définie sur par : FX(x) = P([X x]) 2. Exemple On lance deux dés : = {(i, j), 1 i et j 6), T = P(avec p équiprobabilité et X : (i, j) i+j x<2: FX(x) = P[X<x] = 0 2 x < 3 : FX(x) = P[X<x] = p([X=2] = p{(1,1)} = Error! 3 x < 4 : FX(x) = P[X<x] = p([X=2] [X=3]) = p([X=2]) + p([X=3]) = Error! + Error! = Error! 4 x < 5 FX(x) = P[X<x] = p([X=2] [X=3] [X=4)) = p([X=2]) + p([X=3]) + p([X=4]) = Error! + Error! = Error! ............ 12 x FX(x) = 1 Représentation graphique : 3. Propriété FX est une fonction croissante qui vérifie lim; IV. x + Fx( x ) = 1 et lim; x − Fx( x ) = 0 Variable aléatoire discrète Soit (,T,P), un espace probabilisé et X : , une v.a Notation : on désigne par B la famille des parties de qui est stable par réunion, intersection, passage au complémentaire et qui contient tous les intervalles de . 1. Définition La fonction PX définie sur B par Px(A) = P[X A] pour tout A de B est une probabilité sur (, B) : on l’appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2. Loi d’une variable aléatoire discrète a) Définition La loi de X est parfaitement déterminée par la donnée des couples (x i, pi) où {xi} est l’ensemble des valeurs prises par X. pi est la probabilité que X prenne la valeur xi. b) Exemples Exemple 1 : Soit la loi de X donnée par : xi -2 0 1 4 pi 0,1 0,15 0,25 0,3 p([X<0]) = p([X=-2] = 0,1 p([X 3]) = p([X=4] + p([X = 7]) = 0,3 + 0,2 = 0,5 Exemple 2 : On parlera pour la v.a X de la loi donnée par : X() = P([X ]) = Error! car Error! = 1 Exemple 3 : Soit X de loi : xi -2 -1 0 1 2 pi 0,1 0,05 0,35 0,1 0,15 2 7 0,2 4 0,25 Unité d’enseignement : L6S2TC – Cours TD3 Soit Y = X² yj pj 0 0,35 Statistiques 1 0,15 4 0,25 16 0,25 En effet : [Y = 4] = [X=2] [X = -2] Donc : p([Y = 4]) = p([X=2]) + p([X = -2]) = 0,1 + 0,15 = 0,25 3. Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire à valeurs discrètes Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs {x 1…xn} avec les probabilités respectives {p1…pn}. a) Espérance On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) = Error! Ce nombre s’interprète comme la moyenne m des valeurs xi pondérées par leur probabilité p i Propriétés Soit k une constante alors : E(k) = k E(X + k) = E(X) + k E(kX) = kE(X) b) Variance et écart-type On appelle variance de X le nombre V(X) = E([X-E(X)]² =Error! - (E(X))² L’écart-type est : (X) = V Propriétés Soit k une constante alors : V(k) = 0 V(X+ k) = V(X) V(kX) = k²V(X) c) Variable aléatoire centrée réduite Si la v.a X a une espérance et une variance, Y = Error! est telle que E(Y) = 0 et var(Y) = 1 Y est centrée (espérance nulle) et réduite (variance vaut 1). d) Exemple Contre une mise convenable, on lance un dé marqué as, roi, dame, valet, dix et neuf. L’as rapporte 10 €, le roi et la dame 6 €, le valet 5 €, le 10 et le 9 rien. 1) Déterminer la loi de probabilité : 2) Déterminer la fonction de répartition F : 3) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type. V. Variable aléatoire continue 3 Unité d’enseignement : L6S2TC – Cours TD3 Statistiques 1. Définition Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs est ou un intervalle I de . Une telle variable est généralement définie par sa fonction de répartition F:x F(x) = p(X x). 2. Fonction densité de probabilité On désigne par fonction densité de probabilité, la fonction dérivée f de la fonction de répartition F. On alors : FX(t) = Error! et Error! = F(b) – F(a) = p(a X b) : c’est-à-dire que l’aire mesurée entre les droites d’équation x=a, x=b, la courbe représentative de f et l’axe des abscisses correspond à p(a X b). On a : Error! = F(a) = p(x a) Error! = 1 – F(a) = p(x>a) Error! = 1 3. Valeurs caractéristiques Soit X une variable aléatoire continue alors on a : E(X) = Error! V(X) = E(X²) – [E(X)]² = Error!(x-E(x))²dx 4