Statistiques – Cours du TD3

Unité d’enseignement : L6S2TC – Cours TD3 Statistiques
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Statistiques – Cours du TD3 :
« Variables aléatoires »
I. Espace probabilisable :
1. Définition
A une expérience aléatoire, on associe :
 Un ensemble fondamental l’univers des possibles associé à cette expérience.
 Une famille T de parties de  telle que :
Si A  T et B  T alors : A  B  T, A B  T et AT.
On doit aussi avoir si pour tout n An est dans T alors An T.
T est appelée tribu.
Remarque : Si est fini, on prend en général T = P().
(,T) est alors un espace probabilisable muni d’une probabilité P : un tel espace se note (,T,P).
2. Exemple
On lance un dé à 6 faces.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On définit une probabilité P sur (, P()) en choisissant des nombres dont la somme
vaut 1. Par exemple : p({1})=0,1 ; p({2}) = 0,15 ; p({3}) = 0,05 ; p({4}) = 0,2 ; p({5}) = 0,3 et p({6}) = 0,2.
La probabilité d’avoir un nombre pair est donc : p = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 0,15 + 0,2 + 0,2 = 0,55
II. Variables aléatoires :
1. Définition
Soit (,T,P) un espace probabilisé. Une application X :    est dite une variable aléatoire réelle si
pour tout intervalle I de , on a : {w/X(w)  I} qui appartient à T.
2. Notation
{w /X(w) I} se note X- ou [X  I].
[X I] est l’événement réalisé pour tous les événements pour lesquels X(w) est dans I.
Si I = [a, b], on note aussi [X  [a,b] ] ou [a X b]
3. Exemple
 On jette deux dés : = {(i,j), i,,j {1,2,3,4,5,6}} , P équiprobabilité et T = P().
X : (i,,j)  i + j est une v.a.r
Y : (i,,j)  Max{i,j} est une v.a.r
 On dit que X est une variable aléatoire de Bernoulli si X prend uniquement les valeurs 0 et 1.
Ex : (i, j)  {1 si i + j = 12;0 sinon
 Si X : (i, j)  i+j alors [3 X 6] = {(1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (3,1) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) .....}
[X>10] = {(5,6) ; (6,6) ; (6,5)}
4. Propriété
Si X et Y sont des v.a.r sur (,T,P) alors :
 X+Y est une v.a.r
 Si k   , kX est une v.a.r
 Si g est une fonction continue de  dans  alors Z = g(X) est une v.a.r.
III. Fonction de répartition d’une v.a.r
1. Définition

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Soit X, une v.a.r définie sur (,T,P) ; la fonction de répartition est définie sur  par : FX(x) = P([X x])
2. Exemple
On lance deux dés : = {(i, j), 1  i et j  6), T = P(avec p équiprobabilité et X : (i, j)  i+j
x < 2 : FX(x) = P[X<x] = 0
2 x < 3 : FX(x) = P[X<x] = p([X=2] = p{(1,1)} =
Error!
3 x < 4 : FX(x) = P[X<x] = p([X=2] [X=3]) = p([X=2]) + p([X=3]) =
Error!
+
Error!
=
Error!
4 x < 5 FX(x) = P[X<x] = p([X=2] [X=3] [X=4)) = p([X=2]) + p([X=3]) + p([X=4]) =
Error!
+
Error!
=
Error!
............
12 x FX(x) = 1
Représentation graphique :
3. Propriété
FX est une fonction croissante qui vérifie lim;x  + Fx( x ) = 1 et lim;x  − Fx( x ) = 0
IV. Variable aléatoire discrète
Soit (,T,P), un espace probabilisé et X :   , une v.a
Notation : on désigne par B la famille des parties de  qui est stable par réunion, intersection, passage au
complémentaire et qui contient tous les intervalles de .
1. Définition
La fonction PX définie sur B par Px(A) = P[X A] pour tout A de B est une probabilité sur (, B) :
on l’appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Loi d’une variable aléatoire discrète
a) Définition
La loi de X est parfaitement déterminée par la donnée des couples (xi, pi) où
 {xi} est l’ensemble des valeurs prises par X.
 pi est la probabilité que X prenne la valeur xi.
b) Exemples
Exemple 1 : Soit la loi de X donnée par :
xi
-2
0
1
4
7
pi
0,1
0,15
0,25
0,3
0,2
p([X<0]) = p([X=-2] = 0,1 p([X 3]) = p([X=4] + p([X = 7]) = 0,3 + 0,2 = 0,5
Exemple 2 : On parlera pour la v.a X de la loi donnée par :
 X() = 
 P([X  ]) =
Error!
car
Error!
= 1
Exemple 3 : Soit X de loi :
xi
-2
-1
0
1
2
4
pi
0,1
0,05
0,35
0,1
0,15
0,25

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Soit Y = X²
yj
0
1
4
16
pj
0,35
0,15
0,25
0,25
En effet : [Y = 4] = [X=2] [X = -2]
Donc : p([Y = 4]) = p([X=2]) + p([X = -2]) = 0,1 + 0,15 = 0,25
3. Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire à valeurs discrètes
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs {x1…xn} avec les probabilités respectives {p1…pn}.
a) Espérance
On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) =
Error!
Ce nombre s’interprète comme la moyenne m des valeurs xi pondérées par leur probabilité pi
Propriétés
Soit k une constante alors :
 E(k) = k
 E(X + k) = E(X) + k
 E(kX) = kE(X)
 b) Variance et écart-type
On appelle variance de X le nombre V(X) = E([X-E(X)]² =
Error!
- (E(X))²
L’écart-type est : (X) = V
Propriétés
Soit k une constante alors : 
V(k) = 0
V(X+ k) = V(X)
V(kX) = k²V(X)
c) Variable aléatoire centrée réduite
Si la v.a X a une espérance et une variance, Y =
Error!
est telle que E(Y) = 0 et var(Y) = 1
Y est centrée (espérance nulle) et réduite (variance vaut 1).
d) Exemple
Contre une mise convenable, on lance un dé marqué as, roi, dame, valet, dix et neuf.
L’as rapporte 10 €, le roi et la dame 6 €, le valet 5 €, le 10 et le 9 rien.
1) Déterminer la loi de probabilité :
2) Déterminer la fonction de répartition F :
3) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type.
V. Variable aléatoire continue

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1. Définition
Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs est  ou
un intervalle I de .
Une telle variable est généralement définie par sa fonction de répartition F:x  F(x) = p(X x).
2. Fonction densité de probabilité
On désigne par fonction densité de probabilité, la fonction dérivée f de la fonction de répartition
F. On alors : FX(t) =
Error!
et
Error!
= F(b) – F(a) = p(a  X  b) : c’est-à-dire que l’aire mesurée entre
les droites d’équation x=a, x=b, la courbe représentative de f et l’axe des abscisses correspond à
p(a  X  b).
On a :
Error!
= F(a) = p(x a)
Error!
= 1 – F(a) = p(x>a)
Error!
= 1
3. Valeurs caractéristiques
Soit X une variable aléatoire continue alors on a :
E(X) =
Error!
V(X) = E(X²) – [E(X)]² =
Error!
(x-E(x))²dx