LP 18

LP 15 Exemples simples de phénomènes irréversibles ;
Bilan d’entropie.
Niveau : MP ou 1er CU (Florent Tessier)
Biblio : ☺ Agrégation de Sciences Physique – Mode d’emploi, Augier/Barrat,
éd. Ellipse
☺ Thermodynamique, Olivier, éd. Tec&Doc
☺ Onde mécanique et diffusion, Garing, éd. Ellipse
☺ Leçons de thermo, Latour, éd. Ellipse.
I. Notion d’irréversibilité
1. Expérience avec une balle
2. Second principe et irréversibilité
3. Sources d’irréversibilité
4. Calcul de la variation d’entropie
II. Variation et bilan d’entropie
1. Détente de Joule Gay-Lussac
2. Sources de chaleur reliées par une barre
a. variation d’entropie
b. création d’entropie
c. bilan d’entropie
Objectifs : Introduire la notion d’irréversibilité
Distinguer irréversibilité et isentropicité
Distinguer irréversibilité et quasi-staticité
Prérequis : 1er principe, 1ère loi de Joule, expression de l’entropie du gaz parfait et
les bases de la conduction thermique
Idées en vrac pour l’intro :
Les phénomènes irréversibles sont omniprésents tandis que la réversibilité est une
idéalisation fruit d’un passage à la limite mais qui fournit, dans le cadre du
formalisme de la thermodynamique, des solutions certes approximatives mais
satisfaisantes.

I.1 La leçon 16 nous a permis d’introduire le 1er principe de la thermodynamique.
Néanmoins ce dernier n’exclut pas certains phénomènes que l’on n’a jamais observé
en pratique. On peut facilement illustrer cela en lâchant, sans vitesse initiale, une
simple balle d’une hauteur h (état 1). On observe alors une succession de rebonds,
puis l’immobilisation de la balle sur le sol (état 2). Jusqu’à aujourd’hui, personne n’a
jamais observé le phénomène inverse spontanément (sans intervention extérieure :
ramasseur de balle).
Macroscopiquement, le mouvement effectivement observé s’analyse comme un
transfert d’énergie potentielle macro Ep de la balle en énergie interne U de la balle et
du sol. Appliquons le 1er principe au système fermé et isolé (sol + balle) :
U2 – U1 + Ep2 – Ep1 = 0 avec Ep2 – Ep1 = mgh
Cette égalité reste vrai si l’on change tous les signes :
U1 – U2 + Ep1 – Ep2 = 0
Ainsi le 1er principe est satisfait pour l’évolution observée 1 ► 2 mais également pour
l’évolution non observée spontanément 2 ► 1.
De même, la chaleur ne se tranfère pas spontanément d’un corps « froid » vers un
corps « chaud ».
Le second principe (historiquement antérieur au premier) va exclure ce type
d’évolution contraire à l’observation.
I.2 L’un des énoncés est le suivant :
Pour tout syst thermo, il existe une fct d’état extensive, appelée entropie,
dont la différentielle vérifie, pour toute transformation infinitésimale au
cours de laquelle le syst reçoit la qté de chaleur Q :
dS Q/T
NB : Convention de signe : qté de chaleur reçue par le syst  Q > 0.
Cette inégalité permet alors de distinguer les évolutions réversible (dS = Q/T) des
transformations irréversibles (dS > Q/T).
I.3 La variation d’entropie dS entre deux états d’équilibre infiniment voisins se
décompose en deux termes : dS = eS + iS
 Une variation externe eS traduisant un échange entre le syst et le milieu extérieur : 
eS = Q/T
 Une variation interne iS > 0 provenant de phénomènes physiques volumiques se
produisant à l’intérieur du syst. Ce sont eux qui engendrent l’irréversibilité de
l’évolution en assurant iS non nulle :
- Transfert de chaleur,
- Viscosité, frottements,
- Diffusion, phénomènes de mélange,
- Discontinuité, ondes de choc.

I.4 Une grande part de la difficulté du traitement des transformations irréversibles,
provient du fait que le second principe ne donne, dans le cas général, qu’une borne
inférieure de la variation d’entropie. D’ailleurs, les problèmes décrits par des
inégalités sont généralement bcp plus difficile à résoudre que ceux exprimés par une
égalité (pbs de statique en mécanique par rapports à ceux de dynamique : frottement
solide …).
Néanmoins, on peut calculer la variation d’entropie d’un syst entre deux états
d’équilibre thermodynamique de deux manières :
 On connaît la forme explicite de l’entropie du syst (cas du GP) en fct de ses
grandeurs thermo. On la calcule alors dans l’état final, dans l’état initial puis on
fait la soustraction. A noter que le fait que l’entropie soit définie à une
constante additive près ne pose pas de pb puisqu’elle disparaît par différence.
 On ne dispose pas d’une telle forme explicite. On se console en se
rappelant que S est une fct d’état, càd que sa variation ne dépend pas du
chemin suivi (réversible ou irréversible) pour l’évolution de l’état initial vers
l’état final mais uniquement de ces états. On imagine alors une transformation
infinitésimale réversible pour laquelle on est capable d’exprimer (grâce au 1er
principe) la qté de chaleur Q reçue par le syst pendant la durée très courte de
la transformation. Le fait que la transfo soit réversible implique que la
température T du syst est définie à tout instant. La variation infinitésimale
d’entropie vaut ainsi dS = Q/T. Il ne reste plus qu’à intégrer entre l’état initial
et l’état final.
II.1 Détente de Joule-Gay Lussac
n moles de GP sont contenues dans le volume V0 (les parois sont parfaitement
rigides et calorifugées); on ouvre le robinet qui permet au GP de se répendre dans le
volume V1 > V0. L’évolution se fait quasi-statiquement (lentement et en une
succession d’états infiniment voisins d’états d’équilibre) et adiabatiquement (sans
échange de chaleur) mais non réversiblement (personne n’a jamais observé
l’évolution inverse spontanément !).
Le GP ne reçoit ni chaleur, ni travail. Son énergie interne ne varie donc pas. La 1ère
loi de Joule indique donc que sa température reste constante au cours de cette
transformation. On dispose de l’expression de l’entropie du GP :
S = nR lnV0 + nR/( – 1) ln T + cste
(Obtenue grâce à l’équation d’état (PV = nRT) et en intégrant dS = CvdT/T + P/T dV)
La variation d’entropie vaut alors : S = nR ln (V1/V0) > 0 ce qui correspond bien à
l’irréversibilité du processus.
En relâchant la contrainte, on a augmenté le nbre d’états accessibles au gaz. Pour
que le GP revienne dans le volume initial, il faut une intervention extérieur.
La quasi-staticité est une condition nécessaire de réversibilité mais pas suffisante.

II.2 sources de chaleur reliées par une barre
On considère deux solides Ga1 et Ga2 de conductivité thermique « infinie » et de
même capacité thermique reliés par une barre Bi (On s’attend à ce que la barre Bi
conduise moins bien que les 2 Ga, les blondes conduisent mal, même la chaleur !!!)
dont la capacité thermique est pratiquement nulle.
Typiquement Ga1 et Ga2 sont deux blocs de métal dont la très grande conductivité
thermique (par rapport à celle de Bi) assure, à tout instant, l’uniformité des T notées
T1(t) et T2(t).
La barre conduit moins bien et a une capacité thermique très faible : elle ne peut pas
stocker l’énergie thermique : situation analogue à celle du régime stationnaire.
On suppose T1° > T2° et le syst (Ga1, Ga2, Bi) parfaitement isolé thermiquement : un
flux thermique uniforme (t) traverse la barre de Ga1 vers Ga2.
L’équilibre est obtenu au bout d’un temps très long : Tf = (T1° + T2°)/2.
a. Variations d’entropie :
les sources : ▪ Ga1 cède Q1 = C dT1 < 0 pendant dt
▪ Donc SGa1 =  C dT1/T1 = C ln Tf/T1° < 0
▪ Ga2 reçoit Q2 = C dT2 > 0
  ▪ SGa2 =  C dT2/T2 = C ln Tf/T2° > 0
la barre : SBi = 0 car capacité thermique négligeable
(Ga1, Ga2, Bi) : S = C ln Tf²/T1°T2° = C ln (T1° + T2°)²/4 T1°T2° > 0
C’est normal : syst isolé et transo irréversible.
b. Terme de création d’entropie :
Soit un solide (masse volumique , capacité thermique massique c et conductivité
thermique ) dont T(M,t) varie localement par les seuls effets de la conduction
thermique.
Soit dun élément de la surface fermée  orientée par la normale externe.
Qté de chaleur reçue (d’où le signe -) à travers d
²Q = - jth.ddt
Ce qui correspond à une entropie échangée (de l’extérieur vers l’intérieur) :
²Se = ²Q/T(M,t) = - jth/T(M,t).ddt
soit pour  : Se = -  jth/T(M,t).ddt
L’entropie échangée par unité de temps peut donc s’écrire sous la forme d’un flux
entrant : Se/dt = -  js.d
js = jth/T(M,t) = -  grad T/T
L’entropie totale dans le volume entouré par  est :
S(t) =  .s(M,t)d

Sa variation dS/dt = .s/t dest la somme :
- du flux entropique entrant (terme d’échange) : Se/dt
- d’un terme de création, traduisant l’irréversibilité : A > 0
D’où le bilan :
.s/t d-  js.d A d
localement : .s/t + div js = A
Pour une transfo (isobare ou isochore) : dS = mcdT/T => s/t = c/T T/t
Donc c/T T/t –  div( 1/T grad T) = A
c/T T/t –  (1/T T + grad (1/T). grad T) = A
1/T [c T/t - T] –  (-1/T²)(grad T)² = A
A = (grad T/T)²
2e principe => A > 0 DONC  c’en est la seule justification théorique !
On voit en outre que la création d’entropie accompagne inévitablement les
phénomènes de diffusion thermique pour lesquels on a un gradient de T. On peut
généraliser cela à tout phénomène de diffusion.
c. Revenons à notre barre Bi : bilan entropique
Une barre Bi prise en sandwich par deux solides Ga et sa chauffe !
Barre Bi reçoit du solide Ga1 une qté de chaleur Q à T1 et cède à Ga2 cette même
qté de chaleur mais à T2. Si son bilan thermique est nul, il n’en est pas de même de
son bilan d’entropie échangée :
SBie = Q/T1 - Q/T2
SBie = - CdT1/T1 - CdT2/T2
SBie = - C ln Tf²/T1°T2°
SBie = - C ln (T1° + T2°)²/4T1°T2°
Donc SBie < 0 car T1 > T2
Entropie créé : la diffusion thermique, sous l’action du gradient de température
uniforme, conduit à une création d’entropie dans la barre.
Qté de chaleur reçue algébriqt aux extrémités par la barre :Q = - CdT1 = CdT2
Donc T1(t) + T2(t) = T1° + T2°
L’uniformité du flux thermique traversant la barre Bi permet d’écrire :
(t) = Rth (T1(t) – T2(t)) = - C dT1/dt = C dT2/dt (avec Rth = 1/ L/)
ie : d(T1 - T2)/dt = -2/RthC (T1 - T2)
Donc T1(t) - T2(t) = (T1° - T2°) exp(-2t/RthC)
Bref : T1(t) = ½ [(T1° + T2°)-+ (T1° - T2°) exp(-2t/RthC)]
Bref : T2(t) = ½ [(T1° + T2°)+- (T1° - T2°) exp(-2t/RthC)]
Distribution de température dans la barre : T(x,t) = T1(t) – (T1(t) – T2(t)).x/L
SBicréée = A ddt = (grad T/T)² .dxdt
Donc SBicréée = . /L² ( T1 - T2)²[dx/(T1(t) – (T1(t) – T2(t))/L x)²]dt
L’intégrale spatiale vaut : L/T1T2
D’où : SBicréée = .Surf/L ( T1 - T2)² dt/ T1T2