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Bacc blanc - Décembre 2007
Corrigé de l'exercice de spécialité
Énoncé:
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres:
an = 410n - 1 , bn = 210n - 1 , cn = 210n + 1 .
1. a) Calculer: a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 .
b) Démontrer an et cn sont divisibles par 3.
c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est un nombre
premier
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, bncn = a2n .
En déduire la décomposition en produit de nombres premiers de a6.
e) Montrer que: PGCD(bn,cn) = PGCD(cn,2)
En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.
2. On considère l’équation : (1) b3x + c3y = 1 , d’inconnues les entiers relatifs x et y.
a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.
b) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres b3 et c3; en déduire une solution particulière de l'équation (1).
c) Résoudre l’équation (1).
Liste des nombres premiers inférieurs à 100:
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ;
43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
________________________________________________________________________
Solution:
1. a) a1 = 39, b1 = 19, c1 = 21, a2 = 399, b2 = 199, c2 = 201, a3 = 3999, b3 = 1999, c3 = 2001.
b) 10 1 (3) d'où, pour tout entier naturel n, 10n 1 (3) par compatibilité des congruences avec les puissances.
D'autre part, 4 1 (3), ce qui donne par compatibilité des congruences avec la multiplication et l'addition:
an 410n - 1 11 - 1 0 (3) et cn 210n + 1 21 + 1 3 0 (3).
Les nombres an et cn sont donc divisibles par 3.
c) b3 = 1999 et 1999 44,7. Le nombre 1999 n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à 44. Il est donc
premier.
d) bncn = (210n - 1)(210n + 1) = (210n)² - 1 = 410n - 1 = an.
e) On applique la propriété: PGCD(u;v) = PGCD(v;u-kv) avec u = bn , v = cn et k = 1:
PGCD(bn,cn) = PGCD(cn,bn-cn) = PGCD(cn;-2) = PGCD(cn;2)
Le nombre cn étant impair puisqu'il est de la forme 2p+1, PGCD(cn;2) = 1.
On en déduit que PGCD(bn;cn) = 1, ce qui montre que bn et cn sont premiers entre eux.
2. a) Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout montre qu'il existe au moins deux entiers relatifs x
et y tels que b3x + c3y = 1 , ce qui montre que l'équation (1) admet au moins une solution.
b) b3 = 1999 et c3 = 2001. Les divisions de l'algorithme d'Euclide donnent:
2001 = 19991 + 2
1999 = 2999 + 1
2 = 12 + 0
Ce qui justifie de nouveau que 1999 et 2001 sont premiers entre eux. Ces divisions donnent:
1 = 1999 - 2999 = 1999 - 999(2001 - 1999) = 19991000 - 2001999.
Une solution particulière de l'équation (1) est: (x0;y0) = ( 1000;-999).
c) Résolution de l'équation (1):
Soit (x;y) une solution de (1). On a: 1999x + 2001y = 1 et, d'après le b), 19991000 + 2001(-999) = 1. En soustrayant
membre à membre ces deux égalités, on obtient: 1999(x-1000) + 2001(y+999) = 0, ce qui donne:
1999(x-1000) = -2001(y-1) (1').
On en déduit que 1999, qui divise 1999(x-1000), divise 2001(y+999). Comme 1999 est premier avec 2001, d'après 1.c)
alors 1999 divise y+999, d'après le théorème de Gauss. On a donc: y+999 = 1999k (k Î), soit y = 1999k -999, kÎ.
En remplaçant dans (1'), y+999 par 1999k, on obtient: 1999(x-1000) = -20011999k , ce qui donne x-1000 = -2001k et
x = -2001k + 1000.
On en déduit que, si (x;y) est une solution de (1), alors: (x;y) = (-2001k + 1000; 1999k -999), k Î.
Réciproquement, si (x;y) = (-2001k + 1000; 1999k -999), k Î., alors:
1999x + 2001y = 1999(-2001k+1000)+2001(1999k-999) = 1. Donc (x;y) est une solution de (1).