Exercice 1: Amérique du Nord Juin 1999 Bac ES

Exercice 1: Amérique du Nord Juin 1999 Bac ES
Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4 , 5 ou spectacles.
Dans la population des abonnés la répartition est la suivante:



43,5% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
33% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
D'autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la
répartition est différente :



40% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
40% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
On interroge un abonné au hasard.

On note A l'événement : " l'abonné interrogé a moins de 25 ans ".
Ainsi, la probabilité p(A) de cet événement est 0,65.

On note B l'événement : " l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles ".

Pour tout évenement V , on note l'événement contraire de V.
1. .
a. Quelle est la probabilté que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?
b. Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle la probabilité qu'il ait
choisi 5 spectacles?
c. Décrire l'événement A B et démontrer que la probabilité de cet événement est
égale à 0,26.
2. .
a. Démontrer que la probabilité p(
B) est égale à 0,07.
b. En déduire la probabilité conditionnelle de B sachant que est réalisé.
3. L'abonnement pour 4 spectacles coût 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros,
et celui pour 6 spectacles coûte 70 euros.
On appelle X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé.
a. Donner la loi de probabilité de X en complétant le tableau suivant:
Xi
p(X = Xi)
4. Calculer l'espérance de X.
50
60
70
CORRECTION EXERCICE 1
1: Il faut commencer par traduire en langage des probabilités les hypothèses de l'énoncé.
A étant l'événement "moins de 25 ans" et
B l'événement "a choisi 5 spectacles", l'énoncé nous dit que:

P( A ) = 0,65 car 65% des abonnés ont moins de 25 ans.
a:La probabilité qu'un abonné ait 25 ans ou plus est donc : (1 - 0,65) = 0,35

P( B ) = 0,33 car 33% des abonnés ont choisi l'abonnement 5 spectacles.

b: P( B / A) = 0,40 car 40% des abonnés de moins de 25 ans ont choisi l'abonnement
5 spectacles.
Comme P  A  B  P  A   PB  A  , on en déduit que:
c: P  A  B  PB  A   P  A   0, 4  0,65 = 0,26.
L'événement ( A B ) est l'événement " l'abonné a moins de 25 ans ET a choisi 5
spectacles ".
2.


a: On sait que P  B  P  A  B  P A  B . Comme P  A  B = 0,26 , d'après la
question précédente, et que P( B ) = 0,33 , d'après les hypothèses de l'énoncé, on en déduit
que :
P A  B = 0,33 - 0,26 = 0,07.

b: On sait que

PA  B  

P AB
 
 , donc P
A
P A
 B 
0, 07
 0, 2
0,35
3. D'après les hypothèses de l'énoncé, on sait que 43,5% ont choisi l'abonnement 4 spectacles.
Donc P ( X = 50 ) = 0,435.
De même, P( X = 60 ) = 0,33 et P( X = 70 ) = 1 - 0,435 - 0,33 = 0,235.
D'où le tableau de la loi de probabilité de X:
a:
Xi
P( X =
Xi)
50
60
70
0,435
0,33
0,235
b:On trouve E[X] = 0,435 . 50 + 0,33 . 60 + 0,235 . 70 = 58 .
Exercice 3: Polynésie Septembre 98 Bac ES
Un patineur participe à une compétition. Deux de ses saut l'inquiètent. Il ne réussit le premier
saut que dans 95% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le
deuxième 3 fois sur 10; sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le deuxième dans 90%
des cas.
On notera
l'événement contraire d'un événement A.
Soit R1 l'événement : "le patineur réussit le premier saut ".
Soit R2 l'événement : "le patineur réussit le deuxième saut".
1.
a: Calculez la probabilité de l'événement R2.
b: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 est réalisé.
c: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 n'est pas réalisé.
2. Déterminez la probabilité de l'événement : "le patineur réussit les deux sauts".
3.
a: Calculez la probabilité de l'événement R2.
b: Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut.
Calculez la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut.
4. Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2
point.
Le règlement prévoit que les pénalités s'ajoutent.
Soit X la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur
lors de la compétition.
a: Déterminez la loi de probabilité de X.
b: Calculez l'espérance mathématique de X.
Quelle interprétation peut-on en faire?
CORRECTION EXERCICE 2
1.
a: D'après l'énoncé, la probabilité que le patineur réalise le premier saut est 0,95.
P  R1  = 0,95
b: Si il réalise le premier saut alors il réalise le deuxième saut dans 90% des cas. Donc:
PR1  R 2  = 0,90.
 
 
c: On sait que PB A  1  PB A . Donc :
 
PR  R1  =1- PR R1  1  0,3  0, 7
2
2
2. L'événement "le patineur réussit les deux sauts " est " R1 R2 ".
Or, P( R1 R2 ) = P( R2 / R1).P(R1). Donc P( R1 R2 ) = 0,90 . 0,95 = 0,855.
3.
a: D'après la loi des probabilités totales, on a:
,
D'où P( R2) = 0,70 . 0,05 + 0,90 . 0,95 = 0,89.
b: La question revient à déterminer P( R1 / R2). Or
4.
a: X peut prendre les valeurs : 0 , 0,1 , 0,2 ou 0,3
Or :
On peut résumer ces résultats dans un tableau :
x
0
0,1
0,2
0,3
P( X = x)
0,855
0,035
0,095
0,015
On vérifie que l'on a bien que la somme de toutes les probabilités du tableau est égale à 1.
b: L'espérance de X est alors :E[X] = S P(X=x).x = 0,027 après calcul.
Le patineur peut donc "espérer" perdre 0,027 point durant la compétition.