Chapitre n°12 le dispositif solide ressort

CHAPITRE N°12 LE DISPOSITIF SOLIDE RESSORT
I force de rappel exercée par un ressort
1) mise en évidence
exp : on accroche une masse à un ressort vertical.
Obs : la masse est en équilibre
Interp : elle est soumise à deux forces qui se compensent
P et la force F exercée par le ressort, verticale dirigée vers le haut.
Cette force exercée par le ressort allongé ou comprimé est appelée force de rappel du
ressort.
2) caractéristique de la force de rappel
exp : faisons la même exp mais à l’horizontal.
Les caractéristiques de la force de rappel
sont :
- direction : celle du ressort
- sens : opposé à la déformation du
ressort
- valeur : proportionnelle à la
déformation du ressort F= k /x/
en vecteur F = -k x i
la valeur de la constante de raideur k
du ressort est positive et s’exprime
en N.m-1, x est en m et F en N
schéma :
F<0
F>0
Application :
On accroche une charge à l’extrémité d’un ressort verticale à spires non jointives, de
longueur initiale l0=20cm et de constante de raideur=50N.m-1.
Le ressort prend alors une longueur l=24cm.
Donner les caractéristiques de la force de rappel exercée par le ressort sur la charge.
Solution :
Orientons l’axe du ressort vers le bas. Sous l’effet de la charge le ressort s’allonge :
x>0.
La force de rappel est donc verticale vers le haut.(-kx<0  F est de sens opposé à i)
Pour calculer sa valeur, il ne faut pas oublier d’exprimer les longueurs en mètres ;
F=50*(0.24-0.20)=2.0N
II étude dynamique du système solide ressort
1) nature du mouvement
exp : soit le montage (bobine aimant ressort ordi)
Réalisons un enregistrement grâce à l’ordinateur.
Visualisons x en fonction du temps
Obs : on obtient une sinusoïde
Interp : le mouvement du mobile est périodique.
20 g
Vers ordi
2) bilan des forces
Le mobile est le système. Etude dans le référentiel terrestre considéré galiléen.
Nous admettrons que l’ensemble des deux ressorts de raideur k’ est équivalent à un
seul ressort de raideur k=2k’.
On négligera la poussée d’Archimède.
Ecarté de sa position d’équilibre, le mobile est soumis à 2 forces :
- son poids P vertical dirigé vers le bas


- la force de rappel du ressort F  k.x.i
Représentons ces forces sur un schéma
3) équation différentielle du mouvement
Appliquons la deuxième loi de Newton au solide :
F=mag vect

 



P  F  m.a < P  k.x.i  m.a
Projetons cette égalité vectorielle sur l’axe Ox:
O + O -kx= m aG
Avec ax= d²x/dt² cette équation se met sous la forme :
m d²x/dt² + kx = 0 ou encore après division par m :
d²x/dt² + k/m x = 0
ou x’’ + k/m x =0
4) solution analytique :
Elle est de la forme
x= xm cos (2t/To + o) avec xm , To et o sont des constantes.
Xm amplitude des oscillations ; To périodes ; o phase à l’origine
Remplaçons x et d²x/dt² par leur expression dans l’éq diff pour déterminer T0 :
CC : un pendule élastique horizontal formé d’une masse m accrochée à un ressort de
m
raideur k oscille avec une période propre To=2 *
k
5) prise en compte des conditions initiales :
l’éq diff ne détermine ni l’amplitude ni la phase à l’origine. Pour finir le problème il
faut déterminer la valeur de o et de xm pour cela on utilise les conditions initiales.
Exemple :
Supposons qu'à la date t= 0, on lâche le solide sans vitesse initiale d'une position x = a
> O.
Calculons xm et o
La solution générale indique que, pour t = 0: x = xm cos o
Comme nous savons qu'à cet instant x = a, nous obtenons une première condition:
a =xm cos o
Il nous faut une deuxième relation puisque nous avons deux inconnues.
Elle nous est fournie par la condition initiale sur la vitesse: à la date t = 0, vx = O.
Exprimons la vitesse du solide:
v = dx/dt = -2/To xm sin(2t/To+o).
A la date t= 0: vx= 0 =-2 / To xm sino
On en déduit sin o = 0; d'où les deux valeurs pour o: o = 0 ou o = 
Reportons ces valeurs dans la condition (1) :
o = 0 => cos o = 1 => xm = a .
o =  => cos o = - 1 => xm = - a. Cette solution est impossible puisque a et xm sont
des grandeurs positives.
On obtient finalement, pour ce mouvement, l'équation: x = a cos 2t/To
III amortissement des oscillations
Quand on augmente les frottements, l’amplitude et le nombre des oscillations diminue
rapidement. Tant que l’amortissement est faible, la pseudo période est pratiquement égale à la
période propre To du système amorti. Fig 19
Quand les frottements sont trop importants, le solide n’oscille plus. C’est le régime
apériodique.fig 20
IV phénomène de résonance
Exp avec le HP et GBF ce phénomène se produit lorsque la période de l’excitateur est voisine
de la période propre du résonateur. Exp diapason avec et sans sa caisse de résonance.
Ex 18 -20-28 – 31 p297 + résol p 292