Leçon 5

QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 24
E.BECCHETTI
Leçon 5 TRAVAUX NUMERIQUES
PUISSANCES D’UN NOMBRE
Séquence 1 :
Compétence
Comprendre les notations an et a-n et savoir les utiliser sur des exemples numériques,
pour des exposants très simples et pour des égalités telles que a² x a3 = a5 ;
(ab)² = a²b² ;
Error!
= a-3 où a et b sont des nombres relatifs non nuls
 Quelle est la formule qui permet de calculer l’aire d’un carré a : a²
Quelle est la formule qui permet de calculer le volume d’un cube d’arête a : a3
 ( (Dans cet exercice, tu donneras uniquement la suite d’opérations). Une population de bactéries
double toutes les heures. Au départ, il y a une bactérie. Combien y en a-t-il au bout d’une heure : 2
au bout de trois heures : 2 x 2 x 2
au bout de sept heures : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
au bout de dix heures : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 En utilisant les deux exercices du dessus, calcule puis trouve une notation pour les réponses du
deuxième exercice
2 x 2 x 2 = 8 = 23 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 = 27
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1 024 = 210 2 = 21
 Un premier exercice
Complète si possible :
2 x 2 x 2 = 23 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 77
0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,34 5 + 5 + 5 = 5….. 27 = 33
 Un deuxième exercice
Calcule :
23 = 8 52 =25 105 = 100 000 18 = 1
0252 = 0 2581 = 258 0,13 = 0,001 1,12 = 1,21
Error!
2 =
Error!
Error!
3 =
Error!
(-2)4 = 16 (-5)2 = 25
(-1)25 = -1 (-1)24 = 1 (-10)2 = 100 (-10)5 = -100 000
 Avec la calculatrice
Calcul du quotient avec la calculatrice CASIO : Passer en mode ligne : Shift mode 2
84

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 Pour aller plus loin …
a) Complète : 2 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26. ; 27
b) Complète : 23 = 22 x 2 ; 24 = 23 x 2 ; 25 = 24 x 2
c) On passe d’un nombre au suivant en multipliant par 2
d) On passe d’un nombre au précédent en divisant par 2
e) Comment peut-on noter le nombre qui précède 22 ?: 21 =
Error!
= 2
f) Quel est le nombre qui précède 21 ? :
Error!
peut se noter 20 (Utilise le d)
g) Quel est le nombre qui précède 1 ?
Error!
peut se noter 2-1 (Utilise le d)
Complète :
25
24
23
22
21
20
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
32
16
8
4
2
1
0,5
0,25
0,125
0,062 5
0,03 125
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
En utilisant le même style de notation, complète :
Error!
= 13-1
Error!
= 7-2
Error!
= 8-3
Error!
= 3-6
Définition
Soit a un nombre relatif et soit n un entier supérieur ou égal à 1.
On appelle puissance n-ième de et le produit de n facteurs égaux à a.
On écrit an = a x a x a x a x … x a
n facteurs égaux à n
a1 = a et 0n = 0
Par convention : si a  0 ; a0 = 1
Si a  0 l’inverse de an se note a-n et a-n =
Error!
 Exemples : (-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243 4,31 = 4,3
90 = 1 2-3 =
Error!
=
Error!
= 0,125
Puissances et calculs
 Complète en appliquant la définition
43 = 4 x 4 x 4
45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4
Complète en utilisant ce que tu as écrit au-dessus
43 x 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 48. = 4 3 + 5
Complète de même
72 x 75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 77 = 72 + 5

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114 x 113 = 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 117 = 114 + 3
 Complète en appliquant la définition
5-2 =
Error!
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
56 x 5-2 = 56 x
Error!
=
Error!
= 54. = 56 - 2
Complète de même
114 x 11-6 = 114 - 6 = 11 -2
7-3 x 7-5 = 7 – 3 – 5 = 7 -8
Complète : Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on ajoute les exposants
Quotient de deux puissances
 Complète :
Error!
= 38 x
Error!
= 38 x 3-5 = 3 3
Error!
= 59 x
Error!
= 59 x 5-4 = 55
Error!
= 7-2 x
Error!
= 7-2 x 73 = 71 = 7
Error!
= 2-11 x
Error!
= 2-11 x 23 = 2-8
Complète : Pour diviser deux puissances d’un même nombre, on soustrait les exposants
Propriétés
Soit a un nombre relatif et soit n et p deux entiers relatifs.
 an x ap = an + p 
Error!
= an p
 Exemples: Écrire les expressions suivantes sous forme d’une seule puissance :
a) 114 x 11 5 ; 74 x 7-2 ; 5-3 x 57 ; 2-3 x 2-4 ; 8 x 24
b)
Error!
;
Error!
;
Error!
;
Error!
;
Error!
Puissances d’un quotient
 Complète :
Error!
3 =
Error!
x
Error!
x
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
4 =
Error!
x
Error!
x
Error!
x
Error!
= =
Error!
Error!
5 =
Error!
x
Error!
x
Error!
x
Error!
x
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
8 =
Error!
a et b sont deux nombres relatifs non nul et soit n un entier relatif
Error!
n =
Error!
Puissances d’un produit
 Complète :
(5a)² = 5a x 5a = 5 x 5 x a x a = 5² x a²
(7a)3 = 7a x 7a x 7a = 7 x 7 x 7 x a x a x a = 73 x a3
Propriétés
Soit a et b deux nombres relatifs non nuls, n est un entier relatif

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Error!
n =
Error!
 (ab)n = an x bn
 Complète : Calcule les expressions suivantes (a et t sont des nombres non nuls)
(3t)3 = 33 t3 = 27 t3
Error!
9=
Error!
9a9 =
Error!
c =
Error!
a9
(4t)² = 4² t² = 16 t²
7 x (3a)² = 7 x 3² a² = 7 x 9 a² = 63 a²
Séquence 2 :
Compétence
Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10mx 10n=10m+n ; Error!= 10-n ;
(10m)n = 10mn où m et n sont des entiers relatifs
 Complète :
10² = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 103
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 104 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 100 = 105
Pour obtenir l’écriture décimale de 10n (n entier positif), on écrit un 1 suivi de n zéros
Écris sous la forme
Error!
puis sous forme décimale
10-3 =
Error!
= 0,001 10-5 =
Error!
= 0,000 01
Pour obtenir l’écriture décimale de 10-n (n entier positif), on écrit un zéro puis la virgule suivi de n-1
zéros puis le 1 En tout, il y a n zéros
Propriété
Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
10n
On écrit 10n = 10 x 10 x 10 x 10 x … x 10 = 100… 0
n facteurs égaux à 10 n zéros
10-n =
Error!
=
Error!
= 0,0…01 n-ième chiffre après la virgule
n zéros n zéros
 Exemple : 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000
4 facteurs 4 zéros
10-5 =
Error!
=
Error!
= 0,00 001 le 1 est le cinquième chiffre après la virgule
5 zéros 5 zéros
 Exercices : Écris sous forme décimale
102 = 100 104 = 10 000
10-2 = 0,01 10-6 = 0,000 001
107 = 10 000 000 100 = 1
Calcul d’une puissance de 10 avec la calculatrice CASIO : Mode : NORM : Shift Mode Setup 8 2
10-4

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Exercices :
Écris sous forme d’une puissance de 10
105 x 102 (On utilise la formule an x ap = an + p) donc 105 x 102= ……… = ………
Error!
(On utilise la formule
Error!
= an - p) donc
Error!
= ……… = ………
Puissances d’une puissance de 10
 Complète :
(102)3 = 1003 = 100 x 100 x 100 = 106
(103)4 = 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 = 1012
(10-2)3 =
Error!
x
Error!
x
Error!
=
Error!
= 10-6
(103)-2 = (1 000)-2 =
Error!
=
Error!
= 10-6
(10-2)-3 =
Error!
Error!
-3= 0,01-3 = =
Error!
=
Error!
=
Error!
= 106
Pour élever une puissance de 10 à une autre puissance, on multiplie les exposants
Propriétés
Soient m et n deux nombres relatifs
 (10m)n = 10m x n
 Exemple : Écrire sous forme d’une seule puissance de 10
(105)3 = 105 x 3 = 1015
(10-4)3 = 10(-4) x 3 = 10-12
(10-2)-8 = 10(-2) x (-8) = 1016
Décomposition d’un nombre décimal
Complète :
312,02 = 3 x 100 + 1 x 10 + 2 x 1 + 2 x 0,01 = 3 x 102 + 1 x 101 + 2 x 100 + 2 x 10-2
516,4 = 5 x 100 + 1 x 10 + 6 x 1 + 4 x 0,1 = 5 x 102 + 1 x 101 + 6 x 100 + 4 x 10-1
12,003 = 1 x 10 + 2 x 1 + 3 x 0,001 = 1 x 101 + 2 x 100 + 3 x 10-3
12 256 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1
= 1 x 105 + 2 x 104 + 2 x 103 + 5 x 101 + 6 x 100
0,002 3 = 2 x 0,001 + 3 x 0,000 1 = 2 x 10-3 + 3 x 10-4
Calcul avec des puissances de 10
 Exemple : Calcule A =
Error!
Méthode de calcul
1) On regroupe les nombres entre eux et les puissances entre elles
2) On applique les règles de calcul aux nombres