Leçon 5 TRAVAUX NUMERIQUES PUISSANCES D’UN NOMBRE Séquence 1 : Compétence Comprendre les notations an et a-n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telles que a² x a 3 = a5 ; (ab)² = a²b² ; Error!= a-3 où a et b sont des nombres relatifs non nuls Quelle est la formule qui permet de calculer l’aire d’un carré a : a² Quelle est la formule qui permet de calculer le volume d’un cube d’arête a : a3 ( (Dans cet exercice, tu donneras uniquement la suite d’opérations). Une population de bactéries double toutes les heures. Au départ, il y a une bactérie. Combien y en a-t-il au bout d’une heure : 2 au bout de trois heures : 2 x 2 x 2 au bout de sept heures : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 au bout de dix heures : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 En utilisant les deux exercices du dessus, calcule puis trouve une notation pour les réponses du deuxième exercice 2 x 2 x 2 = 8 = 23 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 = 27 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1 024 = 210 2 = 21 Un premier exercice Complète si possible : 2 x 2 x 2 = 23 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,3 4 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 77 5 + 5 + 5 = 5….. 27 = 33 Un deuxième exercice Calcule : 23 = 8 52 =25 105 = 100 000 18 = 1 0252 = 0 2581 = 258 0,13 = 0,001 1,12 = 1,21 2 3 Error! = Error! Error! = Error! (-2)4 = 16 (-5)2 = 25 (-1)25 = -1 (-1)24 = 1 (-10)2 = 100 (-10)5 = -100 000 Avec la calculatrice Calcul du quotient avec la calculatrice CASIO : Passer en mode ligne : Shift mode 2 84 QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 24 E.BECCHETTI Pour aller plus loin … a) Complète : 2 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26. ; 27 b) Complète : 23 = 22 x 2 ; 24 = 23 x 2 ; 25 = 24 x 2 c) On passe d’un nombre au suivant en multipliant par 2 d) On passe d’un nombre au précédent en divisant par 2 e) Comment peut-on noter le nombre qui précède 22 ?: 21 =Error! = 2 f) Quel est le nombre qui précède 21 ? : Error! peut se noter 20 (Utilise le d) g) Quel est le nombre qui précède 1 ? Error! peut se noter 2-1 (Utilise le d) Complète : 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,062 5 0,03 125 Error! Error! Error! Error! Error! En utilisant le même style de notation, complète : Error! = 13-1 Error! = 7-2 Error! = 8-3 Error! = 3-6 Définition Soit a un nombre relatif et soit n un entier supérieur ou égal à 1. On appelle puissance n-ième de et le produit de n facteurs égaux à a. On écrit an = a x a x a x a x … x a n facteurs égaux à n a1 = a et 0n = 0 Par convention : si a 0 ; a0 = 1 Si a 0 l’inverse de an se note a-n et a-n = Error! Exemples : (-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243 90 = 1 4,31 = 4,3 2-3 = Error! = Error! = 0,125 Puissances et calculs Complète en appliquant la définition 43 = 4 x 4 x 4 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 Complète en utilisant ce que tu as écrit au-dessus 43 x 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 48. = 4 3 + 5 Complète de même 72 x 75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 77 = 72 + 5 QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 25 E.BECCHETTI 114 x 113 = 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 117 = 114 + 3 Complète en appliquant la définition 5-2 = Error! 56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 56 x 5-2 = 56 x Error! = Error! = 54. = 56 - 2 Complète de même 114 x 11-6 = 114 - 6 = 11 -2 7-3 x 7-5 = 7 – 3 – 5 = 7 -8 Complète : Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on ajoute les exposants Quotient de deux puissances Complète : Error! = 38 x Error! = 38 x 3-5 = 3 3 Error! = 59 x Error! = 59 x 5-4 = 55 Error! = 7-2 x Error! = 7-2 x 73 = 71 = 7 Error! = 2-11 x Error! = 2-11 x 23 = 2-8 Complète : Pour diviser deux puissances d’un même nombre, on soustrait les exposants Propriétés Soit a un nombre relatif et soit n et p deux entiers relatifs. an x ap = an + p Error! = an p Exemples: Écrire les expressions suivantes sous forme d’une seule puissance : a) 114 x 11 5 ; 74 x 7-2 ; 5-3 x 57 ; 2-3 x 2-4 ; 8 x 24 b) Error! ; Error! ; Error! ; Error! ; Error! Puissances d’un quotient Complète : 3 Error! = Error! x Error! x Error! = Error! = Error! 4 Error! = Error! x Error! xError! xError! = = Error! 5 Error! = Error! x Error! x Error! x Error! x Error! = Error! = Error! 8 Error! =Error! a et b sont deux nombres relatifs non nul et soit n un entier relatif n Error! = Error! Puissances d’un produit Complète : (5a)² = 5a x 5a = 5 x 5 x a x a = 5² x a² (7a)3 = 7a x 7a x 7a = 7 x 7 x 7 x a x a x a = 73 x a3 Propriétés Soit a et b deux nombres relatifs non nuls, n est un entier relatif QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 26 E.BECCHETTI n Error! = Error! (ab)n = an x bn Complète : Calcule les expressions suivantes (a et t sont des nombres non nuls) (3t)3 = 33 t3 = 27 t3 9 9 Error! = Error! a9 = Error! c = Error! a9 (4t)² = 4² t² = 16 t² 7 x (3a)² = 7 x 3² a² = 7 x 9 a² = 63 a² Séquence 2 : Compétence Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10mx 10n=10m+n ; Error!= 10-n ; (10m)n = 10mn où m et n sont des entiers relatifs Complète : 10² = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 103 4 4 10 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 100 = 105 Pour obtenir l’écriture décimale de 10n (n entier positif), on écrit un 1 suivi de n zéros Écris sous la forme Error! puis sous forme décimale 10-3 = Error! = 0,001 10-5 = Error! = 0,000 01 Pour obtenir l’écriture décimale de 10-n (n entier positif), on écrit un zéro puis la virgule suivi de n-1 zéros puis le 1 En tout, il y a n zéros Propriété Soit n un entier supérieur ou égal à 1. 10n On écrit 10n = 10 x 10 x 10 x 10 x … x 10 = 100… 0 n facteurs égaux à 10 10-n = Error! =Error! = 0,0…01 n zéros n zéros n-ième chiffre après la virgule n zéros Exemple : 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 4 facteurs 4 zéros 10-5 = Error! = Error! = 0,00 001 5 zéros le 1 est le cinquième chiffre après la virgule 5 zéros Exercices : Écris sous forme décimale 102 = 100 104 = 10 000 10-2 = 0,01 10-6 = 0,000 001 107 = 10 000 000 100 = 1 Calcul d’une puissance de 10 avec la calculatrice CASIO : Mode : NORM : Shift Mode Setup 8 2 10-4 QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 27 E.BECCHETTI Exercices : Écris sous forme d’une puissance de 10 105 x 102 (On utilise la formule an x ap = an + p) donc 105 x 102= ……… = ……… Error! (On utilise la formule Error! = an - p) donc Error! = ……… = ……… Puissances d’une puissance de 10 Complète : (102)3 = 1003 = 100 x 100 x 100 = 106 (103)4 = 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 = 1012 (10-2)3 = Error! x Error! x Error! = Error! = 10-6 (103)-2 = (1 000)-2 = Error! = Error! = 10-6 -3 (10-2)-3 = Error! Error! = 0,01-3 = = Error! = Error! = Error! = 106 Pour élever une puissance de 10 à une autre puissance, on multiplie les exposants Propriétés Soient m et n deux nombres relatifs (10m)n = 10m x n Exemple : Écrire sous forme d’une seule puissance de 10 (105)3 = 105 x 3 = 1015 (10-4)3 = 10(-4) x 3 = 10-12 (10-2)-8 = 10(-2) x (-8) = 1016 Décomposition d’un nombre décimal Complète : 312,02 = 3 x 100 + 1 x 10 + 2 x 1 + 2 x 0,01 = 3 x 102 + 1 x 101 + 2 x 100 + 2 x 10-2 516,4 = 5 x 100 + 1 x 10 + 6 x 1 + 4 x 0,1 = 5 x 10 2 + 1 x 101 + 6 x 100 + 4 x 10-1 12,003 = 1 x 10 + 2 x 1 + 3 x 0,001 = 1 x 10 1 + 2 x 100 + 3 x 10-3 12 256 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1 = 1 x 105 + 2 x 104 + 2 x 103 + 5 x 101 + 6 x 100 0,002 3 = 2 x 0,001 + 3 x 0,000 1 = 2 x 10 -3 + 3 x 10-4 Calcul avec des puissances de 10 Exemple : Calcule A = Error! Méthode de calcul 1) On regroupe les nombres entre eux et les puissances entre elles 2) On applique les règles de calcul aux nombres QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 28 E.BECCHETTI 3) On applique les règle de calcul aux puissances A = Error! On regroupe les nombres entre eux et les puissances entre elles A = Error! x Error! On applique les règles de calcul aux nombres A = Error! x Error! On applique les règle de calcul aux puissances A = 54 x 102-8 A = 54 x Error! A = 54 x 10-6 Notation scientifique Comment comparer des grands nombres !!! Des élèves ont trouvé sur Internet les renseignements suivants : Distance Saturne-Terre : 1 425 000 000 km Distance Pluton-Terre : 5,766 milliards de km Distance Soleil-Terre 1,496 x 109 km Comment comparer de tels nombres ? Un élève propose de les écrire avec la même puissance de 10 1 425 000 000 km= 1,425 x 109 km 5,766 milliards de km = 5,766 x 109 Km 1,496 x 109 km On a donc 1,425 x 109 km < 1,496 x 109 km < 5,766 x 109 Km Les trois écritures en italiques sont appelés des écritures scientifiques Définition L’écriture scientifique d’un nombre relatif est l’unique écriture de la forme a x 10p où a est un nombre décimal plus grand ou égal à 1 et plus petit strictement que 10 et où p est un nombre entier relatif Exemples 7 x 103 est l’écriture scientifique de 7 000. On a bien 17<10 et 3 est un nombre relatif 12,3 x 102 n’est pas l’écriture scientifique de 1 230 car 12,3 n’est pas compris entre 1 et 10 Exercices Écris sous forme scientifique 12 000 12 000 = 1,2 x 10 000 = 1,2 x 104 1 500 000 = 1,5 x 1 000 000 = 1,5 x 106 0,56 = 5,6 x 0,01 = 5,6 x 10-1 1 256 = 1,256 x 1 000 = 1,256 x 103 0,002 = -2 x 0,001 = 2 x 10-3 QUATRIEME MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 5- Page 29 E.BECCHETTI