Résolution de triangles

Résolution de triangle
Directives :
1) Lire les rappels et les exemples. Faire les exercices demandés.
2) Corriger les exercices à l’aide du solutionnaire à la fin du document.
1. Les types de triangle
Définition
Un triangle est une figure géométrique plane délimitée par trois segments de droite. Un triangle comporte trois sommets et
trois côtés.
Il est convenu d'appeler a le côté opposé au sommet A, b le côté opposé au sommet B et c le
côté opposé au sommet C.
Le résultat suivant est vrai pour tous les triangles:
Théorème
La somme des angles internes d'un triangle est égale à 180 o.
Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur. Dans ce cas, les angles
internes sont tous égaux à 60o.
Un triangle est isocèle si exactement deux des côtés sont de même longueur. Dans ce cas, les deux angles internes opposés aux
côtés de même longueur sont égaux.
Un triangle est scalène si aucun des trois côtés n'est de la même longueur. Dans ce cas, aucun des trois angles internes ne sont
égaux.
2. Résolution de triangle rectangle
Un triangle est rectangle si l'un de ses angles internes est un angle droit (donc 90 o!). Un triangle rectangle peut être soit
isocèle soit scalène. Le côté opposé à l'angle de 90o est appelé l'hypoténuse du triangle rectangle.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés. Si c désigne la longueur de l’hypoténuse et a et b
celles des autres côtés, on a la formule :
a2 + b2 = c2
Ce théorème permet de déterminer la mesure d'un côté connaissant les mesures des deux autres côtés. Malheureusement, ce
résultat n'est vrai que pour les triangles rectangles (sinon comment déterminer l'hypoténuse si aucun angle interne n'est de
90o…).
Exercice 2.1 Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 29 cm et le plus petit côté, 20 cm. Déterminer la longueur du
côté manquant.
Définition
La résolution d'un triangle consiste à déterminer les mesures des côtés et des angles inconnus dans un triangle.
1
Dans le cas des triangles rectangles, les rapports trigonométriques sont utilisés pour compléter la résolution du triangle.
Rappelons que les rapports entre les côtés sont les mêmes pour des triangles semblables.
C'est-à-dire,
c f
=
a d
𝑏 𝑒
=
𝑎 𝑑
𝑐 𝑓
=
𝑏 𝑒
etc.
Par rapport à l'angle C du petit triangle rectangle, le côté b est le côté adjacent à l'angle C et le côté c est le côté opposé à
l'angle C. Le côté a demeure l'hypoténuse.
Définition des rapports trigonométriques
Les trois rapports trigonométriques les plus utilisés sont le sinus, le cosinus et la tangente.
Le sinus de C, noté sin(C) :
sin(𝐶) =
mesure du côté opposé à C
mesure de l′ hypoténuse
cos(𝐶) =
mesure du côté adjacent à C
mesure de l′ hypoténuse
tan(𝐶) =
mesure du côté opposé à C
mesure du côté adjacent à C
Le cosinus de C, noté cos(C) :
La tangente de C, noté tan(C) :
Truc mnémotechnique
Pour se rappeler les définitions des rapports trigonométriques, il suffit de se rappeler de
SOH-CAH-TOA
C'est-à-dire : le Sinus, c’est l’Opposé sur l’Hypoténuse, le Cosinus, c’est l’Adjacent sur l’Hypoténuse, et la Tangente, c’est
l’Opposé sur l’Adjacent.
Dans le cas du petit triangle rectangle ci-haut,
sin(C)=
𝑐
𝑏
𝑐
, cos(𝐶) = et tan(𝐶) =
𝑎
𝑎
𝑏
On remarque que sin(C) = sin(F), cos(C) = cos(F) et tan(C) = tan(F) pour des angles C et F égaux. Connaissant l'angle, on peut
déterminer avec la calculatrice la valeur d'un rapport trigonométrique.
Exemple 2.1 Dans le triangle rectangle ci-contre, les rapports trigonométriques
peuvent être utilisés pour déterminer les mesures des côtés a et de b.
cos(51,57°) =
2,38
2,38
→𝑎=
= 3,83
𝑎
cos(51,57°)
b
→ 𝑏 = 2,38 ∙ tan(51,57°) = 3,00
2,38
La résolution du triangle peut être complétée en déterminant l'angle C.
C = 180o – 90o – 51,57o = 38,43o
tan(51,57°) =
2
Remarque
Les rapports trigonométriques inverses sont utilisés pour déterminer les angles. Ils sont notés sin -1, cos-1 et tan-1 sur la
calculatrice.
Exemple 2.2 Pour résoudre quand aucun angle n’est donné :
sin(𝐶) =
1,6
1,6
→ 𝐶 = sin−1 (
) = 24,09°
3,92
3,92
La résolution du triangle peut être complétée en déterminant l'angle B.
B = 180o – 90o – 24,09o = 65,91o
Exercice 2.2 Résoudre les triangles rectangles suivants.
a)
b)
Exercice 2.3 Trouver les valeurs manquantes.
a)
b)
Remarque
Dans certaines situations, il peut être pratique de considérer la pente comme la
tangente d’un certain angle (angle d’élévation ou de dénivellation). En effet, dans le
schéma ci-contre, on voit que :
y
tan  
 pente
x
Exemple 2.3 Pour résoudre un triangle dont on connaît la pente et un côté :
0,52 =
𝑎
2,56
→ 𝑎 = 2,56 ∙ 0,52 = 1,33
Avec Pythagore, on trouve l’hypothénuse :
𝑏 2 = 2,562 + 1,332 → 𝑏 = √8,3225 = 2,88
L’angle A peut être déterminé directement à partir de la pente :
tan 𝐴 = 0,52 → 𝐴 = tan−1 0,52 = 27,47°
La résolution du triangle peut être complétée en déterminant l'angle C.
180o – 90o – 27,47o = 62,53o
Exercice 2.4 Résoudre les triangles rectangles suivants.
a)
b)
3
3. Résolution de triangle avec la loi des sinus
La loi des sinus est une formule mathématique qui peut être utilisée pour tous les triangles (et pas seulement les triangles
rectangles).
Loi des sinus
sin(𝐴) sin(𝐵) sin(𝐶)
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
La loi des sinus permet de résoudre les triangles où:
1) Un côté et deux angles sont connus.
2) Deux côtés et un angle opposé à l’un de ceux-ci sont connus.
Exemple 3.1 L'angle B peut être immédiatement déterminé.
B = 180o – 61,8o – 60,61o = 57,59o
La loi des sinus permet de déterminer les mesures des côtés b et c.
sin(57,59°) sin(61,8°)
3,2 ∙ sin(57,59°)
=
→𝑏=
= 3,07
b
3,2
sin(61,8°)
sin(60,61°) sin(61,8°)
3,2 ∙ sin(60,61°)
=
→𝑐=
= 3,16
c
3,2
sin(61,8°)
Le triangle est donc résolu.
Exemple 3.2 La loi des sinus permet de déterminer l'angle B.
sin(B) sin(34,11°)
4,49 ∙ sin(34,11)
=
→ sin(𝐵) =
= 0,912289116
4,49
2,76
2,76
sin−1 (0,912289115) = 65,82°
Ce n'est pas l'angle B, car l'angle B est obtus. Dans ce cas, l'angle B est obtenu en
soustrayant l'angle aigu 65,82o à 180o.
B = 180o – 65,82o = 114,18o
Remarque
Dans le cas où un angle est obtus, la touche sin–1 de la calculatrice ne donne pas
l’angle tel quel, mais son complémentaire (l’angle qu’il faudrait y ajouter pour
obtenir 180o). Il faut donc soustraire, soit faire : 180o  (valeur affichée).
L'angle C peut être rapidement déterminé.
C = 180o – 34,11o – 114,18o = 31,71o
La loi des sinus permet de déterminer la longueur du côté c.
sin(31,71) sin(34,11°)
2,76 ∙ sin(31,71°)
=
→𝑐=
= 2,59
c
2,76
sin(34,11°)
Le triangle est donc résolu.
4
Exercice 3.1 Résoudre les triangles suivants.
a)
b)
4. Résolution de triangle avec la loi des cosinus
La loi des cosinus est une autre formule mathématique qui peut être utilisée pour tous les triangles (et pas seulement pour
les triangles rectangles).
Loi des cosinus
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos(𝐴)
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos(𝐵)
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos(𝐶)
La loi des cosinus permet de résoudre les triangles où:
1) Deux côtés et l'angle qu’ils forment sont connus.
2) Les trois côtés sont connus.
Truc mnémotechnique
La loi du cosinus ressemble à la relation de Pythagore, dans laquelle on a introduit un facteur de « correction » pour tenir
compte du fait que le côté écrit à gauche n’est pas une hypoténuse car on n’a pas affaire à un triangle rectangle.
Exemple 4.1 La loi des cosinus permet de déterminer la longueur du côté a.
𝑎2 = 3,062 + 3,612 − 2 ∙ 3,06 ∙ 3,61 ∙ cos(46,54°) = 7,1989 → 𝑎 = 2,68
L'angle B est déterminé avec la loi des cosinus.
3,062 = 2,682 + 3,612 − 2 ∙ 2,68 ∙ 3,61 ∙ cos(𝐵) → cos(𝐵) = 0,560781618
𝐵 = cos −1 (0,560781618) = 55,89°
L'angle C peut être rapidement déterminé.
C = 180o – 46,54o – 55,89o = 77,57o
Le triangle est donc résolu.
5
Exemple 4.2 La loi des cosinus permet de déterminer les angles A et B.
5,192 = 3,182 + 3,382 − 2 ∙ 3,18 ∙ 3,38 ∙ cos(𝐴) → cos(𝐴) = −0,251167616
𝐴 = cos −1 (−0,251167616) = 104,55°
3,182 = 5,192 + 3,382 − 2 ∙ 5,19 ∙ 3,38 ∙ cos(𝐵) → cos(𝐵) = 0,805147017
𝐵 = cos −1 (0,805147017) = 36,38°
L'angle C peut être rapidement déterminé.
C = 180o – 104,55o – 36,38o = 39,07o
Le triangle est donc résolu.
Exercice 4.1 Résoudre les triangles suivants.
a)
b)
Exercice 4.2
Un planeur survole un plan d’eau à une altitude 300 m. Les
angles de dénivellation des rives du plan d’eau sont de 11
d’une part et de 13 d’autre part. Quelle est la largeur du plan
d’eau, à cent mètres près ?
Exercice 4.3
Pour évaluer indirectement la hauteur d’une tour, on a mesuré l’angle d’élévation du sommet d’une tour en deux endroits au
niveau de la base de la tout, situés en ligne droite vers la tour et distants de 20 m l’un de l’autre. Si on a obtenu des angles
d’élévation de 40 et de 48, déterminer la hauteur de la tour au dixième de mètre près. (Faire un schéma de la situation).
Exercice 4.4
Les poutrelles ajourées permettent l’installation de fils et de conduits sans avoir à
perforer ni couper la structure (voir image). Sachant que les mesures des côtés internes
du triangle isocèle sont de 14 po pour le long côté et de 10 po pour les petits côtés,
déterminer le diamètre extérieur maximal de conduit pouvant y être introduit, au
seizième de pouce près. (Indice : tracer le centre du cercle et les rayons perpendiculaires
aux côtés du triangle avant de commencer).
Exercice 4.5
On planifie de construire une lucarne sur un toit, ayant la forme
indiquée sur l’image. On veut avoir les longueurs suivantes :
mFR = 24 po, mAF = 25 po et mAB = 30 po. Il faut déterminer, à 2
décimales près :
a) l’angle FBA
b) l’angle FRB
c) l’angle ARB
d) la pente du toit
(Indice : considérer le triangle OFR, où O est le point milieu du
segment AB, et noter que la tangente d’un angle d’élévation
correspond à la pente).
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Exercice 4.6 Une entrée est représentée sur la figure ci-dessous. Cette entrée est parfaitement symétrique. Déterminer
l'angle α sur la figure.
Réponses des exercices
2.1) 21 cm
2.2) a) a = 4,24, c = 1,40 et C = 19,29o b) c = 1,60, B = 64,65o et C = 25,35o
2.3) a) b = 3,28, c = 1,54, C = 25,15o et C=77,59 o b) n=3,06
2.4) a) a = 0,88, b = 4,10, A = 12,41o et C=77,59 o b) c = 3,24, b=4,42, A=42,80o et C = 47,20o
3.1) a) C = 62,22o, a = 3,36 et b = 2,72 b) C = 79,29o, B = 34,04o et b = 1,91
4.1) a) c = 2,78, A = 26,56o et B = 119,32o b) A = 59,92o, B = 68,97o et C = 51,11o
4.2) 2842,81m ≈ 2,8 km
4.3) Réponse : h = 68,6 m, voir schéma ci-contre.
4.4) 5,95 po, donc au seizième le plus près : 5 15
16
po
4.5) a) 53,13 b) 46,17 c) 51,29 d) 5/6
4.6) L'angle α est 11,82o.
Schéma du 4.3
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