Fiche démonstration Pythagore 4e

Fiche démonstration
Pythagore
4e
On considère le carré MNOP ci-dessous. On a partagé chacun de ses
côtés en 2 segments de longueur a et b ( a et b sont deux nombres
positifs différents). L’unité est le centimètre.
Etape 1
Aire du carré MNOP en fonction de a et b :
AMNOP = (a+b)×(a+b) = a²+2ab+ b²
(cm²)
Les quatre triangles de la figure 2 sont tous identiques car ils
sont rectangles et les côtés adjacents de l’angle droit sont a et b
pour tous ces triangles.
Si on note c l’hypoténuse de ces 4 triangles, on peut calculer
l’aire de chacun :
Atriangl e =
Error!
L’aire des 4 est donc A’ = 4×Error! = 2ab (cm²)
On en déduis l’aire du quadrilatère QRST :
AQRST = AMNOP − A’ = a 2 +2ab+b 2 −2ab = a 2+b 2
Etape 2
On note α l’angle Æ;MQR . Les angles aigus d’un triangle rectangle
sont complémentaires, donc Æ;MRQ = 90−α
Le triangle RSN est identique au triangle MRQ car ils sont
rectangles et ont pour côtés adjacents à l’angle droit les côtés de
longueur a et b.
On en déduit : Æ;RSN = Æ;MRQ
puis Æ;NRS = α
Æ
L’angle ;MRN est un angle plat. Il vaut donc 180°.
On en déduit Æ;QRS = Æ;MRN - Æ;MRQ - Æ;NRS
= 180 – (90 – α) – α
= 180 – 90 + α – α
= 90
Donc l’angle Æ;QRS est un angle droit.
Etape 3
Le quadrilatère QRST a quatre côtés égaux et quatre angles droits,
donc c’est un carré.
Son aire vaut :
A = c 2 (cm²)
Conclusion
Dans le triangle rectangle MRQ rectangle en M
a 2+b 2= c 2