1 Soit la suite (Un), définie pour tout n * IN, par : Un+1 = 2 Un + 1 et

1 Soit la suite (Un), définie pour tout n  I; N, par : Un+1 = 2 Un + 1 et U0 = 0
1° calculer les cinq premier termes de cette suite.
2° Peut-on émettre une hypothèse concernant l'expression de Un en fonction de n ?
3° Démontrer que pour tout entier n : Un = 2n – 1.
2 Démontrer par récurrence que pour tout n de I; N on a : 2n  n + 1
3 Soit x un réel différent de 1.
Démontrer par récurrence que :
n
I; N :
Error!
= 1 + x + x2 + x3 + …. + xn =
Error!
4 Soit Sn la somme des nombres entiers de 1 à n : Sn = Error! = 1 + 2 + 3 + ... + n
Soit Cn la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n : Cn =
Error!
= 13 + 23 + 33 + ... + n3
1° Calculer Sn et Cn lorsque n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Que peut-on conjecturer ?
2° Démontrer par récurrence que pour tout n > 1 : Cn =
Error!
. Conclure.
5 On considère les suites (Un)n I; N* et (Vn)n I; N* définies pour tout entier n  1 par : Un = Error!Error! et Vn
= Error!Error!
1° a) Calculer à la main les valeurs exactes de U1 , U2 , U3 et U4 .
b) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée de U13 à 10–10 près.
2° Etudier la monotonie de la suite (Un)n I; N*
3° Quelle est la formule explicite de Vn en fonction de n ?
4° a) Démontrer par récurrence que :  n  I; N* , Error!  Error! . En déduire que :  n  Error! , Un  1 +
Vn
b) Prouver que pour tout entier n  3, Error! < Un < 3.
6 Considérons la suite (Un), définie pour tout n
I; N, par : Un+2 = 5 Un+1 – 6 Un , U0 = 1 et U1 = 2
Démontrer que pour tout n
I; N : Un = 2n
7 On considère la proposition P(n) : 2n  n2 .
1° Cette proposition est-elle vraie pour les entiers 0, 1, 2, 3, 4 , 5 ?
2° Démontrer que la proposition P(n) est vraie pour tout entier naturel n différent de 3
8 On considère la suite définie par U0 = 2 et pour tout n  I; N, Un+1 = 2 Un – n.
Démontrer par récurrence que pour tout n
N, Un = 2n + n + 1.
Soit (Un) la suite définie par :
U0 = 10 ;pour tout entier naturel n
Un+1 = 2 Un + 1 La suite (Un) est-elle monotone ?
5
5
10
x

On considère la suite définie par U0 = 2 et pour tout n I; N, Un+1 = 2 Un – n.
Démontrer par récurrence que pour tout n N, Un = 2n + n + 1.