Chapitre 15

MPSI Chapitre 15
QUADRIPÔLES, FILTRES DU PREMIER ORDRE
15-1 Quadripôle, fonctions de transfert
15-1-1 Quadripôle, générateur, charge
Un quadripôle (ou quadrupôle) est une portion de circuit présentant quatre bornes : deux bornes
d'entrée et deux bornes de sortie.
Les tensions et les courants sont en général algébrisés comme sur le schéma ci-dessous .
générateur quadripôle charge
iE
iE
iS
iS
uEuS générateur quadripôle charge
iE
iE
iS
iS
uEuS
uE : tension d'entrée iE : courant d'entrée uS : tension de sortie iS : courant de sortie
(Pour des raisons de symétrie, il peut être pratique de flécher is dans l'autre sens).
Un quadripôle est en général associé à deux dipôles électrocinétiques
- Un dipôle générateur relié aux bornes d'entrée. Si ce dipôle est linéaire, au moins dans le domaine où on
l'utilise, il pourra être modélisé par un générateur de Thévenin ou de Norton. Si la résistance du générateur,
(ou, en régime sinusoïdal permanent, son impédance) est négligeable, on le modélisera comme une source
de tension. Si sa conductance (ou, en régime sinusoïdal permanent, son admittance) est négligeable, on le
modélisera comme une source de courant.
- Un dipôle récepteur relié aux bornes de sortie, que l'on nommera "charge". Ce sera souvent un dipôle
passif, par exemple, une résistance pure.
Un quadripôle peut comporter un dipôle générateur, le plus souvent une source liée dont le
fonctionnement nécessite une alimentation, (voir les montages à amplificateurs opérationnels), celle-ci n'est
en général pas représentée sur les schémas. Lorsque le quadripôle ne comporte pas de source, il est dit
"passif", dans le cas contraire, il est dit "actif".
15-1-2 Fonctions de transfert (ou transmittances)
En régime sinusoïdal permanent, pour un quadripôle linéaire, les grandeurs d'entrée et de sortie sont
de même pulsation (ou "fréquence angulaire") .
Les grandeurs complexes associées à une grandeur d'entrée xE et à une grandeur de sortie yS sont
respectivement xE = XE exp(j t) et yS = YS exp(j t).
Le rapport
E
S
E
SX
Y
x
y
est indépendant du temps, c'est une fonction de j que l'on note H(j).
La fonction de transfert ou transmittance complexe du quadripôle est :
E
S
E
SX
Y
x
y
)j(H 
.
Il est très important de noter dès maintenant, que la fonction de transfert d'un quadripôle dépend, à
priori, non seulement du quadripôle considéré, mais aussi de la charge.
On peut distinguer quatre transmittances pour un quadripôle suivant la nature, intensité ou tension,
des grandeurs yS et xE: auxquelles on s'intéresse .
- Amplification en tension :
E
S
U
U
(sans dimension) - Amplification en courant :
E
S
I
I
(sans dimension)
- Transimpédance complexe :
E
S
I
U
(en ) - Transadmittance complexe :
E
S
U
I
(en S).
Le module H et l'argument  d'une fonction de transfert sont des fonctions de la fréquence angulaire
)(jexp)(H)j(H 
.

15-1-3 Amplification, gain, gain en décibels
Si les grandeurs d'entrée et de sortie considérées sont de même nature, le module H() de la fonction
de transfert est nommé "gain", il peut varier énormément avec la pulsation, c'est pourquoi on utilise une
échelle logarithmique.
Le logarithme décimal du rapport de deux puissances (électrocinétiques, acoustiques...) s'exprime
avec une unité : le bel (symbole B). Si P0 est la puissance de référence, le gain en puissance est, en bels :
0
PlogB1G P
P
ou, en décibels
0
PlogdB10GP
P
.
Pour un quadripôle, en régime sinusoïdal permanent, le gain en puissance s'exprime avec les
puissances électrocinétiques moyennes reçue à l'entrée et fournie à la sortie :
E
S
PP
P
logdB10G
.
Si l'ensemble constitué par le quadripôle et la charge est équivalent, vu des entrées, à un dipôle et si
son impédance complexe est ZE = RE + j SE , alors PE =
2
E
2
EE
2
EE Z2
UR
2
IR
. De même, si le charge est
passive et si son d'impédance complexe est ZC = RC + j SC, alors PS =
2
C
2
SC
2
SC Z2
UR
2
IR
. On a donc
E
S
2
CE
2
EC
E
S
E
CU
U
log20
ZR
ZR
log10
I
I
log20
R
R
log10
dB1G
. Le gain en puissance, en décibels
apparaît donc comme la somme de deux termes dont l'un est 20log(H) avec H =
E
S
U
U
ou H =
E
S
I
I
suivant si
l'on s'intéresse à une amplification en tension ou à une amplification en courant.
C'est pourquoi on définit le gain en décibels d'un quadripôle par la formule
)Hlog(dB20G 
.
C'est une fonction de , comme H
Un gain de 20 dB correspond donc à une multiplication par 10 de l'amplification en courant ou en
tension.
G est positif s'il y a réellement amplification (H > 1) et négatif s'il y a en fait atténuation (H < 1). Il
tend vers –  s'il y a extinction (H = 0).
15-1-4 Gain en décibels dans le cas d'une fonction de transfert mixte
Si H(j) est une transadmittance ou une transimpédance, il est nécessaire de se ramener à une
grandeur sans dimension pour utiliser une échelle logarithmique, (le log ou le ln d'une unité de mesure
n'existent pas).
On utilise une pulsation de référence 0 judicieusement choisie, (une valeur pour laquelle la
transmittance est réelle, ou maximale ...), le gain en décibels est alors ainsi défini par :
)(H )(H logdB20G0
15-2 Diagrammes de Bode d'une fonction de transfert
15-2-1 Définition
Soit une pulsation de référence 0 (ou une fréquence de référence N0) judicieusement choisie. On
notera
00 N
N
x
la pulsation réduite ou la fréquence réduite
On appelle diagrammes de Bode d'une fonction de transfert, les diagrammes représentant les
graphe des fonctions :
)Hlog(dB20Gxlog:f 
(ou
)(H )(H logdB20G0
) et
)Harg()xlog(:g 
Les diagrammes obtenus avec différents choix pour 0 ou pour N0 ne différent que par une

translation sur l'axe des abscisses.
L'intervalle compris entre les fréquences N et 10 N est une "décade", il lui correspond une largeur de
1 sur l'axe des abscisses.
Le tracé des diagrammes de Bode est facilité par l'utilisation de papier semi-logarithmique qui est
gradué proportionnellement à log(x) sur l'axe des x et proportionnellement à y sur l'axe des y.
15-2-2 Bande passante, fréquences de coupure
Par définition, à la "coupure", le gain maximum est divisé par
2
, (gain en puissance divisé par 2)
2
H
HM
C
. Donc
)2log(10
2
1
log20
H
H
log20
M
C
, avec log(2) = 0,30103
3,0
d'où :
dB3GG MC 
Les valeurs C (ou NC) correspondantes sont les "pulsations de coupure" (ou les "fréquences de
coupure").
La "bande passante" est l'intervalle en fréquence ou en pulsation tel que G > GM – 3 dB, elle
s'exprime par la différence entre deux fréquences (ou pulsations) de coupure ou par la valeur de l'unique
fréquence (ou pulsation) de coupure.
Lorsqu'il n'y a qu'une fréquence de coupure il est pratique de l'utiliser comme fréquence de
référence, c'est-à-dire de tracer les graphes en fonction de
CC
log
N
N
log
.
15-3 Exemples de fonctions de transfert
15-3-1 RLC série
On peut étudier le dipôle RLC série (ou tout autre dipôle en régime sinusoïdal permanent), comme
un quadripôle en sortie court-circuitée (RC = 0) et étudier sa transadmittance lorsqu'il est alimenté par une
source de tension :
iE
LRCiS
uE
iE
LRCiS
uE
Ici, iS = iE et uS = 0, la seule fonction de transfert présentant un intérêt est la transadmittance
E
S
U
I
H
= Y(RLCsérie) =
 C
1
LjR
1
.
En prenant la pulsation à la résonance
LC
1
0
comme pulsation de référence, avec le facteur de
qualité
RC
1
R
L
Q0
et
R
1
H0
, transadmittance. réelle à la résonance, en posant
0
x
, on a :
x
1
xjQ1R
1
H
donc
2
2x
1
xQ1R
1
H
et
 x
1
xQtanArc
.
2
2
0x
1
xQ1log10
H
H
log20
dB1G
Diagramme du gain : G = f(log(x))

On remarquera d'abord que G prend la même valeur pour x et pour
x
1
'x 
(log(x') = – log(x)) donc
la fonction f est paire.
La valeur maximale de G est 0, elle est obtenue pour x = 1. Les pulsations réduites de coupure
correspondent à G = – 3 dB, ce sont donc x 1et x2 qui vérifient l'équation (déjà résolue au 14-1-6) :
2
1
x
1
xQ1
1
H
H
2
2
0
soit
1
x
1
xQ 2
2
donc les pulsations réduites de coupure sont les deux
solutions positives :
1
Q21 Q21
x2
1
et
1
2
2x
1
1
Q21 Q21
x
(log(x2 = – log(x1) du fait de
la parité de la fonction f).
La bande passante s'exprime, en pulsation réduite, par x = x2 – x1 =
Q
1
, ou en pulsation par
 = 2 – 1 =
L
R
Q
0
, ou en fréquence par N = N2 – N1 =
L2R
. Le facteur de qualité est bien
0 Q
.
On trace le diagramme asymptotique de la façon suivante
Pour x 0 (log(x) – )
)xlog(20)Qlog(20
x
Q
log10
dB1G2
2
, cette asymptote a une
pente de 20 dB/décade.
Pour x  (log(x) )
)xlog(20)Qlog(20xQlog10
dB1G22 
, cette asymptote a une
pente de – 20 dB/décade.
Les deux asymptotes ont la même ordonnée à l'origine – 20 dB log(Q).
Diagramme du déphasage :  = g(log(x))
On remarquera d'abord que  prend des valeurs opposées pour x et pour x' =
x
1
(log(x') = – log(x))
donc la fonction g est impaire.
Pour x = 1,  = 0. Pour x = x1,
1
x
1
x(Q 
donc 1 =
4
et 2 = –
4
.
Pour x 0 (log(x) – )
2
. Pour x  (log(x) )
2
.
G(dB)
log(x)
-3
log(x1) log(x2)
Q=9
Q=3
Q=1/3
Q=1
Q=1/9
G(dB)
log(x)
-3
log(x1) log(x2)
G(dB)
log(x)
-3
log(x1) log(x2)
Q=9
Q=3
Q=1/3
Q=1
Q=1/9

Conclusion :
Le quadripôle étudié est un filtre passe-bande car il atténue les signaux de basse fréquence et de
haute fréquence, ne laissant passer que les signaux dont la fréquence est voisine de N0
LC2
1
.
Sa fonction de transfert
E
S
U
I
H
=
 C
1
LjR
1
=
1LC)j(RCjCj 2
est équivalente à une
équation différentielle : RC j IS + LC (j)2 IS + IS = C j UE soit , après division des deux membres par
LC et multiplication par exp(j t) : (j)2 iS +
L
R
j iS +
LC
1
iS =
L
1
j uE soit
dt
ud
L
1
LC
i
dt
id
L
R
dtid E
SS
2S
2
,
cette équation est donc aussi vérifiée par les grandeurs réelles instantanées :
dt
du
L
1
LC
i
dt
di
L
R
dt
id E
SS
2
S
2
.
C'est bien sûr celle que l'on obtiendrait directement en étudiant le circuit en régime quelconque.
Cette équation différentielle est du deuxième ordre, il s'agit donc d'un filtre du deuxième ordre.
Ce filtre est un filtre passif car le quadripôle étudié ne comporte pas de source de tension ni de
source de courant.
15-3-2 Filtres passifs du premier ordre
On étudiera ici deux exemples :
15-3-2-1 Filtre RC (passe-bas)
Il s'agit d'un diviseur de tension que l'on supposera en sortie ouverte. On étudie son amplification
log(x)
)(
log(x1)log(x2)
90
45
-45
-90
Q=1/9
Q=1/3
Q=1 Q=3
Q=9
log(x)
)(
log(x1)log(x2)
90
45
-45
-90
log(x)
)(
log(x1)log(x2)
90
45
-45
-90
Q=1/9
Q=1/3
Q=1 Q=3
Q=9
R
C
uEuS
R
C
uEuS