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Page 1 sur 6 TS Mission lunaire1 Physique Exercice résolu - Enoncé – Remarque : sauf indication contraire, toutes les réponses seront justifiées. Données : - Masse de la Terre : MT = 6,0 x 1024 kg MT - Masse de la Lune : ML = 82 - Rayon de la Terre : RT = 6378 km RT - Rayon de la Lune : RL = 3, 6 - Constante universelle de gravitation : G = 6,67 x 10-11 m3.kg-1.s-2 - Valeur du vecteur champ de pesanteur à la surface terrestre : g0 = 9,8 m.s-2 - Vitesse de libération : vitesse minimale qu’il faut communiquer à un objet situé à l’altitude h d’un astre pour qu’il « échappe » à son attraction gravitationnelle. La valeur vL de cette vitesse est donnée par l’expression : vL = 2G.M (M : masse de l’astre et R : rayon de l’astre) R+ h et est exprimée dans un repère ayant pour origine le centre de l’astre et trois axes orientés vers trois étoiles «fixes». En juillet 1969 la fusée américaine Saturne V a permis d’envoyer deux hommes sur la Lune : Neil Amstrong et Edwin Aldrin. On se propose d’étudier sommairement les quatre phases essentielles du voyage Terre–Lune : la mise en orbite circulaire autour de la Terre, le transfert orbite terrestre-orbite lunaire, la mise en orbite circulaire autour de la Lune et l’alunissage du module lunaire. A. Etude de la mise en orbite autour de la Terre Remarque : on ne tient compte ici que de l’influence de la Terre sur le vaisseau spatial. 1. Le premier étage de la fusée dispose de cinq moteurs développant ensemble une force F de poussée verticale de valeur F = 3,3 x 107 N grâce à la combustion d’une masse mP = 2007 tonnes de propergol (oxygène liquide et kérosène). a) Sachant que la masse de la fusée Saturne V au moment du décollage est M = 2767 tonnes r déterminez, dans le référentiel terrestre et à l’aide d’un repère (O, k ) que vous définirez, uur l’expression littérale du vecteur accélération aG du centre d’inertie G de la fusée lorsqu’elle quitte le sol. b) Calculez la valeur aG de ce vecteur. 2. A 60 km d’altitude des boulons explosifs larguent les réservoirs vides du premier étage et les cinq moteurs du deuxième étage, qui fonctionnent avec de l’oxygène liquide et de l’hydrogène liquide, sont allumés. Cet étage permet au reste de la fusée (la cabine Apollo IX avec son module de service MS, le module lunaire ML et le troisième étage) d’être satellisé sur une orbite circulaire à l’altitude h = 188 km du sol terrestre. 1 : D’après un sujet de l’Académie de Poitiers. Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert Page 2 sur 6 a) Pourquoi utilise-t-on une fusée multi-étages ? r r b) Montrez que, dans le référentiel géocentrique, et en utilisant une base de Frenet (G, t , n ), le centre d’inertie G du vaisseau spatial est animé d’un mouvement uniforme (un schéma est indispensable). c) Etablissez l’expression de la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau spatial en fonction de G, MT, RT et h. Calculez cette valeur. d) Etablissez l’expression de la période T de révolution du vaisseau. Calculez cette période. e) Quelles seraient la vitesse et la période de révolution d’un satellite, de masse cinq fois plus faible que celle du vaisseau spatial, évoluant sur la même orbite circulaire ? B. Etude du transfert orbite terrestre orbite lunaire 1. Après deux révolutions sur l’orbite d’attente précédente, les moteurs du troisième étage, allumés au point A (voir schéma en annexe), augmentent la vitesse du vaisseau qui aborde ainsi la trajectoire ABC dans le repère géocentrique (T, x0, y0, z0). On suppose qu’au point A le vecteur uur uur vitesse de libération vL et le vecteur vitesse vG du centre d’inertie du vaisseau sur son orbite d’attente sont des vecteurs colinéaires. Apollo + MS + ML Déterminez le supplément minimal de vitesse v= vL – vG qu’il faut communiquer au vaisseau spatial pour qu’il « échappe » à l’attraction terrestre. 2. Aux positions A, B et C du centre d’inertie du vaisseau correspondent celles A’, B’ et C’ du centre d’inertie de la Lune sur son orbite dans son mouvement circulaire uniforme décrit autour de la terre. Lors du trajet ABC, on supposera que le vaisseau n’est soumis qu’aux actions gravitationnelles de la Terre et de la Lune. Le point B est le point d’équigravité du système uur Terre-Lune (c’est le point où la somme vectorielle des vecteurs de gravitation GT dû à la Terre et uur GL dû à la Lune est égale au vecteur nul). a) Montrez que les points T, B et B’ sont alignés. uur b) Lors de ce transfert d’orbite de A à C, le vecteur accélération aG du centre d’inertie du vaisseau est-il : () : toujours nul Mission lunaire () : variable () : constant et non nul Document : J-C.Bertrand & M.Moppert Page 3 sur 6 C. Etude de la mise en orbite autour de la Lune Remarque : on ne tient compte ici que de l’influence de la Lune sur le vaisseau spatial. Lorsque le vaisseau spatial se trouve en C, il réduit sa vitesse grâce à son module de service MS de telle sorte qu’il puisse graviter autour de la Lune sur une trajectoire circulaire située à 128 km de la surface lunaire. En utilisant les résultats de la question A.2, calculez la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau sur son orbite lunaire ainsi que la période T de révolution (on se place dans un repère dont l’origine est le centre L de la Lune et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles éloignées). D. Alunissage du module lunaire Remarque : lors de cette étude, on assimilera le vecteur champ de gravitation lunaire au vecteur champ de pesanteur lunaire supposé constant. Le module lunaire comporte un étage de descente de masse m d = 10260 kg et un étage de remontée de masse mr = 4640 kg (inclus une masse mC = 12000 kg de combustible au total). Après quelques révolutions du vaisseau spatial autour de la Lune le module lunaire se détache du véhicule Apollo avec deux hommes à bord. 1. Calculez la valeur GL du vecteur champ de gravitation sur le sol lunaire. 2. On suppose qu’aux abords de la Lune, le module lunaire descend d’un mouvement rectiligne vertical uniforme. a) Déterminez les caractéristiques de la force de poussée s’exerçant sur le module lunaire lorsque la masse m’C = 8000 kg de combustible a été consommée. b) Au cours de ce mouvement, la force de poussée F reste-t-elle constante ? Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert Page 4 sur 6 - Corrigé – A.1. a) Sachant que la masse de la fusée Saturne V au moment du décollage est M = 2767 tonnes déterminez, r dans le référentiel terrestre et à l’aide d’un repère (O, k ) que vous définirez, l’expression littérale de la valeur algébrique uur aGz du vecteur accélération aG du centre d’inertie G de la fusée lorsqu’elle quitte le sol (on négligera les actions de l’air). Référentiel : terrestre supposé galiléen. Système : la fusée. r ur Inventaire des forces extérieures agissant sur le système : P force de poussée et P poids de la fusée. r ur uur Deuxième loi de Newton : P + P = M. aG ur uur uuur On projette cette relation sur un axe vertical ascendant Oz : Pz + P z = M.aGz => Pz + P z = M. aGz Or : Pz = - M.g0 et P z = + P => P – M.g0 = M. aGz et aGz = P - g0 M b) Calculez cette valeur. aGz = 3,3 ´ 107 - 9, 8 = 2,1 m.s-2 2767 ´ 103 2. a) Pourquoi utilise-t-on une fusée multi-étages ? L’idéal est de pouvoir se débarrasser automatiquement de toute masse ne contribuant plus à la propulsion : la poussée ne s’applique plus alors qu’à la charge utile. Cette condition est réalisée avec la fusée multi-étages composée de plusieurs moteurs superposés. Dès que la combustion d’un étage est terminée, ce dernier est éjecté, ce qui allège le reste de la fusée. r r b) Montrez que, dans le référentiel géocentrique, et en utilisant une base de Frenet (G, t , n ), le centre d’inertie G du vaisseau spatial est animé d’un mouvement uniforme (un schéma est indispensable). Référentiel : géocentrique supposé galiléen. Système : vaisseau spatial. r Inventaire des forces extérieures agissant sur le système : F force de gravitation exercée par la Terre. r uur La deuxième loi de Newton permet d’écrire : F = m. aG r r Dans la base de Frenet (G, t , n ) définit par le schéma ci-contre, la loi de gravitation universelle permet d’écrire : m.MT RT F G. .n (RT h)2 uur uur MT m.MT .n m. aG = G. .n et aG = G. 2 r (RT h)2 (RT h) h r n r uur t Or n est radial et centripète => aG est radial et centripète. uur uur uur Par ailleurs : aG aN aT => aG = aN uur ur aT = 0 => aT = G et dv = 0 => v = Cte et le mouvement est uniforme dt Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert Page 5 sur 6 c) Etablissez l’expression de la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau spatial en fonction de G, MT, RT et h. Calculez cette valeur. uur uur aG = aN => aG = aN => G. Soit vG = vG2 G.MT MT = => vG = 2 (RT h) (RT h) (RT h) 6, 67 10 11 6, 0 1024 = 7,8 x 103 m.s-1 ou 7,8 km.s-1 (6378 188) 10 3 d) Etablissez l’expression de la période T de révolution du vaisseau. Calculez cette période. La période de révolution est donnée par T Soit T = 2.(RT h) vG 2 avec => T = vG (RT h) 2 (6378 188) 10 3 = 5,3 x 103 s 7, 8 103 e) Quelles seraient la vitesse et la période de révolution d’un satellite, de masse cinq fois plus faible que celle du vaisseau spatial, évoluant sur la même orbite circulaire ? Pour une orbite de rayon donné, les expressions de la vitesse et de la période sont indépendantes de la masse du satellite : la vitesse et la période seront les mêmes. B.1. Déterminez le supplément minimal de vitesse v = vL – vG qu’il faut communiquer au vaisseau spatial pour qu’il « échappe » à l’attraction terrestre. La valeur de la vitesse de libération est donnée par : vL = v = vL – vG => v = 2G.MT RT + h 2G.MT G.MT = ( 2 .vG) – vG => v = vG.( 2 - 1) RT + h (RT h) Soit : v = 7,8 x ( 2 -1) = 3,2 km.s-1 2. a) Montrez que les points T, B et B’ sont alignés. uur uur ur uur uur Au point B : GT + GL = 0 => GT = - GL donc les deux vecteurs sont opposées. uur uur La direction de GT est celle de la droite passant par B et T. La direction de GL elle celle de la droite passant par B et B’ : comme les deux vecteurs champ de gravitation ont la même direction alors T, B et B’ sont alignés. uur b) Lors de ce transfert d’orbite de A à C, le vecteur accélération aG du centre d’inertie du vaisseau est-il : () : toujours nul ( ) : variable () : constant et non nul Les forces de gravitation de la Terre et de la Lune qui s’exercent sur le vaisseau sont opposées uur au point B : en ce point le vecteur aG est égal au vecteur nul. Entre A et B, la valeur de la vitesse uur du vaisseau diminue. Entre B et C, la valeur de la vitesse du vaisseau augmente. Le vecteur aG est donc variable sur la parcours ABC (réponse ). C. En utilisant les résultats de la question A.2, calculez la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau sur son orbite lunaire ainsi que la période T de révolution (on se place dans un repère dont l’origine est le centre L de la Lune et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles éloignées). On reprend les résultats de la question A.2, l’astre attracteur étant ici la Lune. On a donc : 6, 0 1024 6, 67 1011 82 G.ML = 1,6 x 103 m.s-1 vG = soit vG = 6378 (RL h) ( 128) 103 3, 6 6378 2 ( 128) 103 2.(RL h) 3, 6 T= soit T = = 7,5 x 103 s vG 1, 6 103 Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert Page 6 sur 6 D. 1. Calculez la valeur GL du vecteur champ de gravitation sur le sol lunaire. ur ur uur Soit FL la force de gravitation sur le sol lunaire : FL = m. GL et FL = m.GL La valeur de cette même force exprimée à l’aide de la loi de gravitation universelle donne : æ6, 0 ´ 1024 ÷ ö ÷ 6, 67 ´ 10- 11 ´ çç ÷ çè ÷ 82 m.ML M ø F = G. => GL = G. 2L soit : GL = = 1,6 m.s-2 2 2 3 RL RL æ6378 ´ 10 ÷ ö çç ÷ ÷ ÷ çè 3, 6 ø 2. a) Déterminez les caractéristiques de la force de poussée s’exerçant sur le module lunaire lorsque la masse m’C = 8000 kg de combustible a été consommée. Référentiel : selénocentrique supposé galiléen. Système : le module lunaire. r r Inventaire des forces extérieures agissant sur le système : F force de poussée et P poids du module lunaire. r r ur Le principe d’inertie permet d’écrire : P + F = 0 puisque le mouvement est rectiligne uniforme. r r On a alors : F = - P => F = P => F = (md + mr – m’c).GL soit : F = (10260 + 4640 – 8000) x 103 x 1,6 = 1,1 x 104 N b) Au cours de ce mouvement, la force de poussée F reste-t-elle constante ? Au cours de la descente, le combustible est consommé et la masse du module lunaire diminue. La valeur du poids n’est donc pas constante et, par conséquent, la valeur de la force de poussée n’est pas constante. Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
