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Mission lunaire Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
TS
Physique
Mission lunaire1
Exercice résolu
- Enoncé –
Remarque : sauf indication contraire, toutes les réponses seront justifiées.
Données :
- Masse de la Terre : MT = 6,0 x 1024 kg
- Masse de la Lune :
T
L
M
M82 =
- Rayon de la Terre : RT = 6378 km
- Rayon de la Lune :
T
L
R
R3,6 =
- Constante universelle de gravitation : G = 6,67 x 10-11 m3.kg-1.s-2
- Valeur du vecteur champ de pesanteur à la surface terrestre : g0 = 9,8 m.s-2
- Vitesse de libération : vitesse minimale qu’il faut communiquer à un objet situé à l’altitude h d’un
astre pour qu’il « échappe » à son attraction gravitationnelle. La valeur vL de cette vitesse est
donnée par l’expression :
L
2G.M
vRh =+
(M : masse de l’astre et R : rayon de l’astre)
et est exprimée dans un repère ayant pour origine le centre de l’astre et trois axes orientés vers
trois étoiles «fixes».
En juillet 1969 la fusée américaine Saturne V a permis d’envoyer deux hommes sur la
Lune : Neil Amstrong et Edwin Aldrin. On se propose d’étudier sommairement les quatre
phases essentielles du voyage Terre–Lune : la mise en orbite circulaire autour de la Terre,
le transfert orbite terrestre-orbite lunaire, la mise en orbite circulaire autour de la Lune
et l’alunissage du module lunaire.
A. Etude de la mise en orbite autour de la Terre
Remarque : on ne tient compte ici que de l’influence de la Terre sur le vaisseau spatial.
1. Le premier étage de la fusée dispose de cinq moteurs développant ensemble une force
F
de
poussée verticale de valeur F = 3,3 x 107 N grâce à la combustion d’une masse mP = 2007 tonnes
de propergol (oxygène liquide et kérosène).
a) Sachant que la masse de la fusée Saturne V au moment du décollage est M = 2767 tonnes
déterminez, dans le référentiel terrestre et à l’aide d’un repère (O,
k
r
) que vous définirez,
l’expression littérale du vecteur accélération
G
a
uur
du centre d’inertie G de la fusée lorsqu’elle
quitte le sol.
b) Calculez la valeur aG de ce vecteur.
2. A 60 km d’altitude des boulons explosifs larguent les réservoirs vides du premier étage et les
cinq moteurs du deuxième étage, qui fonctionnent avec de l’oxygène liquide et de l’hydrogène
liquide, sont allumés. Cet étage permet au reste de la fusée (la cabine Apollo IX avec son module
de service MS, le module lunaire ML et le troisième étage) d’être satellisé sur une orbite
circulaire à l’altitude h = 188 km du sol terrestre.
1
: D’après un sujet de l’Académie de Poitiers.

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a) Pourquoi utilise-t-on une fusée multi-étages ?
b) Montrez que, dans le référentiel géocentrique, et en utilisant une base de Frenet (G,
t
r
,
n
r
), le
centre d’inertie G du vaisseau spatial est animé d’un mouvement uniforme (un schéma est
indispensable).
c) Etablissez l’expression de la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau
spatial en fonction de G, MT, RT et h. Calculez cette valeur.
d) Etablissez l’expression de la période T de révolution du vaisseau. Calculez cette période.
e) Quelles seraient la vitesse et la période de révolution d’un satellite, de masse cinq fois plus
faible que celle du vaisseau spatial, évoluant sur la même orbite circulaire ?
B. Etude du transfert orbite terrestre orbite lunaire
1. Après deux révolutions sur l’orbite d’attente précédente, les moteurs du troisième étage,
allumés au point A (voir schéma en annexe), augmentent la vitesse du vaisseau qui aborde ainsi la
trajectoire ABC dans le repère géocentrique (T, x0, y0, z0). On suppose qu’au point A le vecteur
vitesse de libération
L
v
uur
et le vecteur vitesse
G
v
uur
du centre d’inertie du vaisseau sur son orbite
d’attente sont des vecteurs colinéaires.
Déterminez le supplément minimal de vitesse v= vL – vG qu’il faut communiquer au vaisseau spatial
pour qu’il « échappe » à l’attraction terrestre.
2. Aux positions A, B et C du centre d’inertie du vaisseau correspondent celles A’, B’ et C’ du
centre d’inertie de la Lune sur son orbite dans son mouvement circulaire uniforme décrit autour
de la terre. Lors du trajet ABC, on supposera que le vaisseau n’est soumis qu’aux actions
gravitationnelles de la Terre et de la Lune. Le point B est le point d’équigravité du système
Terre-Lune (c’est le point où la somme vectorielle des vecteurs de gravitation
T
G
uur
dû à la Terre et
L
G
uur
dû à la Lune est égale au vecteur nul).
a) Montrez que les points T, B et B’ sont alignés.
b) Lors de ce transfert d’orbite de A à C, le vecteur accélération
G
a
uur
du centre d’inertie du
vaisseau est-il :
() : toujours nul () : variable () : constant et non nul
Apollo + MS + ML

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C. Etude de la mise en orbite autour de la Lune
Remarque : on ne tient compte ici que de l’influence de la Lune sur le vaisseau spatial.
Lorsque le vaisseau spatial se trouve en C, il réduit sa vitesse grâce à son module de service MS
de telle sorte qu’il puisse graviter autour de la Lune sur une trajectoire circulaire située à 128
km de la surface lunaire. En utilisant les résultats de la question A.2, calculez la valeur vG du
vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau sur son orbite lunaire ainsi que la période T de
révolution (on se place dans un repère dont l’origine est le centre L de la Lune et dont les axes
sont dirigés vers trois étoiles éloignées).
D. Alunissage du module lunaire
Remarque : lors de cette étude, on assimilera le vecteur champ de gravitation lunaire au vecteur
champ de pesanteur lunaire supposé constant.
Le module lunaire comporte un étage de descente de masse md = 10260 kg et un étage de
remontée de masse mr = 4640 kg (inclus une masse mC = 12000 kg de combustible au total).
Après quelques révolutions du vaisseau spatial autour de la Lune le module lunaire se détache du
véhicule Apollo avec deux hommes à bord.
1. Calculez la valeur GL du vecteur champ de gravitation sur le sol lunaire.
2. On suppose qu’aux abords de la Lune, le module lunaire descend d’un mouvement rectiligne
vertical uniforme.
a) Déterminez les caractéristiques de la force de poussée s’exerçant sur le module lunaire
lorsque la masse m’C = 8000 kg de combustible a été consommée.
b) Au cours de ce mouvement, la force de poussée
F
reste-t-elle constante ?

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- Corrigé –
A.1. a) Sachant que la masse de la fusée Saturne V au moment du décollage est M = 2767 tonnes déterminez,
dans le référentiel terrestre et à l’aide d’un repère (O,
k
r
) que vous définirez, l’expression littérale de la valeur
algébrique
z
G
a
du vecteur accélération
G
a
uur
du centre d’inertie G de la fusée lorsqu’elle quitte le sol (on négligera les
actions de l’air).
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Système : la fusée.
Inventaire des forces extérieures agissant sur le système :
P
ur
force de poussée et
P
r
poids de la
fusée.
Deuxième loi de Newton :
P
r
+
P
ur
= M.
G
a
uur
On projette cette relation sur un axe vertical ascendant Oz :
z
z z G
P M.a+ P =
ur uur uuur
=> Pz +
P
z = M.
z
G
a
Or : Pz = - M.g0 et
P
z = +
P
=>
P
– M.g0 = M.
z
G
a
et
z
G
a
=
0
g
M
P-
b) Calculez cette valeur.
z
G
a
=
7
3
3,3 10 9,8
2767 10
´-
´
= 2,1 m.s-2
2. a) Pourquoi utilise-t-on une fusée multi-étages ?
L’idéal est de pouvoir se débarrasser automatiquement de toute masse ne contribuant plus à la
propulsion : la poussée ne s’applique plus alors qu’à la charge utile. Cette condition est réalisée
avec la fusée multi-étages composée de plusieurs moteurs superposés. Dès que la combustion d’un
étage est terminée, ce dernier est éjecté, ce qui allège le reste de la fusée.
b) Montrez que, dans le référentiel géocentrique, et en utilisant une base de Frenet (G,
t
r
,
n
r
), le centre d’inertie
G du vaisseau spatial est animé d’un mouvement uniforme (un schéma est indispensable).
Référentiel : géocentrique supposé galiléen.
Système : vaisseau spatial.
Inventaire des forces extérieures agissant sur le système :
F
r
force de gravitation exercée par
la Terre.
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
F
r
= m.
G
a
uur
Dans la base de Frenet (G,
t
r
,
n
r
) définit par
le schéma ci-contre, la loi de gravitation
universelle permet d’écrire :
T
2
T
m.M
F G. .n
(R h)
m.
G
a
uur
=
T
2
T
m.M
G. .n
(R h)
et
G
a
uur
=
T
2
T
M
G. .n
(R h)
Or
n
r
est radial et centripète =>
G
a
uur
est
radial et centripète.
Par ailleurs :
G
a
uur
NT
aa
=>
G
a
uur
=
N
a
uur
et
T
a0=ur
uur
=> aT =
dv
dt
= 0 => v = Cte et le mouvement est uniforme
t
r
n
r
G
h
RT

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c) Etablissez l’expression de la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du vaisseau spatial en fonction de
G, MT, RT et h. Calculez cette valeur.
G
a
uur
=
N
a
uur
=> aG = aN =>
T
2
T
M
G.(R h)
=
2
G
T
v
(R h)
=> vG =
T
T
G.M
(R h)
Soit vG =
11 24
3
6,67 10 6, 0 10
(6378 188) 10
= 7,8 x 103 m.s-1 ou 7,8 km.s-1
d) Etablissez l’expression de la période T de révolution du vaisseau. Calculez cette période.
La période de révolution est donnée par
2
T
avec
G
T
v
(R h)
=> T =
T
G
2 .(R h)
v
Soit T =
3
3
2 (6378 188) 10
7,8 10
= 5,3 x 103 s
e) Quelles seraient la vitesse et la période de révolution d’un satellite, de masse cinq fois plus faible que celle du
vaisseau spatial, évoluant sur la même orbite circulaire ?
Pour une orbite de rayon donné, les expressions de la vitesse et de la période sont indépendantes
de la masse du satellite : la vitesse et la période seront les mêmes.
B.1. Déterminez le supplément minimal de vitesse v = vL – vG qu’il faut communiquer au vaisseau spatial pour qu’il
« échappe » à l’attraction terrestre.
La valeur de la vitesse de libération est donnée par :
T
L
T
2G.M
vRh =+
v = vL – vG => v =
T
T
2G.M
Rh+
-
T
T
G.M
(R h)
= (
2
.vG) – vG => v = vG.(
2
- 1)
Soit : v = 7,8 x (
2
-1) = 3,2 km.s-1
2. a) Montrez que les points T, B et B’ sont alignés.
Au point B :
L
T
G G 0+=
uur uur ur
=>
L
T
GG=-
uur uur
donc les deux vecteurs sont opposées.
La direction de
T
G
uur
est celle de la droite passant par B et T. La direction de
L
G
uur
elle celle de la
droite passant par B et B’ : comme les deux vecteurs champ de gravitation ont la même direction
alors T, B et B’ sont alignés.
b) Lors de ce transfert d’orbite de A à C, le vecteur accélération
G
a
uur
du centre d’inertie du vaisseau est-il :
( ) : toujours nul ( ) : variable ( ) : constant et non nul
Les forces de gravitation de la Terre et de la Lune qui s’exercent sur le vaisseau sont opposées
au point B : en ce point le vecteur
G
a
uur
est égal au vecteur nul. Entre A et B, la valeur de la vitesse
du vaisseau diminue. Entre B et C, la valeur de la vitesse du vaisseau augmente. Le vecteur
G
a
uur
est
donc variable sur la parcours ABC (réponse ).
C. En utilisant les résultats de la question A.2, calculez la valeur vG du vecteur vitesse du centre d’inertie du
vaisseau sur son orbite lunaire ainsi que la période T de révolution (on se place dans un repère dont l’origine est le
centre L de la Lune et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles éloignées).
On reprend les résultats de la question A.2, l’astre attracteur étant ici la Lune. On a donc :
vG =
L
L
G.M
(R h)
soit vG =
24
11
3
6, 0 10
6,67 10 82
6378
( 128) 10
3,6
= 1,6 x 103 m.s-1
T =
L
G
2 .(R h)
v
soit T =
3
3
6378
2 ( 128) 10
3,6
1,6 10
= 7,5 x 103 s