Distance d`un point à une droite

Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
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sur
Chapitre 26 : Distance, bissectrice et cercle inscrit
a. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point
d’une droite le plus proche d’un point donné.
b. 4ème : [Abordable en 6ème] connaître et utiliser la
définition de la bissectrice.
c. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire la
bissectrice d’un angle.
d. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la
propriété d’équidistance des points de la bissectrice.
e. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle
inscrit dans un triangle.
Exercice n°1 (Source Sésamath) – Introduction au cours
he
uc
A
n°1 – Indispensable pour compléter le cours - Trouve le
ga
e
r iv
it e
plus court chemin
d ro
r iv
1. Conjecture
e
a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à
Hamid qui est assis de l'autre côté du
fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop éloigné d'elle, Hamid
l'entend très mal. Reproduis le schéma ci-contre en plaçant
Hamid (représenté par le point H) sur la rive droite au plus
près d'Alexia, à l’aide d’instrument de géométrie.
b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton
schéma.
2. Démonstration et définition
a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la
question 1., place sur la rive droite un point L distinct de H.
Quelle est la nature du triangle AHL ?
b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des
segments [AH] et [AL] ? Justifie.
c. Recopie et complète les phrases suivantes :
« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le pied de la ... relative
à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et ... . ».
H
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
Cours à
2 15
sur
Cours n°1
compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre 26 : Distance d’un point à une droite, bissectrice et
cercle inscrit
I) Distance d’un point à une droite
Définition n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance …………………… qui sépare ce point
A des points de la droite (d).
Propriété n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH, où H est le point
d’intersection de (d) avec la p………………………………………. à (d) passant par ………
S
S
S
S
S
S
S
S
A
Exemple n°1
AH est la distance de A à
S
SF
(d).
S
S
Placez H sur la
S
figure
S
(d)
S
S
S
S
S

Fin du Cours n°1
S
Apprentissage du cours
S
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
S
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE
S
COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
3 15
sur
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le
cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1
AH est la distance de A à
(d).
A
Placez H sur la
figure
(d)
6
E
cm
6 cm
Exercice n°2 (Source : Sésamath)
L
1 3 ,5 cm
N
Observe, recopie et complète :
cm
8
a. La distance du point S à la droite
T
(LT) est ... .
1 0 cm
S
1 0 ,5 cm
R
b. La distance du point T à la droite ...
est 6 cm.
c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... .
d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).
e. La distance du point E à la droite
(m )
(NR) est comprise entre ... et ... .
Exercice n°3 (Source : Sésamath)
P
a. Sur ton cahier, trace deux droites
(m) et (d) ainsi qu'un point P,
(d )
comme sur le dessin.
b. Jean, debout sur la digue, veut
aller se baigner mais il doit
d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents.
Représente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin
de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les
rayons du Soleil.
Exercice n°4 (Source : Sésamath)
1. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.
2. Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les
triangles MNS, MNT et MNU soient respectivement rectangle, quelconque
et isocèle.
3. Calcule l'aire de chacun de ces triangles.
F
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sur
Exercice n°5 (Source : Sésamath)
Un point M étant donné, construis trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que
M soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles.
K
4,
Exercice n°6 (Source : Sésamath)
8
cm
Calcule la distance du point H à la droite (KC) sachant que
H
l'aire du triangle CHK vaut 7,2 cm².
C
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sur
En cas de « trou de mémoire », on peut rechercher la définition de
bissectrice sur internet.

Cours
n°2
compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé,
recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Cours à
I)
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
à
Bissectrice d’un angle
Définition n°2 :
(b) d’un angle d;αest l’axe de …………………… de cet angle.
Propriété n°2 :
La bissectrice
La bissectrice (b) d’un angle d;αest la droite qui partage cet angle en …………………
……………………….. ……… ……………………. ……………………….
Démonstration On
: sait que : (OB) est la …………..... de
;AOC.
Donc, d’après la définition, (OB) est
A
……….. ……………. …… …………………….. l’angle
;AOC.
B
Donc
;AOB est le …………………. de l’angle
;BOC.
Or le ………………… d’un angle est un angle
de …………………. ………………………..
C
O
Donc
;AOB=………….
Données :
On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle a;AOC.
Exemple n°2
O
Construisez la bissectrice (b) de
B
SF
A
l’angle ;AOB :
1. Tracez un cercle de centre
O. Il coupe les côtés de
l’angle en deux points.
2. Tracez deux autres
cercles, de centre chacun
de ces points, de même
rayon. Ils se recoupent en
deux points.
3. Tracez la droite qui joint
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
propriété n°3 :
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sur
S
Tout point de la bissectrice est à é………….. d…………………. des c……………….. de l’angle.
S
S
S

Fin du
S
S

S
Apprentissage
du cours
S
Copier
les
savoirs,
de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
S
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE
S
S
COURS.
S
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
S
S
S
S
S
S
S
Cours
n°2
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sur
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le
cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°3 O
B
Construisez la bissectrice (b) de
l’angle ;AOB :
SF
A
Exercice n°7
Découpe et remets dans l’ordre cette démonstration :
t. Donc
BC = DC.
B
u. Or la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
D
t. On sait que (CA) est la bissectrice de
;DAB.
A
A
a. Donc
[BC] est le symétrique de [DC]
r. On sait que (BC) et
(AB) sont perpendiculaires.
s. Or le symétrique d’un segment est un segment de même
longueur.
u. Donc,
BC est la distance de C à la droite (AB).
é. De même,
DC est la distance de C à la droite (AD).
C
C
D
B
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
o. Or la distance d’un point
A à une droite (d) est la longueur du
A à H, H étant le pied de la perpendiculaire à
(d) passant par A.
!. Donc C est à égale distance des droites (AB) et (AD).
segment joignant
On a démontré que tout point de la bissectrice est à égale
distance des côtés de l’angle qu’elle sépare.
8 15
sur
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
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sur
Exercice n°8
Pour chacune des six figures ci-dessous, indique si la demi-droite [Oy) est
la bissectrice de l'anglea;tOz. Justifie tes réponses quand c’est le cas en
citant la propriété ou définition.
fig .1
O
t
t
t
fig .2
fig .3
y
y
Oz
Oz
B
A
C
t
fig .5
y
z
y
O
z
Exercice n°9
Sur la figure ci-contre, [AC) est la bissectrice
de a;DAB, et BC vaut 4,2 cm.
Combien vaut DC ? Justifiez votre réponse en le
démontrant.
D
Exercice n°10
Sur la figure ci-contre, la droite (AR) est la
bissectrice de l'anglea;EAF.
@options;
A
@figur e;
A=point( - 7.2,6.87) {(0.23,0.8)};
B=point(-7.03,0.77){i};
C=point(-5,6.37){i};
F
Démontre que le triangle FER est isocèle en R.
E
R
Exercice n°11
1. Sur ton cahier, trace un grand triangle DEF puis les bissectrices
des angles a;FDE et a;EFD qui se coupent en O.
2. Démontre que O est équidistant des trois côtés du triangle DEF.
3. Comment tracer la bissectrice de a;FED en n'utilisant que ta règle
S
non graduée ? Justifie.
Exercice n°12
Observe le dessin à main levée ci-contre.
U
Démontre que le point U est équidistant des droites (RS) et (RT).
R
Exercice n°13
T
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle a;IMR
2. Que représente le point I pour le triangle MUR ?
Justifie.
3. Déduis-en les mesures des angles a;MUI
10 15
sur
1.
eta;IUR.
4.
U
70°
I
Combien vaut a;MIU ? Justifie.
30
°
25
°
30°
R
M

Cours
n°3
compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé,
recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Cours à
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
à
définition n°3 :
On appelle cercle inscrit d’un triangle le cercle dont le centre est à l’intersection des
bissectrices, et tel que les trois côtés sont des tangentes à ce cercle.
Exemple n°4
B
Construisez le cercle inscrit au
triangle ci-contre.
C
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
Fin du
11 15
sur
cours
n°3
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le
cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°4
B
Construisez le cercle inscrit au
triangle ci-contre.
A
C
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
12 15
sur
Exercice n°14
Dans chaque cas, construis le triangle ABC puis son cercle inscrit.
a. AC = 8 cm, a;BAC = 60° et a;ACB = 50°.
b. AC = 10 cm, AB = 8 cm et a;BAC = 45°.
c. ABC est isocèle en A tel que AB = 9 cm et BC = 6 cm.
d. ABC est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm.
Exercice n°15
Trace un triangle dont le cercle inscrit a un rayon de 2,7 cm. Explique ta
méthode.
Exercice n°16
1. Trace un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm eta;ABC = 30°.
2. Trace les bissectrices des angles a;ABC et a;ACB.
3. On appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Calcule,
dans cet ordre, les angles a;ABC, a;ICA, a;CAIet a;AIC.
Exercice n°17
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle en A et K est le
milieu de [BC].
A
a. Rappelle la définition d'une médiane dans
un
triangle. La droite (AK) est-elle une médiane
de ABC ? Justifie.
b. Rappelle la définition de la médiatrice
d'un segment. La droite (AK) est-elle la
médiatrice du segment [BC] ? Justifie.
B
C
K
c. Rappelle la définition d'une hauteur dans un
triangle. La droite (AK) est-elle une hauteur de ABC ? Justifie.
d. La droite (AK) est-elle la bissectrice issue de A dans le triangle
ABC ? Justifie.
e. Dans un triangle isocèle, que dire de la droite passant par le sommet
P
principal et par le milieu de la base ?
Exercice n°18
A
Reproduis une figure analogue à la figure cicontre puis construis le point C tel que P soit le
centre du cercle inscrit au triangle ABC.
B
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
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sur
Résultats et indications
Ex.1 :1.a. Mesurer… b. fais une phrase avec sujet, verbe et complément.2.a. isocèle,
équilatéral, rectangle ? b. Il y en a une forcément plus grande que l’autre. Ex.2 : a. Choisi entre 8
et 10. b.Choisi entre (SL) et (ST). c. Choisi entre R et F…d. E… e.10,5 et…Ex.3 : des
perpendiculaires à (d) et (m) passant par ….Ex.4 :1. et 2. :
3.Aire d’un triangle :
Error! Ex.5 : et un
cercle de rayon 4 cm, de
centre M ? Ex.6 : 3.
Ex.7 Début : on sait que
(CA) est… - Or…… Donc … Fin : donc C est à
égale distance… Quand
l’ordre est correct, cela
S
T
U
fait une phrase.,Ex.8 :
Oui, oui, non, oui. Ex.9 : Utiliser la propriété 3. Ex.10 : R est sur la bissectrice
de EAF, donc à égale distance de … Ex.11 : 3. En traçant [EO) : O est sur la
bissectrice de …., donc à égale distance des côtés … O est sur la bissectrice de
C
…., donc à égale distance des côtés. Donc O est à égale distance…. Donc O est
sur la bissectrice de ….Ex.12 : RU est une …Ex.13 :1. Somme des angles dans
MRU.2. a;UMI= a;IMR et a;MRI=a;IRU, donc I est le point d’intersection des…,
M
N
8c
m
3. a;MUI=35° 4. a;MIU=120° Ex.14 :
B
10 cm
45°
A
A
B
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
14 15
sur
C
Ex.15 :Tracer …le cercle d’abord !Ex.16 :
I
A
B
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
Ex.17 :
Oui
a.
15 15
sur
Oui b. Oui (car le triangle est …) c. Oui (car le triangle …) d.
Ex.18 :
commence par tracer la C
perpendiculaire à (AB) passant par P, puis le cercle de centre
P…
P
A
B