Distance d`un point à une droite

Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 1 sur 15
Chapitre 26 : Distance, bissectrice et cercle inscrit
a. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point
d’une droite le plus proche d’un point donné.
b. 4ème : [Abordable en 6ème] connaître et utiliser la
définition de la bissectrice.
c. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire la
bissectrice d’un angle.
d. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la
propriété d’équidistance des points de la bissectrice.
e. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle
inscrit dans un triangle.
Exercice n°1 (Source Sésamath) – Introduction au cours
n°1 – Indispensable pour compléter le cours - Trouve le
plus court chemin
1. Conjecture
a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à
Hamid qui est assis de l'autre côté du
fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop éloigné d'elle, Hamid
l'entend très mal. Reproduis le schéma ci-contre en plaçant
Hamid (représenté par le point H) sur la rive droite au plus
près d'Alexia, à l’aide d’instrument de géométrie.
b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton
schéma.
2. Démonstration et définition
a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la
question 1., place sur la rive droite un point L distinct de H.
Quelle est la nature du triangle AHL ?
b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des
segments [AH] et [AL] ? Justifie.
c. Recopie et complète les phrases suivantes :
« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le pied de la ... relative
à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et ... . ».
A
H
rive gauche
rive droite

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Cours n°1
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre 26 : Distance d’un point à une droite, bissectrice et
cercle inscrit
I) Distance d’un point à une droite
Définition n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance …………………… qui sépare ce point
A des points de la droite (d).
Propriété n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH, où H est le point
d’intersection de (d) avec la p………………………………………. à (d) passant par ………
Exemple n°1
Fin du Cours n°1
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE
COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
AH est la distance de A à
(d).
Placez H sur la
figure
SF
(d)
A

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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le
cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1
Exercice n°2 (Source : Sésamath)
Observe, recopie et complète :
a. La distance du point S à la droite
(LT) est ... .
b. La distance du point T à la droite ...
est 6 cm.
c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... .
d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).
e. La distance du point E à la droite
(NR) est comprise entre ... et ... .
Exercice n°3 (Source : Sésamath)
a. Sur ton cahier, trace deux droites
(m) et (d) ainsi qu'un point P,
comme sur le dessin.
b. Jean, debout sur la digue, veut
aller se baigner mais il doit
d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents.
Représente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin
de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les
rayons du Soleil.
Exercice n°4 (Source : Sésamath)
1. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.
2. Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les
triangles MNS, MNT et MNU soient respectivement rectangle, quelconque
et isocèle.
3. Calcule l'aire de chacun de ces triangles.
6 cm
L
T
S
8 cm
10 cm
6 cm
F
R
E
N
10,5 cm
13,5 cm
(m)
(d)
P
(d)
AH est la distance de A à
(d).
Placez H sur la
figure
A

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Exercice n°5 (Source : Sésamath)
Un point M étant donné, construis trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que
M soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles.
Exercice n°6 (Source : Sésamath)
Calcule la distance du point H à la droite (KC) sachant que
l'aire du triangle CHK vaut 7,2 cm².
C
K
H
4,8 cm

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En cas de « trou de mémoire », on peut rechercher la définition de
bissectrice sur internet.
Cours
n°2
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à
recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
I) Bissectrice d’un angle
Définition n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d;αest l’axe de …………………… de cet angle.
Propriété n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d;αest la droite qui partage cet angle en …………………
……………………….. ……… ……………………. ……………………….
Démonstration :
Données :
On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle a;AOC.
Exemple n°2
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
On sait que : (OB) est la …………..... de
;AOC.
Donc, d’après la définition, (OB) est
……….. ……………. …… …………………….. l’angle
;AOC.
Donc ;AOB est le …………………. de l’angle
;BOC.
Or le ………………… d’un angle est un angle
de …………………. ………………………..
Donc ;AOB=………….
Construisez la bissectrice (b) de
l’angle ;AOB :
1. Tracez un cercle de centre
O. Il coupe les côtés de
l’angle en deux points.
2. Tracez deux autres
cercles, de centre chacun
de ces points, de même
rayon. Ils se recoupent en
deux points.
3. Tracez la droite qui joint
un de ces deux points à O.
O
A
B
C
B
O
A
SF